ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้น: แนวคิดพื้นฐาน ประวัติศาสตร์ ตรีโกณมิตินั้นง่ายและชัดเจน วิธีทำความเข้าใจตรีโกณมิติ

หลักสูตรวิดีโอ "รับ A" ประกอบด้วยหัวข้อทั้งหมดที่จำเป็นในการผ่านการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ด้วยคะแนน 60-65 คะแนน ทำภารกิจทั้งหมด 1-13 ของการสอบ Profile Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ให้สมบูรณ์ ยังเหมาะสำหรับการผ่านการสอบ Basic Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์อีกด้วย หากคุณต้องการผ่านการสอบ Unified State ด้วยคะแนน 90-100 คุณต้องแก้ส่วนที่ 1 ใน 30 นาทีโดยไม่มีข้อผิดพลาด!

หลักสูตรเตรียมความพร้อมสำหรับการสอบ Unified State สำหรับเกรด 10-11 รวมถึงสำหรับครูผู้สอน ทุกสิ่งที่คุณต้องการเพื่อแก้ส่วนที่ 1 ของการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์ (ปัญหา 12 ข้อแรก) และปัญหา 13 (ตรีโกณมิติ) และนี่คือมากกว่า 70 คะแนนในการสอบ Unified State และทั้งนักเรียน 100 คะแนนและนักศึกษามนุษยศาสตร์ก็สามารถทำได้หากไม่มีพวกเขา

ทฤษฎีที่จำเป็นทั้งหมด วิธีแก้ปัญหาด่วน ข้อผิดพลาด และความลับของการสอบ Unified State งานปัจจุบันทั้งหมดของส่วนที่ 1 จาก FIPI Task Bank ได้รับการวิเคราะห์แล้ว หลักสูตรนี้สอดคล้องกับข้อกำหนดของ Unified State Exam 2018 อย่างสมบูรณ์

หลักสูตรประกอบด้วย 5 หัวข้อใหญ่ หัวข้อละ 2.5 ชั่วโมง แต่ละหัวข้อได้รับตั้งแต่เริ่มต้น เรียบง่ายและชัดเจน

งานสอบ Unified State หลายร้อยรายการ ปัญหาคำศัพท์และทฤษฎีความน่าจะเป็น อัลกอริทึมที่ง่ายและง่ายต่อการจดจำสำหรับการแก้ปัญหา เรขาคณิต. ทฤษฎี เอกสารอ้างอิง การวิเคราะห์งานการสอบ Unified State ทุกประเภท สเตอริโอเมทรี วิธีแก้ปัญหาที่ยุ่งยาก เอกสารโกงที่มีประโยชน์ การพัฒนาจินตนาการเชิงพื้นที่ ตรีโกณมิติตั้งแต่เริ่มต้นจนถึงปัญหา 13 ทำความเข้าใจแทนที่จะยัดเยียด คำอธิบายที่ชัดเจนของแนวคิดที่ซับซ้อน พีชคณิต. ราก กำลังและลอการิทึม ฟังก์ชันและอนุพันธ์ พื้นฐานสำหรับการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนของส่วนที่ 2 ของการสอบ Unified State

ย้อนกลับไปในปี 1905 นักอ่านชาวรัสเซียสามารถอ่านหนังสือเรื่องจิตวิทยาของวิลเลียม เจมส์ได้ โดยให้เหตุผลของเขาว่า

“ความรู้ที่ได้รับจากการเรียนรู้ท่องจำง่ายๆ แทบจะลืมไม่ลงอย่างไร้ร่องรอยอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ ตรงกันข้าม วัตถุทางจิตซึ่งได้มาโดยความทรงจำทีละน้อย วันแล้ววันเล่า เกี่ยวข้องกับบริบทต่างๆ เชื่อมโยงกับเหตุการณ์ภายนอกอื่นๆ และถูกอภิปรายซ้ำแล้วซ้ำเล่า ก่อให้เกิดระบบดังกล่าว เข้าสู่การเชื่อมโยงดังกล่าวกับด้านอื่น ๆ ของเรา สติปัญญาสามารถกลับคืนสู่ความทรงจำได้อย่างง่ายดายด้วยสาเหตุภายนอกมากมาย ซึ่งยังคงได้รับมาอย่างถาวรมาเป็นเวลานาน”

เวลาผ่านไปกว่า 100 ปีนับตั้งแต่นั้นมา และคำเหล่านี้ยังคงเป็นหัวข้อที่น่าอัศจรรย์ คุณจะมั่นใจในสิ่งนี้ทุกวันเมื่อทำงานกับเด็กนักเรียน ช่องว่างความรู้ขนาดใหญ่นั้นยิ่งใหญ่จนสามารถโต้แย้งได้: หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนในด้านการสอนและจิตวิทยาไม่ใช่ระบบ แต่เป็นอุปกรณ์ชนิดหนึ่งที่ส่งเสริมความจำระยะสั้นและไม่สนใจเกี่ยวกับความจำระยะยาวเลย .

การรู้หลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนหมายถึงการเรียนรู้เนื้อหาของแต่ละสาขาวิชาคณิตศาสตร์และสามารถอัปเดตได้ตลอดเวลา เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ คุณจะต้องติดต่อกับแต่ละฝ่ายอย่างเป็นระบบ ซึ่งบางครั้งก็ไม่สามารถทำได้เสมอไปเนื่องจากมีงานหนักในบทเรียน

มีอีกวิธีหนึ่งในการท่องจำข้อเท็จจริงและสูตรในระยะยาว - นี่คือสัญญาณอ้างอิง

ตรีโกณมิติเป็นหนึ่งในส่วนใหญ่ของคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มีการศึกษาในหลักสูตรเรขาคณิตในเกรด 8 และ 9 และในหลักสูตรพีชคณิตในเกรด 9 พีชคณิตและการวิเคราะห์เบื้องต้นในเกรด 10

ปริมาณวัสดุที่ศึกษามากที่สุดในวิชาตรีโกณมิติอยู่ที่เกรด 10 เนื้อหาตรีโกณมิติส่วนใหญ่สามารถเรียนรู้และจดจำได้ วงกลมตรีโกณมิติ(วงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม) ภาคผนวก1.ppt

ต่อไปนี้เป็นแนวคิดเรื่องตรีโกณมิติ:

• คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์ของมุม
• การวัดมุมเรเดียน
• โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับค่าบางค่าของอาร์กิวเมนต์เชิงตัวเลขและเชิงมุม
• คาบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• ความสม่ำเสมอและความแปลกประหลาดของฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ
• สูตรลด;
• ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน
• การแก้สมการตรีโกณมิติอย่างง่าย
• การแก้อสมการง่ายๆ
• สูตรพื้นฐานของตรีโกณมิติ

ลองพิจารณาแนวคิดเหล่านี้เกี่ยวกับวงกลมตรีโกณมิติ

1) คำจำกัดความของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

หลังจากแนะนำแนวคิดของวงกลมตรีโกณมิติ (วงกลมที่มีหน่วยรัศมีโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด) รัศมีเริ่มต้น (รัศมีของวงกลมในทิศทางของแกน Ox) และมุมการหมุน นักเรียนจะได้รับคำจำกัดความอย่างอิสระ สำหรับไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติโดยใช้คำจำกัดความจากเรขาคณิตของรายวิชา กล่าวคือ พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1

โคไซน์ของมุมคือค่า Abscissa ของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นถูกหมุนตามมุมที่กำหนด

ไซน์ของมุมคือพิกัดของจุดบนวงกลมเมื่อรัศมีเริ่มต้นหมุนตามมุมที่กำหนด

2) การวัดมุมเรเดียนบนวงกลมตรีโกณมิติ

หลังจากแนะนำการวัดเรเดียนของมุมแล้ว (1 เรเดียนคือมุมที่ศูนย์กลาง ซึ่งสอดคล้องกับความยาวของส่วนโค้งเท่ากับความยาวของรัศมีของวงกลม) นักเรียนสรุปว่าการวัดเรเดียนของมุมนั้นเป็นค่าตัวเลขของ มุมการหมุนบนวงกลม เท่ากับความยาวของส่วนโค้งที่สอดคล้องกันเมื่อรัศมีเริ่มต้นถูกหมุนตามมุมที่กำหนด -

วงกลมตรีโกณมิติแบ่งออกเป็น 12 ส่วนเท่าๆ กันตามเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม เมื่อรู้ว่ามุมมีหน่วยเป็นเรเดียน คุณสามารถกำหนดหน่วยวัดเรเดียนสำหรับมุมที่เป็นผลทวีคูณของ

และการวัดเรเดียนของมุมทวีคูณจะได้รับในทำนองเดียวกัน:

3) โดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ความสอดคล้องระหว่างมุมการหมุนและค่าพิกัดของจุดบนวงกลมจะเป็นฟังก์ชันหรือไม่?

แต่ละมุมของการหมุนจะสัมพันธ์กับจุดเดียวบนวงกลม ซึ่งหมายความว่าความสอดคล้องนี้คือฟังก์ชัน

รับฟังก์ชั่น

บนวงกลมตรีโกณมิติ คุณจะเห็นว่าโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และช่วงของค่าคือ .

ให้เราแนะนำแนวคิดเรื่องเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ

1) เอาล่ะ ให้เราแนะนำเส้นเสริมที่ขนานกับแกน Oy ซึ่งเส้นสัมผัสกันถูกกำหนดสำหรับอาร์กิวเมนต์ตัวเลขใดๆ

2) ในทำนองเดียวกัน เราได้เส้นโคแทนเจนต์ ให้ y=1 แล้ว ซึ่งหมายความว่าค่าโคแทนเจนต์ถูกกำหนดบนเส้นตรงขนานกับแกน Ox

บนวงกลมตรีโกณมิติคุณสามารถกำหนดโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติได้อย่างง่ายดาย:

สำหรับแทนเจนต์ -

สำหรับโคแทนเจนต์ -

4) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติบนวงกลมตรีโกณมิติ

ขาที่อยู่ตรงข้ามมุมใน เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก นั่นคือขาอีกข้างตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ซึ่งหมายความว่าด้วยการกำหนดไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์ คุณสามารถกำหนดค่าของมุมที่เป็นทวีคูณหรือเรเดียนได้ ค่าไซน์ถูกกำหนดตามแกน Oy ค่าโคไซน์ตามแกน Ox และสามารถกำหนดค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้โดยใช้แกนเพิ่มเติมที่ขนานกับแกน Oy และแกน Ox ตามลำดับ

ค่าตารางของไซน์และโคไซน์จะอยู่บนแกนที่สอดคล้องกันดังต่อไปนี้:

ค่าตารางแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ -

5) ช่วงเวลาของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

ในวงกลมตรีโกณมิติคุณจะเห็นว่าค่าของไซน์และโคไซน์ถูกทำซ้ำทุกๆ เรเดียน และแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ - ทุกเรเดียน

6) ความสม่ำเสมอและความคี่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณสมบัตินี้สามารถได้รับโดยการเปรียบเทียบค่าของการหมุนมุมบวกและมุมตรงข้ามของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เราเข้าใจแล้ว

ซึ่งหมายความว่าโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ ส่วนฟังก์ชันอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

7) การเพิ่มและลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

วงกลมตรีโกณมิติแสดงว่าฟังก์ชันไซน์เพิ่มขึ้น และลดลง

การให้เหตุผลในทำนองเดียวกัน เราได้ช่วงเวลาของฟังก์ชันการเพิ่มและลดของโคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์

8) สูตรลด

สำหรับมุม เราใช้ค่าที่น้อยกว่าของมุมบนวงกลมตรีโกณมิติ สูตรทั้งหมดได้มาจากการเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เลือก

อัลกอริทึมสำหรับการใช้สูตรลด:

1) กำหนดสัญลักษณ์ของฟังก์ชันเมื่อหมุนผ่านมุมที่กำหนด

เมื่อเลี้ยวโค้ง ฟังก์ชั่นจะถูกเก็บรักษาไว้เมื่อหมุนเป็นมุม - จำนวนเต็ม, เลขคี่, โคฟังก์ชัน (

9) ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ให้เราแนะนำฟังก์ชันผกผันสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้คำจำกัดความของฟังก์ชัน

แต่ละค่าของไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติสอดคล้องกับค่าเดียวของมุมการหมุน ซึ่งหมายความว่าสำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ ช่วงของค่าคือ - สำหรับฟังก์ชัน โดเมนของคำจำกัดความคือ ช่วงของค่าคือ ในทำนองเดียวกันเราได้รับโดเมนของคำจำกัดความและช่วงของค่าของฟังก์ชันผกผันสำหรับโคไซน์และโคแทนเจนต์

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน:

1) การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันบนแกนที่สอดคล้องกัน

2) ค้นหามุมการหมุนของรัศมีเริ่มต้นโดยคำนึงถึงช่วงของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ตัวอย่างเช่น:

10) การแก้สมการง่ายๆ บนวงกลมตรีโกณมิติ

ในการแก้สมการของรูปแบบ เราจะหาจุดบนวงกลมที่มีพิกัดเท่ากันและเขียนมุมที่สอดคล้องกันโดยคำนึงถึงคาบของฟังก์ชัน

สำหรับสมการ เราจะหาจุดบนวงกลมที่มีจุดหักมุมเท่ากันและจดมุมที่ตรงกันโดยคำนึงถึงคาบของฟังก์ชันด้วย

ในทำนองเดียวกันสำหรับสมการของแบบฟอร์ม ค่าจะถูกกำหนดบนเส้นแทนเจนต์และโคแทนเจนต์และบันทึกมุมการหมุนที่สอดคล้องกัน

นักเรียนจะเรียนรู้แนวคิดและสูตรตรีโกณมิติทั้งหมดด้วยตนเองภายใต้คำแนะนำที่ชัดเจนของครูโดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ในอนาคต "วงกลม" นี้จะทำหน้าที่เป็นสัญญาณอ้างอิงหรือปัจจัยภายนอกเพื่อให้พวกเขาทำซ้ำแนวคิดและสูตรของตรีโกณมิติในหน่วยความจำ

การเรียนตรีโกณมิติบนวงกลมตรีโกณมิติช่วย:

• การเลือกรูปแบบการสื่อสารที่เหมาะสมที่สุดสำหรับบทเรียนที่กำหนด การจัดความร่วมมือทางการศึกษา
• เป้าหมายบทเรียนมีความสำคัญต่อนักเรียนแต่ละคน
• เนื้อหาใหม่จะขึ้นอยู่กับประสบการณ์ส่วนตัวของนักเรียนในด้านการกระทำ การคิด และความรู้สึก
• บทเรียนประกอบด้วยงานรูปแบบต่างๆ และวิธีการได้มาและซึมซับความรู้ มีองค์ประกอบของการเรียนรู้ร่วมกันและการเรียนรู้ด้วยตนเอง การควบคุมตนเองและซึ่งกันและกัน
• มีการตอบสนองต่อความเข้าใจผิดและข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว (การหารือร่วมกัน เคล็ดลับการสนับสนุน การปรึกษาหารือร่วมกัน)

- -
โดยปกติ เมื่อพวกเขาต้องการทำให้คนที่มีคณิตศาสตร์น่ากลัวกลัว พวกเขาจะยกตัวอย่างไซน์และโคไซน์ทุกประเภทว่าเป็นสิ่งที่ซับซ้อนและน่ารังเกียจมาก แต่ที่จริงแล้วนี่เป็นส่วนที่สวยงามและน่าสนใจที่สามารถเข้าใจและแก้ไขได้
หัวข้อเริ่มต้นในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และทุกอย่างไม่ชัดเจนในครั้งแรกเสมอไป มีรายละเอียดปลีกย่อยและลูกเล่นมากมาย ฉันพยายามพูดอะไรบางอย่างในหัวข้อนี้

รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับโลกแห่งตรีโกณมิติ:
ก่อนที่จะรีบศึกษาสูตรต่างๆ คุณต้องเข้าใจจากเรขาคณิตก่อนว่าไซน์ โคไซน์ ฯลฯ คืออะไร
ไซน์ของมุม- อัตราส่วนของด้านตรงข้าม (มุม) ต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก
โคไซน์- อัตราส่วนที่อยู่ติดกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
แทนเจนต์- ด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกัน
โคแทนเจนต์- อยู่ติดกันฝั่งตรงข้าม.

ตอนนี้ให้พิจารณาวงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยบนระนาบพิกัดและทำเครื่องหมายมุมอัลฟ่าไว้บนนั้น: (คลิกรูปภาพได้ อย่างน้อยก็บางส่วน)
-
-
เส้นสีแดงบางๆ คือเส้นตั้งฉากจากจุดตัดของวงกลมกับมุมฉากบนแกนวัวและแกนออย สีแดง x และ y คือค่าของพิกัด x และ y บนแกน (ค่า x และ y สีเทาเป็นเพียงการระบุว่าสิ่งเหล่านี้เป็นแกนพิกัด ไม่ใช่เพียงเส้นตรง)
ควรสังเกตว่ามุมคำนวณจากทิศทางบวกของแกนวัวทวนเข็มนาฬิกา
ลองหาไซน์ โคไซน์ ฯลฯ ของมันกัน
sin a: ด้านตรงข้ามเท่ากับ y ด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ 1
บาป a = y / 1 = y
เพื่อให้ชัดเจนว่าฉันได้ y และ 1 จากที่ไหน เพื่อความชัดเจน ลองจัดเรียงตัวอักษรและดูที่สามเหลี่ยมกัน
- -
AF = AE = 1 - รัศมีของวงกลม
ดังนั้น AB = 1 เป็นรัศมี AB - ด้านตรงข้ามมุมฉาก
BD = CA = y - เป็นค่าสำหรับโอ้
AD = CB = x - เป็นค่าตาม oh
บาป a = BD / AB = y / 1 = y
ถัดไปคือโคไซน์:
cos a: ด้านประชิด - AD = x
เพราะ a = AD / AB = x / 1 = x

เรายังส่งออก แทนเจนต์และโคแทนเจนต์.
tg a = y / x = บาป a / cos a
เปล a = x / y = cos a / sin a
ทันใดนั้น เราก็ได้สูตรแทนเจนต์และโคแทนเจนต์มา

เรามาดูวิธีแก้ปัญหานี้กันดีกว่า
เช่น a = 45 องศา
เราได้สามเหลี่ยมมุมฉากที่มีมุมหนึ่งมุม 45 องศา บางคนก็ชัดเจนทันทีว่านี่คือสามเหลี่ยมด้านเท่า แต่ฉันจะอธิบายต่อไป
ลองหามุมที่สามของสามเหลี่ยม (มุมแรกคือ 90 มุมที่สองคือ 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
ถ้ามุมสองมุมเท่ากัน ด้านของทั้งสองจะเท่ากัน นั่นคือสิ่งที่ฟังดูเหมือน
ปรากฎว่าถ้าเราบวกสามเหลี่ยมสองอันทับกัน เราจะได้สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากับรัศมี = 1 ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส เรารู้ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้าน a เท่ากับ รากของทั้งสอง
ตอนนี้เราคิด ถ้า 1 (ด้านตรงข้ามมุมฉากหรือที่เรียกว่าเส้นทแยงมุม) เท่ากับด้านของกำลังสองคูณรากของสอง ด้านของกำลังสองก็ควรจะเท่ากับ 1/sqrt(2) และถ้าเราคูณทั้งเศษและส่วนของเศษส่วนนี้ ด้วยรากของทั้งสองเราจะได้ sqrt(2)/2 และเนื่องจากสามเหลี่ยมนั้นเป็นหน้าจั่ว ดังนั้น AD = AC => x = y
ค้นหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของเรา:
บาป 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = ตร.ม.(2)/2 / 1 = ตร.ม.(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
คุณต้องทำงานกับค่ามุมที่เหลือในลักษณะเดียวกัน มีเพียงสามเหลี่ยมเท่านั้นที่จะไม่เป็นหน้าจั่ว แต่ด้านข้างสามารถหาได้ง่ายพอๆ กันโดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
วิธีนี้เราจะได้ตารางค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจากมุมที่ต่างกัน:
-
-
แถมโต๊ะนี้ก็โกงและสะดวกมาก
วิธีแต่งเองโดยไม่ต้องยุ่งยาก:วาดตารางแบบนี้แล้วเขียนตัวเลข 1 2 3 ลงในกล่อง
-
-
ตอนนี้จาก 1 2 3 เหล่านี้ คุณหารากแล้วหารด้วย 2 ปรากฎดังนี้:
-
-
ตอนนี้เราขีดฆ่าไซน์แล้วเขียนโคไซน์ ค่าของมันคือมิเรอร์ไซน์:
-
-
ค่าแทนเจนต์หามาได้ง่ายพอๆ กัน คุณต้องหารค่าของเส้นไซน์ด้วยค่าของเส้นโคไซน์:
-
-
ค่าโคแทนเจนต์คือค่ากลับด้านของแทนเจนต์ เป็นผลให้เราได้รับสิ่งนี้:
- -

บันทึกแทนเจนต์นั้นไม่มีอยู่ใน P/2 เป็นต้น ลองคิดดูว่าทำไม (คุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้)

สิ่งที่คุณต้องจำที่นี่:ไซน์คือค่า y โคไซน์คือค่า x แทนเจนต์คืออัตราส่วนของ y ต่อ x และโคแทนเจนต์อยู่ตรงกันข้าม ดังนั้น เพื่อกำหนดค่าของไซน์/โคไซน์ ก็เพียงพอที่จะวาดตารางที่ฉันอธิบายไว้ข้างต้นและวงกลมที่มีแกนพิกัด (สะดวกในการดูค่าที่มุม 0, 90, 180, 360)
- -

ฉันหวังว่าคุณจะสามารถแยกแยะได้ ไตรมาส:
- -
เครื่องหมายของไซน์ โคไซน์ ฯลฯ ขึ้นอยู่กับว่ามุมนั้นอยู่ในส่วนใด แม้ว่าการคิดเชิงตรรกะแบบดั้งเดิมจะนำคุณไปสู่คำตอบที่ถูกต้องหากคุณคำนึงว่าในไตรมาสที่สองและสาม x เป็นลบ และ y เป็นลบในไตรมาสที่สามและสี่ ไม่มีอะไรน่ากลัวหรือน่ากลัว

ฉันคิดว่ามันคงไม่ผิดที่จะพูดถึง สูตรลดอนิจจาผีอย่างที่ทุกคนได้ยินซึ่งมีความจริง ไม่มีสูตรเช่นนี้เนื่องจากไม่จำเป็น ความหมายของการกระทำทั้งหมดนี้: เราค้นหาค่ามุมได้อย่างง่ายดายเฉพาะควอเตอร์แรกเท่านั้น (30 องศา, 45, 60) ฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นแบบคาบ ดังนั้นเราจึงสามารถลากมุมขนาดใหญ่ใดๆ มาลงในส่วนของควอเตอร์แรกได้ แล้วเราจะค้นพบความหมายของมันทันที แต่การลากเพียงอย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอ - คุณต้องจำป้ายนี้ไว้ นี่คือสิ่งที่สูตรการลดมีไว้เพื่อ
เรามีมุมที่ใหญ่หรือมากกว่า 90 องศา: a = 120 และเราจำเป็นต้องหาไซน์และโคไซน์ของมัน ในการทำเช่นนี้ เราจะแยกย่อย 120 ออกเป็นมุมต่างๆ ต่อไปนี้ที่เราสามารถใช้ได้:
บาป = บาป 120 = บาป (90 + 30)
เราจะเห็นว่ามุมนี้อยู่ในควอเตอร์ที่สอง ไซน์ตรงนั้นเป็นบวก ดังนั้นเครื่องหมาย + หน้าไซน์จึงยังคงอยู่
เพื่อกำจัด 90 องศา เราเปลี่ยนไซน์เป็นโคไซน์ นี่เป็นกฎที่คุณต้องจำไว้:
บาป (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
หรือคุณสามารถจินตนาการได้อีกทางหนึ่ง:
บาป 120 = บาป (180 - 60)
เพื่อกำจัด 180 องศา เราจะไม่เปลี่ยนฟังก์ชัน
บาป (180 - 60) = บาป 60 = sqrt(3) / 2
เราได้ค่าเท่ากัน ดังนั้นทุกอย่างถูกต้อง ตอนนี้โคไซน์:
คอส 120 = คอส (90 + 30)
โคไซน์ในไตรมาสที่สองเป็นลบ เราก็เลยใส่เครื่องหมายลบ และเราเปลี่ยนฟังก์ชันไปเป็นฟังก์ชันตรงกันข้าม เนื่องจากเราต้องลบ 90 องศาออก
cos (90 + 30) = - บาป 30 = - 1/2
หรือ:
คอส 120 = คอส (180 - 60) = - คอส 60 = - 1/2

สิ่งที่ต้องรู้ ทำได้ และทำได้ โอนมุมเข้าควอเตอร์แรก:
- แบ่งมุมออกเป็นเงื่อนไขที่ย่อยได้
- พิจารณาว่ามุมใดอยู่ในไตรมาสใดและใส่เครื่องหมายที่เหมาะสมหากฟังก์ชันในไตรมาสนี้เป็นลบหรือบวก
-กำจัดสิ่งที่ไม่จำเป็นออกไป:
*หากคุณต้องการกำจัด 90, 270, 450 และ 90+180n ที่เหลือ โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ ฟังก์ชันนี้จะกลับกัน (ไซน์เป็นโคไซน์ แทนเจนต์เป็นโคแทนเจนต์ และในทางกลับกัน)
*ถ้าคุณต้องการกำจัด 180 และ 180+180n ที่เหลือ โดยที่ n คือจำนวนเต็มใดๆ ฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง (มีคุณสมบัติอย่างหนึ่งที่นี่ แต่มันยากที่จะอธิบายเป็นคำพูด แต่ก็เอาล่ะ)
นั่นคือทั้งหมดที่ ฉันไม่คิดว่าจำเป็นต้องจำสูตรด้วยตัวเองในเมื่อคุณสามารถจำกฎสองสามข้อและใช้งานได้ง่าย อย่างไรก็ตาม สูตรเหล่านี้พิสูจน์ได้ง่ายมาก:
-
-
และพวกเขายังรวบรวมตารางที่ยุ่งยากด้วย แล้วเราจะรู้ว่า:
-
-

สมการพื้นฐานของตรีโกณมิติ:คุณต้องรู้จักพวกเขาเป็นอย่างดีจากใจ
อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน(ความเท่าเทียมกัน):
บาป^2(a) + cos^2(a) = 1
ไม่เชื่อก็ลองตรวจสอบด้วยตัวเองดูเองจะดีกว่า แทนค่าของมุมต่างๆ
สูตรนี้มีประโยชน์มาก จำไว้เสมอ เมื่อใช้มัน คุณจะสามารถแสดงไซน์ผ่านโคไซน์และในทางกลับกัน ซึ่งบางครั้งก็มีประโยชน์มาก แต่เช่นเดียวกับสูตรอื่นๆ คุณจำเป็นต้องรู้วิธีจัดการกับมัน โปรดจำไว้เสมอว่าเครื่องหมายของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นขึ้นอยู่กับจตุภาคที่มีมุมนั้นอยู่ นั่นเป็นเหตุผล เมื่อแยกรากออกคุณต้องรู้ไตรมาส.

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์:เราได้รับสูตรเหล่านี้มาตั้งแต่เริ่มต้นแล้ว
tg a = บาป a / cos a
เปล a = cos a / sin a

ผลคูณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์:
tg a * ctg a = 1
เพราะ:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - เศษส่วนถูกยกเลิก

อย่างที่คุณเห็น สูตรทั้งหมดเป็นเกมและการผสมผสาน
ต่อไปนี้เป็นอีกสองค่าที่ได้จากการหารด้วยกำลังสองโคไซน์และกำลังสองไซน์ของสูตรแรก:
-
-
โปรดทราบว่าสองสูตรสุดท้ายสามารถใช้ได้โดยมีข้อจำกัดด้านค่าของมุม a เนื่องจากคุณไม่สามารถหารด้วยศูนย์ได้

สูตรการบวก:ได้รับการพิสูจน์โดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์
- -
ไม่ค่อยได้ใช้แต่แม่นครับ มีสูตรในการสแกน แต่อาจอ่านไม่ออกหรือรูปแบบดิจิทัลเข้าใจง่ายกว่า:
- -

สูตรมุมคู่:
ได้มาจากสูตรการบวก เช่น โคไซน์ของมุมสองมุมคือ cos 2a = cos (a + a) - มันเตือนคุณถึงสิ่งใดไหม? พวกเขาเพิ่งแทนที่ปลากัดด้วยอัลฟ่า
- -
สูตรต่อมาสองสูตรได้มาจากการแทนที่ครั้งแรก sin^2(a) = 1 - cos^2(a) และ cos^2(a) = 1 - sin^2(a)
ไซน์ของมุมคู่นั้นง่ายกว่าและมีการใช้บ่อยกว่ามาก:
- -
และพวกนิสัยเสียแบบพิเศษสามารถหาค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคู่ได้ โดยที่ tan a = sin a / cos a เป็นต้น
-
-

สำหรับผู้ที่กล่าวมาข้างต้น สูตรมุมสามมุม:ได้มาจากการบวกมุม 2a และ a เนื่องจากเรารู้สูตรของมุมคู่อยู่แล้ว
-
-

สูตรครึ่งมุม:
- -
ฉันไม่รู้ว่ามันเกิดขึ้นได้อย่างไร หรือจะอธิบายให้แม่นยำกว่านี้ได้อย่างไร... หากเราเขียนสูตรเหล่านี้ โดยแทนที่เอกลักษณ์ตรีโกณมิติหลักด้วย a/2 คำตอบก็จะมาบรรจบกัน

สูตรการบวกและการลบฟังก์ชันตรีโกณมิติ:
-
-
ได้มาจากสูตรบวกแต่ไม่มีใครสนใจ พวกเขาไม่ได้เกิดขึ้นบ่อยนัก

ดังที่คุณเข้าใจ ยังมีสูตรอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งแสดงรายการซึ่งไร้จุดหมาย เพราะฉันไม่สามารถเขียนสิ่งที่เพียงพอเกี่ยวกับสูตรเหล่านั้นได้ และสูตรแบบแห้งสามารถพบได้ทุกที่ และมันเป็นเกมที่มีสูตรที่มีอยู่ก่อนหน้านี้ ทุกอย่างมีเหตุผลและแม่นยำมาก ฉันจะบอกคุณเป็นครั้งสุดท้าย เกี่ยวกับวิธีการมุมเสริม:
การแปลงนิพจน์ a cosx + b sinx เป็นรูปแบบ Acos(x+) หรือ Asin(x+) เรียกว่าวิธีการแนะนำมุมเสริม (หรืออาร์กิวเมนต์เพิ่มเติม) วิธีการนี้ใช้สำหรับการแก้สมการตรีโกณมิติเมื่อประมาณค่าของฟังก์ชันในปัญหาสุดขีดและสิ่งสำคัญคือต้องสังเกตว่าปัญหาบางอย่างไม่สามารถแก้ไขได้หากไม่มีการแนะนำมุมเสริม
ไม่ว่าคุณจะพยายามอธิบายวิธีนี้อย่างไร แต่ก็ไม่มีอะไรเกิดขึ้น ดังนั้นคุณจะต้องทำเอง:
-
-
สิ่งที่น่ากลัวแต่มีประโยชน์ หากคุณแก้ไขปัญหาก็ควรจะได้ผล
จากที่นี่ ตัวอย่างเช่น: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

ต่อไปในรายวิชานี้คือกราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แต่นั่นก็เพียงพอแล้วสำหรับบทเรียนเดียว เมื่อพิจารณาว่าที่โรงเรียนพวกเขาสอนเรื่องนี้เป็นเวลาหกเดือน

เขียนคำถามของคุณ แก้ปัญหา ขอสแกนงานบางอย่าง ลองคิดดู
เป็นของคุณเสมอ แดน ฟาราเดย์

ในบทนี้เราจะเรียนรู้คำจำกัดความ ฟังก์ชันตรีโกณมิติและคุณสมบัติพื้นฐานเรียนรู้วิธีการทำงานด้วย วงกลมตรีโกณมิติมาดูกันว่ามันคืออะไร ระยะเวลาของฟังก์ชันและจดจำสิ่งต่างๆ วิธีการวัดมุม- นอกจากนี้เราจะเข้าใจการใช้งาน สูตรลด.

บทเรียนนี้จะช่วยคุณเตรียมความพร้อมสำหรับงานประเภทใดประเภทหนึ่ง ที่ 7.

การเตรียมตัวสำหรับการสอบ Unified State ในวิชาคณิตศาสตร์

การทดลอง

บทที่ 7ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรีโกณมิติ

ทฤษฎี

สรุปบทเรียน

วันนี้เราจะมาเริ่มหัวข้อที่มีชื่อที่น่ากลัวว่า “ตรีโกณมิติ” สำหรับหลายๆ คน ขอให้ชัดเจนทันทีว่านี่ไม่ใช่วิชาแยกที่คล้ายกับชื่อเรขาคณิตอย่างที่บางคนคิด แม้ว่าคำแปลจากภาษากรีกคำว่า "ตรีโกณมิติ" หมายถึง "การวัดรูปสามเหลี่ยม" และเกี่ยวข้องโดยตรงกับเรขาคณิต นอกจากนี้การคำนวณตรีโกณมิติยังใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์และเทคโนโลยี แต่เราจะเริ่มต้นด้วยการพิจารณาว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐานถูกนำมาใช้ในเรขาคณิตโดยใช้สามเหลี่ยมมุมฉากอย่างไร

เราเพิ่งใช้คำว่า "ฟังก์ชันตรีโกณมิติ" ซึ่งหมายความว่าเราจะแนะนำกฎการโต้ตอบบางอย่างระหว่างตัวแปรหนึ่งกับอีกตัวแปรหนึ่งทั้งคลาส

