Površina trokuta koja se temelji na njegove tri strane. Kako izračunati površinu trokuta. Zadatak. Promjena površine pri promjeni duljine stranica

Kao što se možda sjećate iz školskog kurikuluma geometrije, trokut je figura sastavljena od tri segmenta povezana s tri točke koje ne leže na istoj ravnoj liniji. Trokut tvori tri kuta, otuda i naziv figure. Definicija može biti drugačija. Trokut se može nazvati i poligonom s tri kuta, odgovor će također biti točan. Trokuti se dijele prema broju jednakih stranica i veličini kutova na slikama. Dakle, trokuti se razlikuju kao jednakokračni, jednakostranični i razmjerni, kao i pravokutni, šiljasti i tupi.

Postoji mnogo formula za izračunavanje površine trokuta. Odaberite kako pronaći površinu trokuta, tj. Koju ćete formulu koristiti ovisi o vama. Ali vrijedi napomenuti samo neke od oznaka koje se koriste u mnogim formulama za izračunavanje površine trokuta. Dakle, zapamtite:

S je površina trokuta,

a, b, c su stranice trokuta,

h je visina trokuta,

R je polumjer opisane kružnice,

p je poluopseg.

Ovdje su osnovne oznake koje bi vam mogle biti korisne ako ste potpuno zaboravili tečaj geometrije. Ispod su najrazumljivije i najjednostavnije opcije za izračunavanje nepoznatog i tajanstvenog područja trokuta. Nije teško i bit će korisno kako za vaše kućanske potrebe tako i za pomoć vašoj djeci. Prisjetimo se kako što lakše izračunati površinu trokuta:

U našem slučaju, površina trokuta je: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvadratnih cm. Upamtite da se površina mjeri u kvadratnim centimetrima (sqcm).

Pravokutni trokut i njegova površina.

Pravokutni trokut je trokut u kojem je jedan kut jednak 90 stupnjeva (stoga se naziva pravokutni). Pravi kut čine dvije okomite crte (u slučaju trokuta dva okomita odsječka). U pravokutnom trokutu može postojati samo jedan pravi kut jer... zbroj svih kutova bilo kojeg trokuta jednak je 180 stupnjeva. Ispada da 2 druga kuta trebaju dijeliti preostalih 90 stupnjeva, na primjer 70 i 20, 45 i 45, itd. Dakle, sjećate se glavne stvari, sve što ostaje je saznati kako pronaći područje pravokutnog trokuta. Zamislimo da pred sobom imamo takav pravokutni trokut i trebamo pronaći njegovu površinu S.

1. Najjednostavniji način za određivanje površine pravokutnog trokuta izračunava se pomoću sljedeće formule:

U našem slučaju, površina pravokutnog trokuta je: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 sq. cm.

U načelu, više nema potrebe provjeravati površinu trokuta na druge načine, jer Samo ovaj će biti koristan i pomoći će u svakodnevnom životu. Ali postoje i opcije za mjerenje površine trokuta kroz oštre kutove.

2. Za druge metode izračuna morate imati tablicu kosinusa, sinusa i tangensa. Prosudite sami, evo nekoliko opcija za izračunavanje površine pravokutnog trokuta koje se još uvijek mogu koristiti:

Odlučili smo upotrijebiti prvu formulu i s manjim mrljama (crtali smo je u bilježnicu i koristili staro ravnalo i kutomjer), ali dobili smo točan izračun:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Dobili smo sljedeće rezultate: 3,6=3,7, ali uzimajući u obzir pomak ćelija, možemo oprostiti ovu nijansu.

Jednakokračni trokut i njegova površina.

Ako ste suočeni sa zadatkom izračuna formule za jednakokračni trokut, tada je najlakši način koristiti glavnu i ono što se smatra klasičnom formulom za područje trokuta.

Ali prvo, prije nego što pronađemo površinu jednakokračnog trokuta, saznajmo kakva je to figura. Jednakokračni trokut je trokut u kojem dvije stranice imaju jednake duljine. Ove dvije strane nazivaju se bočne, a treća strana se zove baza. Nemojte brkati jednakokračni trokut s jednakostraničnim trokutom, tj. pravilan trokut kojemu su sve tri stranice jednake. U takvom trokutu nema posebnih tendencija prema kutovima, odnosno njihovoj veličini. Međutim, kutovi na osnovici u jednakokračnom trokutu su jednaki, ali različiti od kuta između jednakih stranica. Dakle, već znate prvu i glavnu formulu, ostaje saznati koje su druge formule za određivanje površine jednakokračnog trokuta poznate.

Trokut je najjednostavniji geometrijski lik koji se sastoji od tri stranice i tri vrha. Zbog svoje jednostavnosti trokut se od davnina koristio za uzimanje raznih mjera, a danas lik može biti koristan za rješavanje praktičnih i svakodnevnih problema.

Značajke trokuta

Slika se koristila za izračune od davnih vremena, na primjer, zemljomjeri i astronomi koriste svojstva trokuta za izračunavanje površina i udaljenosti. Lako je izraziti područje bilo kojeg n-kuta kroz područje ove figure, a ovo svojstvo koristili su drevni znanstvenici za izvođenje formula za površine poligona. Stalni rad s trokutima, posebno s pravokutnim trokutom, postao je osnova za čitavu granu matematike - trigonometriju.

Geometrija trokuta

Svojstva geometrijskog lika proučavaju se od davnina: najraniji podaci o trokutu pronađeni su u egipatskim papirusima od prije 4000 godina. Zatim je lik proučavan u staroj Grčkoj, a najveći doprinos geometriji trokuta dali su Euklid, Pitagora i Heron. Proučavanje trokuta nikada nije prestalo, au 18. stoljeću Leonhard Euler uveo je koncept ortocentra figure i Eulerove kružnice. Na prijelazu iz 19. u 20. stoljeće, kada se činilo da se o trokutu zna apsolutno sve, Frank Morley je formulirao teorem o trisektorima kutova, a Waclaw Sierpinski predložio je fraktalni trokut.

Postoji nekoliko vrsta ravnih trokuta koji su nam poznati iz školskih tečajeva geometrije:

• akutni - svi uglovi figure su akutni;
• tup - lik ima jedan tupi kut (više od 90 stupnjeva);
• pravokutni - lik sadrži jedan pravi kut jednak 90 stupnjeva;
• jednakokračan - trokut s dvije jednake stranice;
• jednakostraničan - trokut sa svim jednakim stranicama.
• U stvarnom životu postoje sve vrste trokuta, au nekim slučajevima možda ćemo morati izračunati površinu geometrijske figure.

Površina trokuta

Površina je procjena koliki dio ravnine figura obuhvaća. Površina trokuta može se pronaći na šest načina, pomoću stranica, visine, kutova, radijusa upisane ili opisane kružnice, kao i pomoću Heronove formule ili izračunavanjem dvostrukog integrala duž linija koje ograničavaju ravninu. Najjednostavnija formula za izračunavanje površine trokuta je:

gdje je a stranica trokuta, h njegova visina.

Međutim, u praksi nam nije uvijek zgodno pronaći visinu geometrijske figure. Algoritam našeg kalkulatora omogućuje vam izračunavanje površine znajući:

• tri strane;
• dvije stranice i kut između njih;
• jednu stranu i dva ugla.

Za određivanje površine kroz tri strane koristimo Heronovu formulu:

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

gdje je p poluopseg trokuta.

Površina dviju stranica i kuta izračunava se klasičnom formulom:

S = a × b × sin(alfa),

gdje je alfa kut između stranica a i b.

Za određivanje površine u smislu jedne stranice i dva kuta, koristimo se relacijom:

a / sin(alfa) = b / sin(beta) = c / sin(gama)

Jednostavnom proporcijom odredimo duljinu druge stranice, nakon čega izračunamo površinu pomoću formule S = a × b × sin(alfa). Ovaj algoritam je potpuno automatiziran i samo trebate unijeti navedene varijable i dobiti rezultat. Pogledajmo nekoliko primjera.

Primjeri iz života

Ploče za popločavanje

Recimo da želite popločiti pod trokutastim pločicama, a da biste odredili količinu potrebnog materijala, morate znati površinu jedne pločice i površinu poda. Pretpostavimo da trebate obraditi 6 četvornih metara površine pomoću pločice čije su dimenzije a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Očito, za izračunavanje površine trokuta, kalkulator koristi Heronovu formulu i daje rezultat:

Dakle, površina jednog elementa pločice bit će 0,021 četvornih metara, a za poboljšanje poda trebat će vam 6/0,021 = 285 trokuta. Brojevi 20, 21 i 29 tvore Pitagorin trostruki broj koji zadovoljava . I to je točno, naš kalkulator također je izračunao sve kutove trokuta, a gama kut je točno 90 stupnjeva.

Školski zadatak

U školskom zadatku trebate pronaći površinu trokuta, znajući da je stranica a = 5 cm, a kutovi alfa i beta su 30, odnosno 50 stupnjeva. Da bismo ručno riješili ovaj problem, prvo bismo pronašli vrijednost stranice b koristeći udio omjera širine i visine stranice i sinusa suprotnih kutova, a zatim bismo odredili površinu pomoću jednostavne formule S = a × b × sin(alfa). Uštedimo vrijeme, unesi podatke u obrazac kalkulatora i dobij instant odgovor

Kada koristite kalkulator, važno je ispravno naznačiti kutove i strane, inače će rezultat biti netočan.

Zaključak

Trokut je jedinstvena figura koja se nalazi iu stvarnom životu iu apstraktnim izračunima. Koristite naš online kalkulator za određivanje površine trokuta bilo koje vrste.

Površina trokuta. U mnogim geometrijskim problemima koji uključuju izračun površina koriste se formule za površinu trokuta. Postoji nekoliko njih, ovdje ćemo pogledati glavne.Navođenje ovih formula bilo bi prejednostavno i beskorisno. Analizirat ćemo podrijetlo osnovnih formula, onih koje se najčešće koriste.

Prije nego što pročitate izvođenje formula, svakako pogledajte članak o.Nakon proučavanja materijala, lako možete vratiti formule u svoju memoriju (ako iznenada "izlete" u trenutku kada vam je potrebno).

Prva formula

Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva trokuta jednake površine:

Stoga će površina trokuta biti jednaka polovici površine paralelograma:

Formula površine trokuta

*To jest, ako znamo bilo koju stranu trokuta i visinu spuštenu na ovu stranu, tada uvijek možemo izračunati površinu ovog trokuta.

Formula dva

Kao što je već navedeno u članku o površini paralelograma, formula izgleda ovako:

Površina trokuta jednaka je polovici njegove površine, što znači:

*To jest, ako su poznate bilo koje dvije stranice u trokutu i kut između njih, uvijek možemo izračunati površinu takvog trokuta.

Heronova formula (treća)

Ovu formulu je teško izvesti i od nje nema nikakve koristi. Pogledajte kako je lijepa, može se reći da je i sama nezaboravna.

*Ako su zadane tri stranice trokuta, pomoću ove formule uvijek možemo izračunati njegovu površinu.

Formula četiri

Gdje r– radijus upisane kružnice

*Ako su poznate tri stranice trokuta i polumjer kruga upisanog u njega, uvijek možemo pronaći površinu tog trokuta.

Formula pet

Gdje R– polumjer opisane kružnice.

*Ako su poznate tri stranice trokuta i polumjer kružnice opisane oko njega, tada uvijek možemo pronaći površinu takvog trokuta.

Postavlja se pitanje: ako su poznate tri stranice trokuta, nije li lakše pronaći njegovu površinu pomoću Heronove formule!

Da, može biti lakše, ali ne uvijek, ponekad se pojavi složenost. To uključuje vađenje korijena. Osim toga, ove su formule vrlo prikladne za korištenje u problemima u kojima je zadano područje trokuta i njegovih stranica i trebate pronaći polumjer upisane ili opisane kružnice. Takvi zadaci dostupni su kao dio Jedinstvenog državnog ispita.

Pogledajmo formulu zasebno:

To je poseban slučaj formule za površinu poligona u koji je upisana kružnica:

Razmotrimo to na primjeru peterokuta:

Spojimo središte kružnice s vrhovima tog peterokuta i spustimo okomice iz središta na njegove stranice. Dobili smo pet trokuta, pri čemu su ispuštene okomice polumjeri upisane kružnice:

Površina peterokuta je:

Sada je jasno da ako govorimo o trokutu, onda ova formula ima oblik:

Formula šest

Može se pronaći poznavanjem baze i visine. Cijela jednostavnost dijagrama leži u činjenici da visina dijeli bazu a na dva dijela a 1 i a 2, a sam trokut na dva pravokutna trokuta, čija je površina i. Tada će površina cijelog trokuta biti zbroj dviju navedenih površina, a ako uzmemo jednu sekundu visine iz zagrade, tada ćemo u zbroju dobiti natrag bazu:

Teža metoda za izračun je Heronova formula za koju morate znati sve tri strane. Za ovu formulu prvo morate izračunati poluopseg trokuta: Sama Heronova formula podrazumijeva kvadratni korijen poluobuha, pomnožen njegovom razlikom na svakoj strani.

Sljedeća metoda, također relevantna za bilo koji trokut, omogućuje vam da pronađete područje trokuta kroz dvije strane i kut između njih. Dokaz tome dolazi iz formule s visinom - povučemo visinu na bilo koju od poznatih strana i kroz sinus kuta α dobijemo da je h=a⋅sinα. Da biste izračunali površinu, pomnožite polovicu visine s drugom stranom.

Drugi način je pronaći područje trokuta, znajući 2 kuta i stranu između njih. Dokaz ove formule je vrlo jednostavan i može se jasno vidjeti iz dijagrama.

Spuštamo visinu s vrha trećeg kuta na poznatu stranicu i tako dobivene segmente nazivamo x. Iz pravokutnih trokuta vidljivo je da je prvi segment x jednak umnošku

Formula površine potrebno je odrediti površinu figure, koja je funkcija realne vrijednosti definirana na određenoj klasi likova euklidske ravnine i koja zadovoljava 4 uvjeta:

1. Pozitivnost - Površina ne može biti manja od nule;
2. Normalizacija - kvadrat s bočnom jedinicom ima površinu 1;
3. Kongruencija - sukladni likovi imaju jednaku površinu;
4. Aditivnost - površina spoja 2 figure bez zajedničkih unutarnjih točaka jednaka je zbroju površina ovih figura.

Formule za područje geometrijskih figura.

Geometrijski lik	Formula	Crtanje
Rezultat zbrajanja udaljenosti između središta suprotnih stranica konveksnog četverokuta bit će jednak njegovom poluopsegu.
Kružni sektor. Površina sektora kruga jednaka je umnošku njegovog luka i polovine polumjera.
Kružni segment. Da biste dobili površinu segmenta ASB, dovoljno je oduzeti površinu trokuta AOB od površine sektora AOB.	S = 1 / 2 R (s - AC)
Površina elipse jednaka je umnošku duljina velike i male poluosi elipse i broja pi.
Elipsa. Druga mogućnost za izračunavanje površine elipse je kroz dva njena radijusa.
Trokut. Kroz bazu i visinu. Formula za površinu kruga pomoću polumjera i promjera.
Trg . Kroz njegovu stranu. Površina kvadrata jednaka je kvadratu duljine njegove stranice.
Kvadrat. Kroz njegove dijagonale. Površina kvadrata jednaka je polovici kvadrata duljine njegove dijagonale.
Pravilni poligon. Da bi se odredila površina pravilnog poligona, potrebno ga je podijeliti na jednake trokute koji bi imali zajednički vrh u središtu upisane kružnice.	S= r p = 1/2 r n a