Գնդակի սահմանում. Ոլորտ, գնդակ, հատված և հատված: Ոլորտի բանաձևերը և հատկությունները. Շոշափող, շոշափող հարթություն գնդին և դրանց հատկությունները

Գնդակ (ոլորտ)

Գնդաձև մակերես: Գնդակ (ոլորտ): Գնդակի հատվածներ. շրջանակներ.

Արքիմեդի թեորեմ. Գնդակի մասեր՝ գնդաձև հատված,

գնդաձեւ շերտ, գնդաձեւ գոտի, գնդաձեւ հատված։

Գնդաձև մակերես - Սա կետերի տեղամաս(դրանք. շատերըբոլոր կետերի քանակը)տարածության մեջ՝ մեկ կետից հավասար հեռավորության վրա Օ , որը կոչվում է գնդաձեւ մակերեսի կենտրոն (նկ.90): Շառավիղ AOi տրամագիծըԱԲ որոշվում են այնպես, ինչպես շրջանագծի մեջ:

Գնդակ (ոլորտ) - Սա գնդաձեւ մակերեսով սահմանափակված մարմին։Կարող է ստանալ գնդակը կիսաշրջանը պտտելով (կամ շրջան ) տրամագծի շուրջ: Գնդակի բոլոր հարթ հատվածներն են շրջանակներ (Նկ.90 ). Ամենամեծ շրջանը գտնվում է գնդակի կենտրոնով անցնող հատվածում և կոչվում է մեծ շրջան. Նրա շառավիղը հավասար է գնդակի շառավղին։ Ցանկացած երկու մեծ շրջանակ հատվում են գնդակի տրամագծի երկայնքով ( AB, նկ.91 Այս տրամագիծը նաև հատվող մեծ շրջանակների տրամագիծն է: Նույն տրամագծի ծայրերում գտնվող գնդաձև մակերեսի երկու կետերի միջով(Ա և Բ, Նկար 91 ), կարող եք անթիվ մեծ շրջանակներ նկարել։ Օրինակ՝ անսահման թվով միջօրեականներ կարելի է գծել Երկրի բևեռներով։

Գնդի ծավալը մեկուկես անգամ պակաս է նրա շուրջը շրջագծված գլանի ծավալից։ (նկ.92 ), Ա գնդակի մակերեսը մեկուկես անգամ փոքր է նույն մխոցի ընդհանուր մակերեսից ( Արքիմեդի թեորեմ):

Այստեղ Ս գնդակ Եվ Վ գնդակ - համապատասխանաբար գնդակի մակերեսը և ծավալը.

Ս գլան Եվ Վ գլան - շրջագծված մխոցի ընդհանուր մակերեսը և ծավալը:

Գնդակի մասեր. Գնդակի մաս (գունդ) ), նրանից ինչ-որ ինքնաթիռով կտրված ( ABC, Fig.93), կանչեց գնդակ(գնդաձեւ ) հատված. Շրջանագիծ ABC կանչեց հիմքգնդակի հատված: Գծի հատված MN կենտրոնից գծված ուղղահայաց N շրջան ABC քանի դեռ այն հատվում է գնդաձեւ մակերեսի հետ, կոչվում է բարձրությունըգնդակի հատված: ԿետՄ կանչեց գագաթգնդակի հատված:

Գնդի մի մասը, որը պարփակված է երկու զուգահեռ հարթությունների միջև ABC-ն և DEF-ը հատում են գնդաձև մակերեսը (նկ. 93), կանչեց գնդաձև շերտ; գնդաձեւ շերտի կոր մակերեսը կոչվում է գնդակի գոտի(գոտի). Շրջանակներ ABC և DEF – հիմքերըգնդակի գոտի. ՀեռավորությունըՆ.Կ. գնդաձև գոտու հիմքերի միջև - նրա բարձրությունը. Գնդիկի այն մասը, որը սահմանափակված է գնդաձև հատվածի կոր մակերեսով ( AMCB, Նկ.93) և կոնաձև մակերես OABC , որի հիմքը հատվածի հիմքն է ( ABC ), իսկ գագաթը գնդակի կենտրոնն էՕ , կանչեց գնդաձև հատված.

