Kako najti območje trikotnika. Kako izračunati površino trikotnika? Formula za ploščino trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru opisanega kroga

06.03.2022 | Zlom in modrica

Najdete ga lahko tako, da poznate osnovo in višino. Celotna preprostost diagrama je v tem, da višina deli osnovo a na dva dela a 1 in a 2, sam trikotnik pa na dva pravokotna trikotnika, katerih površina je in. Potem bo površina celotnega trikotnika vsota obeh navedenih območij, in če vzamemo eno sekundo višine iz oklepaja, bomo v vsoti dobili nazaj osnovo:

Težja metoda za izračun je Heronova formula, za katero morate poznati vse tri strani. Za to formulo morate najprej izračunati polobod trikotnika: Sama Heronova formula implicira kvadratni koren polobodnega obsega, pomnoženega z njegovo razliko na vsaki strani.

Naslednja metoda, ki je pomembna tudi za kateri koli trikotnik, vam omogoča, da najdete površino trikotnika skozi dve strani in kot med njima. Dokaz za to izhaja iz formule z višino - na poljubno znano stran narišemo višino in skozi sinus kota α dobimo, da je h=a⋅sinα. Za izračun površine pomnožite polovico višine z drugo stranjo.

Drug način je najti območje trikotnika, če poznate 2 kota in stran med njima. Dokaz te formule je precej preprost in je jasno razviden iz diagrama.

Višino iz vrha tretjega kota spustimo na znano stranico in tako nastale odseke imenujemo x. Iz pravokotnih trikotnikov je razvidno, da je prvi segment x enak zmnožku

Trikotnik je geometrijski lik, sestavljen iz treh ravnih črt, ki se povezujejo v točkah, ki ne ležijo na isti ravni črti. Spojne točke črt so oglišča trikotnika, ki so označena z latiničnimi črkami (na primer A, B, C). Povezovalne ravne črte trikotnika imenujemo segmenti, ki jih običajno označujemo tudi z latiničnimi črkami. Ločimo naslednje vrste trikotnikov:

Pravokoten.
Topo.
Ostro kotni.
Vsestranski.
Enakostranični.
Enakokraki.

Splošne formule za izračun površine trikotnika

Formula za površino trikotnika glede na dolžino in višino

S= a*h/2,
kjer je a dolžina stranice trikotnika, katerega ploščino je treba najti, h je dolžina višine, narisane na osnovo.

Heronova formula

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
kjer je √ kvadratni koren, p je polobseg trikotnika, a,b,c je dolžina vsake stranice trikotnika. Polobseg trikotnika lahko izračunamo s formulo p=(a+b+c)/2.

Formula za območje trikotnika glede na kot in dolžino segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
kjer je b,c dolžina stranic trikotnika, sin(α) je sinus kota med obema stranicama.

Formula za površino trikotnika glede na polmer včrtanega kroga in treh strani

S=p*r,
kjer je p polobseg trikotnika, katerega ploščino je treba najti, r je polmer kroga, včrtanega v ta trikotnik.

Formula za območje trikotnika, ki temelji na treh straneh in polmeru kroga, opisanega okoli njega

S= (a*b*c)/4*R,
kjer je a,b,c dolžina vsake stranice trikotnika, R je polmer kroga, ki je opisan okoli trikotnika.

Formula za površino trikotnika z uporabo kartezičnih koordinat točk

Kartezične koordinate točk so koordinate v sistemu xOy, kjer je x abscisa, y ordinata. Kartezični koordinatni sistem xOy na ravnini sta medsebojno pravokotni številski osi Ox in Oy s skupnim izhodiščem v točki O. Če so koordinate točk na tej ravnini podane v obliki A(x1, y1), B(x2, y2). ) in C(x3, y3), potem lahko izračunate ploščino trikotnika z naslednjo formulo, ki jo dobite iz vektorskega produkta dveh vektorjev.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
kjer || pomeni modul.

