სამკუთხედის ფართობი, რომელიც ეფუძნება მის სამ მხარეს. როგორ გამოვთვალოთ სამკუთხედის ფართობი. დავალება. გვერდების სიგრძის შეცვლისას ფართობის შეცვლა

როგორც გახსოვთ თქვენი სკოლის გეომეტრიის სასწავლო გეგმიდან, სამკუთხედი არის ფიგურა, რომელიც წარმოიქმნება სამი სეგმენტისგან, რომლებიც დაკავშირებულია სამი წერტილით, რომლებიც არ დევს იმავე სწორ ხაზზე. სამკუთხედი ქმნის სამ კუთხეს, აქედან მოდის ფიგურის სახელი. განმარტება შეიძლება განსხვავებული იყოს. სამკუთხედს ასევე შეიძლება ეწოდოს მრავალკუთხედი სამი კუთხით, პასუხიც სწორი იქნება. სამკუთხედები იყოფა ფიგურებში ტოლი გვერდების რაოდენობისა და კუთხეების ზომის მიხედვით. ამრიგად, სამკუთხედები გამოირჩევიან როგორც ტოლგვერდა, ტოლგვერდა და სკალენური, ასევე მართკუთხა, მახვილი და ბლაგვი, შესაბამისად.

არსებობს უამრავი ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად. აირჩიეთ, თუ როგორ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, ე.ი. რომელი ფორმულა გამოიყენო, შენზეა დამოკიდებული. მაგრამ აღსანიშნავია მხოლოდ რამდენიმე აღნიშვნა, რომელიც გამოიყენება მრავალ ფორმულაში სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად. ასე რომ, გახსოვდეთ:

S არის სამკუთხედის ფართობი,

a, b, c არის სამკუთხედის გვერდები,

h არის სამკუთხედის სიმაღლე,

R არის შემოხაზული წრის რადიუსი,

p არის ნახევარპერიმეტრი.

აქ მოცემულია ძირითადი აღნიშვნები, რომლებიც შეიძლება გამოგადგეთ, თუ მთლიანად დაგავიწყდათ თქვენი გეომეტრიის კურსი. ქვემოთ მოცემულია ყველაზე გასაგები და გაურთულებელი ვარიანტები სამკუთხედის უცნობი და იდუმალი ფართობის გამოსათვლელად. ეს არ არის რთული და გამოგადგებათ როგორც თქვენი საყოფაცხოვრებო საჭიროებისთვის, ასევე თქვენი შვილების დასახმარებლად. გავიხსენოთ, როგორ გამოვთვალოთ სამკუთხედის ფართობი რაც შეიძლება მარტივად:

ჩვენს შემთხვევაში, სამკუთხედის ფართობია: S = ½ * 2,2 სმ * 2,5 სმ = 2,75 კვ. სმ. გახსოვდეთ, რომ ფართობი იზომება კვადრატულ სანტიმეტრებში (სმ).

მართკუთხა სამკუთხედი და მისი ფართობი.

მართკუთხა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომელშიც ერთი კუთხე უდრის 90 გრადუსს (აქედან გამომდინარე, მას მართალი ეწოდება). მართ კუთხეს ქმნის ორი პერპენდიკულარული ხაზი (სამკუთხედის შემთხვევაში ორი პერპენდიკულარული სეგმენტი). მართკუთხა სამკუთხედში შეიძლება იყოს მხოლოდ ერთი მართი კუთხე, რადგან... ნებისმიერი სამკუთხედის ყველა კუთხის ჯამი უდრის 180 გრადუსს. გამოდის, რომ 2 სხვა კუთხემ უნდა გაიყოს დარჩენილი 90 გრადუსი, მაგალითად 70 და 20, 45 და 45 და ა.შ. ასე რომ, თქვენ გახსოვთ მთავარი, რაც რჩება არის იმის გარკვევა, თუ როგორ უნდა იპოვოთ მართკუთხა სამკუთხედის ფართობი. წარმოვიდგინოთ, რომ ჩვენ წინ გვაქვს ასეთი მართკუთხა სამკუთხედი და უნდა ვიპოვოთ მისი ფართობი S.

1. მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის დასადგენად ყველაზე მარტივი გზა გამოითვლება შემდეგი ფორმულის გამოყენებით:

ჩვენს შემთხვევაში, მართკუთხა სამკუთხედის ფართობია: S = 2,5 სმ * 3 სმ / 2 = 3,75 კვ. სმ.

პრინციპში, აღარ არის საჭირო სამკუთხედის ფართობის სხვა გზით გადამოწმება, რადგან მხოლოდ ეს გამოგადგებათ და დაგეხმარებათ ყოველდღიურ ცხოვრებაში. მაგრამ ასევე არსებობს სამკუთხედის ფართობის გაზომვის ვარიანტები მწვავე კუთხით.

2. სხვა გაანგარიშების მეთოდებისთვის, თქვენ უნდა გქონდეთ კოსინუსების, სინუსების და ტანგენტების ცხრილი. თავად განსაჯეთ, აქ არის რამოდენიმე ვარიანტი მართკუთხა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, რომელიც ჯერ კიდევ შესაძლებელია:

ჩვენ გადავწყვიტეთ გამოგვეყენებინა პირველი ფორმულა და მცირე ლაქებით (ჩვენ დავხატეთ ის რვეულში და გამოვიყენეთ ძველი სახაზავი და პროტრაქტორი), მაგრამ სწორი გამოთვლა მივიღეთ:

S = (2.5*2.5)/(2*0.9)=(3*3)/(2*1.2). მივიღეთ შემდეგი შედეგები: 3.6=3.7, მაგრამ უჯრედების ცვლის გათვალისწინებით, შეგვიძლია ვაპატიოთ ეს ნიუანსი.

ტოლფერდა სამკუთხედი და მისი ფართობი.

თუ თქვენ წინაშე დგას ტოლფერდა სამკუთხედის ფორმულის გამოთვლის ამოცანა, მაშინ უმარტივესი გზაა სამკუთხედის ფართობის ძირითადი და კლასიკური ფორმულის გამოყენება.

მაგრამ ჯერ, სანამ ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობს ვიპოვით, გავარკვიოთ, როგორი ფიგურაა ეს. ტოლფერდა სამკუთხედი არის სამკუთხედი, რომლის ორ გვერდს აქვს იგივე სიგრძე. ამ ორ მხარეს ეწოდება გვერდითი, მესამე მხარეს - ფუძე. არ აურიოთ ტოლგვერდა სამკუთხედი ტოლგვერდა სამკუთხედში, ე.ი. რეგულარული სამკუთხედი სამივე გვერდით თანაბარი. ასეთ სამკუთხედში არ არის განსაკუთრებული მიდრეკილება კუთხეების, უფრო სწორად მათი ზომის მიმართ. თუმცა, ტოლფერდა სამკუთხედში ფუძის კუთხეები ტოლია, მაგრამ განსხვავდება თანაბარ გვერდებს შორის კუთხისგან. ასე რომ, თქვენ უკვე იცით პირველი და მთავარი ფორმულა; რჩება იმის გარკვევა, თუ რა სხვა ფორმულებია ცნობილი ტოლფერდა სამკუთხედის ფართობის დასადგენად.

სამკუთხედი არის უმარტივესი გეომეტრიული ფიგურა, რომელიც შედგება სამი მხარისა და სამი წვერისგან. მისი სიმარტივიდან გამომდინარე, სამკუთხედი უძველესი დროიდან გამოიყენებოდა სხვადასხვა გაზომვისთვის და დღეს ფიგურა შეიძლება გამოდგეს პრაქტიკული და ყოველდღიური პრობლემების გადასაჭრელად.

სამკუთხედის მახასიათებლები

ფიგურა გამოიყენებოდა გამოთვლებისთვის უძველესი დროიდან, მაგალითად, მიწის ამზომველები და ასტრონომები მუშაობენ სამკუთხედების თვისებებით, რათა გამოთვალონ ფართობი და მანძილი. ადვილია ნებისმიერი n-გონების ფართობის გამოხატვა ამ ფიგურის ფართობზე და ეს თვისება გამოიყენეს ძველმა მეცნიერებმა მრავალკუთხედების ფართობების ფორმულების გამოსათვლელად. სამკუთხედებთან მუდმივი მუშაობა, განსაკუთრებით მართკუთხა სამკუთხედი, საფუძველი გახდა მათემატიკის მთელი დარგისთვის - ტრიგონომეტრია.

