Numeron voima a luonnollisella indikaattorilla n, suurempi kuin 1, kutsutaan tuloksi n tekijät, joista jokainen on yhtä suuri a:

Lausekkeessa a n:

Määrä A(toistuva tekijä) kutsutaan tutkinnon perusteella

Määrä n(ilmaisee kuinka monta kertaa kerroin toistetaan) – eksponentti

Esimerkiksi:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
Tässä:
2 – perusaste,
5 – eksponentti,
32 – asteen arvo

Huomaa, että tutkinnon kanta voi olla mikä tahansa luku.

Tehon arvon laskemista kutsutaan eksponentiotoiminnaksi. Tämä on kolmannen vaiheen toiminta. Toisin sanoen laskettaessa sellaisen lausekkeen arvoa, joka ei sisällä sulkeita, suorita ensin kolmannen vaiheen toiminta, sitten toinen (kerto- ja jakolasku) ja lopuksi ensimmäinen (lisäys ja vähennys).

Suurten lukujen kirjoittamiseen käytetään usein potenssia 10. Näin ollen etäisyys maasta aurinkoon, joka on noin 150 miljoonaa km, kirjoitetaan muodossa 1,5 10 8.

Jokainen luku, joka on suurempi kuin 10, voidaan kirjoittaa seuraavasti: a · 10 n, missä 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Esimerkiksi: 4578 = 4,578 · 10 3 ;

103000 = 1,03 · 10 5.

Luonnollisella eksponentilla varustetun tutkinnon ominaisuudet:

1 . klo moninkertaistaen voimia samoilla emäksillä kanta pysyy samana ja eksponentit lisätään

a m · a n = a m + n

esimerkiksi: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7 + (- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

2. klo tutkintojen jako samoilla kantakantoilla kanta pysyy samana ja eksponentit vähennetään

a m / a n = a m - n ,

missä, m > n,
a ≠ 0

esimerkiksi: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

3. klo vallan nostaminen valtaan kanta pysyy samana, mutta eksponentit kerrotaan.

(a m) n = a m n

esimerkiksi: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

4. klo nostaa tuotteen tehoon Jokainen tekijä nostetaan tähän tehoon

(a · b) n = a n · b m,

esimerkiksi:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

5. klo murto-osan eksponentio Osoittaja ja nimittäjä nostetaan tähän potenssiin

(a / b) n = a n / b n

esimerkiksi: (2/5) 3 =(2/5)·(2/5)·(2/5) = 2 3/5 3

Teho rationaalisen eksponentin kanssa

Numeron a potenssi > 0 c järkevä indikaattori, jossa m on kokonaisluku ja n on luonnollinen luku (n > 1), kutsutaan luvuksi

Esimerkiksi:

0:n potenssi määritellään vain positiivisille eksponenteille;

määritelmän mukaan 0 r = 0 mille tahansa r > 0:lle

Huomautuksia

varten astetta rationaalisella eksponentilla, asteiden perusominaisuudet säilyvät, pätee kaikille indikaattoreille (edellyttäen, että tutkinnon perusta on positiivinen).

Tutkinto reaalieksponentilla

Joten, mille tahansa reaaliluvulle olemme määrittäneet luonnolliseen potenssiin nostamisen operaation; mille tahansa luvulle olemme määrittäneet nollaan nollaan ja negatiivisen kokonaisluvun potenssit; jokaiselle olemme määritelleet positiiviseen murto-osaan korotuksen; mille tahansa olemme määritelleet negatiiviseen murto-osaan nostamisen toiminnon.

Herää luonnollinen kysymys: onko mahdollista jotenkin määritellä irrationaaliseen potenssiin nostamisen operaatio ja siten määrittää lausekkeen a x merkitys mille tahansa reaaliluvulle x? Osoittautuu, että positiivisilla luvuilla voidaan antaa merkitys merkinnälle a α , jossa α on irrationaalinen luku. Tätä varten meidän on tarkasteltava kolmea tapausta: a = 1, a > 1, 0< a < 1.

Joten arvolle > 0 olemme määrittäneet potenssin millä tahansa reaalieksponentilla.

