Območje trikotnika, ki temelji na njegovih treh straneh. Kako izračunati površino trikotnika. Naloga. Sprememba površine pri spreminjanju dolžine stranic

Kot se morda spomnite iz šolskega učnega načrta geometrije, je trikotnik lik, sestavljen iz treh segmentov, povezanih s tremi točkami, ki ne ležijo na isti ravni črti. Trikotnik tvori tri kote, od tod tudi ime figure. Definicija je lahko drugačna. Trikotnik lahko imenujemo tudi mnogokotnik s tremi koti, tudi odgovor bo pravilen. Trikotnike delimo glede na število enakih stranic in velikosti kotov na slikah. Tako trikotnike ločimo na enakokrake, enakostranične in skalne, pa tudi na pravokotne, ostre in tupe.

Obstaja veliko formul za izračun površine trikotnika. Izberite, kako najti območje trikotnika, tj. Katero formulo boste uporabili, je odvisno od vas. Vendar je vredno omeniti le nekatere oznake, ki se uporabljajo v številnih formulah za izračun površine trikotnika. Torej, zapomni si:

S je površina trikotnika,

a, b, c so stranice trikotnika,

h je višina trikotnika,

R je polmer opisanega kroga,

p je polobod.

Tukaj so osnovni zapisi, ki vam bodo morda koristili, če ste popolnoma pozabili tečaj geometrije. Spodaj so najbolj razumljive in nezapletene možnosti za izračun neznanega in skrivnostnega območja trikotnika. Ni težko in bo koristno tako za vaše gospodinjske potrebe kot za pomoč vašim otrokom. Spomnimo se, kako najlažje izračunamo površino trikotnika:

V našem primeru je površina trikotnika: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Ne pozabite, da se površina meri v kvadratnih centimetrih (sqcm).

Pravokotni trikotnik in njegova ploščina.

Pravokotni trikotnik je trikotnik, v katerem je en kot enak 90 stopinj (zato se imenuje desni). Pravi kot tvorita dve pravokotni črti (v primeru trikotnika dva pravokotna odseka). V pravokotnem trikotniku je lahko samo en pravi kot, ker... vsota vseh kotov katerega koli trikotnika je enaka 180 stopinj. Izkazalo se je, da bi morala 2 druga kota deliti preostalih 90 stopinj, na primer 70 in 20, 45 in 45 itd. Torej, spomnite se glavne stvari, vse kar ostane je ugotoviti, kako najti območje pravokotnega trikotnika. Predstavljajmo si, da imamo pred seboj takšen pravokotni trikotnik in moramo najti njegovo ploščino S.

1. Najenostavnejši način za določitev površine pravokotnega trikotnika se izračuna po naslednji formuli:

V našem primeru je površina pravokotnega trikotnika: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvadratnih cm.

Načeloma ni več potrebe po preverjanju površine trikotnika na druge načine, ker Le ta bo koristen in bo pomagal v vsakdanjem življenju. Obstajajo pa tudi možnosti za merjenje površine trikotnika skozi ostre kote.

2. Za druge metode izračuna morate imeti tabelo kosinusov, sinusov in tangentov. Presodite sami, tukaj je nekaj možnosti za izračun površine pravokotnega trikotnika, ki jih je še vedno mogoče uporabiti:

Odločili smo se za prvo formulo in z nekaj manjšimi madeži (risali smo jo v zvezek in uporabili staro ravnilo in kotomer), vendar smo dobili pravilen izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo naslednje rezultate: 3,6 = 3,7, vendar ob upoštevanju premika celic lahko odpustimo ta odtenek.

Enakokraki trikotnik in njegova ploščina.

Če se soočate z nalogo izračuna formule za enakokraki trikotnik, potem je najlažji način, da uporabite glavno in tisto, kar velja za klasično formulo za površino trikotnika.

Toda najprej, preden najdemo površino enakokrakega trikotnika, ugotovimo, kakšna figura je to. Enakokraki trikotnik je trikotnik, v katerem sta stranici enako dolgi. Ti dve strani se imenujeta stranski, tretja stran se imenuje osnova. Ne zamenjujte enakokrakega trikotnika z enakostraničnim trikotnikom, tj. pravilen trikotnik z vsemi tremi stranicami enakimi. V takem trikotniku ni posebnih nagnjenj k kotom, oziroma k njihovi velikosti. Vendar sta kota pri dnu v enakokrakem trikotniku enaka, vendar se razlikujeta od kota med enakima stranicama. Torej, prvo in glavno formulo že poznate, še vedno je treba ugotoviti, katere druge formule za določanje površine enakokrakega trikotnika so znane.

Trikotnik je najpreprostejši geometrijski lik, ki je sestavljen iz treh stranic in treh oglišč. Zaradi svoje enostavnosti so trikotnik že od antičnih časov uporabljali za različne meritve, danes pa je lik lahko uporaben pri reševanju praktičnih in vsakdanjih problemov.

Značilnosti trikotnika

Slika se uporablja za izračune že od antičnih časov, geodeti in astronomi na primer uporabljajo lastnosti trikotnikov za izračun površin in razdalj. Preko območja te figure je enostavno izraziti območje katerega koli n-gonila in to lastnost so starodavni znanstveniki uporabili za izpeljavo formul za območja mnogokotnikov. Nenehno delo s trikotniki, zlasti s pravim trikotnikom, je postalo osnova za celotno vejo matematike - trigonometrijo.

Geometrija trikotnika

Lastnosti geometrijskega lika so proučevali že od antičnih časov: najzgodnejši podatki o trikotniku so bili najdeni v egipčanskih papirusih izpred 4000 let. Potem so figuro preučevali v stari Grčiji, največji prispevek k geometriji trikotnika pa so prispevali Evklid, Pitagora in Heron. Preučevanje trikotnika ni nikoli prenehalo in v 18. stoletju je Leonhard Euler uvedel koncept ortocentra figure in Eulerjevega kroga. Na prelomu iz 19. v 20. stoletje, ko se je zdelo, da je o trikotniku znano popolnoma vse, je Frank Morley oblikoval izrek o trisektorjih kotov, Waclaw Sierpinski pa je predlagal fraktalni trikotnik.

Obstaja več vrst ravnih trikotnikov, ki so nam znani iz šolskih tečajev geometrije:

• akutni - vsi vogali figure so ostri;
• tup - slika ima en tup kot (več kot 90 stopinj);
• pravokotna - slika vsebuje en pravi kot, ki je enak 90 stopinj;
• enakokraki - trikotnik z dvema enakima stranicama;
• enakostranični - trikotnik z vsemi enakimi stranicami.
• V resničnem življenju obstajajo vse vrste trikotnikov in v nekaterih primerih bomo morda morali izračunati površino geometrijske figure.

Območje trikotnika

Ploščina je ocena, kolikšen del ravnine obsega lik. Območje trikotnika je mogoče najti na šest načinov, z uporabo stranic, višine, kotov, polmera včrtanega ali obremenjenega kroga, pa tudi z uporabo Heronove formule ali izračuna dvojnega integrala vzdolž črt, ki omejujejo ravnino. Najenostavnejša formula za izračun površine trikotnika je:

kjer je a stranica trikotnika, h njegova višina.

Vendar nam v praksi ni vedno priročno najti višine geometrijske figure. Algoritem našega kalkulatorja vam omogoča izračun površine ob poznavanju:

• tri strani;
• dve stranici in kot med njima;
• eno stran in dva vogala.

Za določitev površine skozi tri stranice uporabimo Heronovo formulo:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

kjer je p polobseg trikotnika.

Območje dveh stranic in kota se izračuna po klasični formuli:

S = a × b × sin (alfa),

kjer je alfa kot med stranicama a in b.

Za določitev površine glede na eno stran in dva kota uporabimo razmerje, ki:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

S preprostim razmerjem določimo dolžino druge stranice, nato pa izračunamo ploščino po formuli S = a × b × sin(alfa). Ta algoritem je popolnoma avtomatiziran in morate samo vnesti podane spremenljivke in dobiti rezultat. Poglejmo si nekaj primerov.