სამკუთხედის გეომეტრია

გეომეტრიული ფიგურის თვისებები შესწავლილი იყო უძველესი დროიდან: ყველაზე ადრეული ინფორმაცია სამკუთხედის შესახებ ნაპოვნი იქნა ეგვიპტურ პაპირუსებში 4000 წლის წინ. შემდეგ ფიგურა შეისწავლეს ძველ საბერძნეთში და სამკუთხედის გეომეტრიაში უდიდესი წვლილი შეიტანეს ევკლიდმა, პითაგორამ და ჰერონმა. სამკუთხედის შესწავლა არასოდეს შეწყვეტილა და მე-18 საუკუნეში ლეონჰარდ ეილერმა შემოიღო ფიგურის ორთოცენტრისა და ეილერის წრის კონცეფცია. მე-19 და მე-20 საუკუნეების მიჯნაზე, როდესაც ჩანდა, რომ აბსოლუტურად ყველაფერი იყო ცნობილი სამკუთხედის შესახებ, ფრენკ მორლიმ ჩამოაყალიბა თეორემა კუთხის ტრისექტორებზე, ხოლო ვაცლავ სიერპინსკიმ შემოგვთავაზა ფრაქტალის სამკუთხედი.

სასკოლო გეომეტრიის კურსებიდან ჩვენთვის ნაცნობი ბრტყელი სამკუთხედების რამდენიმე ტიპი არსებობს:

• მწვავე - ფიგურის ყველა კუთხე მწვავეა;
• ბლაგვი - ფიგურას აქვს ერთი ბლაგვი კუთხე (90 გრადუსზე მეტი);
• მართკუთხა - ფიგურა შეიცავს ერთ მართკუთხა კუთხეს, რომელიც უდრის 90 გრადუსს;
• ტოლფერდა - სამკუთხედი ორი თანაბარი გვერდით;
• ტოლგვერდა - სამკუთხედი ყველა თანაბარი გვერდით.
• რეალურ ცხოვრებაში ყველა სახის სამკუთხედი არსებობს და ზოგიერთ შემთხვევაში შეიძლება დაგჭირდეთ გეომეტრიული ფიგურის ფართობის გამოთვლა.

სამკუთხედის ფართობი

ფართობი არის შეფასება იმისა, თუ რამდენ სიბრტყეს მოიცავს ფიგურას. სამკუთხედის ფართობი შეიძლება მოიძებნოს ექვსი გზით, წარწერის ან შემოხაზული წრის გვერდების, სიმაღლის, კუთხეების, რადიუსის გამოყენებით, აგრეთვე ჰერონის ფორმულის გამოყენებით ან სიბრტყის შემოსაზღვრული ხაზების გასწვრივ ორმაგი ინტეგრალის გაანგარიშებით. უმარტივესი ფორმულა სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად არის:

სადაც a არის სამკუთხედის გვერდი, h არის მისი სიმაღლე.

თუმცა, პრაქტიკაში ყოველთვის არ არის მოსახერხებელი გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლის პოვნა. ჩვენი კალკულატორის ალგორითმი საშუალებას გაძლევთ გამოთვალოთ ფართობი იცოდეთ:

• სამი მხარე;
• ორი მხარე და მათ შორის კუთხე;
• ერთი მხარე და ორი კუთხე.

სამი მხარის ფართობის დასადგენად, ჩვენ ვიყენებთ ჰერონის ფორმულას:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

სადაც p არის სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი.

ფართობი ორ მხარეს და კუთხე გამოითვლება კლასიკური ფორმულით:

S = a × b × sin(alfa),

სადაც ალფა არის კუთხე a და b გვერდებს შორის.

ფართობის დასადგენად ერთი მხარისა და ორი კუთხით, ვიყენებთ ურთიერთობას, რომელიც:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(გამა)

მარტივი პროპორციის გამოყენებით განვსაზღვრავთ მეორე მხარის სიგრძეს, რის შემდეგაც ვიანგარიშებთ ფართობს S = a × b × sin(alfa) ფორმულით. ეს ალგორითმი სრულად ავტომატიზირებულია და თქვენ მხოლოდ უნდა შეიყვანოთ მითითებული ცვლადები და მიიღოთ შედეგი. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს.