S. Shestakov,
Moskova

Kirjallinen koe

Luokka 11
1. Laskelmat. Lausekkeiden muuntaminen

§ 3. Potentti reaalieksponentilla

Kokoelman ensimmäisen luvun 5 §:n harjoitukset liittyvät pääasiassa eksponentiaaliseen funktioon ja sen ominaisuuksiin. Tässä kappaleessa, kuten edellisissäkin, ei testata vain kykyä tehdä muunnoksia tunnettujen ominaisuuksien perusteella, vaan myös opiskelijoiden toiminnallisen symbolismin hallintaa. Kokoelman tehtävistä voidaan erottaa seuraavat ryhmät:

• harjoitukset, joissa testataan eksponentiaalisen funktion määritelmän hallintaa (1.5.A06, 1.5.B01–B04) ja kykyä käyttää funktionaalisia symboleja (1.5A02, 1.5.B05, ​​1.5C11);
• harjoituksia potenssin sisältävien lausekkeiden muuntamiseksi todellisella eksponentilla sekä tällaisten lausekkeiden arvojen ja eksponenttifunktion arvojen laskemiseksi (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 jne.);
• harjoituksia potenssin ja todellisen eksponentin sisältävien lausekkeiden arvojen vertaamiseksi, jotka edellyttävät todellisen eksponentin ja eksponenttifunktion ominaisuuksien käyttöä (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
• muut harjoitukset (mukaan lukien ne, jotka liittyvät numeroiden paikkamerkintään, progressioihin jne.) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

Tarkastellaanpa useita toiminnalliseen symboliikkaan liittyviä ongelmia.

1.5.A02. e) Toiminnot on annettu

Etsi lausekkeen f 2 (x) – g 2 (x) arvo.

Ratkaisu. Käytetään neliöiden erotuskaavaa:

Vastaus: -12.

1.5.C11. b) Toiminnot on annettu

Etsi lausekkeen f(x) f(y) – g(x) g(y) arvo, jos f(x – y) = 9.

Esittelemme lyhyitä ratkaisuja harjoituksiin potenssin sisältävien lausekkeiden muuntamiseen todellisella eksponentilla sekä tällaisten lausekkeiden arvojen ja eksponentiaalisen funktion arvojen laskemiseen.

1.5.B07. a) Tiedetään, että 6 a – 6 –a= 6. Etsi lausekkeen arvo (6 a– 6) 6 a .

Ratkaisu. Ongelmatilanteesta seuraa, että 6 a – 6 = 6 –a. Sitten

(6 a– 6) 6a = 6 –a· 6 a = 1.

1.5.C05. b) Etsi lausekkeen 7 arvo a–b, Jos

Ratkaisu. Ehdon mukaan Jaa tämän yhtälön vasemman puolen osoittaja ja nimittäjä luvulla 7 b. Saamme

Tehdään vaihto. Olkoon y = 7 a–b. Tasa-arvo saa muodon

Ratkaistaan ​​tuloksena oleva yhtälö

Seuraava harjoitusryhmä ovat tehtäviä, joilla verrataan potenssin ja reaalieksponentin sisältävien lausekkeiden arvoja, jotka edellyttävät potenssin ominaisuuksien käyttöä todellisen eksponentin ja eksponenttifunktion kanssa.

1.5.B11. b) Järjestä luvut f(60), g(45) ja h(30) laskevaan järjestykseen, jos f(x) = 5 x , g(x) = 7 x ja h(x) = 3 x .

Ratkaisu. f(60) = 560, g(45) = 745 ja h(30) = 330.

Muunnetaan nämä asteet niin, että saadaan samat indikaattorit:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Kirjoitetaan kantakohdat laskevaan järjestykseen: 625 > 343 > 9.

Siksi vaadittu järjestys on: f(60), g(45), h(30).

Vastaus: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. a) Vertaa , jossa x ja y ovat joitain reaalilukuja.

Ratkaisu.

Siksi

Siksi

Koska 3 2 > 2 3, saamme sen

Vastaus:

1.5.D11. a) Vertaa lukuja

Siitä lähtien kun saamme

Vastaus:

Täydentääksemme teho-ongelmien tarkastelumme todellisilla eksponenteilla, harkitsemme harjoituksia, jotka liittyvät lukujen paikannusmerkintään, progressioihin jne.

1.5.A03. b) Annettu funktio f(x) = (0,1) x. Etsi lausekkeen 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0) arvo.

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.

Näin ollen tämä lauseke on laajennus 4,496:n desimaaliyksiköiden summaksi.

Vastaus: 4,496.

1.5.D07. a) Annettu funktio f(x) = 0,1 x. Laske lausekkeen arvo f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Tämä lauseke on loputtomasti pienenevän geometrisen progression summa, jonka ensimmäinen termi on 0,001 ja nimittäjä –0,001. Summa on

1.5.D09. a) Laske lausekkeen 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x arvo, jos 5 x –5 y =3, x + y = 3.

5 2x +5 2v +25 x 5 v –25 v 5 x =(5 x – 5 v) 2 +2 5 x 5 v +5 x 5 v (5 x – 5 v)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Vastaus: 634.

§ 4. Logaritmiset lausekkeet

Kun toistat aihetta "Logaritmien lausekkeiden muuntaminen" (kokoelman § 1.6), sinun tulee muistaa useita logaritmiin liittyviä peruskaavoja:

Tässä on joukko kaavoja, joiden tuntemista ei vaadita tasojen A ja B tehtävien ratkaisemiseen, mutta joista voi olla hyötyä monimutkaisempien ongelmien ratkaisemisessa (näiden kaavojen määrää voidaan joko vähentää tai lisätä opettajan näkemyksen mukaan ja opiskelijoiden valmistautumistaso):

Suurin osa kokoelman kohdan 1.6 harjoituksista voidaan luokitella johonkin seuraavista ryhmistä:

• harjoitukset logaritmien määritelmien ja ominaisuuksien suorasta käytöstä (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, ​​1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 1.6.D10);
• harjoitukset logaritmisen lausekkeen arvon laskemiseksi toisen lausekkeen tai logaritmin annetusta arvosta (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• harjoitukset kahden logaritmia sisältävän lausekkeen arvojen vertaamiseksi (1.6.C11);
• harjoitukset, joissa on monimutkainen monivaiheinen tehtävä (1.6.D11, 1.6.D12).

Esittelemme lyhyitä ratkaisuja logaritmien määritelmän ja ominaisuuksien suoran käytön harjoituksiin.

1.6.B05. a) Selvitä lausekkeen merkitys

Ratkaisu.

Ilmaisu saa muodon

1.6.D08. b) Etsi lausekkeen arvo (1 – log 4 36)(1 – log 9 36).

Ratkaisu. Käytetään logaritmien ominaisuuksia:

(1 – log 4 36)(1 – log 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. a) Selvitä lausekkeen merkitys

Ratkaisu. Muunnetaan osoittaja:

log 6 42 log 7 42=(1 + log 6 7)(1 + log 7 6)=1 + log 6 7 + log 7 6 + log 6 7 log 7 6.

Mutta log 6 7 log 7 6 = 1. Siksi osoittaja on 2 + log 6 7 + log 7 6 ja murtoluku on 1.

Siirrytään ratkomaan tehtäviä logaritmisen lausekkeen arvon laskemiseksi toisen lausekkeen tai logaritmin annetusta arvosta.

1.6.D02. a) Etsi lausekkeen log 70 320 arvo, jos log 5 7= a, log 7 2= b.

Ratkaisu. Muunnetaan lauseke. Jatketaan kantaan 7:

Ehdosta seuraa, että . Siksi

Seuraava tehtävä edellyttää kahden logaritmeja sisältävän lausekkeen arvojen vertaamista.

1.6.C11. a) Vertaa lukuja

Ratkaisu. Vähennetään molemmat logaritmit kantaan 2.

Siksi nämä luvut ovat yhtä suuret.

Vastaus: nämä luvut ovat yhtä suuret.

Muistutamme, että tällä oppitunnilla ymmärrämme asteiden ominaisuudet luonnollisilla indikaattoreilla ja nollalla. Potenssit rationaalisilla eksponenteilla ja niiden ominaisuudet käsitellään 8. luokan oppitunneilla.

Potenssilla, jolla on luonnollinen eksponentti, on useita tärkeitä ominaisuuksia, joiden avulla voimme yksinkertaistaa laskelmia potenssiesimerkeissä.

Kiinteistö nro 1
Voimien tuote

Muistaa!

Kun potenssit kerrotaan samoilla kantakantoilla, kanta pysyy ennallaan ja potenssien eksponentit lisätään.

a m · a n = a m + n, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

Tämä tehojen ominaisuus koskee myös kolmen tai useamman potenssin tuloa.

• Yksinkertaista ilmaisu.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Esitä se tutkinnona.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Esitä se tutkinnona.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Tärkeä!

Huomaa, että mainitussa ominaisuudessa puhuimme vain voimien kertomisesta samoilla perusteilla . Se ei koske niiden lisäämistä.

Et voi korvata summaa (3 3 + 3 2) luvulla 3 5. Tämä on ymmärrettävää, jos
laske (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ja 3 5 = 243

Kiinteistö nro 2
Osittaiset tutkinnot

Muistaa!

Kun potenssit jaetaan samalla kantaluvulla, kanta pysyy ennallaan ja jakajan eksponentti vähennetään osingon eksponenteista.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Esimerkki. Ratkaise yhtälö. Käytämme osamäärä potenssien ominaisuutta.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 - 4

Vastaus: t = 3 4 = 81

Ominaisuuksien nro 1 ja 2 avulla voit helposti yksinkertaistaa lausekkeita ja suorittaa laskutoimituksia.

• Esimerkki. Yksinkertaista ilmaisu.
  4 5 m + 6 4 m + 2: 4 4 m + 3 = 4 5 m + 6 + m + 2: 4 4 m + 3 = 4 6 m + 8 − 4 m − 3 = 4 2 m + 5
• Esimerkki. Etsi lausekkeen arvo eksponenttiominaisuuksien avulla.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Tärkeä!

  Huomaa, että kiinteistössä 2 puhuimme vain voimien jakamisesta samoilla perusteilla.

  Et voi korvata erotusta (4 3 −4 2) arvolla 4 1. Tämä on ymmärrettävää, jos laskee (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 , ja 4 1 = 4

  Ole varovainen!

  Kiinteistö nro 3
  Asteen nostaminen valtaan

  Muistaa!

  Kun aste nostetaan potenssiin, asteen kanta pysyy muuttumattomana ja eksponentit kerrotaan.

  (a n) m = a n · m, jossa "a" on mikä tahansa luku ja "m", "n" ovat mitä tahansa luonnollisia lukuja.

  
  

  Ominaisuudet 4
  Tuotteen teho

  Muistaa!

  Kun tuotetta nostetaan potenssiin, jokainen tekijä korotetaan potenssiin. Sitten saadut tulokset kerrotaan.

  (a b) n = a n b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja; "n" on mikä tahansa luonnollinen luku.

  • Esimerkki 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Esimerkki 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Tärkeä!

  Huomaa, että ominaisuutta nro 4, kuten muitakin asteen ominaisuuksia, sovelletaan myös käänteisessä järjestyksessä.

  (a n · b n) = (a · b) n

  Eli jos haluat kertoa potenssit samoilla eksponenteilla, voit kertoa kannat, mutta jättää eksponentin ennalleen.

  • Esimerkki. Laskea.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Esimerkki. Laskea.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Monimutkaisemmissa esimerkeissä voi olla tapauksia, joissa kertominen ja jako on suoritettava potenssien avulla, joilla on eri kanta ja eri eksponentti. Tässä tapauksessa suosittelemme toimimaan seuraavasti.

  Esimerkiksi, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Esimerkki desimaaliluvun nostamisesta potenssiin.

  4 21 (-0,25) 20 = 4 4 20 (-0,25) 20 = 4 (4 (-0,25)) 20 = 4 (-1) 20 = 4 1 = 4

  Ominaisuudet 5
  Osamäärän potenssi (murtoluku)

  Muistaa!

  Nostaaksesi osamäärän potenssiin voit nostaa osingon ja jakajan erikseen tähän potenssiin ja jakaa ensimmäisen tuloksen toisella.

  (a: b) n = a n: b n, jossa "a", "b" ovat mitä tahansa rationaalilukuja, b ≠ 0, n on mikä tahansa luonnollinen luku.

  • Esimerkki. Esitä lauseke potenssien osamääränä.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Muistutamme, että osamäärä voidaan esittää murtolukuna. Siksi käsittelemme aihetta murto-osan nostamisesta potenssiin tarkemmin seuraavalla sivulla.

Oppitunnin aihe: Tutkinto rationaalisilla ja reaalisilla eksponenteilla.

Tavoitteet:

Koulutuksellinen :

• yleistää tutkinnon käsite;

  harjoitella kykyä löytää tutkinnon arvo todellisella eksponentilla;

  vahvistaa kykyä käyttää asteiden ominaisuuksia lausekkeiden yksinkertaistamisessa;

  kehittää taitoa käyttää asteiden ominaisuuksia laskelmissa.