Primeri iz življenja

Tlakovne plošče

Recimo, da želite tlakovati tla s trikotnimi ploščicami in da določite količino potrebnega materiala, morate poznati površino ene ploščice in površino tal. Recimo, da morate obdelati 6 kvadratnih metrov površine s ploščico, katere dimenzije so a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm Očitno je, da za izračun površine trikotnika kalkulator uporablja Heronovo formulo in daje rezultat:

Tako bo površina enega elementa ploščice 0,021 kvadratnih metrov, za izboljšanje tal pa boste potrebovali 6/0,021 = 285 trikotnikov. Številke 20, 21 in 29 tvorijo pitagorejsko trojno število, ki izpolnjuje . In prav je, naš kalkulator je izračunal tudi vse kote trikotnika, kot gama pa je točno 90 stopinj.

Šolska naloga

V šolskem problemu morate najti območje trikotnika, če veste, da je stran a = 5 cm, kota alfa in beta pa 30 oziroma 50 stopinj. Da bi to težavo rešili ročno, bi najprej poiskali vrednost stranice b z uporabo razmerja razmerja stranic in sinusov nasprotnih kotov, nato pa določili ploščino s preprosto formulo S = a × b × sin(alfa). Prihranimo čas, vnesemo podatke v obrazec kalkulatorja in takoj dobimo odgovor

Pri uporabi kalkulatorja je pomembno, da pravilno navedete kote in stranice, sicer bo rezultat napačen.

Zaključek

Trikotnik je edinstvena figura, ki jo najdemo tako v resničnem življenju kot v abstraktnih izračunih. Uporabite naš spletni kalkulator za določitev površine vseh trikotnikov.

Območje trikotnika. V številnih geometrijskih problemih, ki vključujejo izračun površin, se uporabljajo formule za površino trikotnika. Obstaja jih več, tukaj si bomo ogledali glavne.Naštevanje teh formul bi bilo preveč preprosto in neuporabno. Analizirali bomo izvor osnovnih formul, tistih, ki se najpogosteje uporabljajo.

Preden preberete izpeljavo formul, si oglejte članek o.Po preučevanju gradiva lahko enostavno obnovite formule v spomin (če nenadoma "odletijo" v trenutku, ko jih potrebujete).

Prva formula

Diagonala paralelograma deli na dva enaka trikotnika:

Zato bo površina trikotnika enaka polovici površine paralelograma:

Formula površine trikotnika

* To pomeni, da če poznamo katero koli stran trikotnika in višino, spuščeno na to stran, potem lahko vedno izračunamo površino tega trikotnika.

Formula dve

Kot je že navedeno v članku o površini paralelograma, je formula videti takole:

Površina trikotnika je enaka polovici njegove površine, kar pomeni:

* To pomeni, da če sta znani kateri koli dve stranici v trikotniku in kot med njima, lahko vedno izračunamo površino takšnega trikotnika.

Heronova formula (tretja)

To formulo je težko izpeljati in vam ne koristi. Poglejte, kako lepa je, lahko rečete, da je nepozabna.

*Če so podane tri stranice trikotnika, lahko s to formulo vedno izračunamo njegovo ploščino.

Formula štiri

Kje r– polmer včrtane krožnice

*Če so znane tri strani trikotnika in polmer vanj vpisanega kroga, potem lahko vedno najdemo območje tega trikotnika.

Formula pet

Kje R– polmer opisanega kroga.

*Če so znane tri stranice trikotnika in polmer kroga, ki je okoli njega opisan, potem lahko vedno najdemo površino takšnega trikotnika.

Postavlja se vprašanje: če so znane tri stranice trikotnika, ali ni lažje najti njegove površine s Heronovo formulo!

