Kako pronaći površinu trokuta. Kako izračunati površinu trokuta? Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru opisane kružnice

06.03.2022 | Prijelom i modrica

Može se pronaći poznavanjem baze i visine. Cijela jednostavnost dijagrama leži u činjenici da visina dijeli bazu a na dva dijela a 1 i a 2, a sam trokut na dva pravokutna trokuta, čija je površina i. Tada će površina cijelog trokuta biti zbroj dviju navedenih površina, a ako uzmemo jednu sekundu visine iz zagrade, tada u zbroju dobivamo natrag bazu:

Teža metoda za izračun je Heronova formula za koju morate znati sve tri strane. Za ovu formulu prvo morate izračunati poluopseg trokuta: Sama Heronova formula podrazumijeva kvadratni korijen poluobuha, pomnožen njegovom razlikom na svakoj strani.

Sljedeća metoda, također relevantna za bilo koji trokut, omogućuje vam da pronađete područje trokuta kroz dvije strane i kut između njih. Dokaz tome dolazi iz formule s visinom - povučemo visinu na bilo koju od poznatih strana i kroz sinus kuta α dobijemo da je h=a⋅sinα. Da biste izračunali površinu, pomnožite polovicu visine s drugom stranom.

Drugi način je pronaći područje trokuta, znajući 2 kuta i stranu između njih. Dokaz ove formule je vrlo jednostavan i može se jasno vidjeti iz dijagrama.

Spuštamo visinu s vrha trećeg kuta na poznatu stranicu i tako dobivene segmente nazivamo x. Iz pravokutnih trokuta vidljivo je da je prvi segment x jednak umnošku

Trokut je geometrijski lik koji se sastoji od tri ravne crte koje se spajaju u točkama koje ne leže na istoj pravoj crti. Spojne točke linija su vrhovi trokuta, koji su označeni latiničnim slovima (na primjer, A, B, C). Spojne ravne linije trokuta nazivaju se segmentima, koji se također obično označavaju latiničnim slovima. Razlikuju se sljedeće vrste trokuta:

Pravokutan.
Tupi.
Oštri kutni.
Svestran.
Jednakostraničan.
Jednakokračan.

Opće formule za izračunavanje površine trokuta

Formula za površinu trokuta na temelju duljine i visine

S= a*h/2,
gdje je a duljina stranice trokuta čiju površinu treba pronaći, h je duljina visine povučene na osnovicu.

Heronova formula

S=√r*(r-a)*(r-b)*(p-c),
gdje je √ kvadratni korijen, p je poluopseg trokuta, a,b,c je duljina svake stranice trokuta. Poluopseg trokuta može se izračunati pomoću formule p=(a+b+c)/2.

Formula za površinu trokuta na temelju kuta i duljine segmenta

S = (a*b*sin(α))/2,
gdje je b,c duljina stranica trokuta, sin(α) je sinus kuta između dviju stranica.

Formula za površinu trokuta s polumjerom upisane kružnice i trima stranicama

S=p*r,
gdje je p polumjer trokuta čije područje treba pronaći, r je polumjer kružnice upisane u ovaj trokut.

Formula za površinu trokuta koja se temelji na tri strane i polumjeru kruga opisanog oko njega

S= (a*b*c)/4*R,
gdje su a,b,c duljina svake stranice trokuta, R je polumjer kruga opisanog oko trokuta.

Formula za površinu trokuta koja koristi kartezijeve koordinate točaka

Kartezijeve koordinate točaka su koordinate u xOy sustavu, gdje je x apscisa, y ordinata. Kartezijev koordinatni sustav xOy na ravnini su međusobno okomite numeričke osi Ox i Oy sa zajedničkim ishodištem u točki O. Ako su koordinate točaka na ovoj ravnini zadane u obliku A(x1, y1), B(x2, y2). ) i C(x3, y3), tada možete izračunati površinu trokuta koristeći sljedeću formulu, koja se dobiva iz vektorskog produkta dvaju vektora.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
gdje || označava modul.

Kako pronaći područje pravokutnog trokuta

Pravokutni trokut je trokut s jednim kutom od 90 stupnjeva. Trokut može imati samo jedan takav kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na dvije strane

S= a*b/2,
gdje je a,b duljina krakova. Noge su strane uz pravi kut.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju hipotenuze i oštrog kuta

S = a*b*sin(α)/ 2,
gdje su a, b kraci trokuta, a sin(α) je sinus kuta pod kojim se sijeku pravci a, b.

Formula za površinu pravokutnog trokuta na temelju stranice i suprotnog kuta

S = a*b/2*tg(β),
gdje su a, b kraci trokuta, tan(β) je tangens kuta pod kojim su spojeni krakovi a, b.

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta

Jednakokračni trokut je onaj koji ima dvije jednake stranice. Te stranice se nazivaju stranice, a druga stranica je baza. Da biste izračunali površinu jednakokračnog trokuta, možete koristiti jednu od sljedećih formula.

Osnovna formula za izračunavanje površine jednakokračnog trokuta

S=h*c/2,
gdje je c osnovica trokuta, h je visina trokuta spuštena na osnovicu.

Formula jednakokračnog trokuta s osnovicom i stranicom

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
gdje je c osnovica trokuta, a je veličina jedne od stranica jednakokračnog trokuta.

Kako pronaći površinu jednakostraničnog trokuta

Jednakostranični trokut je trokut u kojem su sve stranice jednake. Da biste izračunali površinu jednakostraničnog trokuta, možete koristiti sljedeću formulu:
S = (√3*a*a)/4,
gdje je a duljina stranice jednakostraničnog trokuta.

Gornje formule omogućit će vam izračunavanje potrebne površine trokuta. Važno je zapamtiti da za izračunavanje površine trokuta morate uzeti u obzir vrstu trokuta i dostupne podatke koji se mogu koristiti za izračun.

Pojam područja

Koncept područja bilo koje geometrijske figure, posebno trokuta, bit će povezan s figurom kao što je kvadrat. Za jedinicu površine bilo koje geometrijske figure uzet ćemo površinu kvadrata čija je stranica jednaka jedan. Radi cjelovitosti, podsjetimo se na dva osnovna svojstva za pojam površina geometrijskih figura.

Svojstvo 1: Ako su geometrijski likovi jednaki, jednake su im i površine.

Svojstvo 2: Svaka figura se može podijeliti na nekoliko figura. Štoviše, površina izvorne figure jednaka je zbroju površina svih njegovih sastavnih figura.

Pogledajmo primjer.

Primjer 1

Očito je da je jedna od stranica trokuta dijagonala pravokutnika čija je jedna stranica duljine $5$ (budući da ima $5$ ćelija), a druga je $6$ (budući da ima $6$ ćelija). Stoga će površina ovog trokuta biti jednaka polovici takvog pravokutnika. Površina pravokutnika je

Tada je površina trokuta jednaka

Odgovor: 15 dolara.

Zatim ćemo razmotriti nekoliko metoda za pronalaženje područja trokuta, naime pomoću visine i baze, pomoću Heronove formule i površine jednakostraničnog trokuta.

Kako pronaći površinu trokuta pomoću njegove visine i baze

Teorem 1

Površina trokuta može se pronaći kao polovica umnoška duljine stranice i visine te stranice.

Matematički to izgleda ovako

$S=\frac(1)(2)αh$

gdje je $a$ duljina stranice, $h$ je visina povučena na nju.

Dokaz.

Promotrimo trokut $ABC$ u kojem je $AC=α$. Ovoj stranici je povučena visina $BH$ koja je jednaka $h$. Izgradimo ga do kvadrata $AXYC$ kao na slici 2.

Površina pravokutnika $AXBH$ je $h\cdot AH$, a površina pravokutnika $HBYC$ je $h\cdot HC$. Zatim

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Stoga je tražena površina trokuta, prema svojstvu 2, jednaka

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teorem je dokazan.

Primjer 2

Pronađite površinu trokuta na donjoj slici ako ćelija ima površinu jednaku jedan

Osnovica ovog trokuta jednaka je $9$ (budući da je $9$ kvadrat od $9$). Visina je također $9$. Tada, prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40,5$

Odgovor: 40,5 dolara.

Heronova formula

Teorem 2

Ako su nam dane tri stranice trokuta $α$, $β$ i $γ$, tada se njegova površina može pronaći na sljedeći način

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

ovdje $ρ$ znači poluopseg ovog trokuta.

Dokaz.

Razmotrite sljedeću sliku:

Po Pitagorinoj teoremi, iz trokuta $ABH$ dobivamo

Iz trokuta $CBH$, prema Pitagorinom teoremu, imamo

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Iz ove dvije relacije dobivamo jednakost

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Budući da je $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, onda je $α+β+γ=2ρ$, što znači

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Prema teoremu 1, dobivamo

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Ponekad u životu postoje situacije kada morate zadubiti u svoje pamćenje u potrazi za davno zaboravljenim školskim znanjem. Na primjer, trebate odrediti površinu parcele trokutastog oblika ili je došlo vrijeme za još jednu obnovu u stanu ili privatnoj kući i morate izračunati koliko će materijala biti potrebno za površinu s trokutasti oblik. Bilo je vrijeme kada ste mogli riješiti takav problem u nekoliko minuta, ali sada se očajnički pokušavate sjetiti kako odrediti površinu trokuta?

Ne brini za to! Uostalom, sasvim je normalno kada čovjekov mozak odluči prenijeti dugo neiskorišteno znanje negdje u zabačeni kutak, odakle ga ponekad nije tako lako izvući. Kako se ne biste morali mučiti s traženjem zaboravljenog školskog znanja za rješavanje takvog problema, ovaj članak sadrži različite metode koje olakšavaju pronalaženje tražene površine trokuta.

Dobro je poznato da je trokut vrsta mnogokuta koji je ograničen na najmanji mogući broj stranica. U načelu, bilo koji mnogokut može se podijeliti na nekoliko trokuta spajanjem njegovih vrhova segmentima koji ne sijeku njegove stranice. Stoga, znajući trokut, možete izračunati površinu gotovo bilo koje figure.

Među svim mogućim trokutima koji se pojavljuju u životu mogu se razlikovati sljedeći posebni tipovi: i pravokutni.

Najlakši način za izračunavanje površine trokuta je kada je jedan od njegovih kutova prav, odnosno u slučaju pravokutnog trokuta. Lako je vidjeti da je to polovica pravokutnika. Stoga je njegova površina jednaka polovici umnoška stranica koje međusobno tvore pravi kut.

Ako znamo visinu trokuta, spuštenu s jednog od njegovih vrhova na suprotnu stranu, i duljinu te stranice, koja se naziva baza, tada se površina izračunava kao polovica umnoška visine i baze. Ovo je napisano pomoću sljedeće formule:

S = 1/2*b*h, u kojem

S je potrebna površina trokuta;

b, h - odnosno visina i baza trokuta.

Tako je lako izračunati površinu jednakokračnog trokuta jer će visina prepoloviti suprotnu stranu i može se lako izmjeriti. Ako je područje određeno, tada je prikladno uzeti duljinu jedne od stranica koje čine pravi kut kao visinu.

Sve je to naravno dobro, ali kako odrediti je li jedan od kutova trokuta pravi ili ne? Ako je veličina naše figure mala, tada možemo koristiti konstrukcijski kut, trokut za crtanje, razglednicu ili neki drugi predmet pravokutnog oblika.

Ali što ako imamo trokutastu parcelu? U tom slučaju postupite na sljedeći način: od vrha pretpostavljenog pravog kuta na jednoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 3 (30 cm, 90 cm, 3 m), a na drugoj strani izmjerite udaljenost višekratnik 4 u istoj proporcija (40 cm, 160 cm, 4 m). Sada morate izmjeriti udaljenost između krajnjih točaka ova dva segmenta. Ako je rezultat višekratnik broja 5 (50 cm, 250 cm, 5 m), tada možemo reći da je kut pravi.

Ako je poznata duljina svake od tri strane naše figure, tada se površina trokuta može odrediti pomoću Heronove formule. Da bi imao jednostavniji oblik, koristi se nova vrijednost koja se naziva poluopseg. Ovo je zbroj svih strana našeg trokuta, podijeljen na pola. Nakon što je izračunat poluperimetar, možete početi s određivanjem površine pomoću formule:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)), gdje je

sqrt - kvadratni korijen;

p - vrijednost poluperimetra (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - rubovi (stranice) trokuta.

Ali što ako trokut ima nepravilan oblik? Ovdje postoje dva moguća načina. Prvi od njih je pokušati podijeliti takvu figuru u dva pravokutna trokuta, čiji se zbroj površina izračunava zasebno, a zatim zbraja. Ili, ako su poznati kut između dviju stranica i veličina tih stranica, primijenite formulu:

S = 0,5 * ab * sinC, gdje je

a,b - stranice trokuta;

c je veličina kuta između ovih stranica.

Potonji slučaj je rijedak u praksi, ali ipak, sve je moguće u životu, tako da gornja formula neće biti suvišna. Sretno s izračunima!

Površina trokuta. U mnogim geometrijskim problemima koji uključuju izračun površina koriste se formule za površinu trokuta. Postoji nekoliko njih, ovdje ćemo pogledati glavne.Navođenje ovih formula bilo bi prejednostavno i beskorisno. Analizirat ćemo podrijetlo osnovnih formula, onih koje se najčešće koriste.

Prije nego što pročitate izvođenje formula, svakako pogledajte članak o.Nakon proučavanja materijala, lako možete vratiti formule u svoju memoriju (ako iznenada "izlete" u trenutku kada vam je potrebno).

Prva formula

Dijagonala paralelograma dijeli ga na dva trokuta jednake površine:

Stoga će površina trokuta biti jednaka polovici površine paralelograma:

Formula površine trokuta

*To jest, ako znamo bilo koju stranu trokuta i visinu spuštenu na ovu stranu, tada uvijek možemo izračunati površinu ovog trokuta.

Formula dva

Kao što je već navedeno u članku o površini paralelograma, formula izgleda ovako:

Površina trokuta jednaka je polovici njegove površine, što znači:

*To jest, ako su poznate bilo koje dvije stranice u trokutu i kut između njih, uvijek možemo izračunati površinu takvog trokuta.

Heronova formula (treća)

Ovu formulu je teško izvesti i od nje nema nikakve koristi. Pogledajte kako je lijepa, može se reći da je i sama nezaboravna.

*Ako su zadane tri stranice trokuta, pomoću ove formule uvijek možemo izračunati njegovu površinu.

Formula četiri

Gdje r– radijus upisane kružnice

*Ako su poznate tri stranice trokuta i polumjer kruga upisanog u njega, uvijek možemo pronaći površinu tog trokuta.

Formula pet

Gdje R– polumjer opisane kružnice.

*Ako su poznate tri stranice trokuta i polumjer kružnice opisane oko njega, tada uvijek možemo pronaći površinu takvog trokuta.

Postavlja se pitanje: ako su poznate tri stranice trokuta, nije li lakše pronaći njegovu površinu pomoću Heronove formule!

Da, može biti lakše, ali ne uvijek, ponekad se pojavi složenost. To uključuje vađenje korijena. Osim toga, ove su formule vrlo prikladne za korištenje u problemima u kojima je zadano područje trokuta i njegovih stranica i trebate pronaći polumjer upisane ili opisane kružnice. Takvi zadaci dostupni su kao dio Jedinstvenog državnog ispita.

Pogledajmo formulu zasebno:

To je poseban slučaj formule za površinu poligona u koji je upisana kružnica:

Razmotrimo to na primjeru peterokuta:

Spojimo središte kružnice s vrhovima tog peterokuta i spustimo okomice iz središta na njegove stranice. Dobili smo pet trokuta, pri čemu su ispuštene okomice polumjeri upisane kružnice: