De oppervlakte van een driehoek gebaseerd op de drie zijden. Hoe de oppervlakte van een driehoek te berekenen. Taak. Verander het gebied bij het veranderen van de lengte van de zijkanten

Zoals u zich wellicht herinnert uit het meetkundeleerplan op uw school, is een driehoek een figuur gevormd uit drie segmenten die met elkaar zijn verbonden door drie punten die niet op dezelfde rechte lijn liggen. Een driehoek vormt drie hoeken, vandaar de naam van de figuur. De definitie kan anders zijn. Een driehoek kan ook een veelhoek met drie hoeken worden genoemd, het antwoord zal ook correct zijn. Driehoeken worden verdeeld volgens het aantal gelijke zijden en de grootte van de hoeken in de figuren. Zo worden driehoeken onderscheiden als gelijkbenig, gelijkzijdig en ongelijkzijdig, evenals respectievelijk rechthoekig, scherp en stomp.

Er zijn veel formules voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek. Kies hoe u de oppervlakte van een driehoek wilt vinden, d.w.z. Welke formule u moet gebruiken, is aan u. Maar het is de moeite waard om slechts enkele van de notaties te vermelden die in veel formules worden gebruikt voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek. Dus onthoud:

S is de oppervlakte van de driehoek,

a, b, c zijn de zijden van de driehoek,

h is de hoogte van de driehoek,

R is de straal van de omgeschreven cirkel,

p is de halve omtrek.

Hier zijn de basisnotaties die nuttig voor u kunnen zijn als u uw meetkundecursus helemaal bent vergeten. Hieronder staan ​​​​de meest begrijpelijke en ongecompliceerde opties voor het berekenen van het onbekende en mysterieuze gebied van een driehoek. Het is niet moeilijk en zal zowel nuttig zijn voor uw huishoudelijke behoeften als voor het helpen van uw kinderen. Laten we onthouden hoe we de oppervlakte van een driehoek zo eenvoudig mogelijk kunnen berekenen:

In ons geval is de oppervlakte van de driehoek: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 vierkante cm. Houd er rekening mee dat de oppervlakte wordt gemeten in vierkante centimeters (sqcm).

Rechthoekige driehoek en zijn oppervlakte.

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek gelijk is aan 90 graden (vandaar rechts genoemd). Een rechte hoek wordt gevormd door twee loodrechte lijnen (in het geval van een driehoek twee loodrechte segmenten). In een rechthoekige driehoek kan er maar één rechte hoek zijn, omdat... de som van alle hoeken van een driehoek is gelijk aan 180 graden. Het blijkt dat 2 andere hoeken de resterende 90 graden moeten verdelen, bijvoorbeeld 70 en 20, 45 en 45, enz. Dus je onthoudt het belangrijkste, het enige dat overblijft is uitzoeken hoe je de oppervlakte van een rechthoekige driehoek kunt vinden. Laten we ons voorstellen dat we zo'n rechthoekige driehoek voor ons hebben, en we moeten het gebied S ervan vinden.

1. De eenvoudigste manier om de oppervlakte van een rechthoekige driehoek te bepalen, wordt berekend met behulp van de volgende formule:

In ons geval is de oppervlakte van de rechthoekige driehoek: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 vierkante cm.

Het is in principe niet meer nodig om de oppervlakte van de driehoek op andere manieren te verifiëren, omdat Alleen deze zal nuttig zijn en helpen in het dagelijks leven. Maar er zijn ook mogelijkheden om de oppervlakte van een driehoek via scherpe hoeken te meten.

2. Voor andere rekenmethoden heb je een tabel met cosinussen, sinussen en raaklijnen nodig. Oordeel zelf, hier zijn enkele opties voor het berekenen van de oppervlakte van een rechthoekige driehoek die nog steeds kunnen worden gebruikt:

We besloten de eerste formule te gebruiken en met enkele kleine vlekken (we tekenden het in een notitieboekje en gebruikten een oude liniaal en gradenboog), maar we kregen de juiste berekening:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). We kregen de volgende resultaten: 3,6=3,7, maar rekening houdend met de verschuiving van cellen kunnen we deze nuance vergeven.

Gelijkbenige driehoek en zijn oppervlakte.

Als u voor de taak staat om de formule voor een gelijkbenige driehoek te berekenen, dan is de eenvoudigste manier om de hoofdformule te gebruiken en wat wordt beschouwd als de klassieke formule voor de oppervlakte van een driehoek.

Maar laten we eerst, voordat we het gebied van een gelijkbenige driehoek vinden, uitvinden wat voor soort figuur dit is. Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan twee zijden dezelfde lengte hebben. Deze twee zijden worden lateraal genoemd, de derde zijde wordt de basis genoemd. Verwar een gelijkbenige driehoek niet met een gelijkzijdige driehoek, d.w.z. een regelmatige driehoek waarvan alle drie de zijden gelijk zijn. In zo'n driehoek zijn er geen speciale neigingen voor de hoeken, of beter gezegd voor hun grootte. De hoeken aan de basis van een gelijkbenige driehoek zijn echter gelijk, maar verschillen van de hoek tussen gelijke zijden. Je kent dus de eerste en hoofdformule al, het blijft de vraag welke andere formules bekend zijn voor het bepalen van de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek.

Een driehoek is de eenvoudigste geometrische figuur, die uit drie zijden en drie hoekpunten bestaat. Vanwege zijn eenvoud wordt de driehoek al sinds de oudheid gebruikt om verschillende metingen uit te voeren, en tegenwoordig kan de figuur nuttig zijn voor het oplossen van praktische en alledaagse problemen.

Kenmerken van een driehoek

Het cijfer wordt al sinds de oudheid gebruikt voor berekeningen. Landmeters en astronomen werken bijvoorbeeld met de eigenschappen van driehoeken om gebieden en afstanden te berekenen. Het is gemakkelijk om het gebied van elke n-hoek uit te drukken door het gebied van deze figuur, en deze eigenschap werd door oude wetenschappers gebruikt om formules af te leiden voor de gebieden van veelhoeken. Constant werken met driehoeken, vooral de rechthoekige driehoek, werd de basis voor een hele tak van de wiskunde: trigonometrie.

Driehoeksgeometrie

De eigenschappen van de geometrische figuur worden al sinds de oudheid bestudeerd: de vroegste informatie over de driehoek werd gevonden in Egyptische papyri van 4.000 jaar geleden. Vervolgens werd de figuur bestudeerd in het oude Griekenland en de grootste bijdragen aan de geometrie van de driehoek werden geleverd door Euclides, Pythagoras en Heron. De studie van de driehoek hield nooit op en in de 18e eeuw introduceerde Leonhard Euler het concept van het orthocentrum van een figuur en de Euler-cirkel. Aan het begin van de 19e en 20e eeuw, toen het leek alsof absoluut alles bekend was over de driehoek, formuleerde Frank Morley de stelling over hoekdriesectoren, en Waclaw Sierpinski stelde de fractale driehoek voor.

Er zijn verschillende soorten platte driehoeken die ons bekend zijn uit de geometriecursussen op school:

• acuut - alle hoeken van de figuur zijn acuut;
• stomp - de figuur heeft één stompe hoek (meer dan 90 graden);
• rechthoekig - de figuur bevat één rechte hoek gelijk aan 90 graden;
• gelijkbenig - een driehoek met twee gelijke zijden;
• gelijkzijdig - een driehoek met allemaal gelijke zijden.
• In het echte leven zijn er allerlei soorten driehoeken, en in sommige gevallen moeten we misschien de oppervlakte van een geometrische figuur berekenen.

Oppervlakte van een driehoek

De oppervlakte is een schatting van hoeveel van het vlak een figuur omsluit. Het gebied van een driehoek kan op zes manieren worden gevonden, met behulp van de zijkanten, hoogte, hoeken, straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel, maar ook met behulp van de formule van Heron of het berekenen van de dubbele integraal langs de lijnen die het vlak begrenzen. De eenvoudigste formule voor het berekenen van de oppervlakte van een driehoek is:

waarbij a de zijde van de driehoek is, is h de hoogte.

In de praktijk is het voor ons echter niet altijd handig om de hoogte van een geometrische figuur te vinden. Met het algoritme van onze rekenmachine kunt u de oppervlakte berekenen, wetende:

• drie zijden;
• twee zijden en de hoek ertussen;
• één kant en twee hoeken.

Om de oppervlakte via drie zijden te bepalen, gebruiken we de formule van Heron:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

waarbij p de halve omtrek van de driehoek is.

Het gebied aan twee zijden en een hoek wordt berekend met behulp van de klassieke formule:

S = a × b × sin(alfa),

waarbij alfa de hoek is tussen zijden a en b.

Om de oppervlakte te bepalen in termen van één zijde en twee hoeken, gebruiken we de relatie die:

a / sin(alfa) = b / sin(bèta) = c / sin(gamma)

Met behulp van een eenvoudige verhouding bepalen we de lengte van de tweede zijde, waarna we de oppervlakte berekenen met de formule S = a × b × sin(alfa). Dit algoritme is volledig geautomatiseerd en u hoeft alleen de opgegeven variabelen in te voeren om het resultaat te krijgen. Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Voorbeelden uit het leven

Bestrating platen

Stel dat u de vloer wilt bestraten met driehoekige tegels, en om de benodigde hoeveelheid materiaal te bepalen, moet u het oppervlak van de tegels en het oppervlak van de vloer kennen. Stel dat je 6 vierkante meter oppervlak moet verwerken met een tegel waarvan de afmetingen a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm zijn. Om de oppervlakte van een driehoek te berekenen, gebruikt de rekenmachine uiteraard de formule van Heron en geeft het resultaat:

De oppervlakte van één tegelelement is dus 0,021 vierkante meter en voor de vloerverbetering heb je 6/0,021 = 285 driehoeken nodig. De getallen 20, 21 en 29 vormen een Pythagoras drietal-getallen die voldoen aan . En dat klopt, onze rekenmachine heeft ook alle hoeken van de driehoek berekend, en de gammahoek is precies 90 graden.

Schooltaak

Bij een schoolprobleem moet je de oppervlakte van een driehoek vinden, wetende dat zijde a = 5 cm, en de hoeken alfa en bèta respectievelijk 30 en 50 graden zijn. Om dit probleem handmatig op te lossen, zouden we eerst de waarde van zijde b vinden met behulp van de verhouding van de beeldverhouding en de sinussen van de tegenovergestelde hoeken, en vervolgens de oppervlakte bepalen met behulp van de eenvoudige formule S = a × b × sin(alfa). Laten we tijd besparen, de gegevens in het rekenmachineformulier invoeren en direct antwoord krijgen

Bij het gebruik van de rekenmachine is het belangrijk om de hoeken en zijden correct aan te geven, anders is het resultaat onjuist.

Conclusie

De driehoek is een uniek figuur die zowel in het echte leven als in abstracte berekeningen voorkomt. Gebruik onze online calculator om de oppervlakte van welke driehoek dan ook te bepalen.

Oppervlakte van een driehoek. Bij veel meetkundeproblemen waarbij gebieden worden berekend, worden formules voor de oppervlakte van een driehoek gebruikt. Er zijn er verschillende, hier zullen we de belangrijkste bekijken.Het opsommen van deze formules zou te simpel en nutteloos zijn. We zullen de oorsprong analyseren van de basisformules, de formules die het meest worden gebruikt.

Voordat je de afleiding van de formules leest, moet je het artikel over lezen.Nadat u de stof heeft bestudeerd, kunt u de formules eenvoudig in uw geheugen herstellen (als ze plotseling "uitvliegen" op het moment dat u ze nodig heeft).

Eerste formule

De diagonaal van een parallellogram verdeelt het in twee driehoeken van gelijke oppervlakte:

Daarom zal de oppervlakte van de driehoek gelijk zijn aan de helft van de oppervlakte van het parallellogram:

Gebied van driehoeksformule

*Dat wil zeggen, als we een zijde van de driehoek kennen en de hoogte naar deze zijde kennen, dan kunnen we altijd de oppervlakte van deze driehoek berekenen.

Formule twee

Zoals al vermeld in het artikel over de oppervlakte van een parallellogram, ziet de formule er als volgt uit:

De oppervlakte van een driehoek is gelijk aan de helft van de oppervlakte, wat betekent:

*Dat wil zeggen: als er twee zijden in een driehoek zijn en de hoek ertussen bekend zijn, kunnen we altijd de oppervlakte van zo’n driehoek berekenen.

Heron's formule (derde)

Deze formule is moeilijk af te leiden en heeft voor u geen nut. Kijk hoe mooi ze is, je kunt zeggen dat ze zelf gedenkwaardig is.

*Als er drie zijden van een driehoek zijn gegeven, kunnen we met deze formule altijd de oppervlakte berekenen.

Formule vier

Waar R– straal van de ingeschreven cirkel

*Als de drie zijden van een driehoek en de straal van de daarin ingeschreven cirkel bekend zijn, kunnen we altijd de oppervlakte van deze driehoek vinden.

Formule vijf

Waar R– straal van de omgeschreven cirkel.

*Als de drie zijden van een driehoek en de straal van de daaromheen omschreven cirkel bekend zijn, kunnen we altijd de oppervlakte van zo’n driehoek vinden.

De vraag rijst: als drie zijden van een driehoek bekend zijn, is het dan niet eenvoudiger om de oppervlakte ervan te vinden met behulp van de formule van Heron!

Ja, het kan gemakkelijker zijn, maar niet altijd, soms ontstaat er complexiteit. Dit omvat het extraheren van de wortel. Bovendien zijn deze formules erg handig om te gebruiken bij problemen waarbij de oppervlakte van een driehoek en de zijkanten ervan zijn gegeven en je de straal van de ingeschreven of omgeschreven cirkel moet vinden. Dergelijke taken zijn beschikbaar als onderdeel van het Unified State Examination.

Laten we de formule afzonderlijk bekijken:

Het is een speciaal geval van de formule voor de oppervlakte van een veelhoek waarin een cirkel is ingeschreven:

Laten we het bekijken aan de hand van het voorbeeld van een vijfhoek:

Laten we het middelpunt van de cirkel verbinden met de hoekpunten van deze vijfhoek en de lagere loodlijnen vanuit het midden naar de zijkanten. We krijgen vijf driehoeken, waarbij de gevallen loodlijnen de stralen van de ingeschreven cirkel zijn:

De oppervlakte van de vijfhoek is:

Nu is het duidelijk dat als we het over een driehoek hebben, deze formule de vorm aanneemt:

Formule zes

Kan worden gevonden door de basis en hoogte te kennen. De hele eenvoud van het diagram ligt in het feit dat de hoogte de basis a in twee delen verdeelt, a 1 en a 2, en de driehoek zelf in twee rechthoekige driehoeken, waarvan de oppervlakte en is. Dan is de oppervlakte van de hele driehoek de som van de twee aangegeven gebieden, en als we één seconde van de hoogte uit de haak halen, krijgen we in de som de basis terug:

Een moeilijkere berekeningsmethode is de formule van Heron, waarvoor je alle drie de kanten moet kennen. Voor deze formule moet je eerst de halve omtrek van de driehoek berekenen: De formule van Heron zelf impliceert de vierkantswortel van de halve omtrek, op zijn beurt vermenigvuldigd met het verschil aan elke kant.

Met de volgende methode, die ook relevant is voor elke driehoek, kunt u het gebied van de driehoek door twee zijden en de hoek ertussen vinden. Het bewijs hiervan komt uit de formule met hoogte - we tekenen de hoogte op een van de bekende zijden en via de sinus van de hoek α verkrijgen we dat h=a⋅sinα. Om de oppervlakte te berekenen, vermenigvuldigt u de helft van de hoogte met de tweede zijde.

Een andere manier is om de oppervlakte van een driehoek te vinden, waarbij je de twee hoeken kent en de zijde ertussen. Het bewijs van deze formule is vrij eenvoudig en blijkt duidelijk uit het diagram.

We verlagen de hoogte vanaf het hoekpunt van de derde hoek naar de bekende zijde en noemen de resulterende segmenten dienovereenkomstig x. Uit rechthoekige driehoeken blijkt dat het eerste segment x gelijk is aan het product

Formule voor oppervlakte is nodig om de oppervlakte van een figuur te bepalen, wat een functie met reële waarde is, gedefinieerd op een bepaalde klasse figuren van het Euclidische vlak en die aan 4 voorwaarden voldoet:

1. Positiviteit - Oppervlakte kan niet kleiner zijn dan nul;
2. Normalisatie - een vierkant met zijeenheid heeft oppervlakte 1;
3. Congruentie - congruente figuren hebben een gelijke oppervlakte;
4. Additiviteit - het gebied van de unie van 2 cijfers zonder gemeenschappelijke interne punten is gelijk aan de som van de gebieden van deze cijfers.

Formules voor het gebied van geometrische figuren.

Geometrische figuur	Formule	Tekening
Het resultaat van het optellen van de afstanden tussen de middelpunten van tegenoverliggende zijden van een convexe vierhoek zal gelijk zijn aan de halve omtrek ervan.
Cirkel sector. De oppervlakte van een sector van een cirkel is gelijk aan het product van zijn boog en de helft van zijn straal.
Cirkelsegment. Om het gebied van segment ASB te verkrijgen, volstaat het om het gebied van driehoek AOB af te trekken van het gebied van sector AOB.	S = 1 / 2 R(s - AC)
De oppervlakte van de ellips is gelijk aan het product van de lengtes van de grote en kleine halve assen van de ellips en het getal pi.
Ovaal. Een andere optie om het gebied van een ellips te berekenen is door twee van zijn stralen.
Driehoek. Door de basis en hoogte. Formule voor de oppervlakte van een cirkel met behulp van de straal en diameter.
Vierkant . Via zijn zijde. De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan het kwadraat van de lengte van zijn zijde.
Vierkant. Door zijn diagonalen. De oppervlakte van een vierkant is gelijk aan de helft van het kwadraat van de lengte van zijn diagonaal.
Regelmatige veelhoek. Om de oppervlakte van een regelmatige veelhoek te bepalen, is het noodzakelijk om deze in gelijke driehoeken te verdelen, die een gemeenschappelijk hoekpunt in het midden van de ingeschreven cirkel zouden hebben.	S= r p = 1/2 r n een