Sayının gücü A doğal göstergeli N 1'den büyük olana çarpım denir N her biri eşit olan faktörler A:

a n ifadesinde:

Sayı A(tekrarlayan faktör) denir derece esası

Sayı N(çarpanın kaç kez tekrarlandığını gösterir) – üs

Örneğin:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
Burada:
2 – temel derece,
5 – üs,
32 – derece değeri

Derecenin tabanının herhangi bir sayı olabileceğini unutmayın.

Bir kuvvetin değerinin hesaplanmasına üstel alma işlemi denir. Bu üçüncü aşama eylemidir. Yani, parantez içermeyen bir ifadenin değerini hesaplarken, önce üçüncü aşamanın, ardından ikinci (çarpma ve bölme) ve son olarak da birinci (toplama ve çıkarma) işlemini gerçekleştirin.

Büyük sayıları yazmak için sıklıkla 10'un kuvvetleri kullanılır.Böylece Dünya'dan Güneş'e yaklaşık 150 milyon km olan uzaklık 1,5 10 8 olarak yazılır.

10'dan büyük her sayı şu şekilde yazılabilir: a · 10 n, burada 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

Örneğin: 4578 = 4,578 · 10 3 ;

103000 = 1,03 · 10 5.

Doğal üslü bir derecenin özellikleri:

1. Şu tarihte: çarpan güçler tabanlar aynıysa taban aynı kalır ve üsler toplanır

bir m · bir n = bir m + n

örneğin: 7 1,7 7 - 0,9 = 7 1,7+(- 0,9) = 7 1,7 - 0,9 = 7 0,8

2. Şu tarihte: derecelerin bölünmesi tabanlar aynıysa taban aynı kalır ve üsler çıkarılır

bir m / bir n = bir m - n ,

nerede, m > n,
bir ≠ 0

örneğin: 13 3,8 / 13 -0,2 = 13 (3,8 -0,2) = 13 3,6

3. Şu tarihte: bir gücü bir güce yükseltmek taban aynı kalır ancak üsler çarpılır.

(bir m) n = bir m n

örneğin: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

4. Şu tarihte: ürünün gücüne yükseltme Her faktör bu güce yükseltilir

(a · b) n = a n · b m ,

örneğin:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

5. Şu tarihte: bir kesrin üssü Pay ve payda bu kuvvete yükseltilir

(a / b) n = a n / b n

örneğin: (2 / 5) 3 =(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 2 3 /5 3

Rasyonel üslü kuvvet

a sayısının kuvveti > 0 c rasyonel gösterge m'nin bir tam sayı ve n'nin bir doğal sayı (n > 1) olduğu sayıya sayı denir

Örneğin:

0'ın kuvveti yalnızca pozitif üsler için tanımlanır;

tanım gereği 0 r = 0, herhangi bir r > 0 için

Notlar

İçin rasyonel üslü dereceler, derecelerin temel özellikleri korunur, herhangi bir gösterge için doğrudur (derecenin tabanının pozitif olması koşuluyla).

Gerçek üslü derece

Yani herhangi bir gerçel sayı için doğal kuvvete yükseltme işlemini tanımladık; herhangi bir sayı için sıfıra yükselme ve negatif tam sayı kuvvetlerini tanımladık; herhangi biri için pozitif kesirli kuvvete yükseltme işlemini tanımladık; herhangi biri için negatif kesirli kuvvete yükseltme işlemini tanımladık.

Doğal bir soru ortaya çıkıyor: İrrasyonel bir güce yükseltme işlemini bir şekilde tanımlamak ve dolayısıyla herhangi bir x gerçek sayısı için a x ifadesinin anlamını belirlemek mümkün müdür? Pozitif sayılar için a'nın, a irrasyonel bir sayı olduğu a notasyonuna bir anlam verebileceği ortaya çıktı. Bunu yapmak için üç durumu dikkate almamız gerekir: a = 1, a > 1, 0< a < 1.

Yani a > 0 için herhangi bir reel üssü olan bir kuvvet tanımladık.

S. Şestakov,
Moskova

Yazılı bir sınav

Derece 11
1. Hesaplamalar. İfadeleri Dönüştürme

§ 3. Gerçek üssü olan kuvvet

Koleksiyonun ilk bölümünün 5. maddesindeki alıştırmalar esas olarak üstel fonksiyon ve onun özellikleriyle ilgilidir. Bu paragrafta, önceki paragraflarda olduğu gibi, yalnızca bilinen özelliklere göre dönüşüm yapma becerisi değil, aynı zamanda öğrencilerin işlevsel sembolizm konusundaki ustalıkları da test edilmektedir. Koleksiyondaki görevler arasında aşağıdaki gruplar ayırt edilebilir:

• üstel fonksiyonun tanımındaki ustalığı (1.5.A06, 1.5.B01–B04) ve fonksiyonel sembolleri (1.5A02, 1.5.B05, ​​1.5C11) kullanma yeteneğini test eden alıştırmalar;
• kuvvet içeren ifadeleri gerçel üslü dönüştürme ve bu tür ifadelerin değerlerini ve üstel fonksiyonun değerlerini hesaplama alıştırmaları (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 ve benzeri);
• Bir kuvvet içeren ifadelerin değerlerini gerçek bir üsle ve bir üstel fonksiyonla bir kuvvetin özelliklerinin kullanılmasını gerektiren gerçek bir üsle karşılaştırmaya yönelik alıştırmalar (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
• diğer alıştırmalar (sayıların konumsal gösterimi, ilerlemeler vb. ile ilgili olanlar dahil) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5. C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

İşlevsel sembolizmle ilgili bir dizi sorunu ele alalım.

1.5.A02. e) Fonksiyonlar verilmiştir

f 2 (x) – g 2 (x) ifadesinin değerini bulun.

Çözüm. Kareler farkı formülünü kullanalım:

Cevap: –12.

1.5.C11. b) Fonksiyonlar verilmiştir

f(x – y) = 9 ise, f(x) f(y) – g(x) g(y) ifadesinin değerini bulun.

Bir kuvvet içeren ifadeleri gerçel üslü olarak dönüştürme ve bu tür ifadelerin değerlerini ve üstel fonksiyonun değerlerini hesaplama alıştırmalarına kısa çözümler sunuyoruz.

1.5.B07. a) 6 olduğu bilinmektedir. A – 6 –A= 6. (6) ifadesinin değerini bulun A– 6) 6 A .

Çözüm. Sorun koşullarından şu sonuç çıkıyor: 6 A – 6 = 6 -A. Daha sonra

(6 A– 6) 6a = 6 -A· 6 A = 1.

1.5.C05. b) İfade 7'nin değerini bulun a-b, Eğer

Çözüm. Koşullara göre Bu eşitliğin sol tarafının pay ve paydasını 7 b'ye bölün. Aldık

Bir değiştirme yapalım. y = 7 olsun a-b. Eşitlik şu şekilde oluyor

Ortaya çıkan denklemi çözelim

Bir sonraki alıştırma grubu, bir kuvvet içeren ifadelerin değerlerini gerçek bir üsle karşılaştırmaya yönelik görevlerdir; bu, bir gücün özelliklerinin gerçek bir üs ve üstel bir fonksiyonla kullanılmasını gerektirir.

1.5.B11. b) f(x) = 5 x , g(x) = 7 x ve h(x) = 3 x ise f(60), g(45) ve h(30) sayılarını azalan şekilde düzenleyin.

Çözüm. f(60) = 5 60 , g(45) = 7 45 ve h(30) = 3 30 .

Aynı göstergeleri elde etmek için bu dereceleri dönüştürelim:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

Tabanları azalan sırayla yazalım: 625 > 343 > 9.

Bu nedenle gerekli sıralama f(60), g(45), h(30) şeklindedir.

Cevap: f(60), g(45), h(30).

1.5.C12. a) Karşılaştır burada x ve y bazı gerçek sayılardır.

Çözüm.

Bu yüzden

Bu yüzden

3 2 > 2 3 olduğundan şunu elde ederiz

Cevap:

1.5.D11. a) Sayıları karşılaştırın

aldığımızdan beri

Cevap:

Gerçek üslerle ilgili güç problemleri incelememizi tamamlamak için sayıların konumsal gösterimi, ilerlemeler vb. ile ilgili alıştırmaları ele alacağız.

1.5.A03. b) f(x) = (0,1) x fonksiyonu verildiğinde. 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0) ifadesinin değerini bulun.

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0,1 + 9 0,01 + 6 0,001 = 4,496.

Dolayısıyla bu ifade 4.496'nın ondalık birimlerinin toplamına doğru bir açılımdır.

Cevap: 4.496.