ในการทำเช่นนี้ให้พิจารณารูปสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเพื่อความสะดวกจะใช้สัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับด้านข้างและมุมซึ่งคุณสามารถดูได้ในรูป:

ลองพิจารณามุมต่างๆ เป็นตัวอย่างและป้อนการดำเนินการต่อไปนี้:

ลองเรียกอัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับไซน์ด้านตรงข้ามมุมฉากนั่นคือ

ลองเรียกอัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉากโคไซน์นั่นคือ -

อัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านที่อยู่ติดกันจะเรียกว่าแทนเจนต์นั่นคือ -

อัตราส่วนของด้านที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามจะเรียกว่าโคแทนเจนต์นั่นคือ -

การกระทำทั้งหมดนี้เรียกว่ามุม ฟังก์ชันตรีโกณมิติ- โดยปกติจะเรียกว่ามุม อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติและสามารถเขียนแทนด้วย X ตามปกติในพีชคณิต

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจทันทีว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติขึ้นอยู่กับมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยเฉพาะ ไม่ใช่ที่ด้านข้าง นี่เป็นเรื่องง่ายที่จะพิสูจน์ถ้าเราพิจารณาสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ ซึ่งความยาวของด้านจะแตกต่างกัน แต่มุมและอัตราส่วนของด้านทั้งหมดจะไม่เปลี่ยนแปลง กล่าวคือ ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมก็จะไม่เปลี่ยนแปลงเช่นกัน

หลังจากคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้ คำถามอาจเกิดขึ้น: “มีหรือไม่ เช่น- ท้ายที่สุดแล้วมุมไม่สามารถอยู่ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้» - น่าแปลกที่คำตอบสำหรับคำถามนี้ได้รับการยืนยันและค่าของนิพจน์นี้เท่ากับ และนี่เป็นเรื่องที่น่าแปลกใจยิ่งกว่านั้นเนื่องจากฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นอัตราส่วนของด้านของสามเหลี่ยมมุมฉากและความยาวของด้านคือ ตัวเลขบวก

แต่ไม่มีความขัดแย้งในเรื่องนี้ ความจริงก็คือตัวอย่างเช่นในฟิสิกส์เมื่ออธิบายกระบวนการบางอย่างจำเป็นต้องใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมไม่เพียง แต่ใหญ่ แต่ยังใหญ่และสม่ำเสมอด้วย ในการทำเช่นนี้จำเป็นต้องแนะนำกฎทั่วไปเพิ่มเติมสำหรับการคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สิ่งที่เรียกว่า "หน่วยวงกลมตรีโกณมิติ".

เป็นวงกลมที่มีหน่วยรัศมี วาดให้จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของระนาบคาร์ทีเซียน

ในการพรรณนามุมต่างๆ ในวงกลมนี้ คุณต้องตกลงกันว่าจะนำมุมเหล่านั้นมาจากที่ใด เป็นที่ยอมรับกันว่าจะใช้ทิศทางบวกของแกนแอบซิสซาเป็นรังสีอ้างอิงมุม กล่าวคือ แกน x. ทิศทางการทับถมของมุมถือเป็นทวนเข็มนาฬิกาตามข้อตกลงเหล่านี้ ให้เรากันมุมแหลมไว้ก่อน สำหรับมุมแหลมดังกล่าวเรารู้วิธีคำนวณค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแล้ว ปรากฎว่าการใช้วงกลมที่ปรากฎทำให้คุณสามารถคำนวณฟังก์ชันตรีโกณมิติได้สะดวกยิ่งขึ้นเท่านั้น

ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมแหลมคือพิกัดของจุดตัดของด้านข้างของมุมนี้กับวงกลมหน่วย:

สิ่งนี้สามารถเขียนได้ดังนี้:

:

โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า พิกัดตามแนวแกน x จะแสดงค่าของโคไซน์ และพิกัดตามแนวแกน y จะแสดงค่าของไซน์ของมุมจะสะดวกในการเปลี่ยนชื่อแกนในระบบพิกัดด้วยวงกลมหน่วยดังรูป:

แกนแอบซิสซาถูกเปลี่ยนชื่อเป็นแกนโคไซน์ และแกนกำหนดเป็นแกนไซน์

กฎที่ระบุในการกำหนดไซน์และโคไซน์นั้นใช้โดยทั่วไปกับทั้งมุมป้านและมุมซึ่งอยู่ในช่วงตั้งแต่ถึง ในกรณีนี้ ไซน์และโคไซน์สามารถรับได้ทั้งค่าบวกและค่าลบ หลากหลาย สัญญาณของค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติเหล่านี้ขึ้นอยู่กับว่ามุมที่เป็นปัญหานั้นอยู่ในไตรมาสใด เป็นเรื่องปกติที่จะพรรณนาดังนี้:

อย่างที่คุณเห็น สัญญาณของฟังก์ชันตรีโกณมิติถูกกำหนดโดยทิศทางบวกและลบของแกนที่สอดคล้องกัน

นอกจากนี้ควรให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าเนื่องจากพิกัดที่ใหญ่ที่สุดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วยทั้งตามแนวแกนแอบซิสซาและแกนกำหนดมีค่าเท่ากับหนึ่งและค่าที่เล็กที่สุดคือลบหนึ่งแล้ว ค่าไซน์และโคไซน์จำกัดเพียงตัวเลขเหล่านี้:

บันทึกเหล่านี้มักจะเขียนในรูปแบบนี้เช่นกัน:

เพื่อที่จะแนะนำฟังก์ชันของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติจำเป็นต้องวาดองค์ประกอบเพิ่มเติม: แทนเจนต์ของวงกลมที่จุด A - ค่าของแทนเจนต์ของมุมจะถูกกำหนดจากนั้นและแทนเจนต์ถึงที่ จุด B - ค่าของโคแทนเจนต์ของมุมถูกกำหนดจากมัน

อย่างไรก็ตาม เราจะไม่เจาะลึกถึงคำจำกัดความของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติเพราะว่า สามารถคำนวณได้ง่าย ๆ โดยการรู้ค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมที่กำหนดซึ่งเรารู้อยู่แล้วว่าต้องทำอย่างไร หากคุณสนใจที่จะเรียนรู้วิธีการคำนวณแทนเจนต์และโคแทนเจนต์บนวงกลมตรีโกณมิติ ทบทวนหลักสูตรวิชาพีชคณิตเกรด 10

เราระบุเฉพาะภาพบนวงกลม สัญญาณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับมุม:

โปรดทราบว่า คุณสามารถระบุช่วงของค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ได้ เช่นเดียวกับช่วงของค่าไซน์และโคไซน์ ตามคำจำกัดความของวงกลมตรีโกณมิติ ความหมายของฟังก์ชันเหล่านี้ไม่จำกัด:

มีอะไรอีกที่สามารถเขียนได้เช่นนี้:

นอกจากมุมในช่วงจากถึงแล้ว วงกลมตรีโกณมิติยังช่วยให้คุณทำงานกับมุมที่ใหญ่กว่าและแม้กระทั่งกับมุมลบด้วย ค่ามุมดังกล่าวแม้จะดูไม่มีความหมายสำหรับเรขาคณิต แต่ก็ถูกนำมาใช้เพื่ออธิบายกระบวนการทางกายภาพบางอย่าง เช่น คุณจะตอบคำถามอย่างไร: “เข็มนาฬิกาในหนึ่งวันจะหมุนไปมุมไหน”ในช่วงเวลานี้ มันจะเสร็จสิ้นการปฏิวัติสองครั้งเต็ม และในการปฏิวัติครั้งเดียวมันจะผ่านไป กล่าวคือ ภายในหนึ่งวันก็จะเปลี่ยนเป็น อย่างที่คุณเห็นค่าดังกล่าวมีความหมายเชิงปฏิบัติมาก เครื่องหมายมุมใช้เพื่อระบุทิศทางการหมุน - ทิศทางหนึ่งตกลงที่จะวัดด้วยมุมบวกและอีกทิศทางหนึ่งเห็นด้วยมุมลบ สิ่งนี้จะนำมาพิจารณาในวงกลมตรีโกณมิติได้อย่างไร?

บนวงกลมที่มีมุมดังกล่าวจะทำงานดังนี้:

1) มุมที่มากกว่า , จะถูกพล็อตทวนเข็มนาฬิกาโดยผ่านจุดกำเนิดหลาย ๆ ครั้งตามความจำเป็น ตัวอย่างเช่น ในการสร้างมุม คุณต้องผ่านการปฏิวัติเต็มสองครั้งและอีกครั้งหนึ่ง ฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดจะถูกคำนวณสำหรับตำแหน่งสุดท้าย จะเห็นได้ง่ายว่าค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดสำหรับและสำหรับจะเท่ากัน

2) มุมลบจะถูกจัดวางตามหลักการเดียวกันกับมุมบวกทุกประการตามเข็มนาฬิกาเท่านั้น

เพียงด้วยวิธีการสร้างมุมขนาดใหญ่ก็สามารถสรุปได้ว่าค่าของไซน์และโคไซน์ของมุมที่แตกต่างกันจะเท่ากัน หากเราวิเคราะห์ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ก็จะเท่ากันสำหรับมุมที่แตกต่างกัน .

เมื่อเพิ่มเข้าไปในอาร์กิวเมนต์ ตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์น้อยที่สุดดังกล่าวจะไม่เปลี่ยนค่าของฟังก์ชันจะถูกเรียก ระยะเวลาฟังก์ชั่นนี้

ดังนั้น, ระยะเวลาไซน์และโคไซน์เท่ากันและแทนเจนต์และโคแทนเจนต์- ซึ่งหมายความว่าไม่ว่าคุณจะเพิ่มหรือลบช่วงเวลาเหล่านี้จากมุมที่พิจารณาเท่าใด ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะไม่เปลี่ยนแปลง

ตัวอย่างเช่น, , และอื่น ๆ.

เราจะกลับมาที่คำอธิบายโดยละเอียดเพิ่มเติมและการประยุกต์คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิตินี้

มีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์เดียวกันที่มักใช้และถูกเรียก อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

พวกเขามีลักษณะเช่นนี้:

1) ที่เรียกว่า "หน่วยตรีโกณมิติ"

3)

4)

5)

โปรดทราบว่า ตัวอย่างเช่น สัญกรณ์หมายความว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติทั้งหมดเป็นกำลังสอง เหล่านั้น. สามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้: - สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าสิ่งนี้ไม่เท่ากับสัญกรณ์ เช่น ในกรณีนี้ มีเพียงอาร์กิวเมนต์เท่านั้นที่ถูกยกกำลังสอง และไม่ใช่ฟังก์ชันทั้งหมด นอกจากนี้ นิพจน์ประเภทนี้ยังพบได้น้อยมาก

มีข้อพิสูจน์ที่มีประโยชน์มากสองประการจากอัตลักษณ์แรกที่สามารถเป็นประโยชน์ในการแก้ปัญหาหลายประเภท หลังจากการแปลงอย่างง่าย คุณสามารถแสดงไซน์ผ่านโคไซน์ของมุมเดียวกันและในทางกลับกัน:

เครื่องหมายนิพจน์ที่เป็นไปได้สองรายการปรากฏขึ้นเนื่องจาก การใช้รากที่สองทางคณิตศาสตร์จะให้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบ และไซน์และโคไซน์ดังที่เราได้เห็นแล้วว่าสามารถมีค่าเป็นลบได้ ยิ่งไปกว่านั้น จะสะดวกที่สุดในการกำหนดสัญญาณของฟังก์ชันเหล่านี้โดยใช้วงกลมตรีโกณมิติ ขึ้นอยู่กับว่ามีมุมใดบ้างที่อยู่ในนั้น

โปรดจำไว้ว่ามุมสามารถวัดได้สองวิธี: เป็นองศาและเรเดียน ให้เราระบุคำจำกัดความของหนึ่งองศาและหนึ่งเรเดียน

ระดับหนึ่ง- นี่คือมุมที่เกิดจากรัศมีสองรัศมีที่สนับสนุนส่วนโค้งเท่ากับวงกลม

หนึ่งเรเดียน- นี่คือมุมที่เกิดจากรัศมีสองอันต่อด้วยส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมี

เหล่านั้น. มันเป็นเพียงสองวิธีในการวัดมุมที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง ในการอธิบายกระบวนการทางกายภาพที่มีลักษณะเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้การวัดมุมเรเดียน ดังนั้นเราจะต้องคุ้นเคยกับมันด้วย

เป็นเรื่องปกติที่จะวัดมุมเป็นเรเดียนเป็นเศษส่วนของพาย เป็นต้น ในกรณีนี้สามารถทดแทนค่าของตัวเลข "pi" ซึ่งเท่ากับ 3.14 ได้ แต่ไม่ค่อยทำได้

เพื่อแปลงหน่วยวัดองศาของมุมเป็นเรเดียนใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่ามุมคือ ซึ่งง่ายต่อการรับสูตรการแปลทั่วไป:

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเป็นเรเดียน: .

นอกจากนี้ยังมีสิ่งที่ตรงกันข้าม สูตรการแปลงจากเรเดียนเป็นองศา:

ตัวอย่างเช่น ลองแปลงเป็นองศา: .

เราจะใช้การวัดมุมเรเดียนค่อนข้างบ่อยในหัวข้อนี้

ตอนนี้เป็นเวลาที่ต้องจำไว้ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมต่างๆ สามารถให้ค่าเฉพาะใดได้บ้าง สำหรับมุมบางมุมที่เป็นผลทวีคูณของ ก็มี ตารางค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ- เพื่อความสะดวก มุมจะแสดงเป็นหน่วยวัดองศาและเรเดียน

มุมเหล่านี้มักพบกับปัญหามากมาย และขอแนะนำให้สามารถนำทางในตารางนี้ได้อย่างมั่นใจ ค่าแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของบางมุมไม่สมเหตุสมผลซึ่งระบุในตารางเป็นเส้นประ คิดด้วยตัวเองว่าทำไมจึงเป็นเช่นนี้หรืออ่านรายละเอียดเพิ่มเติมในส่วนแทรกของบทเรียน

สิ่งสุดท้ายที่เราต้องทำความคุ้นเคยในบทเรียนตรีโกณมิติบทเรียนแรกของเราคือ การแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติโดยใช้สูตรที่เรียกว่าสูตรลด

ปรากฎว่ามีนิพจน์บางประเภทสำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่ค่อนข้างธรรมดาและทำให้ง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่น เหล่านี้คือนิพจน์: ฯลฯ

เหล่านั้น. เราจะพูดถึงฟังก์ชันที่ใช้เป็นมุมโต้แย้งโดยพลการซึ่งเปลี่ยนเป็นทั้งหมดหรือครึ่งส่วน ฟังก์ชั่นดังกล่าวทำให้ง่ายขึ้นเป็นอาร์กิวเมนต์ที่เท่ากับมุมบวกหรือลบส่วนต่างๆ ตัวอย่างเช่น, , ก - อย่างที่คุณเห็น ผลลัพธ์อาจเป็นฟังก์ชันตรงกันข้าม และฟังก์ชันสามารถเปลี่ยนเครื่องหมายได้

ดังนั้นกฎสำหรับการเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันดังกล่าวจึงสามารถแบ่งออกเป็นสองขั้นตอน ขั้นแรก คุณต้องพิจารณาว่าคุณจะได้ฟังก์ชันใดหลังจากการแปลง:

1) หากอาร์กิวเมนต์ใด ๆ ถูกเปลี่ยนเป็นจำนวนเต็มฟังก์ชันจะไม่เปลี่ยนแปลง สิ่งนี้เป็นจริงสำหรับฟังก์ชันประเภท โดยที่จำนวนเต็มใดๆ

ในบทนี้ เราจะพูดถึงความจำเป็นในการแนะนำฟังก์ชันตรีโกณมิติเกิดขึ้นได้อย่างไร และเหตุใดจึงมีการศึกษาฟังก์ชันเหล่านี้ สิ่งที่คุณต้องเข้าใจในหัวข้อนี้ และจุดใดที่คุณต้องทำให้ดีขึ้น (เทคนิคคืออะไร) โปรดทราบว่าเทคนิคและความเข้าใจเป็นสองสิ่งที่แตกต่างกัน เห็นด้วยว่ามีความแตกต่าง: การเรียนรู้การขี่จักรยานนั่นคือการทำความเข้าใจวิธีการทำหรือการเป็นนักปั่นจักรยานมืออาชีพ เราจะพูดถึงความเข้าใจโดยเฉพาะว่าเหตุใดจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชันตรีโกณมิติ

มีฟังก์ชันตรีโกณมิติสี่ฟังก์ชัน แต่ทั้งหมดสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันหนึ่งโดยใช้อัตลักษณ์ (ความเท่าเทียมกันที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเหล่านั้น)

คำจำกัดความอย่างเป็นทางการของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมแหลมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 1)

ไซนัสมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านตรงข้ามมุมฉาก

โคไซน์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของขาที่อยู่ติดกันต่อด้านตรงข้ามมุมฉาก

แทนเจนต์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านตรงข้ามกับด้านประชิด

โคแทนเจนต์มุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากคืออัตราส่วนของด้านประชิดกับด้านตรงข้าม