Kehittäviä :

• opiskelijan henkinen, emotionaalinen ja henkilökohtainen kehitys;

  kehittää kykyä yleistää, systematisoida vertailun perusteella ja tehdä johtopäätöksiä;

  tehostaa itsenäistä toimintaa;

  kehittää kognitiivista kiinnostusta.

Koulutuksellinen :

• opiskelijoiden viestintä- ja tietokulttuurin vaaliminen;

  Esteettinen koulutus toteutetaan muodostamalla kyky laatia tehtävä järkevästi ja tarkasti taululle ja muistikirjaan.

Opiskelijoiden tulisi tietää: reaalieksponentin asteen määritelmä ja ominaisuudet

Opiskelijoiden tulee kyetä:

määrittää, onko asteella varustetulla lausekkeella järkeä;

käyttää asteiden ominaisuuksia laskelmissa ja lausekkeiden yksinkertaistamisessa;

ratkaise esimerkkejä, jotka sisältävät asteita;

vertailla, löytää yhtäläisyyksiä ja eroja.

Oppitunnin muoto: seminaari - työpaja, jossa on tutkimuselementtejä. Tietokoneen tuki.

Koulutusorganisaation muoto: yksilö, ryhmä.

Koulutusteknologiat : ongelmalähtöinen oppiminen, yhteistoiminnallinen oppiminen, opiskelijakeskeinen oppiminen, kommunikaatio.

Oppitunnin tyyppi: tutkimuksen ja käytännön työn oppitunti.

Oppitunnin kuva ja monisteet:

esittely

kaavat ja taulukot (Liite 1.2)

toimeksianto itsenäiseen työhön (Liite 3)

Tuntisuunnitelma

№

Oppitunnin vaihe

Lavan tarkoitus

Aika, min.

Oppitunnin aloitus

Oppitunnin aiheen raportointi, oppitunnin tavoitteiden asettaminen.

1-2 min

Suullinen työ

Toista tehokaavat.

Tutkintojen ominaisuudet.

4-5 min.

Ratkaisu edessä

taulut oppikirjasta nro 57 (1,3,5)

№58(1,3,5) ratkaisusuunnitelmaa yksityiskohtaisesti noudattaen.

Taitojen ja kykyjen muodostuminen

opiskelijat soveltavat ominaisuuksia

astetta etsiessään lausekkeen arvoja.

8-10 min.

Työskentele mikroryhmissä.

Tiedonpuutteiden tunnistaminen

opiskelijoille luomalla edellytykset

opiskelijan yksilöllinen kehitys

oppitunnilla.

15-20 min.

Yhteenveto työstä.

Seuraa työn onnistumista

Opiskelijat, kun he ratkaisevat itsenäisesti jonkin aiheen ongelmia, ottavat selvää

vaikeuksien luonne, syyt,

osoittavat kollektiivisia ratkaisuja.

5-6 min.

Kotitehtävät

Esittele opiskelijat kotitehtäviin. Anna tarvittavat selitykset.

1-2 min.

TUTKIEN AIKANA

Ajan järjestäminen

Hei kaverit! Kirjoita oppitunnin päivämäärä ja aihe muistivihkoon.

He sanovat, että shakin keksijä pyysi palkinnoksi keksinnöstään Rajalta riisiä: laudan ensimmäiseen ruutuun hän pyysi laittamaan yhden jyvän, toiseen - 2 kertaa enemmän, eli 2 jyvää. kolmas - 2 kertaa enemmän, eli 4 jyvää jne. 64 soluun asti.

Hänen pyyntönsä vaikutti rajahilta liian vaatimattomalta, mutta pian kävi selväksi, että sitä oli mahdotonta täyttää. jyvien määrä, joka oli annettava shakin keksijälle palkkioksi, ilmaistaan ​​summalla

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Tämä määrä on yhtä suuri kuin suuri määrä

18446744073709551615

Ja se on niin suuri, että tämä viljamäärä voisi peittää planeettamme koko pinnan, mukaan lukien maailman valtameret, 1 cm:n kerroksella.

Potensseja käytetään kirjoitettaessa numeroita ja lausekkeita, mikä tekee niistä kompaktimpia ja kätevämpiä toimien suorittamiseen.

Asteita käytetään usein mittaamaan fyysisiä suureita, jotka voivat olla "erittäin suuria" tai "erittäin pieniä".

Maan massa 6000000000000000000000t on kirjoitettu tulona 6.10 21 T

Tulokseen kirjoitetaan vesimolekyylin halkaisija 0,0000000003 m

3.10 -10 m.

1. Mihin matemaattiseen käsitteeseen sanat liittyvät:

Pohja
Indeksi(tutkinto)

Mitkä sanat voivat yhdistää sanat:
Rationaalinen luku
Kokonaisluku
Luonnollinen luku
Irrationaalinen luku(oikea numero)
Muotoile oppitunnin aihe.(Aste reaalieksponentilla)

2. Joten a x,Missäx on reaaliluku. Valitse lausekkeista

Luonnollisella indikaattorilla

Kokonaisluku-indikaattorilla

Rationaalisen eksponentin kanssa

Irrationaalisella indikaattorilla

3. Mikä on tavoitteemme?(KÄYTTÄÄ)
Mikäoppituntimme tavoitteet ?
– Yleistä tutkinnon käsite.

Tehtävät:

– toista asteen ominaisuudet
– harkita asteominaisuuksien käyttöä laskelmissa ja lausekkeiden yksinkertaistamista
– tietojenkäsittelytaitojen kehittäminen

4 . Teho rationaalisen eksponentin kanssa

Pohja

astetta

Tutkinto indikaattorillar, pohja a (nN, mn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r = 0

a n= a. a. … . a

a -n=

a 0 =1

a n=a.a. ….a

a -n=

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

a 0 =1

a = 0

0 n=0

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

5 . Valitse näistä ilmauksista ne, joissa ei ole järkeä:

6 . Määritelmä

Jos numeror- luonnollinen, sitten a ron työtärnumeroita, joista jokainen on yhtä suuri:

a r= a. a. … . a

Jos numeror- murto-osa ja positiivinen, eli missämJan-luonnollinen

numerot siis

Jos ilmaisinron rationaalinen ja negatiivinen, sitten ilmausa r

määritellään käänteisarvoksia - r

tai

Jos

7 . Esimerkiksi

8 . Positiivisten lukujen potenssilla on seuraavat perusominaisuudet:

9 . Laskea

10. Mitä operaatioita (matemaattisia operaatioita) voidaan suorittaa asteilla?

Ottelu:

A) Kun potenssit kerrotaan yhtäläisillä emäksillä

1) Perusarvot kerrotaan, mutta indikaattori pysyy samana

B) Kun potenssit jaetaan yhtäläisillä emäksillä

2) Perusteet jaetaan, mutta indikaattori pysyy samana

B) Kun nostetaan teho potenssiksi

3) Perus pysyy samana, mutta indikaattorit kerrotaan

D) Kun potenssit kerrotaan yhtä suurilla eksponenteilla

4) Perusarvo pysyy samana, mutta indikaattorit vähennetään

D) Kun asteet jaetaan yhtäläisillä eksponenteilla

5) Peruste pysyy samana, mutta indikaattorit summautuvat

11 . Oppikirjasta (taululta)

Ratkaiseminen luokassa:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . Perustuu Unified State Exam materiaaleihin

(itsenäinen työ) paperille

XIVvuosisadalla.

Vastaus: Orezma. 13. Lisäksi (yksittäin) niille, jotka suorittavat tehtävät nopeammin:

14. Kotitehtävät

§ 5 (tunne määritelmät, kaavat)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

Oppitunnin lopussa:

"Matematiikka on opetettava myöhemmin, koska se saa mielen järjestykseen"

– Näin sanoi suuri venäläinen matemaatikko Mihail Lomonosov.

- Kiitos oppitunnista!

Liite 1

1.Asteet. Perusominaisuudet

Indikaattori

a 1 =a

a n=a.a. ….a

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Aste kokonaislukueksponentilla

a 0 =1,

missä

0 0 - ei määritelty.

Tutkinto järkevällä

Indikaattori

Missäa

m n

Aste irrationaalisella eksponentilla

Vastaus: ==25,9...

1. a x. a y=a x+y

2.a x:a y==a x-y

3. .(a x) y=a x.y

4.(a.b) n=a n.b n

5. (=

6. (

Liite 2

2. Aste rationaalisen eksponentin kanssa

Pohja

astetta

Tutkinto indikaattorillar, pohja a (nN, mn

r= n

r= - n

r= 0

r= 0

r = 0

a n= a. a. … . a

a -n=

a 0 =1

a n=a.a. ….a

a -n=

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

a 0 =1

a = 0

0 n=0

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Ei ole olemassa

Liite 3

3. Itsenäinen työskentely

Voimaoperaatioita käytti ensin ranskalainen matemaatikkoXIVvuosisadalla.

Salaa ranskalaisen tiedemiehen nimi.

Tämä oppitunti on osa aihetta "Voimia ja juuria sisältävien ilmaisujen muunnokset".

Yhteenveto on tutkinnon ominaisuuksia käsittelevän oppitunnin yksityiskohtainen jatkokehitys rationaalisen ja reaalisen eksponentin kanssa. Käytetään tietokone-, ryhmä- ja pelioppimistekniikoita.

Ladata:

Esikatselu:

Algebran oppitunnin metodologinen kehittäminen

Valtion autonomisen oppilaitoksen matematiikan opettaja KO ON KST

Pekhova Nadezhda Jurievna

aiheesta: "Asteiden ominaisuudet rationaalisilla ja reaalisilla eksponenteilla."

Oppitunnin tavoitteet:

• koulutus: tutkinnon ominaisuuksien tietämyksen vahvistaminen ja syventäminen rationaalisella eksponentilla ja niiden soveltaminen harjoituksissa; tutkinnon kehittämisen historian tuntemuksen parantaminen;
• kehittäminen: itse- ja keskinäisen hallinnan taidon kehittäminen; älyllisten kykyjen, ajattelutaitojen kehittäminen,
• kouluttaminen: kognitiivisen kiinnostuksen lisääminen aihetta kohtaan, vastuun kantaminen tehdystä työstä, aktiivisen luovan työn ilmapiirin luomisen edistäminen.

Oppitunnin tyyppi: Oppitunnit tietojen, taitojen ja kykyjen parantamiseksi.

Johtamismenetelmät: verbaalinen - visuaalinen.

Pedagogiset tekniikat: tietokone-, ryhmä- ja peliopetustekniikat.

Oppituntivälineet: projektiolaitteet, tietokone, tuntiesitys, työntekijät

muistikirjat, oppikirjoja, kortteja ristisanatehtävän tekstillä ja heijastustestillä.

Oppitunnin kesto: 1 tunti 20 minuuttia.

Oppitunnin päävaiheet:

1. Organisatorinen hetki. Oppitunnin aihe ja tavoitteet.

2. Perustietojen päivittäminen. Asteen ominaisuuksien toisto rationaalisen eksponentin kanssa.

3. Matemaattinen sanelu asteiden ominaisuuksista rationaalisen eksponentin kanssa.

4. Opiskelija raportoi tietokoneesityksen avulla.

5. Työskentele ryhmissä.

6. Ristisanatehtävän ratkaiseminen.

7. Yhteenveto, arvosana. Heijastus.

8. Kotitehtävät.

Tuntien aikana:

1. Org. hetki. Kommunikoi aihe, oppitunnin tavoitteet, tuntisuunnitelma. Diat 1, 2.

2. Perustietojen päivittäminen.

1) Tutkinnon ominaisuuksien toisto rationaalisella indikaattorilla: opiskelijoiden tulee jatkaa kirjallisia ominaisuuksia - frontaalikysely. Dia 3.

2) Opiskelijat taululla - harjoitusten analyysi oppikirjasta (Alimov Sh.A.): a) nro 74, b) nro 77.

C) nro 82-a;b;c.

nro 74: a) = = a ;

B) + = ;

B) : = = = b .

nro 77: a) = = ;

B) = = = b .

nro 82: a) = = = ;

B) = = y;

B) () () = .

3. Matemaattinen sanelu molemminpuolisella tarkastuksella. Oppilaat vaihtavat töitä, vertailevat vastauksia ja antavat arvosanoja.

Diat 4-5

4. Oppilaat kertovat joitain historiallisia faktoja tutkittavasta aiheesta.

Diat 6–12:

Ensimmäinen oppilas: Dia 6

Luonnollisen indikaattorin tutkinnon käsite muodostui muinaisten kansojen keskuudessa. Neliö ja kuutionumeroita käytettiin pinta-alojen ja tilavuuksien laskemiseen. Muinaisen Egyptin ja Babylonin tiedemiehet käyttivät joidenkin lukujen voimavaroja tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen.

Kolmannella vuosisadalla julkaistiin kreikkalaisen tiedemiehen Diophantuksen kirja"Aritmetiikka", jossa kirjainsymbolien käyttöönotto asetettiin. Diophantus esittelee symbolit tuntemattoman kuudelle ensimmäiselle voimalle ja niiden käänteisluvuille. Tässä kirjassa neliö on merkitty merkillä ja alaindeksillä; esimerkiksi kuutio - merkki k indeksillä r jne.

Toinen oppilas: Dia 7

Muinainen kreikkalainen tiedemies Pythagoras antoi suuren panoksen tutkinnon käsitteen kehittämiseen. Hänellä oli kokonainen koulu, ja kaikkia hänen oppilaitaan kutsuttiin pythagoralaisiksi. He keksivät, että jokainen luku voidaan esittää lukuina. Esimerkiksi ne edustivat numeroita 4, 9 ja 16 neliöinä.

Ensimmäinen oppilas: Diat 8-9

Dia 8

Dia 9

XVI vuosisadalla. Tällä vuosisadalla tutkinnon käsite on laajentunut: sitä alettiin viitata paitsi tiettyyn numeroon myös muuttujaan. Kuten silloin sanottiin "luvuille yleensä" englantilainen matemaatikko S. Stevin keksi merkinnän astetta osoittamaan: merkintä 3(3)+5(2)–4 merkitsi sellaista nykyaikaista merkintää 3 3 + 5 2 – 4.

Toinen oppilas: Dia 10

Myöhemmin murto- ja negatiiviset eksponentit löytyvät saksalaisen matemaatikon M. Stiefelin teoksesta "Täydellinen aritmetiikka" (1544) ja S. Stevin.

S. Stevin ehdotti, että asteittain muodon eksponentti juuri, ts. .

Ensimmäinen oppilas: Dia 11

1500-luvun lopulla François Vièteotettiin käyttöön kirjaimet osoittamaan paitsi muuttujia, myös niiden kertoimia. Hän käytti lyhenteitä: N, Q, C - ensimmäistä, toista ja kolmatta astetta.

Mutta nykyaikaiset nimitykset (esim, ) esitteli 1600-luvulla Rene Descartes.

Toinen oppilas: Dia 12

Nykyajan määritelmätja asteiden merkinnät nollalla, negatiivisella ja murto-eksponentilla ovat peräisin englantilaisten matemaatikoiden teoksista John Wallis (1616–1703) ja Isaac Newton.

5. Ristisanatehtävä ratkaisu.

Oppilaat saavat ristisanatehtävät. He päättävät pareittain. Pari, joka ratkaisee sen ensin, saa pisteen. Diat 13-15.

6. Työskentely ryhmissä. Dia 16.

Opiskelijat tekevät itsenäistä työtä 4 hengen ryhmissä neuvotellen toisiaan. Tämän jälkeen työ lähetetään tarkastettavaksi.

7. Yhteenveto, arvosana.

Heijastus.

Oppilaat suorittavat heijastustestin. Merkitse "+", jos olet samaa mieltä, ja "-" muussa tapauksessa.

Heijastava testi:

1. Opin paljon uutta.

2. Tästä on minulle hyötyä tulevaisuudessa.

3. Oppitunnilla oli paljon ajateltavaa.

4. Sain vastaukset kaikkiin kysymyksiini, joita minulla oli oppitunnin aikana.

5. Työskentelin tunnollisesti oppitunnin aikana ja saavutin oppitunnin tavoitteen.

8. Kotitehtävät: Dia 17.

1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

2) Valinnainen: luo ristisanatehtävä tutkitun aiheen peruskäsitteistä.

Viitteet:

1. Alimov Sh.A. algebra ja analyysin alkuluokat 10-11, oppikirja - M.: Prosveshchenie, 2010.
2. Algebra ja analyysin alku luokka 10. Didaktiset materiaalit. Valaistus, 2012.

Internet-resurssit:

1. Koulutussivusto - RusCopyBook.Com - Sähköiset oppikirjat ja GDZ
2. Verkkosivusto Opettavat Internet-resurssit koululaisille ja opiskelijoille. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
3. Verkkosivusto opettajien portaali - http://www.uchportal.ru/