მაგალითები ცხოვრებიდან

მოსაპირკეთებელი ფილები

ვთქვათ, გსურთ იატაკის დაგება სამკუთხა ფილებით, ხოლო მასალის საჭირო რაოდენობის დასადგენად, თქვენ უნდა იცოდეთ ერთი კრამიტის ფართობი და იატაკის ფართობი. დავუშვათ, რომ საჭიროა 6 კვადრატული მეტრი ზედაპირის დამუშავება კრამიტის გამოყენებით, რომლის ზომებია a = 20 სმ, b = 21 სმ, c = 29 სმ. ცხადია, სამკუთხედის ფართობის გამოსათვლელად, კალკულატორი იყენებს ჰერონის ფორმულას და იძლევა შედეგი:

ამრიგად, ერთი კრამიტის ელემენტის ფართობი იქნება 0,021 კვადრატული მეტრი, ხოლო იატაკის გასაუმჯობესებლად დაგჭირდებათ 6/0,021 = 285 სამკუთხედი. რიცხვები 20, 21 და 29 ქმნიან პითაგორას სამმაგ რიცხვებს, რომლებიც აკმაყოფილებს . და ეს ასეა, ჩვენმა კალკულატორმა ასევე გამოითვალა სამკუთხედის ყველა კუთხე და გამა კუთხე არის ზუსტად 90 გრადუსი.

სკოლის დავალება

სკოლის პრობლემაში, თქვენ უნდა იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი, რადგან იცოდეთ, რომ გვერდი a = 5 სმ, ხოლო კუთხეები ალფა და ბეტა, შესაბამისად, 30 და 50 გრადუსია. ამ პრობლემის ხელით გადასაჭრელად, ჩვენ ჯერ ვიპოვით b მხარის მნიშვნელობას ასპექტის თანაფარდობისა და მოპირდაპირე კუთხის სინუსების პროპორციის გამოყენებით, შემდეგ კი განვსაზღვრავთ ფართობს მარტივი ფორმულის S = a × b × sin(alfa) გამოყენებით. დავზოგოთ დრო, შევიყვანოთ მონაცემები კალკულატორის ფორმაში და მივიღოთ მყისიერი პასუხი

კალკულატორის გამოყენებისას მნიშვნელოვანია კუთხეების და გვერდების სწორად მითითება, წინააღმდეგ შემთხვევაში შედეგი არასწორი იქნება.

დასკვნა

სამკუთხედი უნიკალური ფიგურაა, რომელიც გვხვდება როგორც რეალურ ცხოვრებაში, ასევე აბსტრაქტულ გამოთვლებში. გამოიყენეთ ჩვენი ონლაინ კალკულატორი ნებისმიერი სახის სამკუთხედის ფართობის დასადგენად.

სამკუთხედის ფართობი. გეომეტრიის ბევრ პრობლემაში, რომელიც მოიცავს ფართობების გამოთვლას, გამოიყენება სამკუთხედის ფართობის ფორმულები. რამდენიმე მათგანია, აქ განვიხილავთ მთავარს.ამ ფორმულების ჩამოთვლა ძალიან მარტივი და უსარგებლო იქნება. ჩვენ გავაანალიზებთ ძირითადი ფორმულების წარმოშობას, რომლებიც ყველაზე ხშირად გამოიყენება.

სანამ წაიკითხავთ ფორმულების წარმოშობას, აუცილებლად გადახედეთ სტატიას.მასალის შესწავლის შემდეგ, თქვენ შეგიძლიათ მარტივად აღადგინოთ ფორმულები თქვენს მეხსიერებაში (თუ ისინი მოულოდნელად "გაფრინდებიან" საჭირო მომენტში).