ข้าว. 1. การหาฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

คำจำกัดความเหล่านี้เป็นทางการ ถูกต้องกว่าถ้าบอกว่ามีเพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น เช่น ไซน์ หากไม่จำเป็น (ไม่ได้ใช้บ่อยนัก) ในเทคโนโลยี ฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ มากมายก็คงจะไม่ถูกนำมาใช้

ตัวอย่างเช่น โคไซน์ของมุมเท่ากับไซน์ของมุมเดียวกันด้วยการบวก () นอกจากนี้ โคไซน์ของมุมสามารถแสดงผ่านไซน์ของมุมเดียวกันจนถึงเครื่องหมายได้เสมอ โดยใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน () แทนเจนต์ของมุมคืออัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์หรือโคแทนเจนต์กลับด้าน (รูปที่ 2) บางตัวไม่ได้ใช้โคแทนเจนต์เลย โดยแทนที่ด้วย . ดังนั้นจึงเป็นสิ่งสำคัญที่จะต้องเข้าใจและสามารถทำงานกับฟังก์ชันตรีโกณมิติได้

ข้าว. 2. ความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติต่างๆ

แต่เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีฟังก์ชั่นดังกล่าว? พวกเขาใช้ปัญหาเชิงปฏิบัติอะไรบ้างในการแก้ปัญหา? ลองดูตัวอย่างบางส่วน

สองคน ( กและ ใน) ดันรถออกจากแอ่งน้ำ (รูปที่ 3) มนุษย์ ในสามารถดันรถไปด้านข้างได้ในขณะที่ไม่น่าจะช่วยได้ ก- ในทางกลับกัน ทิศทางความพยายามของเขาสามารถค่อยๆ เปลี่ยนไปได้ (รูปที่ 4)

ข้าว. 3. ในดันรถไปด้านข้าง

ข้าว. 4. ในเริ่มเปลี่ยนทิศทางความพยายามของเขา

เห็นได้ชัดว่าความพยายามของพวกเขาจะมีประสิทธิภาพมากที่สุดเมื่อพวกเขาดันรถไปในทิศทางเดียว (รูปที่ 5)

ข้าว. 5. ทิศทางความพยายามร่วมกันที่มีประสิทธิภาพสูงสุด

เท่าไร ในช่วยดันเครื่องจักรจนทิศทางของแรงใกล้เคียงกับทิศทางของแรงที่มันกระทำ กเป็นฟังก์ชันของมุมและแสดงผ่านโคไซน์ (รูปที่ 6)

ข้าว. 6. โคไซน์เป็นลักษณะของประสิทธิภาพความพยายาม ใน

หากเราคูณขนาดของแรงนั้นด้วย ในบนโคไซน์ของมุม เราจะได้แรงที่ฉายไปยังทิศทางของแรงที่มันกระทำ ก- ยิ่งมุมระหว่างทิศทางของแรงอยู่ใกล้เท่าใด ผลลัพธ์ของการกระทำร่วมก็จะยิ่งมีประสิทธิภาพมากขึ้นเท่านั้น กและ ใน(รูปที่ 7) หากพวกเขาดันรถด้วยแรงเท่ากันไปในทิศทางตรงกันข้าม รถก็จะยังคงอยู่กับที่ (รูปที่ 8)

ข้าว. 7. ประสิทธิผลของความพยายามร่วมกัน กและ ใน

ข้าว. 8. ทิศทางตรงข้ามของแรง กและ ใน

สิ่งสำคัญคือต้องเข้าใจว่าเหตุใดเราจึงสามารถแทนที่มุม (ซึ่งมีส่วนทำให้เกิดผลลัพธ์สุดท้าย) ด้วยโคไซน์ (หรือฟังก์ชันตรีโกณมิติอื่นๆ ของมุม) อันที่จริง สิ่งนี้ตามมาจากคุณสมบัติของสามเหลี่ยมที่คล้ายกันนี้ เนื่องจากในความเป็นจริง เรากำลังพูดดังต่อไปนี้: มุมสามารถถูกแทนที่ด้วยอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว (ด้านด้านตรงข้ามมุมฉากหรือด้านด้าน) สิ่งนี้จะเป็นไปไม่ได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับมุมเดียวกันของสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต่างกัน อัตราส่วนเหล่านี้จะต่างกัน (รูปที่ 9)

ข้าว. 9. อัตราส่วนด้านเท่ากันในรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน

ตัวอย่างเช่น หากอัตราส่วนและอัตราส่วนต่างกัน เราจะไม่สามารถแนะนำฟังก์ชันแทนเจนต์ได้ เนื่องจากมุมเดียวกันในสามเหลี่ยมมุมฉากที่ต่างกัน แทนเจนต์จะแตกต่างกัน แต่เนื่องจากอัตราส่วนของความยาวของขาของสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันจะเท่ากัน ค่าของฟังก์ชันจะไม่ขึ้นอยู่กับรูปสามเหลี่ยม ซึ่งหมายความว่ามุมแหลมและค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิตินั้นมีค่าเท่ากัน หนึ่งต่อหนึ่ง.

สมมติว่าเรารู้ความสูงของต้นไม้ต้นหนึ่ง (รูปที่ 10) จะวัดความสูงของอาคารใกล้เคียงได้อย่างไร?

ข้าว. 10. ภาพประกอบเงื่อนไขของตัวอย่างที่ 2

เราพบจุดที่เส้นที่ลากผ่านจุดนี้และยอดบ้านจะทะลุยอดต้นไม้ (รูปที่ 11)

ข้าว. 11. ภาพประกอบวิธีแก้ไขปัญหาตัวอย่างที่ 2

เราสามารถวัดระยะทางจากจุดนี้ถึงต้นไม้ ระยะทางจากจุดนั้นถึงบ้าน และเรารู้ความสูงของต้นไม้ได้ จากสัดส่วนคุณสามารถหาความสูงของบ้านได้: .

สัดส่วนคือความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนของตัวเลขสองตัว ในกรณีนี้คือความเท่าเทียมกันของอัตราส่วนความยาวของขาของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกัน นอกจากนี้ อัตราส่วนเหล่านี้ยังเท่ากับการวัดมุมซึ่งแสดงผ่านฟังก์ชันตรีโกณมิติ (ตามคำจำกัดความ นี่คือแทนเจนต์) เราพบว่าค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมแหลมแต่ละมุมมีค่าไม่ซ้ำกัน นั่นคือไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันจริงๆ เนื่องจากแต่ละมุมแหลมสอดคล้องกับค่าหนึ่งของแต่ละมุม จึงสามารถสำรวจเพิ่มเติมและใช้คุณสมบัติของพวกมันได้ ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับทุกมุมได้รับการคำนวณแล้วและสามารถใช้งานได้ (สามารถดูได้จากตาราง Bradis หรือใช้เครื่องคิดเลขทางวิศวกรรม) แต่เราไม่สามารถแก้ปัญหาผกผันได้เสมอไป (เช่น การใช้ค่าไซน์เพื่อคืนค่าการวัดมุมที่สอดคล้องกับค่านั้น)

ให้ไซน์ของมุมบางมุมเท่ากับหรือประมาณ (รูปที่ 12) มุมใดจะสอดคล้องกับค่าไซน์นี้? แน่นอนว่าเราสามารถใช้ตาราง Bradis ได้อีกครั้งและค้นหาค่าบางอย่าง แต่ปรากฎว่าจะไม่ใช่เพียงค่าเดียว (รูปที่ 13)

ข้าว. 12. การหามุมด้วยค่าไซน์ของมัน

ข้าว. 13. โพลิเซมีของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผัน

ดังนั้น เมื่อสร้างค่าฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมขึ้นใหม่ ลักษณะที่มีหลายค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันจะเกิดขึ้น นี่อาจดูยาก แต่ในความเป็นจริงแล้ว เราเผชิญกับสถานการณ์คล้ายกันทุกวัน

หากคุณปิดหน้าต่างและไม่รู้ว่าข้างนอกสว่างหรือมืด หรือพบว่าตัวเองอยู่ในถ้ำ เมื่อตื่นขึ้นมาก็ยากที่จะบอกว่าเป็นเวลาบ่ายโมง กลางคืน หรือ วันรุ่งขึ้น (รูปที่ 14) ที่จริงแล้ว ถ้าคุณถามเราว่า “กี่โมงแล้ว” เราต้องตอบตามตรงว่า “ชั่วโมงบวกคูณด้วยที่ไหน”

