พลังของจำนวน กมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติ nที่มากกว่า 1 เรียกว่าผลคูณ nปัจจัยแต่ละอย่างเท่าเทียมกัน ก:

ในการแสดงออก n:

ตัวเลข ก(ตัวประกอบการซ้ำ) เรียกว่า พื้นฐานการศึกษาระดับปริญญา

ตัวเลข n(ระบุจำนวนตัวคูณซ้ำ) – เลขชี้กำลัง

ตัวอย่างเช่น:
2 5 = 2 2 2 2 2 = 32,
ที่นี่:
2 – ระดับฐาน
5 – เลขชี้กำลัง
ค่า 32 – องศา

โปรดทราบว่าฐานของปริญญาสามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้

การคำนวณค่ากำลังเรียกว่าการกระทำของการยกกำลัง นี่คือการกระทำขั้นที่สาม นั่นคือเมื่อคำนวณค่าของนิพจน์ที่ไม่มีวงเล็บให้ดำเนินการขั้นที่สามก่อนจากนั้นขั้นที่สอง (การคูณและการหาร) และสุดท้ายขั้นแรก (การบวกและการลบ)

การเขียนตัวเลขจำนวนมากมักใช้เลขยกกำลัง 10 ดังนั้น ระยะทางจากโลกถึงดวงอาทิตย์ซึ่งประมาณ 150 ล้านกิโลเมตร จึงเขียนเป็น 1.5 10 8

แต่ละตัวเลขที่มากกว่า 10 สามารถเขียนเป็น: a · 10 n โดยที่ 1 ≤ a< 10 и n – натуральное число. Такая запись называется стандартным видом числа.

ตัวอย่างเช่น: 4578 = 4.578 · 10 3 ;

103000 = 1.03 · 10 5.

คุณสมบัติของระดับที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติ:

1. ที่ พลังทวีคูณหากมีฐานเดียวกัน ฐานจะยังคงเหมือนเดิม และเลขชี้กำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

เป็น ม · n = เป็น ม + n

ตัวอย่างเช่น: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

2. ที่ การแบ่งองศาเมื่อฐานเท่ากัน ฐานก็จะเท่าเดิมและเลขยกกำลังจะถูกลบออก

ก. / ก. n = ก. - n ,

โดยที่ m > n
ก ≠ 0

เช่น 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

3. ที่ ยกอำนาจขึ้นสู่อำนาจฐานยังคงเหมือนเดิมแต่เลขยกกำลังถูกคูณ

(ม) n = มน

เช่น (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

4. ที่ ยกระดับพลังของผลิตภัณฑ์แต่ละปัจจัยจะถูกยกขึ้นสู่อำนาจนี้

(ก · ข) n = n · ข ม ,

ตัวอย่างเช่น:(2 3) 3 = 2 n 3 m,

5. ที่ การยกกำลังของเศษส่วนตัวเศษและส่วนถูกยกกำลังนี้

(ก / ข) n = ก n / ข n

ตัวอย่าง: (2 / 5) 3 =(2 / 5)·(2 / 5)·(2 / 5) = 2 3 /5 3

กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

เลขยกกำลัง a > 0 c ตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผลโดยที่ m เป็นจำนวนเต็มและ n เป็นจำนวนธรรมชาติ (n > 1) เรียกว่าตัวเลข

ตัวอย่างเช่น:

กำลังของ 0 ถูกกำหนดไว้สำหรับเลขชี้กำลังบวกเท่านั้น

ตามคำจำกัดความ 0 r = 0 สำหรับ r ใดๆ > 0

หมายเหตุ

สำหรับ องศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ คุณสมบัติพื้นฐานขององศาจะยังคงอยู่เป็นจริงสำหรับตัวบ่งชี้ใดๆ (โดยมีเงื่อนไขว่าฐานของระดับเป็นบวก)

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจริง

ดังนั้น สำหรับจำนวนจริงใดๆ เราได้กำหนดการดำเนินการเพื่อเพิ่มพลังธรรมชาติ สำหรับจำนวนใดๆ เราได้กำหนดการยกกำลังให้เป็นศูนย์และจำนวนเต็มลบ สำหรับสิ่งใดๆ เราได้กำหนดการดำเนินการของการยกกำลังเศษส่วนที่เป็นบวก สำหรับค่าใดๆ เราได้นิยามการดำเนินการของการยกกำลังเศษส่วนเป็นลบ

คำถามธรรมชาติเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะกำหนดการดำเนินการของการยกกำลังไม่ลงตัวและดังนั้นจึงกำหนดความหมายของนิพจน์ a x สำหรับจำนวนจริง x ใด ๆ ได้หรือไม่? ปรากฎว่าสำหรับจำนวนบวก เราสามารถให้ความหมายกับสัญกรณ์ α โดยที่ α เป็นจำนวนอตรรกยะ ในการทำเช่นนี้ เราต้องพิจารณาสามกรณี: a = 1, a > 1, 0< a < 1.