Kako najti območje pravokotnega trikotnika

Pravokotni trikotnik je trikotnik z enim kotom, ki meri 90 stopinj. Trikotnik ima lahko samo en tak kot.

Formula za območje pravokotnega trikotnika na dveh straneh

S= a*b/2,
kjer je a,b dolžina nog. Noge so stranice, ki mejijo na pravi kot.

Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na hipotenuzi in ostrem kotu

S = a*b*sin(α)/ 2,
kjer sta a, b kraka trikotnika, sin(α) pa je sinus kota, pod katerim se premici a, b sekata.

Formula za območje pravokotnega trikotnika, ki temelji na strani in nasprotnem kotu

S = a*b/2*tg(β),
kjer sta a, b kraka trikotnika, tan(β) je tangens kota, pod katerim sta kraka a, b povezana.

Kako izračunati površino enakokrakega trikotnika

Enakokraki trikotnik je tisti, ki ima dve enaki stranici. Te stranice se imenujejo stranice, druga stran pa je osnova. Za izračun površine enakokrakega trikotnika lahko uporabite eno od naslednjih formul.

Osnovna formula za izračun ploščine enakokrakega trikotnika

S=h*c/2,
kjer je c osnova trikotnika, h je višina trikotnika, spuščena na osnovo.

Formula enakokrakega trikotnika s stranico in osnovo

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
kjer je c osnova trikotnika, a je velikost ene od stranic enakokrakega trikotnika.

Kako najti območje enakostraničnega trikotnika

Enakostranični trikotnik je trikotnik, v katerem so vse stranice enake. Za izračun površine enakostraničnega trikotnika lahko uporabite naslednjo formulo:
S = (√3*a*a)/4,
kjer je a dolžina stranice enakostraničnega trikotnika.

Zgornje formule vam bodo omogočile izračun zahtevane površine trikotnika. Pomembno si je zapomniti, da morate za izračun površine trikotnikov upoštevati vrsto trikotnika in razpoložljive podatke, ki jih je mogoče uporabiti za izračun.

Koncept območja

Koncept območja katere koli geometrijske figure, zlasti trikotnika, bo povezan s figuro, kot je kvadrat. Za enoto površine katere koli geometrijske figure bomo vzeli površino kvadrata, katerega stranica je enaka ena. Za popolnost se spomnimo dveh osnovnih lastnosti koncepta območij geometrijskih likov.

Lastnost 1:Če so geometrijski liki enaki, so enake tudi njihove ploščine.

Lastnost 2: Vsako figuro lahko razdelimo na več figur. Poleg tega je površina prvotne figure enaka vsoti površin vseh njenih sestavnih številk.

Poglejmo si primer.

Primer 1

Očitno je ena od stranic trikotnika diagonala pravokotnika, katerega ena stranica je dolga $5$ (ker je $5$ celic), druga pa $6$ (ker je $6$ celic). Zato bo površina tega trikotnika enaka polovici takega pravokotnika. Območje pravokotnika je

Potem je površina trikotnika enaka

Odgovor: 15 $.

Nato bomo preučili več metod za iskanje območij trikotnikov, in sicer z uporabo višine in osnove, z uporabo Heronove formule in površine enakostraničnega trikotnika.

Kako najti površino trikotnika z njegovo višino in osnovo

1. izrek

Ploščino trikotnika je mogoče najti kot polovico produkta dolžine stranice in višine te strani.

Matematično je to videti takole

$S=\frac(1)(2)αh$

kjer je $a$ dolžina stranice, $h$ je nanjo narisana višina.

Dokaz.

Vzemimo trikotnik $ABC$, v katerem je $AC=α$. Na to stran je narisana višina $BH$, ki je enaka $h$. Sestavimo ga do kvadrata $AXYC$ kot na sliki 2.

Ploščina pravokotnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, ploščina pravokotnika $HBYC$ pa $h\cdot HC$. Potem

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Zato je zahtevana površina trikotnika po lastnosti 2 enaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Izrek je dokazan.