პირველი ფორმულა

პარალელოგრამის დიაგონალი მას ყოფს ტოლი ფართობის ორ სამკუთხედად:

ამრიგად, სამკუთხედის ფართობი ტოლი იქნება პარალელოგრამის ფართობის ნახევარი:

სამკუთხედის ფორმულის ფართობი

*ანუ თუ ვიცით სამკუთხედის რომელიმე გვერდი და ამ მხარეს დაშვებული სიმაღლე, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ორი

როგორც უკვე ნათქვამია სტატიაში პარალელოგრამის ფართობის შესახებ, ფორმულა ასე გამოიყურება:

სამკუთხედის ფართობი უდრის მისი ფართობის ნახევარს, რაც ნიშნავს:

*ანუ თუ ცნობილია სამკუთხედის რომელიმე ორი გვერდი და მათ შორის კუთხე, ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჰერონის ფორმულა (მესამე)

ეს ფორმულა ძნელი გამოსატანია და ის არ გამოგადგებათ. შეხედე, რა ლამაზია, შეიძლება ითქვას, რომ თვითონაც დასამახსოვრებელია.

*თუ სამკუთხედის სამი გვერდია მოცემული, მაშინ ამ ფორმულის გამოყენებით ყოველთვის შეგვიძლია გამოვთვალოთ მისი ფართობი.

ფორმულა ოთხი

სად რ– ჩაწერილი წრის რადიუსი

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და მასში ჩაწერილი წრის რადიუსი, მაშინ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ამ სამკუთხედის ფართობი.

ფორმულა ხუთი

სად რ- შემოხაზული წრის რადიუსი.

* თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი და მის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსი, მაშინ ჩვენ ყოველთვის შეგვიძლია ვიპოვოთ ასეთი სამკუთხედის ფართობი.

ჩნდება კითხვა: თუ ცნობილია სამკუთხედის სამი გვერდი, მაშინ ადვილი არ არის მისი ფართობის პოვნა ჰერონის ფორმულით!

დიახ, ეს შეიძლება იყოს უფრო ადვილი, მაგრამ არა ყოველთვის, ზოგჯერ სირთულეები წარმოიქმნება. ეს გულისხმობს ფესვის ამოღებას. გარდა ამისა, ეს ფორმულები ძალიან მოსახერხებელია გამოსაყენებლად იმ პრობლემებში, სადაც მოცემულია სამკუთხედის ფართობი და მისი გვერდები და თქვენ უნდა იპოვოთ ჩაწერილი ან შემოხაზული წრის რადიუსი. ასეთი ამოცანები ხელმისაწვდომია როგორც ერთიანი სახელმწიფო გამოცდის ნაწილი.

მოდით შევხედოთ ფორმულას ცალკე:

ეს არის ფორმულის განსაკუთრებული შემთხვევა მრავალკუთხედის ფართობისთვის, რომელშიც წრეა ჩაწერილი:

მოდით განვიხილოთ ეს პენტაგონის მაგალითის გამოყენებით:

მოდით დავაკავშიროთ წრის ცენტრი ამ ხუთკუთხედის წვეროებთან და ქვედა პერპენდიკულარები ცენტრიდან მის გვერდებზე. ჩვენ ვიღებთ ხუთ სამკუთხედს, ჩამოშვებული პერპენდიკულურით არის ჩაწერილი წრის რადიუსი:

პენტაგონის ფართობია:

ახლა გასაგებია, რომ თუ ჩვენ ვსაუბრობთ სამკუთხედზე, მაშინ ეს ფორმულა იღებს ფორმას:

ფორმულა ექვსი

შეგიძლიათ იპოვოთ ფუძისა და სიმაღლის ცოდნით. დიაგრამის მთელი სიმარტივე მდგომარეობს იმაში, რომ სიმაღლე a ფუძეს ყოფს ორ ნაწილად 1 და 2 ნაწილად, ხოლო თავად სამკუთხედი ორ მართკუთხა სამკუთხედად, რომლის ფართობი არის და. მაშინ მთელი სამკუთხედის ფართობი იქნება ორი მითითებული უბნის ჯამი და თუ სიმაღლის ერთ წამს ავიღებთ ფრჩხილიდან, მაშინ ჯამში ვბრუნდებით ფუძეს:

გამოთვლების უფრო რთული მეთოდია ჰერონის ფორმულა, რომლისთვისაც სამივე მხარე უნდა იცოდეთ. ამ ფორმულისთვის ჯერ უნდა გამოთვალოთ სამკუთხედის ნახევარპერიმეტრი: ჰერონის ფორმულა თავისთავად გულისხმობს ნახევრადპერიმეტრის კვადრატულ ფესვს, გამრავლებული თავის მხრივ მის განსხვავებაზე თითოეულ მხარეს.

შემდეგი მეთოდი, რომელიც ასევე აქტუალურია ნებისმიერი სამკუთხედისთვის, საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ სამკუთხედის ფართობი ორი გვერდით და მათ შორის კუთხე. ამის დასტურია სიმაღლის ფორმულიდან - სიმაღლეს ვხატავთ რომელიმე ცნობილ მხარეს და α კუთხის სინუსიდან ვიღებთ, რომ h=a⋅sinα. ფართობის გამოსათვლელად, სიმაღლის ნახევარი გავამრავლოთ მეორე მხარეს.

კიდევ ერთი გზაა სამკუთხედის ფართობის პოვნა, 2 კუთხის და მათ შორის გვერდის ცოდნა. ამ ფორმულის მტკიცებულება საკმაოდ მარტივია და ნათლად ჩანს დიაგრამიდან.

სიმაღლეს ვამცირებთ მესამე კუთხის წვეროდან ცნობილ მხარეს და მიღებულ სეგმენტებს შესაბამისად ვუწოდებთ x. მართკუთხა სამკუთხედებიდან ჩანს, რომ x პირველი სეგმენტი ნამრავლის ტოლია

ფართობის ფორმულააუცილებელია ფიგურის ფართობის დასადგენად, რომელიც არის ევკლიდური სიბრტყის ფიგურების გარკვეულ კლასზე განსაზღვრული რეალური მნიშვნელობის ფუნქცია და აკმაყოფილებს 4 პირობას:

1. პოზიტივი - ფართობი არ შეიძლება იყოს ნულზე ნაკლები;
2. ნორმალიზაცია - გვერდითი ერთეულის მქონე კვადრატს აქვს ფართობი 1;
3. კონგრუენტობა - თანმიმდევრულ ფიგურებს აქვთ თანაბარი ფართობი;
4. დანამატობა - 2 ფიგურის გაერთიანების ფართობი საერთო შიდა წერტილების გარეშე უდრის ამ ფიგურების ფართობების ჯამს.

გეომეტრიული ფიგურების ფართობის ფორმულები.

გეომეტრიული ფიგურა	ფორმულა	ნახატი
ამოზნექილი ოთხკუთხედის საპირისპირო გვერდების შუა წერტილებს შორის მანძილების დამატების შედეგი იქნება მისი ნახევარპერიმეტრის ტოლი.
წრის სექტორი. წრის სექტორის ფართობი ტოლია მისი რკალის ნამრავლისა და მისი რადიუსის ნახევარი.
წრის სეგმენტი. ASB სეგმენტის ფართობის მისაღებად საკმარისია სამკუთხედის AOB ფართობი გამოვაკლოთ AOB სექტორის ფართობს.	S = 1/2 R(s - AC)
ელიფსის ფართობი უდრის ელიფსის ძირითადი და მცირე ნახევრადღერძების სიგრძისა და პი რიცხვის ნამრავლს.
ელიფსი. ელიფსის ფართობის გამოთვლის კიდევ ერთი ვარიანტია მისი ორი რადიუსი.
სამკუთხედი. ბაზისა და სიმაღლის გავლით. წრის ფართობის ფორმულა მისი რადიუსისა და დიამეტრის გამოყენებით.
მოედანი . მისი მხრიდან. კვადრატის ფართობი უდრის მისი მხარის სიგრძის კვადრატს.
მოედანი. მისი დიაგონალების მეშვეობით. კვადრატის ფართობი უდრის მისი დიაგონალის სიგრძის კვადრატის ნახევარს.
რეგულარული მრავალკუთხედი. რეგულარული მრავალკუთხედის ფართობის დასადგენად აუცილებელია მისი დაყოფა თანაბარ სამკუთხედებად, რომლებსაც ექნებათ საერთო წვერო ჩაწერილი წრის ცენტრში.	S= r p = 1/2 r n a