Trigonometrija je preprosta in jasna. Trigonometrija Trigonometrija iz nič

Nazaj naprej

Pozor! Predogledi diapozitivov so samo informativni in morda ne predstavljajo vseh funkcij predstavitve. Če vas to delo zanima, prenesite polno različico.

1. Uvod.

Ko se približujem šoli, slišim glasove fantov iz telovadnice, grem naprej - pojejo, rišejo ... čustva in občutki so povsod. Moja pisarna, pouk algebre, desetošolci. Tukaj je naš učbenik, v katerem tečaj trigonometrije predstavlja polovico obsega, v njem pa sta dva zaznamka - to so mesta, kjer sem našel besede, ki niso povezane s teorijo trigonometrije.

Med redkimi so učenci, ki imajo radi matematiko, čutijo njeno lepoto in se ne sprašujejo, zakaj se je treba učiti trigonometrijo, kje se naučeno gradivo uporablja? Največ je takšnih, ki naloge enostavno opravijo, da ne bi dobili slabe ocene. In trdno verjamemo, da je uporabna vrednost matematike pridobiti dovolj znanja za uspešno opravljen enotni državni izpit in vpis na univerzo (vpisati se in pozabiti).

Glavni cilj predstavljene lekcije je prikazati uporabno vrednost trigonometrije na različnih področjih človekove dejavnosti. Navedeni primeri bodo učencem pomagali videti povezavo med tem delom matematike in drugimi predmeti, ki se učijo v šoli. Vsebina te lekcije je element strokovnega usposabljanja študentov.

Povejte nekaj novega o na videz že dolgo znanem dejstvu. Pokažite logično povezavo med tem, kar že vemo, in tem, kar se je treba še naučiti. Malo odprite vrata in poglejte onkraj šolskega kurikuluma. Nenavadne naloge, povezave z današnjimi dogodki – to so tehnike, s katerimi dosegam svoje cilje. Navsezadnje šolska matematika kot predmet ne prispeva toliko k učenju kot k razvoju posameznika, njegovega mišljenja in kulture.

2. Povzetek lekcije o algebri in načelih analize (10. razred).

Organizacijski čas:Šest tabel razporedimo v polkrog (model kotomera), na mizah učne liste za učence (Priloga 1).

Najava teme lekcije: "Trigonometrija je preprosta in jasna."

V tečaju algebre in elementarne analize začnemo študirati trigonometrijo; rad bi govoril o uporabnem pomenu tega oddelka matematike.

Teza lekcije:

"Veliko knjigo narave lahko berejo samo tisti, ki poznajo jezik, v katerem je napisana, in ta jezik je matematika."
(G. Galilej).

Ob koncu lekcije bomo skupaj razmislili, ali smo lahko pogledali v to knjigo in razumeli jezik, v katerem je bila napisana.

Trigonometrija ostrega kota.

Trigonometrija je grška beseda in v prevodu pomeni »merjenje trikotnikov«. Nastanek trigonometrije je povezan z meritvami na zemlji, gradbeništvom in astronomijo. In vaše prvo srečanje z njim se je zgodilo, ko ste vzeli v roke kotomer. Ste opazili, kako so postavljene mize? Razmislite o tem v svojih mislih: če vzamemo eno mizo kot tetivo, kakšna je potem stopinjska mera loka, ki ga sega?

Spomnimo se mere kotov: 1 ° = 1/360 del kroga (»stopnja« – iz latinskega grad – korak). Ali veste, zakaj je bil krog razdeljen na 360 delov, zakaj ne na 10, 100 ali 1000 delov, kot se na primer zgodi pri merjenju dolžin? Povedal vam bom eno od različic.

Prej so ljudje verjeli, da je Zemlja središče vesolja in je negibna, Sonce pa naredi en obrat okoli Zemlje na dan, geocentrični sistem sveta, "geo" - Zemlja ( Slika št. 1). Babilonski svečeniki, ki so izvajali astronomska opazovanja, so odkrili, da Sonce na dan enakonočja od sončnega vzhoda do zahoda opisuje polkrog na nebesnem oboku, v katerega se vidni premer (premer) Sonca prilega točno 180-krat, 1 ° - sled sonca. ( Slika št. 2).

Dolgo časa je bila trigonometrija povsem geometrijske narave. V uvodu v trigonometrijo nadaljujete z reševanjem pravokotnih trikotnikov. Naučite se, da je sinus ostrega kota pravokotnega trikotnika razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo, kosinus je razmerje med sosednjo stranico in hipotenuzo, tangens je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranico in kotangens je razmerje med sosednjo in nasprotno stranjo. In ne pozabite, da v pravokotnem trikotniku z danim kotom razmerje stranic ni odvisno od velikosti trikotnika. Naučite se sinusnega in kosinusnega izreka za reševanje poljubnih trikotnikov.

Leta 2010 je moskovski metro dopolnil 75 let. Vsak dan se spustimo v podzemno in tega ne opazimo ...

Naloga št. 1. Kot naklona vseh tekočih stopnic v moskovskem metroju je 30 stopinj. Če veste to, število svetilk na tekočih stopnicah in približno razdaljo med svetilkami, lahko izračunate približno globino postaje. Na tekočih stopnicah na postaji Tsvetnoy Boulevard je 15 svetilk, na postaji Prazhskaya pa 2 luči. Izračunajte globino teh postaj, če je razdalja med svetilkami od vhoda v tekoče stopnice do prve svetilke in od zadnje svetilke do izhoda iz tekočih stopnic 6 m ( Slika št. 3). Odgovor: 48 m in 9 m

Domača naloga. Najgloblja postaja moskovskega metroja je Park zmage. Kakšna je njegova globina? Predlagam, da samostojno poiščete manjkajoče podatke za rešitev domače naloge.

V rokah imam laserski kazalec, ki je tudi daljinomer. Izmerimo na primer razdaljo do table.

Kitajski oblikovalec Huan Qiaokun je uganil združiti dva laserska daljinomera in kotomer v eno napravo in dobil orodje, ki vam omogoča določanje razdalje med dvema točkama na ravnini ( Slika št. 4). Kateri izrek po vašem mnenju rešuje ta problem? Zapomnite si formulacijo kosinusnega izreka. Ali se strinjate z mano, da je vaše znanje že dovolj za izdelavo takšnega izuma? Rešite geometrijske probleme in naredite majhna odkritja vsak dan!

Sferična trigonometrija.

Poleg ravne geometrije Evklida (planimetrije) lahko obstajajo tudi druge geometrije, v katerih se lastnosti figur ne upoštevajo na ravnini, temveč na drugih površinah, na primer na površini krogle ( Slika št. 5). Prvi matematik, ki je postavil temelje za razvoj neevklidskih geometrij, je bil N.I. Lobačevski - "Kopernik geometrije". Od leta 1827 je bil 19 let rektor univerze v Kazanu.

Sferična trigonometrija, ki je del sferične geometrije, obravnava razmerja med stranicami in koti trikotnikov na krogli, ki jo tvorijo loki velikih krogov na krogli ( Slika št. 6).

Zgodovinsko gledano sta sferična trigonometrija in geometrija nastali zaradi potreb astronomije, geodezije, navigacije in kartografije. Pomislite, katero od teh področij se je v zadnjih letih tako hitro razvilo, da se njegovi rezultati že uporabljajo v sodobnih komunikatorjih. ... Sodobna aplikacija navigacije je satelitski navigacijski sistem, ki omogoča določanje lokacije in hitrosti predmeta na podlagi signala njegovega sprejemnika.

Globalni navigacijski sistem (GPS). Za določitev zemljepisne širine in dolžine sprejemnika je potrebno sprejeti signale vsaj treh satelitov. Prejem signala s četrtega satelita omogoča določitev višine predmeta nad površino ( Slika št. 7).

Sprejemni računalnik rešuje štiri enačbe s štirimi neznankami, dokler ne najde rešitve, ki nariše vse kroge skozi eno točko ( Slika št. 8).

Izkazalo se je, da poznavanje trigonometrije ostrega kota ne zadošča za reševanje zahtevnejših praktičnih problemov. Pri proučevanju rotacijskih in krožnih gibanj vrednost kota in krožnega loka nista omejena. Pojavila se je potreba po prehodu na trigonometrijo posplošenega argumenta.

Trigonometrija posplošenega argumenta.

Krog ( Slika št. 9). Pozitivni koti so narisani v nasprotni smeri urinega kazalca, negativni koti so narisani v smeri urinega kazalca. Ali poznate zgodovino takšnega sporazuma?

Kot veste, so mehanske in sončne ure zasnovane tako, da se njihovi kazalci vrtijo »vzdolž sonca«, tj. v isti smeri, v kateri vidimo navidezno gibanje Sonca okoli Zemlje. (Spomnite se začetka lekcije - geocentrični sistem sveta). Toda s Kopernikovim odkritjem pravega (pozitivnega) gibanja Zemlje okoli Sonca je gibanje Sonca okoli Zemlje, ki ga vidimo (tj. navidezno), fiktivno (negativno). Heliocentrični sistem sveta (helio - Sonce) ( Slika št. 10).

Ogreti se.

1. Desno roko iztegnite pred seboj, vzporedno s površino mize, in izvedite krožno rotacijo za 720 stopinj.
2. Iztegnite levo roko predse, vzporedno s površino mize, in izvedite krožno rotacijo (–1080) stopinj.
3. Roke položite na ramena in naredite 4 krožne gibe naprej in nazaj. Kolikšna je vsota rotacijskih kotov?

Leta 2010 so bile zimske olimpijske igre v Vancouvru; kriterije za ocenjevanje opravljene vaje drsalca spoznamo z reševanjem problema.

Naloga št. 2.Če drsalec pri izvajanju vaje "vijak" v 12 sekundah naredi obrat za 10.800 stopinj, dobi oceno "odlično". Določite, koliko obratov bo drsalec naredil v tem času in hitrost njegovega vrtenja (obrati na sekundo). Odgovor: 2,5 obratov/s.

Domača naloga. Pod kakšnim kotom se obrne drsalec, ki je dobil oceno "nezadovoljivo", če je bila ob istem času vrtenja njegova hitrost 2 obrata na sekundo.

Izkazalo se je, da je najprimernejša mera lokov in kotov, povezanih z rotacijskimi gibi, mera radian (radij), kot večja merska enota kota ali loka ( Slika št. 11). Ta mera za merjenje kotov je v znanost vstopila z izjemnimi deli Leonharda Eulerja. Švicar po rodu, 30 let je živel v Rusiji in bil član Sanktpeterburške akademije znanosti. Njemu dolgujemo »analitično« razlago vse trigonometrije, izpeljal je formule, ki jih zdaj preučujete, uvedel enotne znake: greh x,cos x, tg x,ctg x.

Če je bil do 17. stoletja razvoj doktrine trigonometričnih funkcij zgrajen na geometrijski podlagi, so se od 17. stoletja trigonometrične funkcije začele uporabljati za reševanje problemov v mehaniki, optiki, elektriki, za opisovanje nihajnih procesov in valovanja. razmnoževanje. Kjerkoli imamo opravka s periodičnimi procesi in nihanji, so trigonometrične funkcije našle uporabo. Funkcije, ki izražajo zakone periodičnih procesov, imajo posebno lastnost, ki je lastna samo njim: ponavljajo svoje vrednosti skozi isti interval spremembe argumenta. Spremembe katere koli funkcije so najbolj jasno prikazane na njenem grafu ( Slika št. 12).

Pri reševanju težav z vrtenjem smo se po pomoč že obrnili na svoje telo. Prisluhnimo svojemu srčnemu utripu. Srce je samostojen organ. Možgani nadzorujejo vse naše mišice, razen srca. Ima svoj nadzorni center – sinusni vozel. Z vsakim krčenjem srca se električni tok razširi po telesu – začenši od sinusnega vozla (velikosti prosenega zrna). Lahko se posname z elektrokardiografom. Nariše elektrokardiogram (sinusoid) ( Slika št. 13).

Zdaj pa se pogovorimo o glasbi. Matematika je glasba, je združitev inteligence in lepote.
Glasba je matematika v izračunu, algebra v abstrakciji, trigonometrija v lepoti. Harmonično nihanje (harmonično) je sinusno nihanje. Graf prikazuje, kako se spreminja zračni pritisk na poslušalčev bobnič: navzgor in navzdol v loku, periodično. Zrak pritiska, zdaj močneje, zdaj šibkeje. Sila udarca je zelo majhna in tresljaji se pojavijo zelo hitro: na stotine in tisoče udarcev vsako sekundo. Takšne periodične vibracije zaznavamo kot zvok. Dodatek dveh različnih harmonikov daje vibracijo bolj kompleksne oblike. Seštevek treh harmonik je še bolj zapleten, naravni zvoki in zvoki glasbil pa so sestavljeni iz velikega števila harmonikov. ( Slika št. 14.)

Vsak harmonik je označen s tremi parametri: amplitudo, frekvenco in fazo. Frekvenca nihanja kaže, koliko sunkov zračnega tlaka se zgodi v eni sekundi. Visoke frekvence zaznavamo kot "visoke", "tanke" zvoke. Nad 10 KHz - cviljenje, žvižganje. Majhne frekvence zaznamo kot "nizke", "bas" zvoke, ropot. Amplituda je obseg vibracij. Večji kot je obseg, večji je vpliv na bobnič in glasnejši je zvok, ki ga slišimo ( Slika št. 15). Faza je premik nihanj v času. Fazo lahko merimo v stopinjah ali radianih. Odvisno od faze se ničelna točka na grafu premakne. Za nastavitev harmonike je dovolj, da določite fazo od –180 do +180 stopinj, saj se pri velikih vrednostih nihanje ponovi. Dva sinusna signala z enako amplitudo in frekvenco, vendar različnima fazama, se algebraično seštejeta ( Slika št. 16).

Povzetek lekcije. Mislite, da smo lahko prebrali nekaj strani iz Velike knjige narave? Ali vam je, ko ste spoznali uporabni pomen trigonometrije, postala bolj jasna njena vloga na različnih področjih človekovega delovanja? Nato se spomnite in naštejte področja uporabe trigonometrije, ki ste jih spoznali danes ali poznali že prej. Upam, da je vsak od vas v današnji lekciji našel nekaj novega in zanimivega. Morda vam bo ta novost povedala pot pri izbiri prihodnjega poklica, a ne glede na to, kdo boste postali, vam bo vaša matematična izobrazba pomagala postati profesionalna in intelektualno razvita oseba.

Domača naloga. Preberite povzetek lekcije (

Nekoč je bil v šoli ločen tečaj za študij trigonometrije. Spričevalo je vključevalo ocene iz treh matematičnih disciplin: algebre, geometrije in trigonometrije.

Nato je v okviru reforme šolskega izobraževanja trigonometrija kot samostojni predmet prenehala obstajati. V sodobni šoli se prvo seznanitev s trigonometrijo zgodi v tečaju geometrije v 8. razredu. Bolj poglobljen študij predmeta se nadaljuje pri predmetu algebra v 10. razredu.

Definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so najprej podane v geometriji z razmerjem stranic pravokotnega trikotnika.

Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Kosinus Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangenta Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med nasprotno stranjo in sosednjo stranjo.

Kotangens Ostri kot v pravokotnem trikotniku je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico.

Te definicije veljajo samo za ostre kote (0º do 90°).

na primer

v trikotniku ABC, kjer je ∠C=90°, BC je krak nasproti kota A, AC je krak, ki meji na kot A, AB je hipotenuza.

Predmet algebre za 10. razred uvaja definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa za kateri koli kot (vključno z negativnim).

Razmislite o krogu s polmerom R s središčem v izhodišču - točki O(0;0). Označimo presečišče krožnice s pozitivno smerjo abscisne osi kot P 0 .

V geometriji kot obravnavamo kot del ravnine, ki ga omejujejo dva žarka. S to definicijo se kot spreminja od 0° do 180°.

V trigonometriji se kot obravnava kot rezultat vrtenja žarka OP 0 okoli začetne točke O.

Hkrati so se dogovorili, da obračanje žarka v nasprotni smeri urinega kazalca obravnavajo kot pozitivno smer prečkanja, v smeri urinega kazalca pa kot negativno (ta dogovor je povezan z resničnim gibanjem Sonca okoli Zemlje).

Na primer, ko žarek OP 0 zavrtimo okoli točke O za kot α v nasprotni smeri urinega kazalca, gre točka P 0 v točko P α,

pri obračanju za kot α v smeri urinega kazalca - do točke F.

S to definicijo ima lahko kot poljubno vrednost.

Če nadaljujemo z vrtenjem žarka OP 0 v nasprotni smeri urinega kazalca, pri vrtenju za kot α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, kjer je n celo število (n∈ Ζ), spet pojdimo do točke P α:

Koti se merijo v stopinjah in radianih.

1° je kot, ki je enak 1/180 stopinjske mere razvitega kota.

1 radian je središčni kot, katerega dolžina loka je enaka polmeru kroga:

∠AOB=1 rad.

Radianski simboli običajno niso zapisani. Oznake stopnje iz evidence ni mogoče izpustiti.

na primer

Točka P α , ki jo dobimo iz točke P 0 z vrtenjem žarka OP 0 okoli točke O za kot α v nasprotni smeri urnega kazalca, ima koordinate P α (x;y).

Spustimo navpičnico P α A iz točke P α na abscisno os.

V pravokotnem trikotniku OP α A:

P α A - krak nasproti kota α,

OA - krak, ki meji na kot α,

OP α je hipotenuza.

P α A=y, OA=x, OP α =R.

Po definiciji sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa v pravokotnem trikotniku imamo:

Tako je v primeru kroga s središčem v izhodišču poljubnega polmera sinus kot α je razmerje med ordinato točke P α in dolžino polmera.

Kosinus kot α je razmerje med absciso točke P α in dolžino polmera.

Tangenta kot α je razmerje med ordinato točke P α in njeno absciso.

Kotangens kot α je razmerje med absciso točke P α in njeno ordinato.

Vrednosti sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa so odvisne le od vrednosti α in niso odvisne od dolžine polmera R (to izhaja iz podobnosti krogov).

Zato je priročno izbrati R=1.

Krog s središčem v izhodišču in polmerom R=1 imenujemo enotski krog.

Definicije

1) Sinus kot α se imenuje ordinata točke P α (x;y) enotskega kroga:

2) Kosinus kot α imenujemo abscisa točke P α (x;y) enotskega kroga:

3) Tangenta kot α je razmerje med ordinato točke P α (x;y) in njeno absciso, to je razmerje med sinα in cosα (kjer cosα≠0):

4) Kotangens kot α je razmerje med absciso točke P α (x;y) in njeno ordinato, to je razmerje med cosα in sinα (kjer je sinα≠0):

Tako uvedene definicije nam omogočajo, da upoštevamo ne le trigonometrične funkcije kotov, temveč tudi trigonometrične funkcije numeričnih argumentov (če sinα, cosα, tanα in ctgα upoštevamo kot ustrezne trigonometrične funkcije kota v α radianih, to je sinus števila α je sinus kota v α radianih, kosinus števila α je kosinus kota v α radianih itd.).

Lastnosti trigonometričnih funkcij se preučujejo kot posebna tema pri predmetu algebra v 10. ali 11. razredu. Trigonometrične funkcije se pogosto uporabljajo v fiziki.

Kategorija: |

V tej lekciji bomo govorili o tem, kako se pojavi potreba po uvedbi trigonometričnih funkcij in zakaj jih preučujemo, kaj morate razumeti v tej temi in kje se morate le izboljšati (kaj je tehnika). Upoštevajte, da sta tehnika in razumevanje dve različni stvari. Strinjam se, obstaja razlika: naučiti se voziti kolo, torej razumeti, kako to storiti, ali postati profesionalni kolesar. Govorili bomo posebej o razumevanju, zakaj so potrebne trigonometrične funkcije.

Obstajajo štiri trigonometrične funkcije, vendar jih je mogoče vse izraziti z eno z uporabo identitet (enakosti, ki jih povezujejo).

Formalne definicije trigonometričnih funkcij za ostre kote v pravokotnem trikotniku (slika 1).

Sinus Ostri kot pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno stranico in hipotenuzo.

Kosinus Ostri kot pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjim krakom in hipotenuzo.

Tangenta Ostri kot pravokotnega trikotnika je razmerje med nasprotno in sosednjo stranjo.

Kotangens Ostri kot pravokotnega trikotnika je razmerje med sosednjo in nasprotno stranico.

riž. 1. Določanje trigonometričnih funkcij ostrega kota pravokotnega trikotnika

Te definicije so formalne. Bolj pravilno je reči, da obstaja samo ena funkcija, na primer sinus. Če ne bi bile tako potrebne (ne tako pogosto uporabljene) v tehnologiji, toliko različnih trigonometričnih funkcij ne bi bilo uvedeno.

Na primer, kosinus kota je enak sinusu istega kota z dodatkom (). Poleg tega lahko kosinus kota vedno izrazimo skozi sinus istega kota do predznaka z uporabo osnovne trigonometrične identitete (). Tangens kota je razmerje med sinusom in kosinusom ali obrnjenim kotangensom (slika 2). Nekateri kotangensa sploh ne uporabljajo, ampak ga nadomestijo z . Zato je pomembno razumeti in znati delati z eno trigonometrično funkcijo.

riž. 2. Povezave med različnimi trigonometričnimi funkcijami

Toda zakaj so bile takšne funkcije sploh potrebne? Za reševanje katerih praktičnih problemov se uporabljajo? Poglejmo si nekaj primerov.

Dva človeka ( A in IN) potisnite avto iz luže (slika 3). Človek IN lahko potisne avto bočno, medtem ko je malo verjetno, da bi pomagalo A. Po drugi strani pa se lahko smer njegovih prizadevanj postopoma spremeni (slika 4).

riž. 3. IN potiska avto bočno

riž. 4. IN začne spreminjati smer svojih prizadevanj

Jasno je, da bodo njihova prizadevanja najučinkovitejša, ko bodo avto potiskali v eno smer (slika 5).

riž. 5. Najučinkovitejša skupna usmeritev napora

Koliko IN pomaga potisniti stroj do te mere, da je smer njegove sile blizu smeri sile, s katero deluje A, je funkcija kota in je izražena skozi njegov kosinus (slika 6).

riž. 6. Kosinus kot karakteristika učinkovitosti napora IN

Če pomnožimo velikost sile, s katero IN, s kosinusom kota dobimo projekcijo njegove sile na smer sile, s katero deluje A. Bližji kot je kot med smerema sil , učinkovitejši bo rezultat skupnih dejanj. A in IN(slika 7). Če avto potisnejo z enako silo v nasprotni smeri, bo avto ostal na mestu (slika 8).

riž. 7. Učinkovitost skupnih prizadevanj A in IN

riž. 8. Nasprotna smer sil A in IN

Pomembno je razumeti, zakaj lahko kot (njegov prispevek h končnemu rezultatu) nadomestimo s kosinusom (ali drugo trigonometrično funkcijo kota). Pravzaprav to izhaja iz te lastnosti podobnih trikotnikov. Ker pravzaprav govorimo o naslednjem: kot lahko nadomestimo z razmerjem dveh števil (stransko-hipotenuzno ali stransko-stransko). To bi bilo nemogoče, če bi bila na primer za isti kot različnih pravokotnih trikotnikov ta razmerja različna (slika 9).

riž. 9. Enaka razmerja stranic pri podobnih trikotnikih

Na primer, če bi bila razmerje in razmerje različna, potem ne bi mogli uvesti funkcije tangente, saj bi bil za isti kot v različnih pravokotnih trikotnikih tangenta različna. Toda zaradi dejstva, da so razmerja dolžin krakov podobnih pravokotnih trikotnikov enaka, vrednost funkcije ne bo odvisna od trikotnika, kar pomeni, da so ostri kot in vrednosti njegovih trigonometričnih funkcij ena proti ena.

Recimo, da poznamo višino določenega drevesa (slika 10). Kako izmeriti višino bližnje stavbe?

riž. 10. Ponazoritev stanja primera 2

Poiščemo točko tako, da bo črta, narisana skozi to točko in vrh hiše, potekala skozi vrh drevesa (slika 11).

riž. 11. Ilustracija rešitve problema primera 2

Lahko izmerimo razdaljo od te točke do drevesa, razdaljo od njega do hiše in poznamo višino drevesa. Iz razmerja lahko ugotovite višino hiše: .

Razmerje je enakost razmerja dveh števil. V tem primeru je enakost razmerja dolžin nog podobnih pravokotnih trikotnikov. Poleg tega so ta razmerja enaka določeni meri kota, ki je izražena s trigonometrično funkcijo (po definiciji je to tangenta). Ugotovimo, da je za vsak ostri kot vrednost njegove trigonometrične funkcije edinstvena. To pomeni, da so sinus, kosinus, tangens, kotangens v resnici funkcije, saj vsak ostri kot ustreza točno eni vrednosti vsakega od njih. Posledično jih je mogoče nadalje raziskati in uporabiti njihove lastnosti. Vrednosti trigonometričnih funkcij za vse kote so že izračunane in jih je mogoče uporabiti (najdete jih iz tabel Bradis ali s katerim koli inženirskim kalkulatorjem). Ne moremo pa vedno rešiti obratnega problema (na primer z uporabo vrednosti sinusa za obnovitev mere kota, ki ji ustreza).

Naj bo sinus nekega kota enak ali približno (slika 12). Kateri kot bo ustrezal tej vrednosti sinusa? Seveda lahko spet uporabimo Bradisovo tabelo in najdemo neko vrednost, vendar se izkaže, da ne bo edina (slika 13).

riž. 12. Iskanje kota po vrednosti njegovega sinusa

riž. 13. Polisemija inverznih trigonometričnih funkcij

Posledično se pri rekonstrukciji vrednosti trigonometrične funkcije kota pojavi večvrednost inverznih trigonometričnih funkcij. To se morda zdi težko, a v resnici se vsak dan srečujemo s podobnimi situacijami.

Če zagrneš okna in ne veš, ali je zunaj svetlo ali temno, ali če se znajdeš v jami, potem ko se zbudiš, težko rečeš, ali je ura ena popoldne, ponoči oz. naslednji dan (slika 14). Pravzaprav, če nas vprašate "Koliko je ura?", moramo iskreno odgovoriti: "Ura plus pomnožena s kje"

riž. 14. Ponazoritev polisemije na primeru ure

Lahko sklepamo, da gre za obdobje (interval, po katerem bo ura kazala isti čas kot zdaj). Trigonometrične funkcije imajo tudi obdobja: sinus, kosinus itd. To pomeni, da se njihove vrednosti ponovijo po določeni spremembi argumenta.

Če na planetu ne bi bilo menjave dneva in noči ali letnih časov, potem ne bi mogli uporabljati periodičnega časa. Navsezadnje leta štejemo samo v naraščajočem vrstnem redu, vendar imajo dnevi ure in vsak nov dan se štetje začne znova. Enako je z meseci: če je zdaj januar, bo čez nekaj mesecev spet prišel januar itd. Zunanje referenčne točke nam pomagajo pri periodičnem štetju časa (ure, meseci), na primer vrtenje Zemlje okoli svoje osi in sprememba položaja Sonca in Lune na nebu. Če bi Sonce vedno viselo v istem položaju, bi za izračun časa šteli število sekund (minut) od trenutka, ko se je začelo prav to računanje. Datum in ura bi se lahko glasila takole: milijarda sekund.

Zaključek: glede polisemije inverznih funkcij ni težav. Dejansko lahko obstajajo možnosti, ko za isti sinus obstajajo različne vrednosti kota (slika 15).

riž. 15. Obnavljanje kota iz vrednosti njegovega sinusa

Običajno pri reševanju praktičnih problemov vedno delamo v standardnem območju od do . V tem območju sta za vsako vrednost trigonometrične funkcije samo dve ustrezni vrednosti kotne mere.

Razmislite o premikajočem se jermenu in nihalu v obliki vedra z luknjo, iz katere se sipa pesek. Nihalo zaniha, trak se premakne (slika 16). Zaradi tega bo pesek pustil sled v obliki grafa sinusne (ali kosinusne) funkcije, ki se imenuje sinusni val.

Pravzaprav se grafa sinusa in kosinusa med seboj razlikujeta le v referenčni točki (če narišete enega od njiju in nato zbrišete koordinatne osi, ne boste mogli ugotoviti, kateri graf je bil narisan). Zato nima smisla kosinusni graf imenovati graf (zakaj bi si izmislili ločeno ime za isti graf)?

riž. 16. Ilustracija navedbe problema v primeru 4

Graf funkcije vam lahko tudi pomaga razumeti, zakaj imajo inverzne funkcije veliko vrednosti. Če je vrednost sinusa fiksna, tj. narišemo premico vzporedno z abscisno osjo, nato pa na presečišču dobimo vse točke, v katerih je sinus kota enak danemu. Jasno je, da bo takih točk neskončno veliko. Tako kot v primeru z uro, kjer se je vrednost časa razlikovala za , se bo le tukaj vrednost kota razlikovala za toliko (slika 17).

riž. 17. Ponazoritev polisemije za sinus

Če upoštevamo primer ure, se točka (konec v smeri urinega kazalca) premika po krogu. Trigonometrične funkcije lahko definiramo na enak način - ne upoštevajte kotov v pravokotnem trikotniku, temveč kot med polmerom kroga in pozitivno smerjo osi. Število krogov, ki jih bo točka prehodila (dogovorili smo se, da gibanje v smeri urnega kazalca štejemo z minusom, v nasprotni smeri urnega kazalca pa s plusom), to je obdobje (slika 18).

riž. 18. Vrednost sinusa na krogu

Torej je inverzna funkcija enolično definirana na določenem intervalu. Za ta interval lahko izračunamo njegove vrednosti, vse ostale pa dobimo iz najdenih vrednosti z dodajanjem in odštevanjem periode funkcije.

Poglejmo še en primer obdobja. Avto se premika po cesti. Predstavljajmo si, da je njeno kolo zapeljalo v barvo ali lužo. Na cestišču so lahko vidne občasne sledi barve ali luže (Slika 19).

riž. 19. Ilustracija obdobja

V šolskem tečaju je precej trigonometričnih formul, vendar je na splošno dovolj, da si zapomnite samo eno (slika 20).

riž. 20. Trigonometrične formule

Formulo dvojnega kota lahko enostavno izpeljemo tudi iz sinusa vsote z zamenjavo (podobno za kosinus). Izpeljete lahko tudi formule izdelkov.

Pravzaprav si morate zapomniti zelo malo, saj se bodo z reševanjem problemov te formule zapomnile same. Seveda bo nekdo preveč len, da bi se veliko odločil, potem pa ne bo potreboval te tehnike in s tem same formule.

In ker formule niso potrebne, jih ni treba zapomniti. Samo razumeti morate idejo, da so trigonometrične funkcije funkcije, ki se uporabljajo za izračun na primer mostov. Skoraj noben mehanizem ne more brez njihove uporabe in izračuna.

1. Pogosto se postavlja vprašanje, ali so lahko žice popolnoma vzporedne s tlemi. Odgovor: ne, ne morejo, saj ena sila deluje navzdol, druge pa delujejo vzporedno – nikoli se ne bodo uravnovesile (slika 21).

2. Labod, rak in ščuka vlečejo voz v isti ravnini. Labod leti v eno smer, rak vleče v drugo, ščuka pa v tretjo (slika 22). Njihove moči je mogoče uravnotežiti. To uravnoteženje je mogoče izračunati s pomočjo trigonometričnih funkcij.

3. Kabelski most (slika 23). Trigonometrične funkcije pomagajo izračunati število kablov, kako naj bodo usmerjeni in napeti.

riž. 23. Kabelski most

riž. 24. “String Bridge”

riž. 25. Bolšoj Obuhovski most

Povezave do strani ma-te-ri-a-lyInternetUrok

Matematika 6. razred:

Geometrija 8. razred:

Leta 1905 so ruski bralci v knjigi Psihologija Williama Jamesa lahko prebrali njegovo razmišljanje o tem, "zakaj je učenje na pamet tako slab način učenja?"

»Znanje, pridobljeno s preprostim učenjem na pamet, je skoraj neizogibno popolnoma pozabljeno brez sledu. Nasprotno, mentalni material, ki ga spomin pridobiva postopoma, dan za dnem, v povezavi z različnimi konteksti, asociativno povezan z drugimi zunanjimi dogodki in vedno znova predmet razprave, tvori tak sistem, vstopa v takšno povezavo z drugimi vidiki našega intelekt, se zlahka obnovi v spominu z množico zunanjih priložnosti, ki dolgo ostane obstojna pridobitev.«

Od takrat je minilo več kot 100 let, te besede pa ostajajo neverjetno aktualne. O tem se vsak dan prepričaš pri delu s šolarji. Vrzeli v znanju so tako velike, da je mogoče trditi: šolski tečaj matematike v didaktičnem in psihološkem smislu ni sistem, ampak nekakšna naprava, ki spodbuja kratkoročni spomin in se sploh ne ozira na dolgoročni spomin. .

Poznavanje šolskega tečaja matematike pomeni obvladati gradivo vsakega področja matematike in ga lahko kadar koli posodobiti. Da bi to dosegli, morate sistematično stopiti v stik z vsakim od njih, kar včasih ni vedno mogoče zaradi velike obremenitve pri pouku.

Obstaja še en način dolgotrajnega pomnjenja dejstev in formul - to so referenčni signali.

Trigonometrija je eden od velikih oddelkov šolske matematike, ki se preučuje pri predmetu geometrije v 8. in 9. razredu ter pri predmetu algebre v 9. razredu, algebre in elementarne analize v 10. razredu.

Največji obseg gradiva, ki se preučuje v trigonometriji, pade na 10. razred. Večino tega gradiva o trigonometriji se je mogoče naučiti in si ga zapomniti trigonometrični krog(krog enotskega polmera s središčem v izhodišču pravokotnega koordinatnega sistema). Dodatek1.ppt

To so naslednji koncepti trigonometrije:

• definicije sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa kota;
• radiansko merjenje kota;
• domena definicije in območje vrednosti trigonometričnih funkcij
• vrednosti trigonometričnih funkcij za nekatere vrednosti numeričnega in kotnega argumenta;
• periodičnost trigonometričnih funkcij;
• parnost in lihost trigonometričnih funkcij;
• naraščajoče in padajoče trigonometrične funkcije;
• redukcijske formule;
• vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij;
• reševanje preprostih trigonometričnih enačb;
• reševanje preprostih neenačb;
• osnovne formule trigonometrije.

Razmislimo o preučevanju teh konceptov na trigonometričnem krogu.

1) Definicija sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa.

Po uvedbi pojma trigonometrična krožnica (krožnica enotskega polmera s središčem v izhodišču), začetni radij (polmer krožnice v smeri osi Ox) in rotacijski kot učenci samostojno pridobijo definicije. za sinus, kosinus, tangens in kotangens na trigonometričnem krogu z uporabo definicij iz tečajne geometrije, torej z upoštevanjem pravokotnega trikotnika s hipotenuzo enako 1.

Kosinus kota je abscisa točke na krogu, ko je začetni polmer zasukan za dani kot.

Sinus kota je ordinata točke na krogu, ko je začetni polmer zasukan za dani kot.

2) Radiansko merjenje kotov na trigonometričnem krogu.

Po uvedbi radianske mere kota (1 radian je središčni kot, ki ustreza dolžini loka, ki je enak dolžini polmera kroga), učenci sklepajo, da je radianska meritev kota številska vrednost kot zasuka na krogu, enak dolžini ustreznega loka, ko je začetni polmer zasukan za dani kot. .

Trigonometrični krog je s premeri kroga razdeljen na 12 enakih delov. Če veste, da je kot izražen v radianih, lahko določite radiansko meritev za kote, ki so večkratniki .

In radianske meritve kotov, večkratniki, so pridobljene podobno:

3) Domena definicije in območje vrednosti trigonometričnih funkcij.

Ali bo ujemanje med koti vrtenja in koordinatnimi vrednostmi točke na krogu funkcija?

Vsak kot rotacije ustreza eni točki na krogu, kar pomeni, da je ta ujemanje funkcija.

Pridobivanje funkcij

Na trigonometričnem krogu lahko vidite, da je domena definicije funkcij množica vseh realnih števil, obseg vrednosti pa .

Uvedimo koncepte premic tangent in kotangensov na trigonometričnem krogu.

1) Naj Vstavimo pomožno premico, vzporedno z osjo Oy, na kateri so določene tangente za poljuben numerični argument.

2) Podobno dobimo premico kotangensov. Naj bo y=1, potem . To pomeni, da so vrednosti kotangensa določene na ravni črti, vzporedni z osjo Ox.

Na trigonometričnem krogu lahko enostavno določite domeno definicije in obseg vrednosti trigonometričnih funkcij:

za tangento -

za kotangens -

4) Vrednosti trigonometričnih funkcij na trigonometričnem krogu.

Krak nasproti kota v je enak polovici hipotenuze, to je drugi krak po Pitagorejskem izreku:

To pomeni, da lahko z definiranjem sinusa, kosinusa, tangensa, kotangensa določite vrednosti za kote, ki so večkratniki ali radiani. Vrednosti sinusa se določijo vzdolž osi Oy, kosinusa vzdolž osi Ox, vrednosti tangensa in kotangensa pa se lahko določijo z uporabo dodatnih osi, vzporednih z osmi Oy oziroma Ox.

Tabelarne vrednosti sinusa in kosinusa se nahajajo na ustreznih oseh, kot sledi:

Vrednosti tabele tangensa in kotangensa -

5) Periodičnost trigonometričnih funkcij.

Na trigonometričnem krogu lahko vidite, da se vrednosti sinusa in kosinusa ponavljajo vsak radian, tangens in kotangens pa vsak radian.

6) Parnost in lihost trigonometričnih funkcij.

To lastnost lahko dobimo s primerjavo vrednosti pozitivnih in nasprotnih kotov vrtenja trigonometričnih funkcij. To razumemo

To pomeni, da je kosinus soda funkcija, vse ostale funkcije pa so lihe.

7) Naraščajoče in padajoče trigonometrične funkcije.

Trigonometrični krog kaže, da sinusna funkcija narašča in se zmanjša

S podobnim razmišljanjem dobimo intervale naraščajočih in padajočih funkcij kosinusa, tangensa in kotangensa.

8) Formule redukcije.

Za kot vzamemo manjšo vrednost kota na trigonometričnem krogu. Vse formule dobimo s primerjavo vrednosti trigonometričnih funkcij na krakih izbranih pravokotnih trikotnikov.

Algoritem za uporabo redukcijskih formul:

1) Določite predznak funkcije pri rotaciji za dani kot.

Pri zavijanju v ovinku funkcija se ohrani, ko se zasuka za kot - celo število, liho število, kofunkcija (

9) Vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij.

Predstavimo inverzne funkcije za trigonometrične funkcije z uporabo definicije funkcije.

Vsaka vrednost sinusa, kosinusa, tangensa in kotangensa na trigonometričnem krogu ustreza samo eni vrednosti rotacijskega kota. To pomeni, da je za funkcijo domena definicije , obseg vrednosti je - Za funkcijo je domena definicije , obseg vrednosti je . Podobno dobimo domeno definicije in obseg vrednosti inverznih funkcij za kosinus in kotangens.

Algoritem za iskanje vrednosti inverznih trigonometričnih funkcij:

1) iskanje vrednosti argumenta inverzne trigonometrične funkcije na ustrezni osi;

2) iskanje kota vrtenja začetnega polmera ob upoštevanju obsega vrednosti inverzne trigonometrične funkcije.

Na primer:

10) Reševanje preprostih enačb na trigonometričnem krogu.

Za rešitev enačbe oblike , poiščemo točke na krogu, katerih ordinate so enake, in zapišemo ustrezne kote, pri čemer upoštevamo periodo funkcije.

Za enačbo poiščemo točke na krožnici, katerih abscisi sta enaki, in zapišemo pripadajoče kote, pri čemer upoštevamo periodo funkcije.

Podobno velja za enačbe oblike Vrednosti se določijo na črtah tangent in kotangensov in zabeležijo se ustrezni koti vrtenja.

Vse pojme in formule trigonometrije učenci usvojijo sami pod jasnim vodstvom učitelja z uporabo trigonometričnega kroga. V prihodnosti jim bo ta "krog" služil kot referenčni signal ali zunanji dejavnik za reprodukcijo konceptov in formul trigonometrije v spominu.

Preučevanje trigonometrije na trigonometričnem krogu pomaga:

• izbira optimalnega komunikacijskega sloga za določeno uro, organiziranje izobraževalnega sodelovanja;
• učni cilji postanejo osebno pomembni za vsakega učenca;
• novo gradivo temelji na učenčevi osebni izkušnji delovanja, mišljenja in čustvovanja;
• pouk vključuje različne oblike dela in načine pridobivanja in usvajanja znanja; obstajajo elementi medsebojnega in samostojnega učenja; samo- in medsebojni nadzor;
• hiter odziv na nesporazume in napake (skupna razprava, nasveti za podporo, medsebojna posvetovanja).

Video tečaj »Get an A« vključuje vse teme, ki so potrebne za uspešno opravljen enotni državni izpit iz matematike s 60-65 točkami. Popolnoma vse naloge 1-13 profilnega enotnega državnega izpita iz matematike. Primeren tudi za opravljanje osnovnega enotnega državnega izpita iz matematike. Če želite opraviti enotni državni izpit z 90-100 točkami, morate 1. del rešiti v 30 minutah in brez napak!

Pripravljalni tečaj za enotni državni izpit za 10.-11. razred, pa tudi za učitelje. Vse, kar potrebujete za rešitev 1. dela Enotnega državnega izpita iz matematike (prvih 12 težav) in 13. naloga (trigonometrija). In to je več kot 70 točk na Enotnem državnem izpitu in brez njih ne moreta niti študent s 100 točkami niti študent humanistike.

Vsa potrebna teorija. Hitre rešitve, pasti in skrivnosti enotnega državnega izpita. Analizirane so vse trenutne naloge 1. dela iz banke nalog FIPI. Tečaj v celoti ustreza zahtevam Enotnega državnega izpita 2018.

Tečaj obsega 5 velikih tem, vsaka po 2,5 ure. Vsaka tema je podana od začetka, preprosto in jasno.

Na stotine nalog enotnega državnega izpita. Besedne težave in teorija verjetnosti. Preprosti in lahko zapomniti si algoritme za reševanje problemov. Geometrija. Teorija, referenčni material, analiza vseh vrst nalog enotnega državnega izpita. Stereometrija. Zapletene rešitve, uporabne goljufije, razvoj prostorske domišljije. Trigonometrija od začetka do problema 13. Razumevanje namesto nabijanja. Jasne razlage kompleksnih konceptov. Algebra. Koreni, potence in logaritmi, funkcija in odvod. Osnova za reševanje kompleksnih problemov 2. dela enotnega državnega izpita.