Երբ մարդկանց հարցնում են գնդակի և գնդակի տարբերությունը, շատերը պարզապես թոթվում են ուսերը՝ մտածելով, որ իրականում դրանք նույնն են (շրջանի և շրջանագծի անալոգիան)։ Իսկապես, բոլորս դպրոցական ծրագրից լավ գիտե՞նք երկրաչափությունը և կարող ենք անմիջապես պատասխանել այս հարցին: Գնդակը որոշ տարբերություններ ունի գնդակից, որը պետք է իմանան ոչ միայն դպրոցականները, որպեսզի լավ գնահատական ​​ստանան իրենց ցուցադրած գիտելիքների համար, այլ նաև շատ այլ մարդիկ, օրինակ, որոնց աշխատանքն ուղղակիորեն կապված է նկարների հետ։

Սահմանում

Գնդակ- տարածության բոլոր կետերի հավաքածուն: Այս բոլոր կետերը գտնվում են երկրաչափական մարմնի կենտրոնից՝ տրվածից ոչ ավելի հեռավորության վրա։ Այս հեռավորությունն ինքնին կոչվում է շառավիղ: Գնդիկը, որպես երկրաչափական մարմին, ձևավորվում է հետևյալ կերպ՝ կիսաշրջանը պտտվում է իր տրամագծի մոտ։ Ինչ վերաբերում է գնդին, ապա սա գնդակի մակերեսն է (օրինակ՝ փակ գնդակը ներառում է այն, բացը՝ ոչ)։ Գնդիկի մակերեսը կամ ծավալը հաշվարկելը ներառում է ամբողջ երկրաչափական բանաձևեր, որոնք շատ բարդ են՝ չնայած բուն երկրաչափական պատկերի ակնհայտ պարզությանը:

Ոլորտ, ինչպես նշվեց վերևում, գնդակի մակերեսն է, նրա պատյանը: Տիեզերքի բոլոր կետերը հավասար հեռավորության վրա են գտնվում ոլորտի կենտրոնից: Ինչ վերաբերում է երկրաչափական մարմնի շառավղին, ապա այն կոչվում է ցանկացած հատված, որի մի կետն ուղղակիորեն ոլորտի կենտրոնն է, իսկ մյուսը կարող է տեղակայվել մակերեսի ցանկացած կետում։ Կարելի է ասել, որ գունդը առանց որևէ բովանդակության գնդակի պատյան է (ավելի կոնկրետ օրինակներ կներկայացվեն ստորև)։ Ինչպես գնդակը, այնպես էլ գունդը պտտվող մարմին է: Ի դեպ, շատերին է հետաքրքրում նաև, թե որն է շրջանի և գնդիկից շրջանագծի տարբերությունը։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է. առաջին դեպքում դրանք ինքնաթիռի ֆիգուրներ են, երկրորդում՝ տիեզերքում։

Համեմատություն

Արդեն ասվել է, որ գունդը գնդակի մակերեսն է, որն արդեն հնարավորություն է տալիս խոսել տարբերության մեկ նշանակալի նշանի մասին։ Երկու երկրաչափական մարմինների միջև տարբերությունը նկատվում է մի քանի այլ առումներով.

• Գնդակի բոլոր կետերը գտնվում են կենտրոնից միևնույն հեռավորության վրա, մինչդեռ մարմինը սահմանափակված է մակերեսով (գունդ, որը ներսում դատարկ է): Այսինքն՝ գունդը խոռոչ է։ Սովորաբար հասկանալու համար պարզ օրինակ է տրվում փուչիկի և բիլիարդի գնդակի հետ: Այս երկու առարկաներն էլ կոչվում են գնդակներ, սակայն առաջին դեպքում գործ ունենք գնդիկի հետ, իսկ երկրորդում՝ լիարժեք գնդակի հետ՝ ներսում իր պարունակությամբ։
• Գունդն ունի իր տարածքը, բայց չունի ծավալ։ Գնդակը հակառակն է՝ դրա ծավալը կարելի է հաշվարկել, մինչդեռ այն չունի մակերես։ Ոմանք կարող են ասել, որ դա տարբերության հիմնական նշանն է, բայց այն հայտնվում է միայն այն դեպքում, եթե անհրաժեշտ է կատարել որոշ հաշվարկներ (բարդ երկրաչափական բանաձևեր): Հետևաբար, հիմնական տարբերությունն այն է, որ գունդը սնամեջ է, իսկ գնդակը մարմին է՝ ներսում պարունակությամբ։
• Մեկ այլ տարբերություն կայանում է շառավղով. Օրինակ, գնդիկի շառավիղը միայն կետերի հեռավորությունը կենտրոն չէ: Շառավիղը կարող է լինել ցանկացած հատված, որը միացնում է գնդակի կետը կենտրոնին: Այս բոլոր հատվածները հավասար են միմյանց: Ինչ վերաբերում է գնդակին, ապա դրա ներսում ընկած կետերը կենտրոնից մի շառավղից պակաս են (հենց այն սահմանափակող գնդի պատճառով):

Եզրակացությունների կայք

1. Գունդը խոռոչ է, մինչդեռ գունդը ներսում լցված մարմին է: Օրինակ՝ փուչիկը գնդիկ է, բիլիարդի գնդակը՝ լիարժեք։
2. Գունդն ունի մակերես և չունի ծավալ, իսկ գունդն անում է հակառակը։
3. Երրորդ տարբերությունը երկու երկրաչափական մարմինների շառավիղի չափումն է։

Գնդակը և գունդը առաջին հերթին երկրաչափական պատկերներ են, իսկ եթե գնդակը երկրաչափական մարմին է, ապա գունդը գնդակի մակերեսն է։ Այս թվերը հետաքրքրություն էին ներկայացնում մ.թ.ա. հազարավոր տարիներ առաջ:

Հետագայում, երբ պարզվեց, որ Երկիրը գնդակ է, իսկ երկինքը՝ երկնային գունդ, երկրաչափության մեջ ստեղծվեց նոր հետաքրքրաշարժ ուղղություն՝ երկրաչափություն ոլորտի վրա կամ գնդաձև երկրաչափություն։ Գնդակի չափի և ծավալի մասին խոսելու համար նախ պետք է սահմանել այն։

Գնդակ

R շառավիղով գունդը, որի կենտրոնը գտնվում է O կետում երկրաչափության մեջ, մարմին է, որը ստեղծվում է տարածության բոլոր կետերով, որոնք ունեն ընդհանուր հատկություն: Այս կետերը գտնվում են գնդակի շառավղից չգերազանցող հեռավորության վրա, այսինքն՝ նրանք ամբողջ տարածությունը լրացնում են գնդակի շառավղից փոքր՝ նրա կենտրոնից բոլոր ուղղություններով։ Եթե ​​դիտարկենք միայն այն կետերը, որոնք հավասար են գնդակի կենտրոնից, ապա կդիտարկենք նրա մակերեսը կամ գնդակի պատյանը:

Ինչպե՞ս կարող եմ ստանալ գնդակը: Մենք կարող ենք շրջանագիծ կտրել թղթից և սկսել պտտել այն իր տրամագծի շուրջ: Այսինքն՝ շրջանագծի տրամագիծը կլինի պտտման առանցքը։ Ձևավորված գործիչը կլինի գնդակ: Ուստի գնդակը կոչվում է նաև պտտման մարմին։ Որովհետև այն կարող է ձևավորվել՝ պտտելով հարթ գործիչ՝ շրջան։

Եկեք մի քանի ինքնաթիռ վերցնենք և դրանով կտրենք մեր գնդակը: Ինչպես դանակով կտրեցինք նարինջը։ Այն կտորը, որը մենք կտրեցինք գնդակից, կոչվում է գնդաձև հատված:

Հին Հունաստանում նրանք գիտեին, թե ինչպես աշխատել ոչ միայն գնդակի և գնդիկի հետ որպես երկրաչափական պատկերներ, օրինակ, դրանք օգտագործել շինարարության մեջ, այլ նաև գիտեին, թե ինչպես հաշվարկել գնդակի մակերեսը և գնդակի ծավալը:

Գնդիկը գնդակի մակերեսի մեկ այլ անուն է: Գունդը մարմին չէ, դա հեղափոխության մարմնի մակերեսն է: Այնուամենայնիվ, քանի որ և՛ Երկիրը, և՛ շատ մարմիններ ունեն գնդաձև ձև, օրինակ՝ ջրի կաթիլ, ոլորտի ներսում երկրաչափական հարաբերությունների ուսումնասիրությունը լայն տարածում է գտել։

Օրինակ, եթե գնդակի երկու կետ իրար հետ միացնենք ուղիղ գծով, ապա այդ ուղիղ գիծը կոչվում է ակորդ, իսկ եթե այս ակորդն անցնում է գնդակի կենտրոնի հետ համընկնող ոլորտի կենտրոնով, ապա. ակորդը կոչվում է ոլորտի տրամագիծ։

Եթե ​​գծենք ուղիղ գիծ, ​​որը կպնում է ոլորտին ընդամենը մեկ կետում, ապա այս ուղիղը կկոչվի շոշափող: Բացի այդ, այս շոշափող ոլորտին այս կետում ուղղահայաց կլինի շփման կետին գծված ոլորտի շառավղին:

Եթե ​​գնդից այս կամ այն ​​ուղղությամբ ակորդը երկարացնենք ուղիղ գծի վրա, ապա այս ակորդը կկոչվի սեկանտ։ Կամ կարող ենք այլ կերպ ասել՝ ոլորտին ուղղված հատվածն իր ակորդն է պարունակում։

Գնդակի ծավալը

Գնդիկի ծավալը հաշվարկելու բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ R-ը գնդակի շառավիղն է:

Եթե ​​Ձեզ անհրաժեշտ է գտնել գնդաձև հատվածի ծավալը, օգտագործեք բանաձևը.

V seg =πh 2 (R-h/3), h-ը գնդաձեւ հատվածի բարձրությունն է։

Գնդիկի կամ գնդի մակերեսը

Գնդի մակերեսը կամ գնդակի մակերեսը հաշվարկելու համար (դրանք նույնն են).

որտեղ R-ը ոլորտի շառավիղն է:

Արքիմեդը շատ էր սիրում գնդակը և գունդը, նա նույնիսկ խնդրեց թողնել իր գերեզմանի վրա մի նկար, որում գլանով գնդակ էր գրված։ Արքիմեդը կարծում էր, որ գնդակի ծավալը և նրա մակերեսը հավասար են գլանների ծավալի և մակերեսի երկու երրորդին, որի մեջ գրված է գնդակը»։

Գլուխ 2-ում մենք կշարունակենք «կառուցվածքային երկրաչափությունը» և կխոսենք ամենակարևոր տարածական պատկերների կառուցվածքի և հատկությունների մասին՝ գնդիկներ և գնդիկներ, պրիզմաներ և բուրգեր , և այլն, և այլն, բաղկացած է այս պատկերների նման ձևավորված մասերից:

§ 4. ՈԼՈՐՏ ԵՎ ԳՆԴԱԿ

Ուղիղ գծերից և հարթություններից հետո գունդը և գնդակը ամենապարզ, բայց շատ կարևոր տարածական պատկերներն են՝ հարուստ տարբեր հատկություններով։ Ամբողջ գրքեր են գրվել գնդակի երկրաչափական հատկությունների և նրա մակերեսի՝ գնդիկի մասին։ Այս հատկություններից մի քանիսը հայտնի էին հին հունական երկրաչափերին, իսկ որոշները հայտնաբերվել են վերջերս՝ վերջին տարիներին: Այս հատկությունները (բնական գիտության օրենքների հետ միասին) բացատրում են, թե ինչու են, օրինակ, երկնային մարմինները և ձկան ձվերը գնդաձև ձևով, ինչու են բաղնիքը և ֆուտբոլի գնդակները պատրաստված գնդակի տեսքով, ինչու են գնդիկավոր առանցքակալներն այդքան տարածված տեխնիկայում, և այլն: Մենք կարող ենք ապացուցել միայն գնդակի ամենապարզ հատկությունները: Այլ, թեև շատ կարևոր հատկությունների ապացույցները հաճախ պահանջում են բոլորովին ոչ տարրական մեթոդների կիրառում, թեև նման հատկությունների ձևակերպումը կարող է շատ պարզ լինել. օրինակ, տվյալ մակերես ունեցող բոլոր մարմինների մեջ գնդակն ունի ամենամեծ ծավալը:

4.1. Ոլորտի և գնդակի սահմանումները.

Գնդակը և գնդակը տարածության մեջ սահմանվում են ճիշտ այնպես, ինչպես հարթության վրա գտնվող շրջանագիծը և շրջանագիծը: Գնդակը պատկեր է, որը բաղկացած է տվյալ կետից հեռու տարածության բոլոր կետերից:

տարբեր կետեր նույն (դրական) հեռավորության վրա:

Այս կետը կոչվում է ոլորտի կենտրոն, իսկ հեռավորությունը նրա շառավիղն է (նկ. 4.1):

Այսպիսով, O կենտրոնով և R շառավղով գունդը տարածության բոլոր X կետերից կազմված պատկեր է, որի համար

Գնդակը պատկեր է, որը ձևավորվում է տարածության բոլոր կետերից, որոնք գտնվում են տվյալ կետից տրված (դրական) հեռավորությունից ոչ ավելի հեռավորության վրա: Այս կետը կոչվում է գնդակի կենտրոն, և այս հեռավորությունը նրա շառավիղն է:

Այսպիսով, O կենտրոնով և R շառավիղով գնդակը տարածության բոլոր X կետերով կազմված պատկեր է, որի համար

O կենտրոնով և R շառավղով գնդակի այն X կետերը, որոնց համար նրանք կազմում են գունդ: Ասում են, որ այս գունդը պարփակում է տվյալ գնդակը կամ դա նրա մակերեսն է։

Գնդակի նույն X կետերի մասին, որոնց համար ասում են, որ պառկած են գնդակի ներսում:

Գնդի (և գնդակի) շառավիղը կոչվում է ոչ միայն հեռավորություն, այլև կենտրոնը մի կետի հետ կապող ցանկացած հատված։