Da, lahko je lažje, vendar ne vedno, včasih se pojavi zapletenost. To vključuje ekstrakcijo korenine. Poleg tega so te formule zelo priročne za uporabo pri težavah, kjer je podana površina trikotnika in njegovih strani ter morate najti polmer včrtanega ali obremenjenega kroga. Takšne naloge so na voljo kot del enotnega državnega izpita.

Oglejmo si formulo ločeno:

Je poseben primer formule za površino mnogokotnika, v katerega je vpisan krog:

Razmislimo o tem na primeru peterokotnika:

Središče kroga povežimo z oglišči tega peterokotnika in spustimo navpičnice iz središča na njegove stranice. Dobimo pet trikotnikov, pri čemer so spuščene navpičnice polmeri včrtanega kroga:

Območje peterokotnika je:

Zdaj je jasno, da če govorimo o trikotniku, ima ta formula obliko:

Formula šest

Najdete ga lahko tako, da poznate osnovo in višino. Celotna preprostost diagrama je v tem, da višina deli osnovo a na dva dela a 1 in a 2, sam trikotnik pa na dva pravokotna trikotnika, katerih površina je in. Potem bo površina celotnega trikotnika vsota obeh navedenih območij, in če vzamemo eno sekundo višine iz oklepaja, bomo v vsoti dobili nazaj osnovo:

Težja metoda za izračun je Heronova formula, za katero morate poznati vse tri strani. Za to formulo morate najprej izračunati polobod trikotnika: Sama Heronova formula implicira kvadratni koren polobodnega obsega, pomnoženega z njegovo razliko na vsaki strani.

Naslednja metoda, ki je pomembna tudi za kateri koli trikotnik, vam omogoča, da najdete površino trikotnika skozi dve strani in kot med njima. Dokaz za to izhaja iz formule z višino - na poljubno znano stran narišemo višino in skozi sinus kota α dobimo, da je h=a⋅sinα. Za izračun površine pomnožite polovico višine z drugo stranjo.

Drug način je najti območje trikotnika, če poznate 2 kota in stran med njima. Dokaz te formule je precej preprost in je jasno razviden iz diagrama.

Višino iz vrha tretjega kota spustimo na znano stranico in tako nastale odseke imenujemo x. Iz pravokotnih trikotnikov je razvidno, da je prvi segment x enak zmnožku

Formula za površino je potrebno določiti površino figure, ki je realno vredna funkcija, definirana na določenem razredu likov evklidske ravnine in izpolnjuje 4 pogoje:

1. Pozitivnost – površina ne sme biti manjša od nič;
2. Normalizacija - kvadrat s stransko enoto ima ploščino 1;
3. Skladnost - skladni liki imajo enako ploščino;
4. Aditivnost - površina združitve dveh figur brez skupnih notranjih točk je enaka vsoti površin teh figur.

Formule za območje geometrijskih likov.

Geometrijski lik	Formula	risanje
Rezultat seštevanja razdalj med središči nasprotnih strani konveksnega štirikotnika bo enak njegovemu polobodju.
Krožni sektor. Površina sektorja kroga je enaka zmnožku njegovega loka in polovice njegovega polmera.
Segment kroga. Za pridobitev površine segmenta ASB je dovolj, da od območja sektorja AOB odštejemo površino trikotnika AOB.	S = 1 / 2 R (s - AC)
Površina elipse je enaka zmnožku dolžin velike in male pol osi elipse in števila pi.
Elipsa. Druga možnost za izračun površine elipse je skozi dva njena polmera.
Trikotnik. Skozi podlago in višino. Formula za območje kroga z njegovim polmerom in premerom.
kvadrat . Skozi njegovo stran. Površina kvadrata je enaka kvadratu dolžine njegove stranice.
kvadrat. Skozi njegove diagonale. Površina kvadrata je enaka polovici kvadrata dolžine njegove diagonale.
Pravilni mnogokotnik. Da bi določili površino pravilnega mnogokotnika, ga je treba razdeliti na enake trikotnike, ki bi imeli skupno oglišče v središču včrtanega kroga.	S= r p = 1/2 r n a