1.5.D07. a) f(x) = 0,1 x fonksiyonu verildiğinde. f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ... ifadesinin değerini bulun.

f 3 (1)–f 3 (2)+f 3 (3)+...+(–1) n–1 f 3 (n)+...= 0,1 3 –0,1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0,1 3n + ...

Bu ifade, ilk terimi 0,001 ve paydası –0,001 olan sonsuz azalan geometrik ilerlemenin toplamıdır. Tutar:

1.5.D09. a) 5 x –5 y =3, x + y = 3 ise 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x ifadesinin değerini bulun.

5 2x +5 2y +25 x 5 y –25 y 5 x =(5 x – 5 y) 2 +2 5 x 5 y +5 x 5 y (5 x – 5 y)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634.

Cevap: 634.

§ 4. Logaritmik ifadeler

“Logaritmik ifadelerin dönüşümü” konusunu tekrarlarken (koleksiyonun 1.6. Maddesi), logaritmalarla ilgili bir dizi temel formülü hatırlamanız gerekir:

A ve B düzeyindeki problemlerin çözümü için bilinmesi gerekmeyen ancak daha karmaşık problemlerin çözümünde faydalı olabilecek bazı formülleri burada bulabilirsiniz (öğretmenin görüşlerine göre bu formüllerin sayısı azaltılabilir veya artırılabilir) ve öğrencilerin hazırlık düzeyi):

Koleksiyonun § 1.6'sındaki alıştırmaların çoğu aşağıdaki gruplardan birinde sınıflandırılabilir:

• logaritmanın tanımı ve özelliklerinin doğrudan kullanımına ilişkin alıştırmalar (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, ​​1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08) , 1.6.D10);
• başka bir ifadenin veya logaritmanın belirli bir değerinden bir logaritmik ifadenin değerini hesaplamaya yönelik alıştırmalar (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02);
• logaritma içeren iki ifadenin değerlerini karşılaştırmaya yönelik alıştırmalar (1.6.C11);
• karmaşık, çok adımlı bir görevle alıştırmalar (1.6.D11, 1.6.D12).

Logaritmanın tanımı ve özelliklerinin doğrudan kullanımına ilişkin alıştırmalara kısa çözümler sunuyoruz.

1.6.B05. a) İfadenin anlamını bulun

Çözüm.

İfade şu şekli alır

1.6.D08. b) (1 – log 4 36)(1 – log 9 36) ifadesinin değerini bulun.

Çözüm. Logaritmanın özelliklerini kullanalım:

(1 – günlük 4 36)(1 – günlük 9 36) =

= (1 – log 4 4 – log 4 9)(1 – log 9 4 – log 9 9) =

= –log 4 9 · (–log 9 4) = 1.

1.6.D10. a) İfadenin anlamını bulun

Çözüm. Payı dönüştürelim:

günlük 6 42 günlük 7 42=(1 + günlük 6 7)(1 + günlük 7 6)=1 + günlük 6 7 + günlük 7 6 + günlük 6 7 günlük 7 6.

Ancak log 6 7 log 7 6 = 1. Dolayısıyla pay 2 + log 6 7 + log 7 6 ve kesir 1'dir.

Başka bir ifadenin veya logaritmanın belirli bir değerinden logaritmik bir ifadenin değerini hesaplamaya yönelik alıştırmaları çözmeye geçelim.

1.6.D02. a) Log 5 7= ise log 70 320 ifadesinin değerini bulun. A, günlük 7 2= B.

Çözüm. İfadeyi dönüştürelim. 7. tabana geçelim:

Şu durumdan şu sonuç çıkıyor . Bu yüzden

Aşağıdaki problem, logaritma içeren iki ifadenin değerlerini karşılaştırmanızı gerektirir.

1.6.C11. a) Sayıları karşılaştırın

Çözüm. Her iki logaritmayı da 2 tabanına indirgeyelim.

Bu nedenle bu sayılar eşittir.

Cevap: Bu sayılar eşittir.

Bu derste anlayacağımızı hatırlatırız. derecelerin özellikleri doğal göstergeler ve sıfır ile. Rasyonel üslü kuvvetler ve özellikleri 8. sınıf derslerinde işlenecektir.

Doğal üssü olan bir kuvvetin, kuvvet içeren örneklerde hesaplamaları basitleştirmemize olanak tanıyan birkaç önemli özelliği vardır.

Mülk No.1
Güçlerin çarpımı

Hatırlamak!

Üsler aynı tabanlarla çarpıldığında taban değişmeden kalır ve kuvvetlerin üsleri toplanır.

a m · an n = a m + n, burada "a" herhangi bir sayıdır ve "m", "n" herhangi bir doğal sayıdır.

Güçlerin bu özelliği aynı zamanda üç veya daha fazla gücün çarpımı için de geçerlidir.

• Ifadeyi basitleştir.
  b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
• Bunu bir derece olarak sunun.
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• Bunu bir derece olarak sunun.
  (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15

Önemli!

Belirtilen özellikte yalnızca kuvvetlerin çarpılmasından bahsettiğimizi lütfen unutmayın. aynı gerekçelerle . Bunların eklenmesi için geçerli değildir.

Toplamı (3 3 + 3 2) 3 5 ile değiştiremezsiniz. Bu anlaşılırsa
hesapla (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 ve 3 5 = 243

Mülk No.2
Kısmi dereceler

Hatırlamak!

Üsleri aynı tabanlarla bölerken, taban değişmeden kalır ve bölenin üssü, bölenin üssünden çıkarılır.

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

Örnek. Denklemi çözün. Bölüm kuvvetlerinin özelliğini kullanıyoruz.
3 8: t = 3 4

T = 3 8 − 4

Cevap: t = 3 4 = 81

1 ve 2 numaralı özellikleri kullanarak ifadeleri kolayca basitleştirebilir ve hesaplamalar yapabilirsiniz.

• Örnek. Ifadeyi basitleştir.
  4 5m + 6 4 m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
• Örnek. Üslü sayıların özelliklerini kullanarak bir ifadenin değerini bulun.
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  Önemli!

  Lütfen Özellik 2'de sadece kuvvetlerin aynı temellere bölünmesinden bahsettiğimizi unutmayın.

  Farkı (4 3 −4 2) 4 1 ile değiştiremezsiniz. Eğer sayarsan bu anlaşılır (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 ve 4 1 = 4

  Dikkat olmak!

  Mülk No.3
  Bir dereceyi bir güce yükseltmek

  Hatırlamak!

  Bir dereceyi bir kuvvete yükseltirken derecenin tabanı değişmeden kalır ve üsler çarpılır.

  (a n) m = a n · m, burada “a” herhangi bir sayıdır ve “m”, “n” herhangi bir doğal sayıdır.

  
  

  Özellikler 4
  Ürün gücü

  Hatırlamak!

  Bir ürünü bir güce yükseltirken, faktörlerin her biri bir güce yükseltilir. Daha sonra elde edilen sonuçlar çarpılır.

  (a b) n = a n b n, burada “a”, “b” herhangi bir rasyonel sayıdır; "n" herhangi bir doğal sayıdır.

  • Örnek 1.
    (6 a 2 b 3 c) 2 = 6 2 a 2 2 b 3 2 c 1 2 = 36 a 4 b 6 c 2
    
  • Örnek 2.
    (−x 2 y) 6 = ((−1) 6 x 2 6 y 1 6) = x 12 y 6

  Önemli!

  Derecelerin diğer özellikleri gibi 4 numaralı özelliğin de ters sırada uygulandığını lütfen unutmayın.

  (a n · b n)= (a · b) n

  Yani, aynı üslerle kuvvetleri çarpmak için tabanları çarpabilirsiniz ancak üssü değiştirmeden bırakabilirsiniz.

  • Örnek. Hesaplamak.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
  • Örnek. Hesaplamak.
    0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1

  Daha karmaşık örneklerde, farklı tabanlara ve farklı üslere sahip kuvvetler üzerinde çarpma ve bölme yapılması gereken durumlar olabilir. Bu durumda aşağıdakileri yapmanızı öneririz.

  Örneğin, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  Ondalık sayının bir kuvvete yükseltilmesine bir örnek.

  4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  Özellikler 5
  Bir bölümün kuvveti (kesir)

  Hatırlamak!

  Bir bölümü bir kuvvete yükseltmek için, böleni ve böleni ayrı ayrı bu kuvvete yükseltebilir ve ilk sonucu ikinciye bölebilirsiniz.

  (a: b) n = a n: b n, burada “a”, “b” herhangi bir rasyonel sayıdır, b ≠ 0, n herhangi bir doğal sayıdır.

  • Örnek. İfadeyi kuvvetler bölümü olarak gösterin.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  Bir bölümün kesir olarak temsil edilebileceğini size hatırlatırız. Bu nedenle bir kesrin bir kuvvete yükseltilmesi konusunu bir sonraki sayfada daha detaylı olarak ele alacağız.

Ders konusu: Rasyonel ve reel üslü derece.

Hedefler:

eğitici :

• derece kavramını genelleştirmek;

  bir derecenin değerini gerçek bir üsle bulma becerisini uygulayın;

  ifadeleri basitleştirirken derecelerin özelliklerini kullanma yeteneğini pekiştirmek;

  Derecelerin özelliklerini hesaplamalarda kullanma becerisini geliştirir.

Gelişimsel :

• öğrencinin entelektüel, duygusal, kişisel gelişimi;

  genelleme, karşılaştırmaya dayalı sistemleştirme ve sonuç çıkarma yeteneğini geliştirmek;

  bağımsız faaliyeti yoğunlaştırmak;

  bilişsel ilgiyi geliştirin.

eğitici :

• öğrencilerin iletişim ve bilgi kültürünü beslemek;

  Estetik eğitimi, tahtada ve defterde bir görevi rasyonel ve doğru bir şekilde hazırlama yeteneğinin oluşturulması yoluyla gerçekleştirilir.

Öğrenciler şunları bilmelidir: Reel üslü derecenin tanımı ve özellikleri

Öğrenciler şunları yapabilmelidir:

dereceli bir ifadenin anlamlı olup olmadığını belirlemek;

derecelerin özelliklerini hesaplamalarda ve ifadelerin basitleştirilmesinde kullanmak;

derece içeren örnekleri çözün;

karşılaştırın, benzerlikleri ve farklılıkları bulun.

Ders formatı: araştırma unsurları içeren seminer - atölye çalışması. Bilgisayar desteği.

Eğitim organizasyon şekli: birey, grup.

Eğitim teknolojileri : probleme dayalı öğrenme, işbirlikçi öğrenme, öğrenci merkezli öğrenme, iletişimsel.

Ders türü: araştırma ve pratik çalışma dersi.

Ders görselleri ve çalışma notları:

sunum

formüller ve tablolar (Ek 1.2)

bağımsız çalışma ödevi (Ek 3)

Ders planı

№

Ders aşaması

Sahnenin amacı

Süre, dk.

Dersin başlangıcı

Dersin konusunun raporlanması, ders hedeflerinin belirlenmesi.

1-2 dakika

Sözlü çalışma

Güç formüllerini tekrarlayın.

Derecelerin özellikleri.

4-5 dk.

Ön çözüm

57 numaralı ders kitabından panolar (1,3,5)

№58(1,3,5) çözüm planına detaylı bağlılık ile.

Beceri ve yeteneklerin oluşumu

öğrenciler özellikleri uygular

Bir ifadenin değerlerini bulurken derece.

8-10 dk.

Mikro gruplar halinde çalışın.

Bilgi boşluklarının belirlenmesi

öğrenciler için koşullar yaratmak

bireysel öğrenci gelişimi

derste.

15-20 dk.

Çalışmayı özetlemek.

İşin başarısını takip edin

Öğrenciler bir konuyla ilgili problemleri bağımsız olarak çözerken,

zorlukların doğası, nedenleri,

toplu olarak çözümleri gösterir.

5-6 dk.

Ev ödevi

Öğrencileri ev ödevleriyle tanıştırın. Gerekli açıklamaları yapın.

1-2 dk.

DERSLER SIRASINDA

Zamanı organize etmek

Merhaba beyler! Dersin tarihini ve konusunu not defterlerinize yazın.

Satrancın mucidinin, icadının ödülü olarak Raja'dan biraz pirinç istediğini söylüyorlar: Tahtanın ilk karesine bir tane, ikinci kareye ise 2 kat daha fazla, yani 2 tane koymak istedi. üçüncü - 2 kat daha fazla, yani 4 tane, vb. 64 hücreye kadar.

İsteği racaya çok mütevazı göründü, ancak çok geçmeden bunun yerine getirilmesinin imkansız olduğu anlaşıldı. Satrancın mucidine ödül olarak verilmesi gereken tahıl sayısı şu şekilde ifade edilir:

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

Bu miktar çok büyük bir sayıya eşittir

18446744073709551615

Ve o kadar büyüktür ki, bu miktardaki tahıl, dünya okyanusları da dahil olmak üzere gezegenimizin tüm yüzeyini 1 cm'lik bir katmanla kaplayabilir.

Sayıları ve ifadeleri yazarken güçler kullanılır, bu da onları daha kompakt ve eylemleri gerçekleştirmek için daha kullanışlı hale getirir.

Dereceler genellikle "çok büyük" veya "çok küçük" olabilen fiziksel büyüklükleri ölçmek için kullanılır.

Dünyanın kütlesi 600000000000000000000000t 6.10 çarpımı olarak yazılır 21 T

Bir su molekülünün çapı 0,0000000003 m çarpım olarak yazılır

3.10 -10 M.

1. Aşağıdaki kelimeler hangi matematiksel kavramla ilişkilidir:

Temel
Dizin(Derece)

Kelimeleri birleştirmek için hangi kelimeler kullanılabilir:
Rasyonel sayı
Tamsayı
Doğal sayı
İrrasyonel sayı(gerçek Numara)
Dersin konusunu formüle edin.(Gerçek üslü derece)

2. Yani bir X,Neredex bir gerçek sayıdır. İfadelerden seç

Doğal göstergeli

Tam sayı göstergesiyle

Rasyonel bir üs ile

Mantıksız bir göstergeyle

3. Amacımız nedir?(KULLANMAK)
Hangidersimizin hedefleri ?
– Derece kavramını genelleştirin.

Görevler:

– derecenin tekrarlanan özellikleri
– hesaplamalarda ve ifadelerin basitleştirilmesinde derece özelliklerinin kullanımını göz önünde bulundurun
– bilgisayar becerilerinin geliştirilmesi

4 . Rasyonel üslü kuvvet

Temel

derece

Göstergeli dereceR, a tabanı (NN, MN

R= N

R= - N

R= 0

R= 0

r =0

A N= A. A. … . A

A -N=

A 0 =1

A N=a.a. ….A

A -N=

Bulunmuyor

Bulunmuyor

A 0 =1

a=0

0 N=0

Bulunmuyor

Bulunmuyor

Bulunmuyor

5 . Bu ifadeler arasından anlamlı olmayanları seçin:

6 . Tanım

eğer sayıR- doğal, o zaman Rbir iş varRher biri a'ya eşit olan sayılar:

A R= A. A. … . A

eğer sayıR- kesirli ve pozitif, yani buradaMVeN- doğal

o zaman sayılar

Eğer göstergeRrasyonel ve negatif ise ifadeA R

karşılıklı olarak tanımlanırA - R

veya

Eğer

7 . Örneğin

8 . Pozitif sayıların kuvvetleri aşağıdaki temel özelliklere sahiptir:

9 . Hesaplamak

10. Derecelerle hangi işlemler (matematiksel işlemler) yapılabilir?

Kibrit:

A) Üsleri eşit tabanlarla çarparken

1) Bazlar çarpılır ancak gösterge aynı kalır

B) Kuvvetler eşit tabanlarla bölünürken

2) Bazlar bölünür ancak gösterge aynı kalır

B) Bir gücü bir güce yükseltirken

3) Taban aynı kalıyor ancak göstergeler çarpılıyor

D) Eşit üslerle kuvvetleri çarparken

4) Taban aynı kalır ancak göstergeler çıkarılır

D) Dereceleri eşit üslerle bölerken

5) Temel aynı kalıyor ancak göstergeler artıyor

11 . Ders kitabından (tahtada)

Sınıfta çözmek için:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . Birleşik Devlet Sınavı materyallerine dayanmaktadır

(bağımsız çalışma) kağıt parçaları üzerinde

XIVyüzyıl.

Cevap: Orezma. 13. Ek olarak (bireysel olarak) görevleri daha hızlı tamamlayanlar için:

14. Ev ödevi

§ 5 (tanımları, formülleri bilin)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

Dersin sonunda:

“Matematik sonradan öğretilmelidir çünkü zihni düzene sokar”

– Büyük Rus matematikçi Mikhail Lomonosov böyle söyledi.

- Ders için teşekkürler!

Ek 1

1.Derece. Temel özellikler

Gösterge

a 1 =a

A N=a.a. ….A

a R n

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

Tamsayı üssü olan derece

0 =1,

burada bir

0 0 - tanımlanmadı.

Rasyonel derece

Gösterge

NeredeA

m n

İrrasyonel üslü derece

Cevap: ==25,9...

1. A X. A sen=a x+y

2.a X:A sen==bir x-y

3. .(A X) sen=a xy

4.(a.b) N=a N.B N

5. (=

6. (

Ek 2

2. Rasyonel üslü derece

Temel

derece

Göstergeli dereceR, a tabanı (NN, MN

R= N

R= - N

R= 0

R= 0

r =0

A N= A. A. … . A

A -N=

A 0 =1

A N=a.a. ….A

A -N=

Bulunmuyor

Bulunmuyor

A 0 =1

a=0

0 N=0

Bulunmuyor

Bulunmuyor

Bulunmuyor

Ek 3

3. Bağımsız çalışma

Kuvvetler üzerinde işlemler ilk kez bir Fransız matematikçi tarafından kullanıldı.XIVyüzyıl.

Fransız bilim adamının adını deşifre edin.

Bu ders "Kuvvetler ve kökler içeren ifadelerin dönüşümleri" konusunun bir parçasıdır.

Özet, rasyonel ve gerçek üssü olan bir derecenin özelliklerine ilişkin bir dersin ayrıntılı bir şekilde geliştirilmesidir. Bilgisayar, grup ve oyun öğrenme teknolojileri kullanılmaktadır.

İndirmek:

Ön izleme:

Cebir dersinin metodolojik gelişimi

Devlet Özerk Kurumu KO ON KST'nin matematik öğretmeni

Pekhova Nadezhda Yurievna

konuyla ilgili: "Rasyonel ve gerçek üslü derecelerin özellikleri."

Dersin Hedefleri:

• eğitici: bir derecenin özelliklerine ilişkin bilginin rasyonel bir üsle pekiştirilmesi ve derinleştirilmesi ve bunların alıştırmalarda uygulanması; derece gelişiminin geçmişine ilişkin bilginin geliştirilmesi;
• Geliştirme: Kendini ve karşılıklı kontrol becerisini geliştirmek; entelektüel yeteneklerin gelişimi, düşünme becerileri,
• eğitmek: konuya bilişsel ilgiyi teşvik etmek, yapılan işin sorumluluğunu aşılamak, aktif yaratıcı çalışma atmosferinin yaratılmasını teşvik etmek.

Ders türü: Bilgi, beceri ve yetenekleri geliştirmeye yönelik dersler.

Yürütme yöntemleri: sözlü - görsel.

Pedagojik teknolojiler: bilgisayar, grup ve oyun öğretimi teknolojileri.

Ders ekipmanı: projeksiyon ekipmanı, bilgisayar, ders sunumu, işçiler

defterler, ders kitapları, bulmaca metni ve yansıtıcı test içeren kartlar.

Ders süresi: 1 saat 20 dakika.

Dersin ana aşamaları:

1. Organizasyon anı. Dersin konusunun ve hedeflerinin açıklanması.

2. Temel bilgilerin güncellenmesi. Derece özelliklerinin rasyonel üslü tekrarı.

3. Rasyonel üslü derecelerin özelliklerinin matematiksel diktesi.

4. Bilgisayar sunumu kullanarak öğrenci raporları.

5. Grup halinde çalışın.

6. Bulmacayı çözmek.

7. Özetleme, not verme. Refleks.

8. Ödev.

Dersler sırasında:

1. Organizasyon an. Konuyu, ders hedeflerini, ders planını iletin. Slayt 1, 2.

2. Temel bilgilerin güncellenmesi.

1) Bir derecenin özelliklerinin rasyonel bir göstergeyle tekrarlanması: öğrenciler yazılı özelliklere - ön ankete devam etmelidir. Slayt 3.

2) Tahtadaki öğrenciler - ders kitabındaki alıştırmaların analizi (Alimov Sh.A.): a) No. 74, b) No. 77.

C) Sayı 82-a;b;c.

74: a) = = a ;

B) + =;

B) : = = = b .

77: a) = = ;

B) = = = b .

82: a) = = = ;

B) = = y;

B) () () = .

3. Karşılıklı doğrulama ile matematiksel dikte. Öğrenciler ödev alışverişinde bulunur, cevapları karşılaştırır ve not verir.

Slayt 4 - 5

4. Öğrenciler çalışılan konuyla ilgili bazı tarihsel gerçekleri rapor ederler.

Slayt 6 – 12:

Birinci öğrenci: Slayt 6

Doğal göstergeli derece kavramı eski halklar arasında oluşmuştur. Kare ve küpAlan ve hacimlerin hesaplanmasında sayılar kullanıldı. Bazı sayıların kuvvetleri, Eski Mısır ve Babil bilim adamları tarafından belirli problemlerin çözümünde kullanıldı.

3. yüzyılda Yunan bilim adamı Diophantus'un bir kitabı yayımlandı.Harf sembollerinin tanıtıldığı “Aritmetik”. Diophantus, bilinmeyenin ilk altı kuvveti ve bunların karşılıklı karşılıkları için semboller sunar. Bu kitapta kare, bir işaret ve bir alt simgeyle ifade ediliyor; örneğin, r indeksli bir küp - k işareti vb.

İkinci öğrenci: Slayt 7

Antik Yunan bilim adamı Pisagor, derece kavramının gelişimine büyük katkı sağladı. Bütün bir okulu vardı ve tüm öğrencilerine Pisagorcular deniyordu. Her sayının rakamlarla temsil edilebileceği fikrini ortaya attılar. Örneğin 4, 9 ve 16 sayılarını karelerle temsil ettiler.

Birinci öğrenci: Slayt 8-9

Slayt 8

Slayt 9

XVI. yüzyıl. Bu yüzyılda derece kavramı genişledi; yalnızca belirli bir sayıya değil aynı zamanda bir değişkene de atıfta bulunulmaya başlandı. O zamanlar dedikleri gibi “genel olarak sayılara” İngiliz matematikçi S. Stevin dereceyi belirtmek için bir notasyon icat etti: 3(3)+5(2)–4 notasyonu böylesine modern bir notasyonu ifade ediyordu 3 3 + 5 2 – 4.

İkinci öğrenci: Slayt 10

Daha sonra Alman matematikçi M. Stiefel'in “Tam Aritmetik” (1544) adlı eserinde ve S. Stevin'de kesirli ve negatif üsler bulunmuştur.

S. Stevin, formun üssüyle dereceye göre şunu önerdi: kök, yani .

Birinci öğrenci: Slayt 11

16. yüzyılın sonunda François VièteSadece değişkenleri değil aynı zamanda onların katsayılarını da gösteren harfler kullanılmaya başlandı. Birinci, ikinci ve üçüncü dereceler için kısaltmalar kullandı: N, Q, C.

Ancak modern tanımlamalar (örneğin, ) 17. yüzyılda Rene Descartes tarafından tanıtıldı.

İkinci öğrenci: Slayt 12

Modern tanımlarsıfır, negatif ve kesirli üslü derecelerin gösterimleri ve gösterimleri İngiliz matematikçilerin çalışmalarından kaynaklanmaktadır. John Wallis (1616–1703) ve Isaac Newton.

5. Bulmaca çözümü.

Öğrencilere bulmaca sayfaları verilir. Çiftler halinde karar verirler. İlk çözen çift işareti alır. 13-15. slaytlar.

6. Gruplar halinde çalışmak. Slayt 16.

Öğrenciler 4 kişilik gruplar halinde çalışarak birbirlerine danışarak bağımsız çalışmalar yaparlar. Daha sonra iş incelemeye sunulur.

7. Özetle, derecelendirme.

Refleks.

Öğrenciler yansıtıcı bir testi tamamlarlar. Katılıyorsanız “+”, aksi takdirde “-” işaretleyin.

Yansıtıcı testi:

1. Pek çok yeni şey öğrendim.

2. Bu gelecekte işime yarayacak.

3. Ders sırasında düşünülecek çok şey vardı.

4. Ders boyunca kafama takılan tüm soruların yanıtlarını aldım.

5. Ders boyunca bilinçli çalıştım ve dersin amacına ulaştım.

8. Ödev: Slayt 17.

1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

2) İsteğe bağlı: Çalışılan konunun temel kavramlarını içeren bir bulmaca oluşturun.

Referanslar:

1. Alimov S.A. cebir ve analizin başlangıcı 10-11. sınıflar, ders kitabı - M.: Prosveshchenie, 2010.
2. Cebir ve analizin başlangıcı 10. sınıf. Didaktik materyaller. Aydınlanma, 2012.

İnternet kaynakları:

1. Eğitim sitesi - RusCopyBook.Com - Elektronik ders kitapları ve GDZ
2. Web Sitesi Okul çocukları ve öğrenciler için eğitici İnternet kaynakları. http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
3. Web Sitesi Öğretmeni portalı - http://www.uchportal.ru/