ดังนั้น สำหรับค่า > 0 เราได้กำหนดยกกำลังด้วยเลขชี้กำลังจริงใดๆ

เอส. เชสตาคอฟ
มอสโก

การสอบข้อเขียน

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11
1. การคำนวณ การแปลงนิพจน์

§ 3. กำลังด้วยเลขชี้กำลังจริง

แบบฝึกหัดในมาตรา 5 ของบทแรกของการรวบรวมส่วนใหญ่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเลขชี้กำลังและคุณสมบัติของฟังก์ชัน ในย่อหน้านี้ เช่นเดียวกับในวรรคก่อน ไม่เพียงแต่ทดสอบความสามารถในการดำเนินการแปลงตามคุณสมบัติที่ทราบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเชี่ยวชาญด้านสัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันของนักเรียนด้วย ในบรรดางานในคอลเลกชันสามารถแยกแยะกลุ่มได้ดังต่อไปนี้:

• แบบฝึกหัดทดสอบความเชี่ยวชาญในคำจำกัดความของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (1.5.A06, 1.5.B01–B04) และความสามารถในการใช้สัญลักษณ์ฟังก์ชัน (1.5A02, 1.5.B05, ​​​​1.5C11)
• แบบฝึกหัดในการแปลงนิพจน์ที่มีกำลังด้วยเลขชี้กำลังจริง และเพื่อคำนวณค่าของนิพจน์ดังกล่าวและค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (1.5B07, 1.5B09, 1.5.C02, 1.5.C04, 1.5.C05, 1.5D03, 1.5D05, 1.5.D10 และอื่นๆ);
• แบบฝึกหัดเปรียบเทียบค่านิพจน์ที่มีกำลังกับเลขชี้กำลังจริง โดยต้องใช้คุณสมบัติของกำลังกับเลขชี้กำลังจริงและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง (1.5.B11, 1.5C01, 1.5C12, 1.5D01, 1.5D11) ;
• แบบฝึกหัดอื่น ๆ (รวมถึงที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งของตัวเลขความก้าวหน้า ฯลฯ ) - 1.5.A03, 1.5.B08, 1.5.C06, 1.5 C09, 1.5.C10, 1.5.D07, 1.5.D09.

ลองพิจารณาปัญหาหลายประการที่เกี่ยวข้องกับสัญลักษณ์เชิงหน้าที่

1.5.A02. e) มีการกำหนดฟังก์ชัน

ค้นหาค่าของนิพจน์ f 2 (x) – g 2 (x)

สารละลาย. ลองใช้สูตรผลต่างของกำลังสอง:

คำตอบ: –12

1.5.C11. b) มีการกำหนดฟังก์ชัน

จงหาค่าของนิพจน์ f(x) f(y) – g(x) g(y) ถ้า f(x – y) = 9

เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาโดยย่อสำหรับแบบฝึกหัดสำหรับการแปลงนิพจน์ที่มีกำลังด้วยเลขชี้กำลังจริง และสำหรับการคำนวณค่าของนิพจน์ดังกล่าวและค่าของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

1.5.B07. ก) เป็นที่รู้กันว่า 6 ก – 6 –ก= 6. ค้นหาค่าของนิพจน์ (6 ก– 6) 6 ก .

สารละลาย. จากสภาพปัญหาเป็นไปตามนั้น 6 ก – 6 = 6 –ก. แล้ว

(6 ก– 6) 6ก = 6 –ก· 6 ก = 1.

1.5.C05. b) ค้นหาค่าของนิพจน์ 7 ก-ข, ถ้า

สารละลาย. ตามเงื่อนไข หารตัวเศษและส่วนของทางด้านซ้ายของค่านี้ด้วย 7 b เราได้รับ

มาทำการเปลี่ยนกันเถอะ ให้ y = 7 ก-ข. ความเท่าเทียมกันเกิดขึ้น

ลองแก้สมการผลลัพธ์กัน

แบบฝึกหัดกลุ่มต่อไปคืองานสำหรับการเปรียบเทียบค่าของนิพจน์ที่มีกำลังกับเลขชี้กำลังจริง โดยต้องใช้คุณสมบัติของกำลังกับเลขชี้กำลังจริงและฟังก์ชันเลขชี้กำลัง

1.5.B11. b) จัดเรียงตัวเลข f(60), g(45) และ h(30) จากมากไปหาน้อย ถ้า f(x) = 5 x , g(x) = 7 x และ h(x) = 3 x

สารละลาย. ฉ(60) = 5 60 , ก.(45) = 7 45 และ ชม.(30) = 3 30 .

มาแปลงองศาเหล่านี้เพื่อให้ได้ตัวบ่งชี้เดียวกัน:

5 60 =625 15 , 7 45 =343 15 , 3 30 =9 15 .

ลองเขียนฐานจากมากไปน้อย: 625 > 343 > 9

ดังนั้นลำดับที่ต้องการคือ f(60), g(45), h(30)

คำตอบ: f(60), g(45), h(30)

1.5.C12. ก) เปรียบเทียบ โดยที่ x และ y เป็นจำนวนจริง

สารละลาย.

นั่นเป็นเหตุผล

นั่นเป็นเหตุผล

เนื่องจาก 3 2 > 2 3 เราจึงได้สิ่งนั้น

คำตอบ:

1.5.D11. ก) เปรียบเทียบตัวเลข

เนื่องจากเราได้รับ

คำตอบ:

เพื่อให้การทบทวนปัญหากำลังด้วยเลขชี้กำลังจริงสมบูรณ์ เราจะพิจารณาแบบฝึกหัดที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งของตัวเลข ความก้าวหน้า ฯลฯ

1.5.A03. b) เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f(x) = (0,1) x ค้นหาค่าของนิพจน์ 6f(3) + 9f(2) + 4f(1) + 4f(0)

4f(0) + 4f(1) + 9f(2) + 6f(3) = 4 1 + 4 0.1 + 9 0.01 + 6 0.001 = 4.496

ดังนั้น นิพจน์นี้จึงเป็นการขยายผลรวมของหน่วยทศนิยมของ 4.496

คำตอบ: 4,496.

1.5.D07. ก) เมื่อกำหนดฟังก์ชัน f(x) = 0.1 x ค้นหาค่าของนิพจน์ f 3 (1) – f 3 (2) + f 3 (3) + ... + (–1) n–1 f 3 (n) + ...

ฉ 3 (1)–ฉ 3 (2)+ฉ 3 (3)+...+(–1) n–1 ฉ 3 (n)+...= 0.1 3 –0.1 6 +0 ,1 9 + ...+(–1) n–1 · 0.1 3n + ...

นิพจน์นี้คือผลรวมของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่ลดลงอย่างไม่สิ้นสุดโดยมีเทอมแรก 0.001 และตัวส่วน –0.001 เป็นจำนวนเงิน

1.5.D09. ก) จงหาค่าของนิพจน์ 5 2x +5 2y +2 5x · 5 y – 25 y · 5 x ถ้า 5 x –5 y =3, x + y = 3

5 2x +5 2y +25 x 5 ปี –25 ปี 5 x =(5 x – 5 ปี) 2 +2 5 x 5 ปี +5 x 5 ปี (5 x – 5 ปี)=3 2 +2 · 5 x +y +5 x+y · 3=3 2 +2 · 5 3 +3 · 5 3 =634

คำตอบ: 634.

§ 4. นิพจน์ลอการิทึม

เมื่อทำซ้ำหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงนิพจน์ลอการิทึม" (§ 1.6 ของคอลเลกชัน) คุณควรจำสูตรพื้นฐานจำนวนหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับลอการิทึม:

ต่อไปนี้เป็นสูตรจำนวนหนึ่ง ความรู้ที่ไม่จำเป็นต้องแก้ปัญหาในระดับ A และ B แต่อาจมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้น (จำนวนสูตรเหล่านี้สามารถลดหรือเพิ่มได้ขึ้นอยู่กับมุมมองของครู และระดับความพร้อมของนักศึกษา):

แบบฝึกหัดส่วนใหญ่จาก § 1.6 ของคอลเลกชันสามารถจำแนกได้เป็นกลุ่มใดกลุ่มหนึ่งต่อไปนี้:

• แบบฝึกหัดเกี่ยวกับการใช้คำจำกัดความและคุณสมบัติของลอการิทึมโดยตรง (1.6.A03, 1.6.A04, 1.6.B01, 1.6.B05, ​​​​1.6.B08, 1.6.B10, 1.6.C09, 1.6.D01, 1.6.D08 , 1.6.D10);
• แบบฝึกหัดในการคำนวณค่าของนิพจน์ลอการิทึมจากค่าที่กำหนดของนิพจน์หรือลอการิทึมอื่น (1.6.C02, 1.6.C09, 1.6.D02)
• แบบฝึกหัดเพื่อเปรียบเทียบค่าของสองนิพจน์ที่มีลอการิทึม (1.6.C11)
• แบบฝึกหัดที่มีภารกิจหลายขั้นตอนที่ซับซ้อน (1.6.D11, 1.6.D12)

เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาสั้นๆ สำหรับแบบฝึกหัดเกี่ยวกับการใช้คำจำกัดความและคุณสมบัติของลอการิทึมโดยตรง

1.6.B05. ก) ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย.

การแสดงออกอยู่ในรูปแบบ

1.6.D08. b) ค้นหาค่าของนิพจน์ (1 – log 4 36)(1 – log 9 36)

สารละลาย. ลองใช้คุณสมบัติของลอการิทึม:

(1 – บันทึก 4 36)(1 – บันทึก 9 36) =

= (1 – บันทึก 4 4 – บันทึก 4 9)(1 – บันทึก 9 4 – บันทึก 9 9) =

= –ล็อก 4 9 · (–ล็อก 9 4) = 1

1.6.D10. ก) ค้นหาความหมายของสำนวน

สารละลาย. มาแปลงตัวเศษกัน:

บันทึก 6 42 บันทึก 7 42=(1 + บันทึก 6 7)(1 + บันทึก 7 6)=1 + บันทึก 6 7 + บันทึก 7 6 + บันทึก 6 7 บันทึก 7 6

แต่ลอก 6 7 บันทึก 7 6 = 1 ดังนั้น ตัวเศษคือ 2 + บันทึก 6 7 + บันทึก 7 6 และเศษส่วนคือ 1

มาดูแบบฝึกหัดแก้การคำนวณค่าของนิพจน์ลอการิทึมจากค่าที่กำหนดของนิพจน์หรือลอการิทึมอื่น

1.6.D02. ก) ค้นหาค่าของบันทึกนิพจน์ 70 320 ถ้าบันทึก 5 7= ก, บันทึก 7 2= ข.

สารละลาย. มาแปลงนิพจน์กันเถอะ ไปที่ฐาน 7 กันดีกว่า:

เป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า . นั่นเป็นเหตุผล

ปัญหาต่อไปนี้กำหนดให้คุณต้องเปรียบเทียบค่าของสองนิพจน์ที่มีลอการิทึม

1.6.C11. ก) เปรียบเทียบตัวเลข

สารละลาย. ลองลดลอการิทึมทั้งสองให้เหลือฐาน 2 กัน

ดังนั้นตัวเลขเหล่านี้จึงเท่ากัน

คำตอบ: ตัวเลขเหล่านี้เท่ากัน

เราเตือนคุณว่าในบทเรียนนี้เราจะเข้าใจ คุณสมบัติขององศาโดยมีตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติและเป็นศูนย์ กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะและคุณสมบัติของพวกมันจะพูดคุยกันในบทเรียนสำหรับชั้นประถมศึกษาปีที่ 8

กำลังที่มีเลขชี้กำลังตามธรรมชาติมีคุณสมบัติที่สำคัญหลายประการที่ช่วยให้เราสามารถคำนวณได้ง่ายขึ้นในตัวอย่างที่มีกำลัง

คุณสมบัติหมายเลข 1
ผลิตผลแห่งอำนาจ

จดจำ!

เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขยกกำลังจะถูกบวกเข้าด้วยกัน

a m · a n = a m + n โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

คุณสมบัติของพลังนี้ยังใช้กับผลคูณของพลังตั้งแต่สามตัวขึ้นไปด้วย

• ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  ข 2 ข 3 ข 4 ข 5 = ข 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = ข 15
• นำเสนอเป็นปริญญา
  6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
• นำเสนอเป็นปริญญา
  (0.8) 3 · (0.8) 12 = (0.8) 3 + 12 = (0.8) 15

สำคัญ!

โปรดทราบว่าในคุณสมบัติที่ระบุเรากำลังพูดถึงการคูณพลังเท่านั้น ในบริเวณเดียวกัน . มันใช้ไม่ได้กับการเพิ่มของพวกเขา

คุณไม่สามารถแทนที่ผลรวม (3 3 + 3 2) ด้วย 3 5 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้ถ้า
คำนวณ (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 และ 3 5 = 243

คุณสมบัติหมายเลข 2
องศาบางส่วน

จดจำ!

เมื่อหารเลขยกกำลังด้วยฐานเดียวกัน ฐานจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังของตัวหารจะถูกลบออกจากเลขชี้กำลังของเงินปันผล

= 11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44

ตัวอย่าง. แก้สมการ เราใช้คุณสมบัติของกำลังหาร
3 8: เสื้อ = 3 4

ที = 3 8 − 4

คำตอบ: เสื้อ = 3 4 = 81

การใช้คุณสมบัติหมายเลข 1 และหมายเลข 2 จะทำให้นิพจน์และคำนวณง่ายขึ้นได้อย่างง่ายดาย

• ตัวอย่าง. ลดความซับซ้อนของนิพจน์
  4 5ม. + 6 4 ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 5ม. + 6 + ม. + 2: 4 4ม. + 3 = 4 6ม. + 8 − 4ม. − 3 = 4 2ม. + 5
• ตัวอย่าง. ค้นหาค่าของนิพจน์โดยใช้คุณสมบัติของเลขชี้กำลัง
  = = = 2 9 + 2

  2 5

  = 2 11

  2 5

  = 2 11 − 5 = 2 6 = 64

  สำคัญ!

  โปรดทราบว่าในคุณสมบัติ 2 เราพูดถึงเพียงการแบ่งอำนาจด้วยฐานเดียวกันเท่านั้น

  คุณไม่สามารถแทนที่ผลต่าง (4 3 −4 2) ด้วย 4 1 ได้ นี่เป็นเรื่องที่เข้าใจได้หากคุณนับ (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 และ 4 1 = 4

  ระวัง!

  คุณสมบัติหมายเลข 3
  การยกระดับไปสู่อำนาจ

  จดจำ!

  เมื่อเพิ่มดีกรีเป็นกำลัง ฐานของดีกรีจะไม่เปลี่ยนแปลง และเลขชี้กำลังจะถูกคูณ

  (a n) m = a n · m โดยที่ "a" คือจำนวนใดๆ และ "m", "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

  
  

  คุณสมบัติ 4
  พลังของผลิตภัณฑ์

  จดจำ!

  เมื่อยกผลิตภัณฑ์ขึ้นเป็นกำลัง แต่ละปัจจัยจะถูกยกขึ้นเป็นกำลัง ผลลัพธ์ที่ได้จะถูกคูณ

  (a b) n = a nb n โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ "n" คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

  • ตัวอย่างที่ 1
    (6 ก 2 ข 3 ค) 2 = 6 2 ก 2 2 ข 3 2 ค 1 2 = 36 ก 4 ข 6 ค 2
    
  • ตัวอย่างที่ 2
    (−x 2 ปี) 6 = ((−1) 6 x 2 6 ปี 1 6) = x 12 ปี 6

  สำคัญ!

  โปรดทราบว่าคุณสมบัติหมายเลข 4 เช่นเดียวกับคุณสมบัติอื่นขององศาก็ถูกนำไปใช้ในลำดับย้อนกลับเช่นกัน

  (a n · b n)= (a · b) n

  นั่นคือ ในการคูณเลขยกกำลังด้วยเลขยกกำลังเดียวกัน คุณสามารถคูณฐานได้ แต่เลขยกกำลังไม่เปลี่ยนแปลง

  • ตัวอย่าง. คำนวณ.
    2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10,000
  • ตัวอย่าง. คำนวณ.
    0.5 16 2 16 = (0.5 2) 16 = 1

  ในตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น อาจมีกรณีที่ต้องทำการคูณและการหารยกกำลังที่มีฐานและเลขชี้กำลังต่างกัน ในกรณีนี้ เราแนะนำให้คุณทำดังต่อไปนี้

  ตัวอย่างเช่น, 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
  

  ตัวอย่างการเพิ่มทศนิยมให้เป็นกำลัง

  4 21 (−0.25) 20 = 4 4 20 (−0.25) 20 = 4 (4 (−0.25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4

  คุณสมบัติ 5
  กำลังของผลหาร (เศษส่วน)

  จดจำ!

  หากต้องการเพิ่มผลหารยกกำลัง คุณสามารถเพิ่มเงินปันผลและตัวหารแยกกันเป็นกำลังนี้ และหารผลลัพธ์แรกด้วยวินาที

  (a: b) n = a n: bn โดยที่ “a”, “b” คือจำนวนตรรกยะใดๆ b ≠ 0, n คือจำนวนธรรมชาติใดๆ

  • ตัวอย่าง. นำเสนอนิพจน์เป็นผลหารของกำลัง.
    (5: 3) 12 = 5 12: 3 12

  เราขอเตือนคุณว่าผลหารสามารถแสดงเป็นเศษส่วนได้ ดังนั้นเราจะมาพูดถึงหัวข้อการเพิ่มเศษส่วนเป็นกำลังโดยละเอียดในหน้าถัดไป

หัวข้อบทเรียน: ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะและจำนวนจริง

เป้าหมาย:

เกี่ยวกับการศึกษา :

• สรุปแนวคิดเรื่องปริญญา

  ฝึกความสามารถในการหาค่าของระดับด้วยเลขชี้กำลังจริง

  รวมความสามารถในการใช้คุณสมบัติขององศาเมื่อลดความซับซ้อนของนิพจน์

  พัฒนาทักษะการใช้คุณสมบัติขององศาในการคำนวณ

พัฒนาการ :

• พัฒนาการทางสติปัญญา อารมณ์ และส่วนบุคคลของนักเรียน

  พัฒนาความสามารถในการสรุป จัดระบบโดยการเปรียบเทียบ และสรุปผล

  กระชับกิจกรรมอิสระ

  พัฒนาความสนใจทางปัญญา

เกี่ยวกับการศึกษา :

• การบำรุงเลี้ยงวัฒนธรรมการสื่อสารและข้อมูลของนักเรียน

  การศึกษาเกี่ยวกับสุนทรียภาพนั้นดำเนินการผ่านการสร้างความสามารถในการร่างงานบนกระดานและในสมุดบันทึกอย่างมีเหตุผลและแม่นยำ

นักเรียนควรรู้: ความหมายและคุณสมบัติของดีกรีที่มีเลขชี้กำลังจริง

นักเรียนควรจะสามารถ:

พิจารณาว่าการแสดงออกที่มีระดับเหมาะสมหรือไม่

ใช้คุณสมบัติขององศาในการคำนวณและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น

แก้ตัวอย่างที่มีองศา

เปรียบเทียบค้นหาความเหมือนและความแตกต่าง

รูปแบบบทเรียน: สัมมนา - การประชุมเชิงปฏิบัติการพร้อมองค์ประกอบของการวิจัย รองรับคอมพิวเตอร์

รูปแบบการจัดอบรม: บุคคลกลุ่ม

เทคโนโลยีการศึกษา : การเรียนรู้โดยยึดปัญหา, การเรียนรู้ร่วมกัน, การเรียนรู้ที่เน้นผู้เรียนเป็นศูนย์กลาง, การสื่อสาร

ประเภทบทเรียน: บทเรียนการวิจัยและการปฏิบัติงาน

ภาพบทเรียนและเอกสารประกอบคำบรรยาย:

การนำเสนอ

สูตรและตาราง (ภาคผนวก 1.2)

การมอบหมายงานอิสระ (ภาคผนวก 3)

แผนการเรียน

№

ขั้นตอนบทเรียน

วัตถุประสงค์ของเวที

เวลานาที

เริ่มต้นบทเรียน

การรายงานหัวข้อบทเรียน การกำหนดเป้าหมายบทเรียน

1-2 นาที

งานช่องปาก

ทำซ้ำสูตรยกกำลัง

คุณสมบัติขององศา

4-5 นาที

โซลูชั่นด้านหน้า

กระดานจากตำราเรียนหมายเลข 57 (1,3,5)

№58(1,3,5) พร้อมการปฏิบัติตามแผนการแก้ปัญหาโดยละเอียด

การก่อตัวของทักษะและความสามารถ

นักเรียนสมัครคุณสมบัติ

องศาเมื่อค้นหาค่าของนิพจน์

8-10 นาที

ทำงานเป็นกลุ่มย่อย

การระบุช่องว่างความรู้

นักเรียนสร้างเงื่อนไขให้

การพัฒนานักเรียนแต่ละคน

ในบทเรียน

15-20 นาที

สรุปงานครับ.

ติดตามความสำเร็จของงาน

นักเรียนจะค้นพบคำตอบเมื่อแก้ไขปัญหาในหัวข้ออย่างอิสระ

ลักษณะของความยากลำบาก สาเหตุ

ระบุวิธีแก้ปัญหาร่วมกัน

5-6 นาที

การบ้าน

แนะนำให้นักเรียนทำการบ้าน ให้คำอธิบายที่จำเป็น

1-2 นาที

ระหว่างชั้นเรียน

เวลาจัดงาน

สวัสดีทุกคน! จดวันที่และหัวข้อของบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ

พวกเขาบอกว่าผู้ประดิษฐ์หมากรุกเป็นรางวัลสำหรับการประดิษฐ์ของเขาขอข้าวจากราชา: ในช่องแรกของกระดานเขาขอให้ใส่เมล็ดข้าวหนึ่งเมล็ดในครั้งที่สอง - อีก 2 ครั้งนั่นคือ 2 เม็ดบน ที่สาม - มากกว่า 2 เท่าเช่น 4 เม็ด ฯลฯ มากถึง 64 เซลล์

คำขอของเขาดูเรียบง่ายเกินไปสำหรับราชา แต่ในไม่ช้าก็ชัดเจนว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะบรรลุผล จำนวนธัญพืชที่ต้องมอบให้แก่ผู้ประดิษฐ์หมากรุกเป็นรางวัลจะแสดงด้วยผลรวม

1+2+2 2 +2 3 +…+2 63 .

จำนวนนี้เท่ากับจำนวนมหาศาล

18446744073709551615

และมีขนาดใหญ่มากจนเมล็ดพืชจำนวนนี้สามารถปกคลุมพื้นผิวโลกของเราทั้งหมดรวมถึงมหาสมุทรของโลกด้วยชั้น 1 ซม.

มีการใช้กำลังในการเขียนตัวเลขและสำนวน ซึ่งทำให้มีขนาดกะทัดรัดและสะดวกยิ่งขึ้นสำหรับการดำเนินการ

องศามักใช้ในการวัดปริมาณทางกายภาพ ซึ่งอาจ "มาก" หรือ "น้อยมาก"

มวลของโลก 6000000000000000000000t เขียนเป็นผลคูณ 6.10 21 ต

เส้นผ่านศูนย์กลางของโมเลกุลน้ำ 0.0000000003 m เขียนเป็นผลิตภัณฑ์

3.10 -10 ม.

1. คำที่เกี่ยวข้องกับแนวคิดทางคณิตศาสตร์คืออะไร:

ฐาน
ดัชนี(ระดับ)

คำใดที่สามารถใช้เพื่อรวมคำ:
จำนวนตรรกยะ
จำนวนเต็ม
จำนวนธรรมชาติ
จำนวนอตรรกยะ(เบอร์จริง)
กำหนดหัวข้อของบทเรียน(ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจริง)

2. ดังนั้นก x,ที่ไหนx เป็นจำนวนจริง เลือกจากการแสดงออก

ด้วยตัวบ่งชี้ทางธรรมชาติ

ด้วยตัวบ่งชี้จำนวนเต็ม

ด้วยเลขชี้กำลังที่เป็นตรรกยะ

ด้วยตัวบ่งชี้ที่ไม่ลงตัว

3. เป้าหมายของเราคืออะไร?(ใช้)
ที่เป้าหมายของบทเรียนของเรา ?
– สรุปแนวคิดของปริญญา

งาน:

– ทำซ้ำคุณสมบัติของระดับ
– พิจารณาการใช้คุณสมบัติดีกรีในการคำนวณและทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น
– การพัฒนาทักษะการใช้คอมพิวเตอร์

4 . กำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

ฐาน

องศา

องศาพร้อมตัวบ่งชี้ร, ฐานก (nเอ็น, มn

ร= n

ร= - n

ร= 0

ร= 0

ร =0

ก n= ก. ก. … . ก

ก -n=

ก 0 =1

ก n=เอเอ ….ก

ก -n=

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ก 0 =1

ก=0

0 n=0

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

5 . จากสำนวนเหล่านี้ ให้เลือกสำนวนที่ไม่สมเหตุสมผล:

6 . คำนิยาม

ถ้าเป็นจำนวนร- เป็นธรรมชาติแล้วก รมีงานอยู่รตัวเลข ซึ่งแต่ละตัวมีค่าเท่ากับ:

ก ร= ก. ก. … . ก

ถ้าเป็นจำนวนร- เศษส่วนและบวกนั่นคือที่ไหนมและn- เป็นธรรมชาติ

ตัวเลขแล้ว

ถ้าเป็นตัวบ่งชี้รมีเหตุผลและเป็นลบ จากนั้นจึงเป็นนิพจน์ก ร

ถูกกำหนดให้เป็นส่วนกลับของก - ร

หรือ

ถ้า

7 . ตัวอย่างเช่น

8 . กำลังของจำนวนบวกมีคุณสมบัติพื้นฐานดังต่อไปนี้:

9 . คำนวณ

10. การดำเนินการใด (การดำเนินการทางคณิตศาสตร์) ที่สามารถทำได้ด้วยองศา?

จับคู่:

ก) เมื่อคูณเลขยกกำลังด้วยฐานที่เท่ากัน

1) ฐานถูกคูณ แต่ตัวบ่งชี้ยังคงเท่าเดิม

ข) เมื่อแบ่งอำนาจมีฐานเท่ากัน

2) ฐานถูกแบ่งออก แต่ตัวบ่งชี้ยังคงเหมือนเดิม

B) เมื่อเพิ่มพลังเป็นพลัง

3) ฐานยังคงเท่าเดิม แต่ตัวบ่งชี้จะทวีคูณ

D) เมื่อคูณกำลังด้วยเลขชี้กำลังเท่ากัน

4) ฐานยังคงเหมือนเดิม แต่ตัวบ่งชี้จะถูกลบออก

D) เมื่อทำการหารองศาด้วยเลขชี้กำลังเท่ากัน

5) พื้นฐานยังคงเหมือนเดิม แต่ตัวชี้วัดเพิ่มขึ้น

11 . จากตำราเรียน(ที่กระดานดำ)

วิธีแก้ไขในชั้นเรียน:

№57 (1,3,5)

№58 (1, 3, 5)

№59 (1, 3)

№60 (1,3)

12 . ขึ้นอยู่กับสื่อการสอบ Unified State

(งานอิสระ) บนแผ่นกระดาษ

ที่สิบสี่ศตวรรษ.

คำตอบ: โอเรซมา 13. นอกจากนี้ (เป็นรายบุคคล) สำหรับผู้ที่ทำงานเสร็จเร็วขึ้น:

14. การบ้าน

§ 5 (รู้คำจำกัดความ สูตร)

№57 (2, 4, 6)

№58 (2,4)

№59 (2,4)

№60 (2,4) .

ในตอนท้ายของบทเรียน:

“คณิตศาสตร์ต้องสอนทีหลังเพราะจะทำให้จิตใจเป็นระเบียบ”

– มิคาอิล โลโมโนซอฟ นักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวรัสเซียกล่าวเช่นนั้น

- ขอบคุณสำหรับบทเรียน!

ภาคผนวก 1

1.องศา คุณสมบัติพื้นฐาน

ตัวบ่งชี้

ก 1 =ก

ก n=เอเอ ….ก

อาร์ เอ็น

3 5 =3 . 3 . 3 . 3 . 3 . 3=243,

(-2) 3 =(-2) . (-2) . (-2)= - 8

ปริญญาที่มีเลขชี้กำลังจำนวนเต็ม

0 = 1,

ที่ไหน

0 0 - ไม่ได้กำหนดไว้

ปริญญาที่มีความมีเหตุผล

ตัวบ่งชี้

ที่ไหนก

ม

องศาที่มีเลขชี้กำลังไม่ลงตัว

ตอบ ==25.9...

1. ก x. ก ย=ก x+y

2.ก x:ก ย==ก เอ็กซ์-วาย

3. .(ก x) ย=ก เอ็กซ์วาย

4.(ก.ข) n=ก n.ข n

5. (=

6. (

ภาคผนวก 2

2. ดีกรีที่มีเลขชี้กำลังเป็นตรรกยะ

ฐาน

องศา

องศาพร้อมตัวบ่งชี้ร, ฐานก (nเอ็น, มn

ร= n

ร= - n

ร= 0

ร= 0

ร =0

ก n= ก. ก. … . ก

ก -n=

ก 0 =1

ก n=เอเอ ….ก

ก -n=

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ก 0 =1

ก=0

0 n=0

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ไม่ได้อยู่

ภาคผนวก 3

3. งานอิสระ

การปฏิบัติการเรื่องกำลังถูกใช้ครั้งแรกโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่สิบสี่ศตวรรษ.

ถอดรหัสชื่อนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส

บทเรียนนี้เป็นส่วนหนึ่งของหัวข้อ "การเปลี่ยนแปลงของนิพจน์ที่มีพลังและราก"

บทสรุปคือการพัฒนาบทเรียนโดยละเอียดเกี่ยวกับคุณสมบัติของปริญญาที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะและจำนวนจริง ใช้เทคโนโลยีการเรียนรู้คอมพิวเตอร์ กลุ่ม และเกม

ดาวน์โหลด:

ดูตัวอย่าง:

การพัฒนาระเบียบวิธีของบทเรียนพีชคณิต

ครูคณิตศาสตร์ของสถาบันปกครองตนเองของรัฐ KO ON KST

เปโควา นาเดจดา ยูริเยฟนา

ในหัวข้อ: “คุณสมบัติขององศาที่มีเลขชี้กำลังเชิงตรรกยะและจำนวนจริง”

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:

• ทางการศึกษา: การรวมและเพิ่มพูนความรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของปริญญาด้วยเลขชี้กำลังเชิงตรรกศาสตร์และการประยุกต์ในแบบฝึกหัด การปรับปรุงความรู้เกี่ยวกับประวัติความเป็นมาของการพัฒนาระดับปริญญา
• การพัฒนา: การพัฒนาทักษะการควบคุมตนเองและการควบคุมซึ่งกันและกัน การพัฒนาความสามารถทางปัญญาทักษะการคิด
• การให้ความรู้: ส่งเสริมความสนใจทางปัญญาในวิชา ปลูกฝังความรับผิดชอบสำหรับงานที่ทำ ส่งเสริมการสร้างบรรยากาศของงานสร้างสรรค์ที่กระตือรือร้น

ประเภทบทเรียน: บทเรียนเพื่อพัฒนาความรู้ ทักษะ และความสามารถ

วิธีการดำเนินการ: วาจา - การมองเห็น

เทคโนโลยีการสอน: เทคโนโลยีการสอนคอมพิวเตอร์ กลุ่ม และเกม

อุปกรณ์บทเรียน : อุปกรณ์ฉายภาพ คอมพิวเตอร์ การนำเสนอบทเรียน พนักงาน

โน๊ตบุ๊ค, หนังสือเรียน การ์ดที่มีข้อความปริศนาอักษรไขว้ และแบบทดสอบไตร่ตรอง

เวลาเรียน: 1 ชั่วโมง 20 นาที

ขั้นตอนหลักของบทเรียน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร คำชี้แจงหัวข้อและวัตถุประสงค์ของบทเรียน

2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน การทำซ้ำคุณสมบัติของระดับด้วยเลขชี้กำลังตรรกยะ

3. การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติขององศาพร้อมเลขชี้กำลังตรรกยะ

4. รายงานนักเรียนโดยใช้คอมพิวเตอร์นำเสนอ

5.ทำงานเป็นกลุ่ม

6. การแก้ปริศนาอักษรไขว้

7. สรุป, ให้คะแนน.การสะท้อน.

8. การบ้าน.

ระหว่างเรียน :

1. องค์กร ช่วงเวลา. สื่อสารหัวข้อ วัตถุประสงค์ของบทเรียน แผนการสอนสไลด์ 1, 2.

2. การอัพเดตความรู้พื้นฐาน

1) การทำซ้ำคุณสมบัติของปริญญาด้วยตัวบ่งชี้ที่มีเหตุผล: นักเรียนจะต้องดำเนินการคุณสมบัติที่เป็นลายลักษณ์อักษรต่อไป - สำรวจหน้าผากสไลด์ 3.

2) นักเรียนบนกระดานดำ - การวิเคราะห์แบบฝึกหัดจากตำราเรียน (Alimov S.A.): a) หมายเลข 74, b) หมายเลข 77

ค) หมายเลข 82-ก;ข;ค

หมายเลข 74: ก) = = ก ;

ข) + = ;

ข) : = = = ข .

หมายเลข 77: ก) = = ;

ข) = = = ข .

หมายเลข 82: ก) = = = ;

ข) = = ย;

ข) () () = .

3. การเขียนตามคำบอกทางคณิตศาสตร์พร้อมการตรวจสอบร่วมกัน นักเรียนแลกเปลี่ยนผลงาน เปรียบเทียบคำตอบ และให้คะแนน

สไลด์ที่ 4 - 5

4. นักเรียนรายงานข้อเท็จจริงทางประวัติศาสตร์บางประการในหัวข้อที่กำลังศึกษา

สไลด์ 6 – 12:

นักเรียนคนแรก: สไลด์ 6

แนวคิดเรื่องปริญญาที่มีตัวบ่งชี้ตามธรรมชาตินั้นถูกสร้างขึ้นในหมู่คนโบราณ สี่เหลี่ยมและลูกบาศก์ตัวเลขถูกใช้เพื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตร นักวิทยาศาสตร์แห่งอียิปต์โบราณและบาบิโลนใช้กำลังของตัวเลขบางตัวในการแก้ปัญหาบางอย่าง

ในศตวรรษที่ 3 หนังสือของนักวิทยาศาสตร์ชาวกรีก Diophantus ได้รับการตีพิมพ์“เลขคณิต” ซึ่งมีการวางสัญลักษณ์ตัวอักษรเบื้องต้น ไดโอแฟนทัสแนะนำสัญลักษณ์สำหรับพลังหกตัวแรกที่ไม่รู้จักและซึ่งกันและกัน ในหนังสือเล่มนี้ สี่เหลี่ยมจัตุรัสจะแสดงด้วยเครื่องหมายและตัวห้อย ตัวอย่างเช่นคิวบ์ - ลงชื่อ k ด้วยดัชนี r เป็นต้น

นักเรียนคนที่สอง: สไลด์ 7

นักวิทยาศาสตร์ชาวกรีกโบราณ พีทาโกรัส มีส่วนช่วยอย่างมากในการพัฒนาแนวคิดเรื่องปริญญา เขามีทั้งโรงเรียน และนักเรียนของเขาทุกคนถูกเรียกว่าพีทาโกรัส พวกเขาเกิดแนวคิดว่าแต่ละตัวเลขสามารถแสดงเป็นตัวเลขได้ ตัวอย่างเช่น แทนตัวเลข 4, 9 และ 16 ในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส

นักเรียนคนแรก: สไลด์ 8-9

สไลด์ 8

สไลด์ 9

ศตวรรษที่สิบหก ในศตวรรษนี้ แนวคิดเรื่องปริญญาได้ขยายออกไป: เริ่มมีการอ้างถึงไม่เพียงแต่จำนวนเฉพาะเท่านั้น แต่ยังรวมไปถึงตัวแปรด้วย ดังที่พวกเขากล่าวไว้แล้ว “ถึงตัวเลขโดยทั่วไป” นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษเอส. สตีวิน คิดค้นสัญกรณ์เพื่อแสดงถึงระดับ: สัญกรณ์ 3(3)+5(2)–4 หมายถึงสัญกรณ์สมัยใหม่ 3 3 + 5 2 – 4.

นักเรียนคนที่สอง: สไลด์ 10

ต่อมา เลขชี้กำลังที่เป็นเศษส่วนและลบพบได้ใน “เลขคณิตสมบูรณ์” (1544) โดยนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน เอ็ม. สตีเฟล และในเอส. สเตวิน

เอส. สตีวินเสนอว่าโดยดีกรีด้วยเลขชี้กำลังของแบบฟอร์มรากเช่น .

นักเรียนคนแรก: สไลด์ 11

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 16 ฟรองซัวส์ วิเอตแนะนำตัวอักษรเพื่อแสดงถึงตัวแปรไม่เพียง แต่ยังรวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ด้วย เขาใช้ตัวย่อ: N, Q, C - สำหรับองศาที่หนึ่งสองและสาม

แต่การกำหนดที่ทันสมัย ​​(เช่น, ) ได้รับการแนะนำในศตวรรษที่ 17 โดย Rene Descartes

นักเรียนคนที่สอง: สไลด์ 12

คำจำกัดความที่ทันสมัยและสัญลักษณ์สำหรับองศาที่มีเลขชี้กำลังเป็นศูนย์ ลบ และเศษส่วนมีต้นกำเนิดมาจากผลงานของนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษจอห์น วาลลิส (1616–1703) และไอแซก นิวตัน

5. วิธีแก้ปัญหาคำไขว้

นักเรียนจะได้รับแผ่นปริศนาอักษรไขว้ พวกเขาตัดสินใจเป็นคู่ คู่ที่แก้ได้ก่อนจะได้รับคะแนนสไลด์ 13-15

6. ทำงานเป็นกลุ่ม.สไลด์ 16.

นักเรียนทำงานอิสระ ทำงานเป็นกลุ่ม 4 คน ปรึกษาหารือกัน จากนั้นจึงส่งงานไปตรวจสอบ

7. สรุปว่าให้คะแนน..

การสะท้อน.

นักเรียนทำแบบทดสอบการไตร่ตรอง ทำเครื่องหมาย “+” หากคุณเห็นด้วย และ “-” มิฉะนั้น

การทดสอบการสะท้อนแสง:

1. ฉันได้เรียนรู้สิ่งใหม่มากมาย

2. สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์กับฉันในอนาคต

3. มีเรื่องให้คิดมากมายระหว่างบทเรียน

4. ฉันได้รับคำตอบสำหรับคำถามทั้งหมดที่ฉันมีระหว่างบทเรียน

5. ฉันทำงานอย่างเป็นเรื่องเป็นราวในระหว่างบทเรียนและบรรลุเป้าหมายของบทเรียน

8. การบ้าน: สไลด์ 17

1) № 76 (1; 3); № 70 (1; 2)

2) ตัวเลือกเสริม: สร้างปริศนาอักษรไขว้พร้อมแนวคิดพื้นฐานของหัวข้อที่ศึกษา

อ้างอิง:

1. อาลีมอฟ เอส.เอ. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ เกรด 10-11 หนังสือเรียน - อ.: Prosveshchenie, 2010
2. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์เกรด 10 วัสดุการสอน การตรัสรู้ 2555

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต:

1. สถานที่ทางการศึกษา - RusCopyBook.Com - หนังสือเรียนอิเล็กทรอนิกส์และ GDZ
2. เว็บไซต์ แหล่งข้อมูลอินเทอร์เน็ตเพื่อการศึกษาสำหรับเด็กนักเรียนและนักเรียน http://www.alleng.ru/edu/educ.htm
3. เว็บไซต์พอร์ทัลของครู - http://www.uchportal.ru/