Ορισμός μπάλας. Σφαίρα, μπάλα, τμήμα και τομέας. Τύποι και ιδιότητες της σφαίρας. Εφαπτομένη, εφαπτόμενο επίπεδο σε μια σφαίρα και οι ιδιότητές τους
Μπάλα (σφαίρα)
Σφαιρική επιφάνεια. Μπάλα (σφαίρα). Τμήματα μπάλας: κύκλους.
Θεώρημα του Αρχιμήδη. Μέρη της μπάλας: σφαιρικό τμήμα,
σφαιρικό στρώμα, σφαιρικός ιμάντας, σφαιρικός τομέας.
Σφαιρική επιφάνεια - Αυτό τόπος σημείων(εκείνοι. Πολλάαριθμός όλων των πόντων)στο διάστημα, σε ίση απόσταση από ένα σημείο Ο , που ονομάζεται κέντρο της σφαιρικής επιφάνειας (Εικ.90). Ακτίνα κύκλου AOi διάμετροςΑΒ καθορίζονται με τον ίδιο τρόπο όπως σε έναν κύκλο.
Μπάλα (σφαίρα) - Αυτό ένα σώμα που οριοθετείται από μια σφαιρική επιφάνεια.Μπορώ πάρτε την μπάλα περιστρέφοντας το ημικύκλιο (ή κύκλος ) γύρω από τη διάμετρο. Όλα τα επίπεδα τμήματα της μπάλας είναι κύκλους (Εικ.90 ). Ο μεγαλύτερος κύκλος βρίσκεται σε ένα τμήμα που διέρχεται από το κέντρο της μπάλας και ονομάζεται μεγάλος κύκλος. Η ακτίνα του είναι ίση με την ακτίνα της μπάλας. Οποιοιδήποτε δύο μεγάλοι κύκλοι τέμνονται κατά μήκος της διαμέτρου της μπάλας (ΑΒ, Εικ.91 ).Αυτή η διάμετρος είναι επίσης η διάμετρος των τεμνόμενων μεγάλων κύκλων. Μέσω δύο σημείων μιας σφαιρικής επιφάνειας που βρίσκονται στα άκρα της ίδιας διαμέτρου(Α και Β, Εικ. 91 ), μπορείτε να σχεδιάσετε αμέτρητους μεγάλους κύκλους. Για παράδειγμα, ένας άπειρος αριθμός μεσημβρινών μπορεί να σχεδιαστεί μέσα από τους πόλους της Γης.
Ο όγκος της σφαίρας είναι μιάμιση φορά μικρότερος από τον όγκο του κυλίνδρου που περιβάλλεται γύρω από αυτήν. (Εικ.92 ), ΕΝΑ η επιφάνεια της μπάλας είναι μιάμιση φορά μικρότερη από τη συνολική επιφάνεια του ίδιου κυλίνδρου ( Θεώρημα του Αρχιμήδη):
Εδώ μικρό μπάλα Και V μπάλα - την επιφάνεια και τον όγκο της μπάλας, αντίστοιχα.
μικρό κύλ Και V κύλ - τη συνολική επιφάνεια και όγκο του περιγεγραμμένου κυλίνδρου.
Μέρη της μπάλας. Μέρος μιας μπάλας (σφαίρα) ), αποκόπηκε από αυτό με κάποιο αεροπλάνο ( ABC, Εικ. 93), που ονομάζεται μπάλα(σφαιρικός ) τμήμα. Κύκλος ABC που ονομάζεται βάσητμήμα μπάλας. Ευθύγραμμο τμήμα MN κάθετο τραβηγμένο από το κέντροΝ κύκλος ABC μέχρι να διασταυρωθεί με μια σφαιρική επιφάνεια, ονομάζεται ύψοςτμήμα μπάλας. ΤελείαΜ που ονομάζεται μπλουζατμήμα μπάλας.
Τμήμα μιας σφαίρας που περικλείεται ανάμεσα σε δύο παράλληλα επίπεδαΤο ABC και το DEF τέμνουν μια σφαιρική επιφάνεια (Εικ. 93), που ονομάζεται σφαιρικό στρώμα; η καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού στρώματος ονομάζεται ζώνη μπάλας(ζώνη). Κύκλους ABC και DEF – λόγουςζώνη μπάλας. ΑπόστασηΝ.Κ. μεταξύ των βάσεων της σφαιρικής ζώνης - του ύψος. Το τμήμα της μπάλας που οριοθετείται από την καμπύλη επιφάνεια ενός σφαιρικού τμήματος ( AMCB, Εικ.93) και κωνική επιφάνεια OABC , η βάση του οποίου είναι η βάση του τμήματος (αλφάβητο ), και η κορυφή είναι το κέντρο της μπάλαςΟ , που ονομάζεται σφαιρικός τομέας.
Όταν ρωτούν τους ανθρώπους τη διαφορά μεταξύ σφαίρας και μπάλας, πολλοί απλώς σηκώνουν τους ώμους τους, νομίζοντας ότι στην πραγματικότητα είναι το ίδιο πράγμα (η αναλογία με κύκλο και κύκλο). Πράγματι, όλοι μας γνωρίζουμε καλά τη γεωμετρία από το σχολικό πρόγραμμα και μπορούμε να απαντήσουμε αμέσως σε αυτό το ερώτημα; Μια σφαίρα έχει κάποιες διαφορές από μια μπάλα, τις οποίες δεν πρέπει να γνωρίζουν μόνο οι μαθητές για να πάρουν καλό βαθμό για τις γνώσεις τους, αλλά και πολλοί άλλοι άνθρωποι, για παράδειγμα, των οποίων η εργασία σχετίζεται άμεσα με τα σχέδια.
Ορισμός
Μπάλα– το σύνολο όλων των σημείων στο χώρο. Όλα αυτά τα σημεία βρίσκονται από το κέντρο του γεωμετρικού σώματος σε απόσταση που δεν είναι μεγαλύτερη από μια δεδομένη. Αυτή η ίδια η απόσταση ονομάζεται ακτίνα. Μια μπάλα, ως γεωμετρικό σώμα, σχηματίζεται ως εξής: ένα ημικύκλιο περιστρέφεται κοντά στη διάμετρό του. Όσο για τη σφαίρα, αυτή είναι η επιφάνεια της μπάλας (για παράδειγμα, μια κλειστή μπάλα την περιλαμβάνει, μια ανοιχτή όχι). Ο υπολογισμός του εμβαδού ή του όγκου μιας μπάλας περιλαμβάνει ολόκληρους γεωμετρικούς τύπους που είναι πολύ περίπλοκοι, παρά τη φαινομενική απλότητα του ίδιου του γεωμετρικού σχήματος.
Σφαίρα, όπως σημειώθηκε παραπάνω, είναι η επιφάνεια της μπάλας, το κέλυφος της. Όλα τα σημεία στο διάστημα απέχουν ίση από το κέντρο της σφαίρας. Όσον αφορά την ακτίνα ενός γεωμετρικού σώματος, ονομάζεται οποιοδήποτε τμήμα, το ένα σημείο του οποίου είναι απευθείας το κέντρο της σφαίρας και το άλλο μπορεί να βρίσκεται σε οποιοδήποτε σημείο της επιφάνειας. Μπορούμε να πούμε ότι μια σφαίρα είναι το κέλυφος μιας μπάλας χωρίς περιεχόμενο (θα δοθούν πιο συγκεκριμένα παραδείγματα παρακάτω). Ακριβώς όπως μια μπάλα, μια σφαίρα είναι ένα σώμα επανάστασης. Παρεμπιπτόντως, πολλοί αναρωτιούνται επίσης ποια είναι η διαφορά μεταξύ ενός κύκλου και ενός κύκλου από μια σφαίρα και μια μπάλα. Όλα είναι απλά εδώ: στην πρώτη περίπτωση πρόκειται για φιγούρες σε ένα αεροπλάνο, στη δεύτερη - στο διάστημα.
Σύγκριση
Έχει ήδη ειπωθεί ότι μια σφαίρα είναι η επιφάνεια μιας μπάλας, η οποία ήδη καθιστά δυνατό να μιλήσουμε για ένα σημαντικό σημάδι διαφοράς. Η διαφορά μεταξύ των δύο γεωμετρικών σωμάτων παρατηρείται σε ορισμένες άλλες πτυχές:
- Όλα τα σημεία της μπάλας βρίσκονται στην ίδια απόσταση από το κέντρο, ενώ το σώμα περιορίζεται από την επιφάνεια (μία σφαίρα που είναι άδεια μέσα). Με άλλα λόγια, η σφαίρα είναι κούφια. Συνήθως, για ευκολία κατανόησης, δίνεται ένα απλό παράδειγμα με ένα μπαλόνι και μια μπάλα μπιλιάρδου. Και τα δύο αυτά αντικείμενα ονομάζονται μπάλες, αλλά στην πρώτη περίπτωση έχουμε να κάνουμε με μια σφαίρα και στη δεύτερη με μια πλήρη μπάλα με το δικό της περιεχόμενο μέσα.
- Μια σφαίρα έχει τη δική της περιοχή, αλλά δεν έχει όγκο. Μια σφαίρα είναι το αντίθετο: ο όγκος της μπορεί να υπολογιστεί, ενώ δεν έχει εμβαδόν. Κάποιοι μπορεί να πουν ότι αυτό είναι το κύριο σημάδι διαφοράς, αλλά εμφανίζεται μόνο εάν είναι απαραίτητο να γίνουν κάποιοι υπολογισμοί (σύνθετοι γεωμετρικοί τύποι). Επομένως, η κύρια διαφορά είναι ότι η σφαίρα είναι κούφια και η μπάλα είναι ένα σώμα με περιεχόμενο μέσα.
- Μια άλλη διαφορά έγκειται στην ακτίνα. Για παράδειγμα, η ακτίνα μιας σφαίρας δεν είναι μόνο η απόσταση των σημείων από το κέντρο. Ακτίνα μπορεί να είναι οποιοδήποτε τμήμα που συνδέει ένα σημείο σε μια σφαίρα με το κέντρο της. Όλα αυτά τα τμήματα είναι ίσα μεταξύ τους. Όσον αφορά την μπάλα, τα σημεία που βρίσκονται μέσα της απομακρύνονται από το κέντρο κατά μια ακτίνα μικρότερη (ακριβώς λόγω της σφαίρας που την περιορίζει).
Ιστοσελίδα συμπερασμάτων
- Μια σφαίρα είναι κούφια, ενώ μια μπάλα είναι ένα σώμα γεμάτο μέσα. Για παράδειγμα, ένα μπαλόνι θερμού αέρα είναι μια σφαίρα, μια μπάλα μπιλιάρδου είναι μια πλήρης μπάλα.
- Μια σφαίρα έχει εμβαδόν και δεν έχει όγκο, αλλά μια σφαίρα κάνει το αντίθετο.
- Η τρίτη διαφορά είναι η μέτρηση της ακτίνας δύο γεωμετρικών σωμάτων.
Μια μπάλα και μια σφαίρα είναι, πρώτα απ 'όλα, γεωμετρικά σχήματα, και αν μια μπάλα είναι ένα γεωμετρικό σώμα, τότε μια σφαίρα είναι η επιφάνεια μιας μπάλας. Αυτά τα στοιχεία είχαν ενδιαφέρον πολλές χιλιάδες χρόνια πριν π.Χ.
Στη συνέχεια, όταν ανακαλύφθηκε ότι η Γη είναι μια μπάλα και ο ουρανός είναι μια ουράνια σφαίρα, αναπτύχθηκε μια νέα συναρπαστική κατεύθυνση στη γεωμετρία - γεωμετρία σε μια σφαίρα ή σφαιρική γεωμετρία. Για να μιλήσετε για το μέγεθος και τον όγκο μιας μπάλας, πρέπει πρώτα να την ορίσετε.
Μπάλα
Μια σφαίρα ακτίνας R με κέντρο στο σημείο Ο στη γεωμετρία είναι ένα σώμα που δημιουργείται από όλα τα σημεία του χώρου που έχουν κοινή ιδιότητα. Αυτά τα σημεία βρίσκονται σε απόσταση που δεν υπερβαίνει την ακτίνα της μπάλας, δηλαδή γεμίζουν όλο το χώρο λιγότερο από την ακτίνα της μπάλας προς όλες τις κατευθύνσεις από το κέντρο της. Αν λάβουμε υπόψη μόνο εκείνα τα σημεία που βρίσκονται σε ίση απόσταση από το κέντρο της μπάλας, θα εξετάσουμε την επιφάνειά της ή το κέλυφος της μπάλας.
Πώς μπορώ να πάρω την μπάλα; Μπορούμε να κόψουμε έναν κύκλο από χαρτί και να αρχίσουμε να τον περιστρέφουμε γύρω από τη δική του διάμετρο. Δηλαδή, η διάμετρος του κύκλου θα είναι ο άξονας περιστροφής. Η σχηματισμένη φιγούρα θα είναι μια μπάλα. Επομένως, η μπάλα ονομάζεται επίσης σώμα περιστροφής. Γιατί μπορεί να σχηματιστεί περιστρέφοντας μια επίπεδη φιγούρα - έναν κύκλο.
Ας πάρουμε λίγο αεροπλάνο και ας κόψουμε την μπάλα μας με αυτό. Όπως ακριβώς κόψαμε ένα πορτοκάλι με ένα μαχαίρι. Το κομμάτι που αποκόψαμε από την μπάλα ονομάζεται σφαιρικό τμήμα.
Στην Αρχαία Ελλάδα, ήξεραν πώς όχι μόνο να εργάζονται με μια μπάλα και μια σφαίρα ως γεωμετρικά σχήματα, για παράδειγμα, να τα χρησιμοποιούν στην κατασκευή, αλλά ήξεραν επίσης πώς να υπολογίζουν την επιφάνεια μιας μπάλας και τον όγκο μιας μπάλας.
Μια σφαίρα είναι ένα άλλο όνομα για την επιφάνεια μιας μπάλας. Μια σφαίρα δεν είναι σώμα - είναι η επιφάνεια ενός σώματος περιστροφής. Ωστόσο, δεδομένου ότι τόσο η Γη όσο και πολλά σώματα έχουν σφαιρικό σχήμα, για παράδειγμα μια σταγόνα νερού, η μελέτη των γεωμετρικών σχέσεων μέσα στη σφαίρα έχει γίνει ευρέως διαδεδομένη.
Για παράδειγμα, αν συνδέσουμε δύο σημεία μιας σφαίρας μεταξύ τους με μια ευθεία γραμμή, τότε αυτή η ευθεία γραμμή ονομάζεται χορδή, και αν αυτή η χορδή διέρχεται από το κέντρο της σφαίρας, που συμπίπτει με το κέντρο της μπάλας, τότε η χορδή ονομάζεται διάμετρος της σφαίρας.
Αν σχεδιάσουμε μια ευθεία γραμμή που αγγίζει τη σφαίρα σε ένα μόνο σημείο, τότε αυτή η γραμμή θα ονομάζεται εφαπτομένη. Επιπλέον, αυτή η εφαπτομένη στη σφαίρα σε αυτό το σημείο θα είναι κάθετη στην ακτίνα της σφαίρας που τραβιέται στο σημείο επαφής.
Αν επεκτείνουμε τη συγχορδία σε μια ευθεία γραμμή προς τη μία ή την άλλη κατεύθυνση από τη σφαίρα, τότε αυτή η χορδή θα λέγεται διατομή. Ή μπορούμε να το πούμε διαφορετικά - η τομή στη σφαίρα περιέχει τη χορδή της.
Όγκος μπάλας
Ο τύπος για τον υπολογισμό του όγκου μιας μπάλας είναι:
όπου R είναι η ακτίνα της μπάλας.
Εάν πρέπει να βρείτε τον όγκο ενός σφαιρικού τμήματος, χρησιμοποιήστε τον τύπο:
V seg =πh 2 (R-h/3), h είναι το ύψος του σφαιρικού τμήματος.
Επιφάνεια μιας σφαίρας ή μιας σφαίρας
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν μιας σφαίρας ή την επιφάνεια μιας μπάλας (είναι το ίδιο πράγμα):
όπου R είναι η ακτίνα της σφαίρας.
Ο Αρχιμήδης αγαπούσε πολύ τη μπάλα και τη σφαίρα, ζήτησε μάλιστα να αφήσει ένα σχέδιο στον τάφο του στο οποίο ήταν χαραγμένη μια μπάλα σε έναν κύλινδρο. Ο Αρχιμήδης πίστευε ότι ο όγκος μιας μπάλας και η επιφάνειά της είναι ίσοι με τα δύο τρίτα του όγκου και της επιφάνειας του κυλίνδρου στον οποίο είναι εγγεγραμμένη η μπάλα».
Στο Κεφάλαιο 2 θα συνεχίσουμε τη «δομική γεωμετρία» και θα μιλήσουμε για τη δομή και τις ιδιότητες των πιο σημαντικών χωρικών μορφών - μπάλα και σφαίρα, κυλίνδροι και κώνοι, πρίσματα και πυραμίδες Τα περισσότερα αντικείμενα που δημιουργούνται από ανθρώπινα χέρια - κτίρια, αυτοκίνητα, έπιπλα, πιάτα , κ.λπ., κ.λπ., αποτελείται από μέρη που έχουν σχήμα σαν αυτές τις φιγούρες.
§ 4. ΣΦΑΙΡΑ ΚΑΙ ΜΠΑΛΑ
Μετά από ευθείες γραμμές και επίπεδα, η σφαίρα και η μπάλα είναι οι απλούστερες, αλλά πολύ σημαντικές χωρικές φιγούρες πλούσιες σε διάφορες ιδιότητες. Ολόκληρα βιβλία έχουν γραφτεί για τις γεωμετρικές ιδιότητες μιας μπάλας και την επιφάνειά της - μια σφαίρα. Μερικές από αυτές τις ιδιότητες ήταν γνωστές στους αρχαίους Έλληνες γεωμέτρους και κάποιες ανακαλύφθηκαν πιο πρόσφατα, τα τελευταία χρόνια. Αυτές οι ιδιότητες (μαζί με τους νόμους της φυσικής επιστήμης) εξηγούν γιατί, για παράδειγμα, τα ουράνια σώματα και τα αυγά των ψαριών έχουν σφαιρικό σχήμα, γιατί τα μπαθωσκάφια και οι μπάλες ποδοσφαίρου κατασκευάζονται σε σχήμα μπάλας, γιατί τα ρουλεμάν είναι τόσο συνηθισμένα στην τεχνολογία, και τα λοιπά. Μπορούμε να αποδείξουμε μόνο τις απλούστερες ιδιότητες της μπάλας. Οι αποδείξεις άλλων, αν και πολύ σημαντικών ιδιοτήτων, απαιτούν συχνά τη χρήση εντελώς μη στοιχειωδών μεθόδων, αν και η διατύπωση τέτοιων ιδιοτήτων μπορεί να είναι πολύ απλή: για παράδειγμα, μεταξύ όλων των σωμάτων που έχουν δεδομένη επιφάνεια, η μπάλα έχει τον μεγαλύτερο όγκο.
4.1. Ορισμοί σφαίρας και μπάλας.
Μια σφαίρα και μια μπάλα ορίζονται στο χώρο με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως ένας κύκλος και ένας κύκλος σε ένα επίπεδο. Μια σφαίρα είναι ένα σχήμα που αποτελείται από όλα τα σημεία του χώρου που είναι απομακρυσμένα από ένα δεδομένο.
διαφορετικά σημεία στην ίδια (θετική) απόσταση.
Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο της σφαίρας και η απόσταση είναι η ακτίνα της (Εικ. 4.1).
Άρα, μια σφαίρα με κέντρο Ο και ακτίνα R είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από όλα τα σημεία Χ του χώρου για τα οποία
Μια μπάλα είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από όλα τα σημεία του χώρου που βρίσκονται σε απόσταση όχι μεγαλύτερη από μια δεδομένη (θετική) απόσταση από ένα δεδομένο σημείο. Αυτό το σημείο ονομάζεται κέντρο της μπάλας και αυτή η απόσταση είναι η ακτίνα του.
Άρα, μια μπάλα με κέντρο Ο και ακτίνα R είναι ένα σχήμα που σχηματίζεται από όλα τα σημεία Χ του χώρου για τα οποία
Εκείνα τα σημεία Χ μιας μπάλας με κέντρο Ο και ακτίνα R για τα οποία σχηματίζουν σφαίρα. Λένε ότι αυτή η σφαίρα περικλείει μια δεδομένη μπάλα ή ότι είναι η επιφάνειά της.
Περίπου τα ίδια σημεία Χ της μπάλας για τα οποία λένε ότι βρίσκονται μέσα στην μπάλα.
Η ακτίνα μιας σφαίρας (και μιας μπάλας) ονομάζεται όχι μόνο η απόσταση, αλλά και κάθε τμήμα που συνδέει το κέντρο με ένα σημείο της σφαίρας.