ข้าว. 14. ภาพประกอบของ polysemy โดยใช้ตัวอย่างนาฬิกา

เราสามารถสรุปได้ว่านี่คือช่วงเวลา (ช่วงเวลาที่นาฬิกาจะแสดงเวลาเดียวกับตอนนี้) ฟังก์ชันตรีโกณมิติยังมีคาบ เช่น ไซน์ โคไซน์ ฯลฯ นั่นคือค่าของพวกเขาจะถูกทำซ้ำหลังจากการเปลี่ยนแปลงในการโต้แย้ง

หากไม่มีการเปลี่ยนแปลงของกลางวันและกลางคืนหรือการเปลี่ยนแปลงของฤดูกาลบนโลกเราก็ไม่สามารถใช้เวลาเป็นงวดได้ ท้ายที่สุดแล้ว เรานับปีตามลำดับจากน้อยไปหามากเท่านั้น แต่วันต่างๆ มีชั่วโมง และทุกๆ วันใหม่การนับจะเริ่มต้นใหม่อีกครั้ง สถานการณ์ก็เหมือนกันหลายเดือน ถ้าเป็นมกราคม ตอนนี้อีกไม่กี่เดือนมกราคมจะกลับมาอีก เป็นต้น จุดอ้างอิงภายนอกช่วยให้เราใช้การนับเวลาเป็นระยะ (ชั่วโมง เดือน) เช่น การหมุนของโลกรอบแกนของมัน และการเปลี่ยนแปลงตำแหน่งของดวงอาทิตย์และดวงจันทร์บนท้องฟ้า หากดวงอาทิตย์แขวนอยู่ในตำแหน่งเดิมเสมอ เพื่อคำนวณเวลา เราจะนับจำนวนวินาที (นาที) นับจากช่วงเวลาที่การคำนวณนี้เริ่มต้นขึ้น วันที่และเวลาอาจอ่านได้ดังนี้: หนึ่งพันล้านวินาที

สรุป: ไม่มีปัญหาในแง่ของโพลิซีมีของฟังก์ชันผกผัน แท้จริงแล้วอาจมีตัวเลือกเมื่อค่ามุมที่แตกต่างกันสำหรับไซน์เดียวกัน (รูปที่ 15)

ข้าว. 15. การคืนค่ามุมจากค่าไซน์ของมัน

โดยปกติแล้ว เมื่อแก้ไขปัญหาในทางปฏิบัติ เราจะทำงานในช่วงมาตรฐานตั้งแต่ ถึง ในช่วงนี้สำหรับแต่ละค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติจะมีค่าการวัดมุมที่สอดคล้องกันเพียงสองค่าเท่านั้น

พิจารณาสายพานที่เคลื่อนที่ได้และลูกตุ้มในรูปแบบของถังที่มีรูที่ทรายไหลออกมา ลูกตุ้มแกว่งเทปเคลื่อนที่ (รูปที่ 16) เป็นผลให้ทรายจะทิ้งร่องรอยไว้ในรูปแบบของกราฟของฟังก์ชันไซน์ (หรือโคไซน์) ซึ่งเรียกว่าคลื่นไซน์

ในความเป็นจริง กราฟของไซน์และโคไซน์แตกต่างกันเฉพาะในจุดอ้างอิงเท่านั้น (หากคุณวาดกราฟใดกราฟหนึ่งแล้วลบแกนพิกัด คุณจะไม่สามารถระบุได้ว่ากราฟใดถูกวาด) ดังนั้นจึงไม่มีเหตุผลที่จะเรียกกราฟโคไซน์ว่ากราฟ (ทำไมต้องแยกชื่อกราฟเดียวกัน)

ข้าว. 16. ภาพประกอบคำชี้แจงปัญหาในตัวอย่างที่ 4

กราฟของฟังก์ชันยังช่วยให้คุณเข้าใจว่าทำไมฟังก์ชันผกผันจึงมีหลายค่า ถ้าค่าของไซน์คงที่ เช่น วาดเส้นตรงขนานกับแกน abscissa จากนั้นที่จุดตัดเราจะได้จุดทั้งหมดที่ไซน์ของมุมเท่ากับจุดที่กำหนด เป็นที่ชัดเจนว่าจะมีจุดดังกล่าวจำนวนอนันต์ เช่นเดียวกับในตัวอย่างนาฬิกา ซึ่งค่าเวลาแตกต่างกัน เฉพาะที่นี่เท่านั้นค่ามุมจะแตกต่างกันตามจำนวน (รูปที่ 17)

ข้าว. 17. ภาพประกอบของ polysemy สำหรับไซน์

หากเราพิจารณาตัวอย่างนาฬิกา จุด (ปลายตามเข็มนาฬิกา) จะเคลื่อนที่ไปรอบวงกลม ฟังก์ชันตรีโกณมิติสามารถกำหนดได้ในลักษณะเดียวกัน - ไม่ใช่มุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่พิจารณามุมระหว่างรัศมีของวงกลมกับทิศทางที่เป็นบวกของแกน จำนวนวงกลมที่จุดจะผ่านไป (เราตกลงที่จะนับการเคลื่อนไหวตามเข็มนาฬิกาด้วยเครื่องหมายลบและทวนเข็มนาฬิกาด้วยเครื่องหมายบวก) นี่คือช่วงเวลา (รูปที่ 18)

ข้าว. 18. ค่าของไซน์บนวงกลม

ดังนั้นฟังก์ชันผกผันจึงถูกกำหนดไว้โดยเฉพาะในช่วงเวลาหนึ่ง สำหรับช่วงเวลานี้เราสามารถคำนวณค่าของมันและรับส่วนที่เหลือทั้งหมดจากค่าที่พบโดยการบวกและลบระยะเวลาของฟังก์ชัน

ลองดูอีกตัวอย่างหนึ่งของช่วงเวลาหนึ่ง รถกำลังเคลื่อนตัวไปตามถนน ลองจินตนาการว่าล้อของเธอขับไปในสีหรือแอ่งน้ำ อาจเห็นรอยสีหรือแอ่งน้ำบนถนนเป็นครั้งคราว (รูปที่ 19)

ข้าว. 19. ภาพประกอบประจำเดือน

ในหลักสูตรของโรงเรียนมีสูตรตรีโกณมิติค่อนข้างมาก แต่โดยรวมแล้วก็พอจำได้เพียงสูตรเดียว (รูปที่ 20)

ข้าว. 20. สูตรตรีโกณมิติ

สูตรมุมคู่สามารถหาค่าไซน์ของผลบวกได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่ (ในทำนองเดียวกันกับโคไซน์) คุณยังสามารถรับสูตรผลิตภัณฑ์ได้อีกด้วย

ในความเป็นจริงคุณต้องจำน้อยมากเนื่องจากเมื่อแก้ปัญหาสูตรเหล่านี้จะถูกจดจำด้วยตัวเอง แน่นอนว่าบางคนอาจขี้เกียจเกินไปที่จะตัดสินใจ แต่แล้วพวกเขาก็ไม่จำเป็นต้องใช้เทคนิคนี้และด้วยเหตุนี้จึงต้องมีสูตรด้วย

และเนื่องจากสูตรไม่จำเป็นจึงไม่จำเป็นต้องจดจำ คุณเพียงแค่ต้องเข้าใจแนวคิดที่ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติเป็นฟังก์ชันที่ใช้ในการคำนวณ เช่น บริดจ์ แทบไม่มีกลไกใดสามารถทำได้หากไม่มีการใช้และการคำนวณ

1. คำถามมักเกิดขึ้นว่าสายไฟสามารถขนานกับพื้นได้หรือไม่ คำตอบ: ไม่ พวกมันทำไม่ได้ เนื่องจากแรงหนึ่งกระทำลงด้านล่างและอีกแรงหนึ่งกระทำขนานกัน - พวกมันจะไม่ทรงตัวเลย (รูปที่ 21)

2. หงส์ กั้ง และหอก ลากเกวียนในระนาบเดียวกัน หงส์บินไปในทิศทางเดียวกั้งดึงอีกด้านหนึ่งและหอกในทิศทางที่สาม (รูปที่ 22) พลังของพวกเขาสามารถสมดุลได้ ความสมดุลนี้สามารถคำนวณได้โดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3. สะพานขึง (รูปที่ 23) ฟังก์ชันตรีโกณมิติช่วยคำนวณจำนวนสายเคเบิล วิธีการกำหนดทิศทางและความตึงของสายเคเบิล

ข้าว. 23. สะพานขึง

ข้าว. 24. “สะพานเชือก”

ข้าว. 25. สะพานบอลชอยโอบูคอฟสกี้

ลิงค์ไปยังเว็บไซต์ ma-te-ri-a-lyอินเทอร์เน็ตUrok

คณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 6:

เรขาคณิตเกรด 8: