Definicija lopte. Sfera, lopta, segment i sektor. Formule i svojstva kugle. Tangenta, tangentna ravnina na sferu i njihova svojstva

Lopta (sfera)

Sferična površina. Lopta (sfera). Sekcije lopte: krugovi.

Arhimedov teorem. Dijelovi lopte: sferni segment,

sferni sloj, sferni pojas, sferni sektor.

Sferična površina - Ovo mjesto točaka(oni. punobroj svih bodova)u prostoru, jednako udaljen od jedne točke O , koji se naziva središte sferne plohe (Slika 90). Radius AOi promjer AB određuju se na isti način kao u krugu.

Lopta (sfera) - Ovo tijelo omeđeno sfernom plohom. Limenka dobiti loptu rotirajući polukrug ( ili krug ) oko promjera. Svi ravninski presjeci lopte su krugovi ( Sl.90 ). Najveći krug leži u dijelu koji prolazi središtem lopte i naziva se veliki krug. Njegov polumjer jednak je polumjeru lopte. Bilo koja dva velika kruga sijeku se duž promjera lopte ( AB, sl.91 ).Ovaj promjer je također promjer velikih kružnica koje se sijeku. Kroz dvije točke sferne površine koje se nalaze na krajevima istog promjera(A i B, sl.91 ), možete nacrtati bezbroj velikih krugova. Na primjer, kroz Zemljine polove može se povući beskonačan broj meridijana.

Volumen kugle je jedan i pol puta manji od volumena valjka opisanog oko nje. (Sl.92 ), A površina lopte je jedan i pol puta manja od ukupne površine istog cilindra ( Arhimedov teorem):

Ovdje S lopta I V lopta - površinu i volumen lopte;

S cyl I V cyl - ukupna površina i obujam opisanog valjka.

Dijelovi lopte. Dio lopte (sfera) ), odsječen od njega nekom ravninom ( ABC, sl.93), nazvao lopta(kuglastog ) segment. Kružnica ABC nazvao osnova segment lopte. Segment linije MN okomito povučeno iz središta N krug ABC dok se ne presječe s kuglastom plohom, zove se visina segment lopte. Točka M nazvao vrh segment lopte.

Dio sfere zatvoren između dvije paralelne ravnine ABC i DEF sijeku sfernu plohu (sl. 93), nazvao sferni sloj; zakrivljena površina sferičnog sloja naziva se loptasti pojas(zona). Krugovi ABC i DEF – osnove loptasti pojas. Udaljenost N.K. između baza sfernog pojasa – njegova visina. Dio lopte omeđen zakrivljenom plohom sfernog segmenta ( AMCB, sl.93) i stožaste površine OABC , čija je baza baza segmenta ( ABC ), a vrh je središte lopte O , nazvao sferni sektor.

Kada se ljudi pitaju koja je razlika između sfere i lopte, mnogi jednostavno sliježu ramenima, misleći da je zapravo riječ o istoj stvari (analogija s krugom i krugom). Doista, znamo li svi dobro geometriju iz školskog programa i možemo li odmah odgovoriti na ovo pitanje? Kugla ima neke razlike od lopte, što moraju znati ne samo školarci kako bi dobili dobru ocjenu za svoje demonstrirano znanje, već i mnogi drugi ljudi, na primjer, čiji je rad izravno povezan s crtežima.

Definicija

Lopta– skup svih točaka u prostoru. Sve te točke nalaze se od središta geometrijskog tijela na udaljenosti koja nije veća od zadane. Sama ta udaljenost naziva se radijus. Lopta, kao geometrijsko tijelo, nastaje na sljedeći način: polukrug se okreće blizu njenog promjera. Što se tiče sfere, to je površina lopte (na primjer, zatvorena lopta je uključuje, otvorena ne). Izračunavanje površine ili volumena lopte uključuje čitave geometrijske formule koje su vrlo složene, unatoč prividnoj jednostavnosti same geometrijske figure.

Sfera, kao što je gore navedeno, je površina lopte, njezina ljuska. Sve točke u prostoru jednako su udaljene od središta sfere. Što se tiče polumjera geometrijskog tijela, naziva se bilo koji segment, od kojih je jedna točka izravno središte sfere, a druga se može nalaziti u bilo kojoj točki na površini. Možemo reći da je sfera ljuska lopte bez ikakvog sadržaja (konkretniji primjeri bit će navedeni u nastavku). Kao i lopta, kugla je tijelo rotacije. Usput, mnogi se također pitaju koja je razlika između kruga i kruga od sfere i lopte. Ovdje je sve jednostavno: u prvom slučaju to su figure u ravnini, u drugom - u svemiru.

Usporedba

Već je rečeno da je kugla površina lopte, što već omogućuje govoriti o jednom značajnom znaku razlike. Razlika između dva geometrijska tijela se vidi u nekim drugim aspektima:

• Sve točke lopte su na istoj udaljenosti od središta, dok je tijelo ograničeno površinom (kuglom koja je iznutra prazna). Drugim riječima, kugla je šuplja. Obično se radi lakšeg razumijevanja daje jednostavan primjer s balonom i biljarskom kuglom. Oba ova objekta nazivaju se loptama, ali u prvom slučaju imamo posla s kuglom, au drugom s punom kuglom s vlastitim sadržajem unutra.
• Kugla ima svoju površinu, ali nema volumen. Sfera je suprotna: njen volumen se može izračunati, a nema površine. Neki bi mogli reći da je to glavni znak razlike, ali pojavljuje se samo ako je potrebno napraviti neke izračune (složene geometrijske formule). Dakle, glavna razlika je u tome što je kugla šuplja, a lopta je tijelo sa sadržajem unutra.
• Druga razlika je u radijusu. Na primjer, radijus sfere nije samo udaljenost točaka od središta. Radijus može biti bilo koji segment koji povezuje točku na kugli s njezinim središtem. Svi ovi segmenti su međusobno jednaki. Što se tiče lopte, točke koje leže unutar nje udaljene su manje od polumjera od središta (upravo zbog sfere koja je omeđuje).

Web stranica Zaključci

1. Kugla je šuplja, dok je lopta iznutra ispunjeno tijelo. Na primjer, balon na vrući zrak je kugla, biljarska kugla je punopravna kugla.
2. Sfera ima površinu, a nema volumen, ali sfera ima suprotno.
3. Treća razlika je mjerenje polumjera dvaju geometrijskih tijela.

Lopta i sfera su prije svega geometrijski likovi, a ako je lopta geometrijsko tijelo, onda je sfera površina lopte. Ove su brojke bile zanimljive prije mnogo tisuća godina pr.

Naknadno, kada je otkriveno da je Zemlja lopta, a nebo nebeska sfera, razvio se novi fascinantan pravac u geometriji - geometrija na sferi ili sferna geometrija. Da bismo mogli govoriti o veličini i volumenu lopte, prvo je moramo definirati.

Lopta

Lopta radijusa R sa središtem u točki O u geometriji je tijelo koje čine sve točke u prostoru koje imaju zajedničko svojstvo. Te se točke nalaze na udaljenosti koja ne prelazi polumjer lopte, odnosno ispunjavaju cijeli prostor manji od polumjera lopte u svim smjerovima od njezina središta. Ako razmatramo samo one točke koje su jednako udaljene od središta lopte, smatrat ćemo njezinu površinu ili ljusku lopte.

Kako mogu dobiti loptu? Možemo izrezati krug od papira i početi ga okretati oko vlastitog promjera. To jest, promjer kruga bit će os rotacije. Formirana figura bit će lopta. Stoga se lopta naziva i tijelom rotacije. Zato što se može formirati rotiranjem ravnog lika – kruga.

Uzmimo neki avion i njime presijecimo svoju loptu. Baš kao što naranču režemo nožem. Komad koji smo odrezali od lopte nazivamo sferni segment.

U staroj Grčkoj su znali ne samo raditi s loptom i sferom kao geometrijskim figurama, na primjer, koristiti ih u građevinarstvu, već su znali izračunati površinu lopte i volumen lopte.

Sfera je drugi naziv za površinu lopte. Kugla nije tijelo - ona je površina tijela rotacije. Međutim, budući da i Zemlja i mnoga tijela imaju sferni oblik, na primjer kap vode, proučavanje geometrijskih odnosa unutar sfere postalo je rašireno.

Na primjer, ako dvije točke sfere spojimo ravnom linijom, tada se ta ravna crta naziva tetiva, a ako ta tetiva prolazi kroz središte sfere, koje se poklapa sa središtem lopte, tada tetiva se naziva promjer kugle.

Ako nacrtamo ravnu liniju koja dodiruje sferu samo u jednoj točki, tada ćemo tu liniju zvati tangenta. Osim toga, ova tangenta na sferu u ovoj će točki biti okomita na polumjer sfere povučen na točku dodira.

Ako produžimo tetivu na ravnu liniju u jednom ili drugom smjeru od sfere, tada ćemo tu tetivu zvati sekantom. Ili možemo reći drugačije - sekansa sfere sadrži njezinu tetivu.

Volumen lopte

Formula za izračunavanje volumena lopte je:

gdje je R polumjer lopte.

Ako trebate pronaći volumen sfernog segmenta, upotrijebite formulu:

V seg =πh 2 (R-h/3), h je visina sfernog segmenta.

Površina lopte ili sfere

Da biste izračunali površinu sfere ili površinu lopte (to je ista stvar):

gdje je R polumjer sfere.

Arhimed je jako volio loptu i kuglu, čak je tražio da mu na grobu ostavi crtež na kojem je lopta bila upisana u cilindar. Arhimed je vjerovao da su volumen lopte i njezina površina jednaki dvije trećine volumena i površine cilindra u koji je lopta upisana.”

U 2. poglavlju nastavit ćemo s “građevinskom geometrijom” i govoriti o strukturi i svojstvima najvažnijih prostornih figura - lopta i sfera, cilindri i stošci, prizme i piramide.Većina predmeta stvorena ljudskom rukom - zgrade, automobili, namještaj, posuđe , itd., itd., sastoji se od dijelova oblikovanih poput ovih figura.

§ 4. KUGLICA I LOPTA

Poslije pravaca i ravnina, kugla i lopta su najjednostavnije, ali vrlo važne prostorne figure bogate raznim svojstvima. O geometrijskim svojstvima lopte i njezine površine - sfere napisane su cijele knjige. Neka od tih svojstava bila su poznata još starogrčkim geometrima, a neka su otkrivena u novije vrijeme, posljednjih godina. Ta svojstva (zajedno sa zakonima prirodnih znanosti) objašnjavaju zašto su, na primjer, nebeska tijela i riblja jaja okruglog oblika, zašto su batiskafi i nogometne lopte napravljeni u obliku lopte, zašto su kuglični ležajevi tako česti u tehnici, zašto su kuglični ležajevi toliko česti u tehnici, zašto su batiskafi i nogometne lopte napravljeni u obliku lopte. itd. Možemo dokazati samo najjednostavnija svojstva lopte. Dokazi drugih, iako vrlo važnih svojstava, često zahtijevaju korištenje potpuno neelementarnih metoda, iako formulacija takvih svojstava može biti vrlo jednostavna: na primjer, među svim tijelima koja imaju određenu površinu, lopta ima najveći volumen.

4.1. Definicije sfere i lopte.

Kugla i lopta definirane su u prostoru na potpuno isti način kao kružnica i kružnica na ravnini. Sfera je figura koja se sastoji od svih točaka u prostoru udaljenih od date.

različite točke na istu (pozitivnu) udaljenost.

Ta se točka naziva središte sfere, a udaljenost je njezin polumjer (sl. 4.1).

Dakle, sfera sa središtem O i radijusom R je lik kojeg tvore sve točke X prostora za koje

Lopta je figura koju čine sve točke u prostoru koje se nalaze na udaljenosti koja nije veća od zadane (pozitivne) udaljenosti od zadane točke. Ta se točka naziva središtem lopte, a ta udaljenost je njezin polumjer.

Dakle, lopta sa središtem O i radijusom R je figura koju čine sve točke X prostora za koje

One točke X lopte sa središtem O i polumjerom R za koje tvore sferu. Kažu da ova kugla zatvara datu loptu ili da je njezina površina.

Otprilike iste točke X lopte za koje kažu da leže unutar lopte.

Polumjer sfere (i lopte) naziva se ne samo udaljenost, već i svaki segment koji povezuje središte s točkom na sferi.