Primer 2

Poiščite ploščino trikotnika na spodnji sliki, če ima celica ploščino enako ena

Osnovica tega trikotnika je enaka $9$ (ker je $9$ kvadratov $9$). Višina je tudi $9$. Nato po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 $.

Heronova formula

2. izrek

Če imamo tri stranice trikotnika $α$, $β$ in $γ$, lahko njegovo ploščino poiščemo takole

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

tukaj $ρ$ pomeni polobseg tega trikotnika.

Dokaz.

Razmislite o naslednji sliki:

Po Pitagorovem izreku dobimo iz trikotnika $ABH$

Iz trikotnika $CBH$ imamo po Pitagorovem izreku

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz teh dveh odnosov dobimo enakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Ker je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, potem $α+β+γ=2ρ$, kar pomeni

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Po izreku 1 dobimo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Včasih v življenju pride do situacij, ko se moraš poglobiti v svoj spomin v iskanju dolgo pozabljenega šolskega znanja. Na primer, morate določiti površino zemljišča trikotne oblike ali pa je prišel čas za novo prenovo v stanovanju ali zasebni hiši in morate izračunati, koliko materiala bo potrebno za površino z trikotno obliko. Bil je čas, ko ste lahko rešili takšno težavo v nekaj minutah, zdaj pa se obupano trudite spomniti, kako določiti površino trikotnika?

Naj vas to ne skrbi! Navsezadnje je povsem normalno, ko se človekovi možgani odločijo dolgo neuporabljeno znanje prenesti nekam v oddaljen kotiček, iz katerega ga včasih ni tako enostavno izluščiti. Da se vam za rešitev takega problema ne bo treba boriti z iskanjem pozabljenega šolskega znanja, ta članek vsebuje različne metode, ki olajšajo iskanje zahtevanega območja trikotnika.

Znano je, da je trikotnik vrsta mnogokotnika, ki je omejen na najmanjše možno število stranic. Načeloma lahko vsak poligon razdelimo na več trikotnikov tako, da njegova oglišča povežemo z odseki, ki ne sekajo njegovih stranic. Torej, če poznate trikotnik, lahko izračunate površino skoraj katere koli figure.

Med vsemi možnimi trikotniki, ki se pojavljajo v življenju, lahko ločimo naslednje posebne vrste: in pravokotne.

Najlažji način za izračun ploščine trikotnika je, ko je eden od njegovih kotov pravi, to je v primeru pravokotnega trikotnika. Preprosto je videti, da je polovica pravokotnika. Zato je njegova ploščina enaka polovici produkta stranic, ki med seboj tvorijo pravi kot.

Če poznamo višino trikotnika, spuščeno z enega od njegovih oglišč na nasprotno stran, in dolžino te stranice, ki se imenuje osnova, potem se ploščina izračuna kot polovica produkta višine in osnove. To je zapisano z naslednjo formulo:

S = 1/2*b*h, v katerem

S je zahtevana površina trikotnika;

b, h - oziroma višina in osnova trikotnika.

Tako enostavno je izračunati površino enakokrakega trikotnika, ker bo višina razpolovila nasprotno stran in jo je mogoče enostavno izmeriti. Če je območje določeno, je za višino primerno vzeti dolžino ene od stranic, ki tvorijo pravi kot.

Vse to je seveda dobro, toda kako ugotoviti, ali je eden od kotov trikotnika pravi ali ne? Če je velikost naše figure majhna, potem lahko uporabimo konstrukcijski kot, risalni trikotnik, razglednico ali drug predmet pravokotne oblike.

Kaj pa, če imamo trikotno parcelo? V tem primeru postopajte takole: od vrha domnevnega pravega kota na eni strani odštejte razdaljo, večkratnik 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), na drugi strani pa izmerite razdaljo, večkratnik 4. razmerje (40 cm, 160 cm, 4 m). Zdaj morate izmeriti razdaljo med končnima točkama teh dveh segmentov. Če je rezultat večkratnik 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), potem lahko rečemo, da je kot pravi.

Če je znana dolžina vsake od treh strani naše figure, potem lahko površino trikotnika določimo s Heronovo formulo. Za enostavnejšo obliko je uporabljena nova vrednost, ki se imenuje polobod. To je vsota vseh strani našega trikotnika, razdeljenih na pol. Ko je polobod izračunan, lahko začnete določati območje po formuli:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), kjer je

sqrt - kvadratni koren;

p - polobodna vrednost (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - robovi (stranice) trikotnika.

Kaj pa, če je trikotnik nepravilne oblike? Tukaj sta možna dva načina. Prvi od njih je, da poskusite takšno figuro razdeliti na dva pravokotna trikotnika, katerih vsota površin se izračuna ločeno in nato sešteje. Ali pa, če sta znana kot med dvema stranicama in velikost teh stranic, uporabite formulo:

S = 0,5 * ab * sinC, kjer je

a,b - stranice trikotnika;

c je velikost kota med tema stranicama.

Slednji primer je v praksi redek, a kljub temu je v življenju vse mogoče, zato zgornja formula ne bo odveč. Vso srečo pri izračunih!

Območje trikotnika. V številnih geometrijskih problemih, ki vključujejo izračun površin, se uporabljajo formule za površino trikotnika. Obstaja jih več, tukaj si bomo ogledali glavne.Naštevanje teh formul bi bilo preveč preprosto in neuporabno. Analizirali bomo izvor osnovnih formul, tistih, ki se najpogosteje uporabljajo.

Preden preberete izpeljavo formul, si oglejte članek o.Po preučevanju gradiva lahko enostavno obnovite formule v spomin (če nenadoma "odletijo" v trenutku, ko jih potrebujete).

Prva formula

Diagonala paralelograma deli na dva enaka trikotnika:

Zato bo površina trikotnika enaka polovici površine paralelograma:

Formula površine trikotnika

* To pomeni, da če poznamo katero koli stran trikotnika in višino, spuščeno na to stran, potem lahko vedno izračunamo površino tega trikotnika.

Formula dve

Kot je že navedeno v članku o površini paralelograma, je formula videti takole:

Površina trikotnika je enaka polovici njegove površine, kar pomeni:

* To pomeni, da če sta znani kateri koli dve stranici v trikotniku in kot med njima, lahko vedno izračunamo površino takšnega trikotnika.

Heronova formula (tretja)

To formulo je težko izpeljati in vam ne koristi. Poglejte, kako lepa je, lahko rečete, da je nepozabna.

*Če so podane tri stranice trikotnika, lahko s to formulo vedno izračunamo njegovo ploščino.

Formula štiri

Kje r– polmer včrtane krožnice

*Če so znane tri strani trikotnika in polmer vanj vpisanega kroga, potem lahko vedno najdemo območje tega trikotnika.

Formula pet

Kje R– polmer opisanega kroga.

*Če so znane tri stranice trikotnika in polmer kroga, ki je okoli njega opisan, potem lahko vedno najdemo površino takšnega trikotnika.

Postavlja se vprašanje: če so znane tri stranice trikotnika, ali ni lažje najti njegove površine s Heronovo formulo!

Da, lahko je lažje, vendar ne vedno, včasih se pojavi zapletenost. To vključuje ekstrakcijo korenine. Poleg tega so te formule zelo priročne za uporabo pri težavah, kjer je podana površina trikotnika in njegovih strani ter morate najti polmer včrtanega ali obremenjenega kroga. Takšne naloge so na voljo kot del enotnega državnega izpita.

Oglejmo si formulo ločeno:

Je poseben primer formule za površino mnogokotnika, v katerega je vpisan krog:

Razmislimo o tem na primeru peterokotnika:

Središče kroga povežimo z oglišči tega peterokotnika in spustimo navpičnice iz središča na njegove stranice. Dobimo pet trikotnikov, pri čemer so spuščene navpičnice polmeri včrtanega kroga: