Arean av en triangel baserat på dess tre sidor. Hur man beräknar arean av en triangel. Uppgift. Ändring i area vid ändring av längden på sidorna

Som du kanske minns från din läroplan för geometri i skolan är en triangel en figur som bildas av tre segment som är förbundna med tre punkter som inte ligger på samma räta linje. En triangel bildar tre vinklar, därav namnet på figuren. Definitionen kan vara annorlunda. En triangel kan också kallas en polygon med tre vinklar, svaret blir också korrekt. Trianglar delas in efter antalet lika sidor och storleken på vinklarna i figurerna. Således urskiljs trianglar som likbenta, liksidiga och skalan, samt rektangulära, spetsiga respektive trubbiga.

Det finns många formler för att beräkna arean av en triangel. Välj hur du ska hitta arean av en triangel, dvs. Vilken formel du ska använda är upp till dig. Men det är värt att notera bara några av notationerna som används i många formler för att beräkna arean av en triangel. Så kom ihåg:

S är arean av triangeln,

a, b, c är triangelns sidor,

h är triangelns höjd,

R är radien för den omskrivna cirkeln,

p är halvperimetern.

Här är de grundläggande notationerna som kan vara användbara för dig om du helt glömt din geometrikurs. Nedan är de mest förståeliga och okomplicerade alternativen för att beräkna det okända och mystiska området i en triangel. Det är inte svårt och kommer att vara användbart både för dina hushållsbehov och för att hjälpa dina barn. Låt oss komma ihåg hur man beräknar arean av en triangel så enkelt som möjligt:

I vårt fall är arean av triangeln: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Kom ihåg att arean mäts i kvadratcentimeter (sqcm).

Rätt triangel och dess area.

En rätvinklig triangel är en triangel där en vinkel är lika med 90 grader (därav kallad rät). En rät vinkel bildas av två vinkelräta linjer (i fallet med en triangel, två vinkelräta segment). I en rätvinklig triangel kan det bara finnas en rät vinkel, eftersom... summan av alla vinklar i en triangel är lika med 180 grader. Det visar sig att 2 andra vinklar ska dela de återstående 90 graderna, till exempel 70 och 20, 45 och 45 osv. Så du kommer ihåg det viktigaste, allt som återstår är att ta reda på hur man hittar arean av en rätvinklig triangel. Låt oss föreställa oss att vi har en sådan rätvinklig triangel framför oss, och vi måste hitta dess område S.

1. Det enklaste sättet att bestämma arean av en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av följande formel:

I vårt fall är arean av den högra triangeln: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I princip finns det inte längre något behov av att verifiera triangelns yta på andra sätt, eftersom Endast den här kommer att vara användbar och kommer att hjälpa i vardagen. Men det finns också alternativ för att mäta arean av en triangel genom spetsiga vinklar.

2. För andra beräkningsmetoder måste du ha en tabell med cosinus, sinus och tangenter. Bedöm själv, här är några alternativ för att beräkna arean av en rätvinklig triangel som fortfarande kan användas:

Vi bestämde oss för att använda den första formeln och med några mindre fläckar (vi ritade den i en anteckningsbok och använde en gammal linjal och gradskiva), men vi fick rätt beräkning:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fick följande resultat: 3,6=3,7, men med hänsyn till cellförskjutningen kan vi förlåta denna nyans.

Likbent triangel och dess area.

Om du står inför uppgiften att beräkna formeln för en likbent triangel, är det enklaste sättet att använda huvudformeln och vad som anses vara den klassiska formeln för arean av en triangel.

Men först, innan vi hittar arean av en likbent triangel, låt oss ta reda på vilken typ av figur det är. En likbent triangel är en triangel där två sidor har samma längd. Dessa två sidor kallas laterala, den tredje sidan kallas basen. Blanda inte ihop en likbent triangel med en liksidig triangel, d.v.s. en regelbunden triangel med alla tre sidor lika. I en sådan triangel finns det inga speciella tendenser till vinklarna, eller snarare till deras storlek. Vinklarna vid basen i en likbent triangel är dock lika, men skiljer sig från vinkeln mellan lika sidor. Så du känner redan till den första och huvudformeln; det återstår att ta reda på vilka andra formler för att bestämma arean av en likbent triangel som är kända.

En triangel är den enklaste geometriska figuren, som består av tre sidor och tre hörn. På grund av sin enkelhet har triangeln använts sedan urminnes tider för att ta olika mått, och idag kan figuren vara användbar för att lösa praktiska och vardagliga problem.

Funktioner av en triangel

Figuren har använts för beräkningar sedan urminnes tider, till exempel arbetar lantmätare och astronomer med trianglars egenskaper för att beräkna ytor och avstånd. Det är lätt att uttrycka arean för vilken n-gon som helst genom området för denna figur, och den här egenskapen användes av forntida vetenskapsmän för att härleda formler för polygonområdena. Konstant arbete med trianglar, särskilt den räta triangeln, blev grunden för en hel gren av matematiken - trigonometri.

Triangelgeometri

Egenskaperna hos den geometriska figuren har studerats sedan urminnes tider: den tidigaste informationen om triangeln hittades i egyptisk papyri från 4 000 år sedan. Sedan studerades figuren i antikens Grekland och de största bidragen till triangelns geometri gjordes av Euklid, Pythagoras och Heron. Studiet av triangeln upphörde aldrig, och på 1700-talet introducerade Leonhard Euler konceptet med en figurs ortocentrum och Eulercirkeln. Vid sekelskiftet 1800- och 1900-talet, när det verkade som att absolut allt var känt om triangeln, formulerade Frank Morley satsen om vinkeltrisektorer och Waclaw Sierpinski föreslog fraktaltriangeln.

Det finns flera typer av platta trianglar som är bekanta för oss från skolans geometrikurser:

• akut - alla hörn av figuren är akuta;
• trubbig - figuren har en trubbig vinkel (mer än 90 grader);
• rektangulär - figuren innehåller en rät vinkel lika med 90 grader;
• likbent - en triangel med två lika sidor;
• liksidig - en triangel med alla lika sidor.
• Det finns alla typer av trianglar i verkligheten, och i vissa fall kan vi behöva beräkna arean av en geometrisk figur.

Arean av en triangel

Area är en uppskattning av hur mycket av planet en figur omsluter. Arean av en triangel kan hittas på sex sätt, med hjälp av sidorna, höjden, vinklarna, radien för den inskrivna eller omskrivna cirkeln, såväl som genom att använda Herons formel eller beräkna dubbelintegralen längs linjerna som avgränsar planet. Den enklaste formeln för att beräkna arean av en triangel är:

där a är sidan av triangeln, h är dess höjd.

Men i praktiken är det inte alltid bekvämt för oss att hitta höjden på en geometrisk figur. Algoritmen för vår kalkylator låter dig beräkna arean genom att veta:

• tre sidor;
• två sidor och vinkeln mellan dem;
• en sida och två hörn.

För att bestämma området genom tre sidor använder vi Herons formel:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

där p är triangelns halvomkrets.

Arean på två sidor och en vinkel beräknas med den klassiska formeln:

S = a × b × sin(alfa),

där alfa är vinkeln mellan sidorna a och b.

För att bestämma arean i termer av en sida och två vinklar använder vi förhållandet som:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gamma)

Med hjälp av en enkel proportion bestämmer vi längden på den andra sidan, varefter vi beräknar arean med formeln S = a × b × sin(alfa). Denna algoritm är helt automatiserad och du behöver bara ange de angivna variablerna och få resultatet. Låt oss titta på ett par exempel.

Exempel från livet

Beläggningsplattor

Låt oss säga att du vill asfaltera golvet med triangulära plattor, och för att bestämma mängden material som behövs måste du känna till arean av benkakel och golvytan. Anta att du behöver bearbeta 6 kvadratmeter yta med hjälp av en platta vars dimensioner är a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Självklart, för att beräkna arean av en triangel, använder räknaren Herons formel och ger resultatet:

Således kommer arean på ett kakelelement att vara 0,021 kvadratmeter, och du behöver 6/0,021 = 285 trianglar för golvförbättringen. Siffrorna 20, 21 och 29 bildar ett pythagoras trippeltal som uppfyller . Och det stämmer, vår kalkylator beräknade också triangelns alla vinklar, och gammavinkeln är exakt 90 grader.

Skoluppgift

I ett skolproblem måste du hitta arean av en triangel, med vetskapen om att sidan a = 5 cm, och vinklarna alfa och beta är 30 respektive 50 grader. För att lösa detta problem manuellt skulle vi först hitta värdet på sidan b med hjälp av proportionen av bildförhållandet och sinusen för de motsatta vinklarna, och sedan bestämma arean med den enkla formeln S = a × b × sin(alfa). Låt oss spara tid, skriv in data i kalkylatorformuläret och få ett omedelbart svar

När du använder räknaren är det viktigt att ange vinklar och sidor korrekt, annars blir resultatet felaktigt.

Slutsats

Triangeln är en unik figur som finns både i verkligheten och i abstrakta beräkningar. Använd vår online-kalkylator för att bestämma arean av trianglar av något slag.

Arean av en triangel. I många geometriproblem som involverar beräkning av arealer används formler för arean av en triangel. Det finns flera av dem, här ska vi titta på de viktigaste.Att lista dessa formler skulle vara för enkelt och till ingen nytta. Vi kommer att analysera ursprunget till de grundläggande formlerna, de som används oftast.

Innan du läser härledningen av formlerna, se till att titta på artikeln om.Efter att ha studerat materialet kan du enkelt återställa formlerna i ditt minne (om de plötsligt "flyger ut" i det ögonblick du behöver).

Första formeln

Diagonalen på ett parallellogram delar det i två trianglar med lika stor yta:

Därför kommer arean av triangeln att vara lika med halva arean av parallellogrammet:

Formel för area av triangel

*Det vill säga, om vi känner till någon sida av triangeln och höjden sänkt till denna sida, då kan vi alltid beräkna arean av denna triangel.

Formel två

Som redan nämnts i artikeln om området för ett parallellogram, ser formeln ut så här:

Arean av en triangel är lika med halva dess area, vilket betyder:

*Det vill säga, om några två sidor i en triangel och vinkeln mellan dem är kända, kan vi alltid beräkna arean av en sådan triangel.

Herons formel (tredje)

Denna formel är svår att härleda och den är till ingen nytta för dig. Titta så vacker hon är, man kan säga att hon själv är minnesvärd.

*Om tre sidor av en triangel ges, kan vi med hjälp av denna formel alltid beräkna dess area.

Formel fyra

Var r– radien för den inskrivna cirkeln

*Om de tre sidorna av en triangel och radien på cirkeln som är inskriven i den är kända, kan vi alltid hitta arean av denna triangel.

Formel fem

Var R– radien för den omskrivna cirkeln.

*Om de tre sidorna av en triangel och radien på cirkeln omskriven runt den är kända, kan vi alltid hitta arean av en sådan triangel.

Frågan uppstår: om tre sidor av en triangel är kända, är det inte lättare att hitta dess area med Herons formel!

Ja, det kan vara lättare, men inte alltid, ibland uppstår komplexitet. Detta innebär att extrahera roten. Dessutom är dessa formler mycket bekväma att använda i problem där arean av en triangel och dess sidor anges och du måste hitta radien för den inskrivna eller omskrivna cirkeln. Sådana uppgifter är tillgängliga som en del av Unified State Examination.

Låt oss titta på formeln separat:

Det är ett specialfall av formeln för arean av en polygon i vilken en cirkel är inskriven:

Låt oss överväga det med exemplet på en femhörning:

Låt oss förbinda cirkelns mittpunkt med hörnen på denna femhörning och nedre vinkelräta från mitten till dess sidor. Vi får fem trianglar, där de tappade perpendicularerna är radierna för den inskrivna cirkeln:

Pentagonens yta är:

Nu är det klart att om vi pratar om en triangel, så tar denna formel formen:

Formel sex

Kan hittas genom att känna till basen och höjden. Hela enkelheten i diagrammet ligger i det faktum att höjden delar basen a i två delar a 1 och en 2, och själva triangeln i två räta trianglar, vars area är och. Då kommer arean av hela triangeln att vara summan av de två angivna områdena, och om vi tar en sekund av höjden ur konsolen, får vi tillbaka basen i summan:

En svårare metod för beräkningar är Herons formel, för vilken du behöver känna till alla tre sidorna. För den här formeln måste du först beräkna triangelns halvomkrets: Herons formel i sig antyder kvadratroten av halvperimetern, multiplicerad i sin tur med dess skillnad på varje sida.

Följande metod, även relevant för alla triangel, låter dig hitta triangelns area genom två sidor och vinkeln mellan dem. Beviset för detta kommer från formeln med höjd - vi ritar höjden på någon av de kända sidorna och genom sinus för vinkeln α får vi att h=a⋅sinα. För att beräkna arean, multiplicera halva höjden med den andra sidan.

Ett annat sätt är att hitta arean av en triangel, känna till 2 vinklar och sidan mellan dem. Beviset för denna formel är ganska enkelt och kan tydligt ses från diagrammet.

Vi sänker höjden från spetsen av den tredje vinkeln till den kända sidan och kallar de resulterande segmenten x i enlighet med detta. Från räta trianglar kan man se att det första segmentet x är lika med produkten

Area formelär nödvändigt för att bestämma arean av en figur, som är en funktion med verkligt värde definierad på en viss klass av figurer på det euklidiska planet och som uppfyller fyra villkor:

1. Positivitet - Arean får inte vara mindre än noll;
2. Normalisering - en kvadrat med sidoenhet har area 1;
3. Kongruens - kongruenta figurer har lika stor yta;
4. Additivitet - arean av föreningen av 2 figurer utan gemensamma interna punkter är lika med summan av områdena för dessa figurer.

Formler för området för geometriska figurer.

Geometrisk figur	Formel	Teckning
Resultatet av att lägga till avstånden mellan mittpunkterna på motsatta sidor av en konvex fyrhörning blir lika med dess halvomkrets.
Cirkelsektor. Arean av en cirkelsektor är lika med produkten av dess båge och halva dess radie.
Cirkelsegment. För att erhålla arean av segment ASB räcker det att subtrahera arean av triangel AOB från arean av sektor AOB.	S = 1/2 R(s - AC)
Ellipsens yta är lika med produkten av längden på ellipsens stora och mindre halvaxlar och talet pi.
Ellips. Ett annat alternativ för att beräkna arean av en ellips är genom två av dess radier.
Triangel. Genom basen och höjden. Formel för arean av en cirkel med dess radie och diameter.
Fyrkantig . Genom hans sida. Arean av en kvadrat är lika med kvadraten på längden på dess sida.
Fyrkant. Genom dess diagonaler. Arean av en kvadrat är lika med halva kvadraten av längden på dess diagonal.
Vanlig polygon. För att bestämma arean av en vanlig polygon är det nödvändigt att dela den i lika trianglar som skulle ha en gemensam vertex i mitten av den inskrivna cirkeln.	S= r p = 1/2 r n a