2 nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozing. Tekis tenglamalar: umumiy, uch nuqta orqali, normal. Uch nuqtani kesishgan tekislik tenglamasining turi

M 1, M 2, M 3 nuqtalar bir to g ri chiziqda yotmasin. Ma'lumki, uchta bunday nuqta ma'lum bir tekislik p ni aniq belgilaydi (199-rasm).

Tekislik tenglamasini chiqaramiz R. M fazodagi ixtiyoriy nuqta bo'lsin. Shubhasiz, M nuqta tekislikka tegishli R agar va faqat vektorlar bo'lsa

\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) mutanosib. Uch vektorning mutanosibligi uchun zarur va yetarli shart - ularning aralash mahsuloti nolga teng (§ 23*, 2-teorema). Demak, bir to g ri chiziqda yotmaydigan uchta nuqtadan o tuvchi tekislik tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

Agar M 1, M 2 va M 3 nuqtalarga qandaydir to‘g‘ri burchakli Dekart koordinata sistemasida koordinatalar berilgan bo‘lsa, (1) tenglamani koordinatalarda yozish mumkin.

M 1 ( x 1 ; y 1 ; z 1), M 2 ( X 2 ; da 2 ; z 2), M 3 ( X 3 ; da 3 ; z 3) - nuqta ma'lumotlari. p tekislikdagi ixtiyoriy M nuqtaning koordinatalarini quyidagicha belgilaymiz x, y Va z. (1) tenglamaga kiritilgan vektorlarning koordinatalarini topamiz:

\(\ o'ngga o'q (M_(1)M)\) = ( x - x 1 ; y - y 1 ; z - z 1),

\(\toʻgʻri yoʻnalish(M_(1)M_2)\) = ( x 2 - x 1 ; y 2 -y 1 ; z 2 - z 1),

\(\toʻgʻri yoʻnalish(M_(1)M_3)\) = ( x 3 - x 1 ; da 3 -y 1 ; z 3 - z 1).

Uch vektorning aralash mahsuloti uchinchi tartibli determinantga teng bo'lib, uning chiziqlari vektorlarning koordinatalarini o'z ichiga oladi. Shuning uchun koordinatadagi (1) tenglama ko'rinishga ega

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2)$$

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi topilsin A ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Bilan), qaysi A =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Bu nuqtalar koordinata o'qlarida yotadi (200-rasm).

(2) tenglamada faraz qilish x 1 = A, da 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, da 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, da 3 = 0, z 3 = Bilan, olamiz

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

Determinantni birinchi qatorning elementlariga kengaytirib, biz tenglamani olamiz

miloddan avvalgi(x - a) + acy + abz = 0

bcx + asu + abz = abc,

x / a + y / b + z / c = 1. (3)

(3) tenglama deyiladi tekislikning segmentlardagi tenglamasi, raqamlardan beri a, b Va Bilan samolyot koordinata o'qlarida qaysi segmentlarni kesib tashlashini ko'rsating.

Vazifa. M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12) nuqtalardan oʻtuvchi tekislik tenglamasini yozing. Olingan tenglamani soddalashtiring. Kesimlarda berilgan tekislikning tenglamasini oling.

Bu holda (2) tenglama quyidagicha yoziladi:

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

Bu bu tekislikning tenglamasi. Birinchi qator bo'ylab determinantni kengaytirib, biz olamiz

62(X+ 1) +93(y- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3y + 2z - 12 = 0.

Hudni hadga 12 ga bo'lish va tenglamaning bo'sh qismini o'ng tomonga siljitish orqali biz ushbu tekislikning segmentlardagi tenglamasini olamiz.

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

Tenglamadan ko'rinib turibdiki, bu tekislik koordinata o'qlaridagi uzunliklari mos ravishda 6, 4 va 6 ga teng bo'lgan segmentlarni kesib tashlaydi. Oh tekislikni manfiy abtsissa, o'qi bo'lgan nuqtada kesib o'tadi OU- musbat ordinatasi, o'qi bo'lgan nuqtada Oz- ijobiy ariza bilan bir nuqtada.

1. Berilgan nuqtadan ikkita berilgan (kollinear bo‘lmagan) vektorga parallel o‘tuvchi tekislik tenglamasini toping.

Eslatma: 1 yo'l . M (x, y, z) tekislikning ixtiyoriy nuqtasini olaylik. Vektorlar koplanar bo'ladi, chunki ular parallel tekisliklarda joylashgan. Shuning uchun, ularning aralash mahsuloti
Ushbu shartni koordinatalarda yozib, biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz:

Ushbu determinantni birinchi chiziq bo'ylab kengaytirish orqali hisoblash qulayroqdir.

2-usul . Vektorlar
kerakli tekislikka parallel. Shuning uchun vektorlarning o'zaro ko'paytmasiga teng vektor
bu tekislikka perpendikulyar , ya'ni.
Va
. Vektor tekislikning normal vektoridir . Agar
Va
, keyin vektor formula bilan topiladi:

Tekislik tenglamasi nuqta bo'yicha toping
va normal vektor

2. Berilgan vektorga parallel ikkita berilgan nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini toping
.(
kollinear bo'lmagan).

Eslatma: 1 yo'l. M (x, y, z) tekislikning ixtiyoriy nuqtasi bo'lsin. Keyin vektorlar va
parallel tekisliklarda joylashgan, shuning uchun koplanar, ya'ni. ularning aralash ishi
Ushbu shartni koordinatalarda yozib, biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz .

2-usul . Istalgan tekislikka normal vektor vektorlarning vektor mahsulotiga teng bo'ladi
, ya'ni.
yoki koordinatalarda:

Istalgan tekislikning tenglamasi normal vektor yordamida topiladi va nuqta
(yoki nuqta
) formula bo'yicha (2.1.1)

(1-misol, 2.2-bandga qarang).

3. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping
tekislikka parallel 2x – 6y – 3z +5 =0.

Eslatma: Oddiy vektor bu tekislikning umumiy tenglamasidan 2x – 6y – 3z +5 =0 ni topamiz (2.2.1).
Vektor berilgan tekislikka perpendikulyar, shuning uchun u unga parallel bo'lgan har qanday tekislikka perpendikulyar. Vektor kerakli tekislikning normal vektori sifatida qabul qilinishi mumkin. Nuqtaga asosan kerakli tekislik uchun tenglama tuzamiz
va normal vektor
(1-misol, 2.2-bandga qarang).

Javob:

4. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
2x + y – 2z + 1 =0 tekisliklarning kesishish chizig‘iga perpendikulyar va

x + y + z – 5 = 0.

Eslatma: 1 yo'l. Uning har bir tekisligiga perpendikulyar vektorlar (vektorlarning koordinatalari tekisliklarning umumiy tenglamalaridan topiladi, formula (2.2.1)) ularning kesishish chizig'iga perpendikulyar va shuning uchun kerakli tekislikka parallel. Kerakli tekislik nuqtadan o'tadi
ikkita vektorga parallel
(1-topshiriq 5-bandga qarang).

Istalgan tekislikning tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega:

Uchinchi darajali determinantni birinchi chiziq bo'ylab kengaytirib, biz kerakli tenglamani olamiz.

2-usul. Nuqtaga asoslangan tekislikning tenglamasini tuzamiz
va normal vektor formula (2.2.1) bo'yicha. Oddiy vektor vektorlarning vektor mahsulotiga teng
,bular.
Vektorlardan beri
tekisliklarning kesishish chizig'iga perpendikulyar, keyin vektor tekisliklarning kesishish chizig'iga parallel va kerakli tekislikka perpendikulyar.

Vektorlar (2.2.1 formulaga qarang), keyin

Nuqtaga asoslangan tekislikning tenglamasini tuzamiz
va normal vektor

(misol 1-band 2.2-bandga qarang)

Javob:

5. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping
Va
tekislikka perpendikulyar 3x – y + 3z +15 = 0.

Eslatma: 1 yo'l. Berilgan n ning normal vektorining koordinatalarini yozamiz yaltiroqlik

3x – y + 3z +15 = 0:
Samolyotlar perpendikulyar bo'lgani uchun vektor kerakli tekislikka parallel Istalgan tekislikning tenglamasini tuzamiz
vektorga parallel bo'lgan va nuqtalardan o'tadi
(2-masala yechimi, 5-bandga qarang; 1-usul).

Determinantni hisoblab, biz kerakli tekislikning tenglamasini olamiz

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2-usul. Istalgan tekislikning tenglamasini tuzamiz nuqta bo'yicha
va normal vektor
Vektor

Biz kerakli tekislikning tenglamasini tuzamiz .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (2-masala, 5-bandga qarang; 2-usul). Tenglamaning ikkala tomonini 5 ga bo'ling.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Javob: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing

Va

Eslatma: Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz (1-misol, 2.3-band, 2.3.1 formulaga qarang).

Determinantni kengaytirib, biz olamiz

Javob:

Izoh. Determinantni hisoblashning to'g'riligini tekshirish uchun tekislik hosil bo'lgan tenglamaga o'tadigan ushbu nuqtalarning koordinatalarini almashtirish tavsiya etiladi. Natija identifikatsiya bo'lishi kerak; aks holda hisob-kitoblarda xatolik yuz beradi.

7. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
x tekisligiga parallel - 4y + 5z + 1 = 0.

Eslatma: Berilgan tekislikning umumiy tenglamasidan
x – 4y + 5z + 1 = 0 normal vektorni toping
(2.2.1-formula). Vektor kerakli tekislikka perpendikulyar
Nuqtaga asoslangan tekislikning tenglamasini tuzamiz
va normal vektor
(1-misol; 2.2-bandga qarang):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Javob: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
vektorlarga parallel

Eslatma: 1-muammo yechimi, 5-bandga qarang. Biz ko'rsatilgan usullardan birini qo'llagan holda muammoni hal qilamiz.

Javob: x – y – z – 1 = 0.

9. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
3x – 2y – z + 1 = 0 va x – y – z = 0 tekisliklarning kesishish chizig‘iga perpendikulyar.

Eslatma: 4-masala yechimiga qarang, 5-band. Biz ko'rsatilgan usullardan birini qo'llagan holda muammoni hal qilamiz.

Javob: x +2y – z – 8 = 0.

10. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

tekislikka perpendikulyar 3x – y – 4z = 0.

Eslatma: 5-masalaning 5-bandiga qarang.

Javob: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini toping

A (5; –2; 3) va B (6; 1; 0) nuqtalari bilan aniqlangan chiziqqa parallel.

Eslatma: Kerakli tekislik AB chizig'iga parallel, shuning uchun u vektorga parallel
Istalgan tekislikning tenglamasi 5-bandning 2-muammosida bo'lgani kabi (usullardan biri bilan) topamiz.

Javob: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. P (2; –1; –2) nuqta koordinata boshidan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi bo‘lib xizmat qiladi. Ushbu tekislik uchun tenglamani yozing.

Eslatma: Oddiy vektor kerakli tekislikka vektor hisoblanadi
Uning koordinatalarini topamiz.P (2; –1; –2) va O(0; 0; 0)

bular.
Keling, tekislikning tenglamasini tuzamiz nuqta va normal vektor bo'yicha
(1-misol, 2.2-bandga qarang).

Javob: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
tekislikka parallel: a)xoy; b) yoz; c) xoz.

Eslatma: Vektor
– birlik o‘qi vektor oz xoy tekislikka perpendikulyar, shuning uchun u kerakli tekislikka perpendikulyar.
A nuqtada tekislikning tenglamasini tuzamiz (0; –1; 2) va

= (0; 0; 1), chunki
(3-muammo yechimi, 5-bandga qarang).
z – 2 = 0.

b) va c) masalalarni xuddi shunday hal qilamiz.

b)
Qayerda
(1; 0; 0).

V)
Qayerda (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Javob: a) z – 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Nuqtalardan o`tuvchi tekislik tenglamasini yozing
Va

B (2; 1; –1) tekislikka perpendikulyar: a) xoy; b) xoz.

Eslatma: Xoy tekisligining normal vektori vektor hisoblanadi

= (0; 0; 1) – oz o'qining birlik vektori. Ikki nuqtadan o'tuvchi tekislik uchun tenglama tuzamiz
va B (2; 1; -1) va normal vektorga ega bo'lgan tekislikka perpendikulyar
(0; 0; 1), 5-bandning 5-muammosini hal qilish usullaridan birini qo'llash.
y – 1 = 0.

Xuddi shunday b muammosi uchun):
bu erda = (0; 1; 0).

Javob: a) y – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. Nuqtalardan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing
Va

B (2; 3; –1) oz o'qiga parallel.

Eslatma: Oz o'qida biz birlik vektorini olishimiz mumkin = (0; 0; 1). Muammoning yechimi 2-masalaning 5-bandiga o'xshash (har qanday usul bilan).

Javob: x – y + 1 = 0.

16. Ho'kiz o'qi va nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini tuzing

Eslatma: Samolyot
o'qidan o'tadi, demak, O(0; 0; 0) nuqtasi orqali. Ho'kiz o'qida biz birlik vektorini olishimiz mumkin = (1; 0; 0). Ikkita A(2; –1; 6) va O(0; 0; 0) nuqtalar va vektor yordamida kerakli tekislikning tenglamasini tuzamiz. tekislikka parallel. (2-muammo yechimining 5-bandiga qarang).

Javob: 6y + z = 0.

17. A ning qaysi qiymatida Ax + 2y – 7z – 1 = 0 va 2x – y + 2z = 0 tekisliklar perpendikulyar bo‘ladi?

Eslatma: Tekisliklarning umumiy tenglamalaridan

Ax + 2y – 7z – 1 = 0 va
2x – y + 2z = 0 normal vektor

= (A; 2; –7) va
= (2; –1; 2) (2.2.1). Ikki tekislikning perpendikulyarligi sharti (2.6.1).

Javob: A = 8.

18. 2x + 3y – 6z – 23 = 0 tekislikning qanday A qiymatida va

4x + Ay – 12z + 7 = 0 parallel bo'ladimi?

Eslatma:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 va
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) va
= (4;A; –12) (2.2.1). Chunki
(2.5.1)

Javob: A = 6.

19. 2x + y + z + 7 = 0 va x – 2y + 3z = 0 boʻlgan ikkita tekislik orasidagi burchakni toping.

Eslatma:
2x + y + z + 7 = 0 va
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) va
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Javob:

20. Nuqtadan o`tuvchi chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing

A (1; 2; –3) vektorga parallel =(1; –2; 1).

Eslatma: 3.1-band misolining yechimiga qarang.

Javob:

21. Nuqtadan o`tuvchi chiziqning parametrik tenglamalarini yozing

A (–2; 3; 1) vektorga parallel =(3; –1; 2).

Eslatma: 3.2-banddagi misolning yechimiga qarang.

Javob:
.

22. A (1; 0; –2) va B (1; 2; –4) nuqtalardan o‘tuvchi chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing.

Eslatma: 3.3-bandning 1-misolining yechimiga qarang.

Javob: A)
b)

23. Ikki tekislik x – 2y +3z – 4 = 0 va 3x + 2y – 5z – 4 = 0 kesishmasi sifatida aniqlangan chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing.

Eslatma: 1-misol, 3.4-bandga qarang. z = 0 bo'lsin, u holda nuqtaning x va y koordinatalari
sistemaning yechimidan topamiz

Shuning uchun, nuqta
, kerakli chiziqda yotgan, koordinatalarga ega

(2; –1; 0). Tekisliklarning umumiy tenglamalaridan kerakli to'g'ri chiziqning yo'nalish vektorini topish
x – 2y +3z – 4 = 0 va
3x + 2y – 5z – 4 = 0

normal vektorlarni toping =(1; –2; 3) va
=(3; 2; –5).

Bir nuqtadan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini topamiz
(2; –1; 0) va yo‘nalish vektori

(Qarang: formula (3.1.1)).

To'g'ri chiziqning parametrik tenglamalarini (3.2.1) formuladan yoki kanonik tenglamalardan topish mumkin:
Bizda ... bor:

Javob:
;
.

24. Nuqta orqali
(2; –3; –4) chiziqqa parallel chiziq chizamiz

.

Eslatma: Istalgan chiziqning kanonik tenglamalari nuqta bo'yicha topamiz
va yo'nalish vektori Chunki
keyin yo'nalish vektori uchun Streyt yo'nalish vektorini olishingiz mumkin to'g'ri L. Keyin 23-muammoning 5-bandiga yoki 1-misolning 3.4-bandiga qarang.

Javob:

25. Berilgan uchburchak uchlari A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) va C (–1; 3; 5). ABC uchburchak medianasining B uchidan chizilgan tenglamasini toping.

Eslatma: M nuqtaning koordinatalarini AM = MC (BM - ABC uchburchakning medianasi) shartidan topamiz.

BILAN BM to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini ikkita B (2; 4; –1) nuqta uchun qoldiraylik va
(1-misol, 3.3-bandga qarang).

Javob:

26. Nuqtadan o`tuvchi chiziqning kanonik va parametrik tenglamalarini tuzing
(–1; –2; 2) ho‘kiz o‘qiga parallel.

Eslatma: Vektor
– birlik vektor o‘qi kerakli chiziqqa parallel. Shuning uchun uni to'g'ri chiziqning yo'naltiruvchi vektori sifatida olish mumkin
= (1; 0; 0). Bir nuqtadan to‘g‘ri chiziq tenglamalarini tuzamiz

(–1; –2: 2) va vektor = (1; 0; 0) (misol, 3.1-band va 1-misol, 3.2-bandga qarang).

Javob:
;

27. Nuqtadan o`tuvchi chiziqning kanonik tenglamalarini tuzing
(3; –2; 4) tekislikka perpendikulyar 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Eslatma: Samolyotning umumiy tenglamasidan
5x + 3y – 7z + 1 = 0 normal vektorni toping = (5; 3; –7). Shartga ko'ra, kerakli to'g'ri chiziq
demak vektor
bular. vektor L chiziqning yo'nalish vektori: = (5; 3; –7). Bir nuqtadan to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalarini tuzamiz
(3; –2; 4) va yo‘nalish vektori

= (5; 3; –7). (3.1-bandning misoliga qarang).

Javob:

28. 4x – y + 2z – 3 = 0 tekislikka bosh nuqtadan tushirilgan perpendikulyar uchun parametrik tenglamalar tuzing.

Eslatma: Kerakli perpendikulyar uchun tenglama tuzamiz, ya'ni. tekislikka perpendikulyar to'g'ri chiziq
4x – y + 2z – 3 = 0 va O nuqtadan o‘tish (0; 0; 0). (27-muammo yechimining 5-bandiga va 1-misolning 3.2-bandiga qarang).

Javob:

29. Chiziqning kesishish nuqtasini toping
va samolyotlar

x – 2y + z – 15 = 0.

Eslatma: Chiziqning kesishish nuqtasi M nuqtasini topish uchun

L:
va samolyotlar

x – 2y + z – 15 = 0, tenglamalar tizimini yechishimiz kerak:

;

Tizimni yechish uchun chiziqning kanonik tenglamalarini parametrik tenglamalarga aylantiramiz. (23-topshiriq, 5-bandga qarang).

Javob:

30. M (4; –3; 1) nuqtaning x + 2y – z – 3 = 0 tekislikka proyeksiyasini toping.

Eslatma: M nuqtaning tekislikka proyeksiyasi P nuqta - p nuqta bo'ladi M nuqtadan tekislikka tushirilgan perpendikulyarning kesishishi
va tekislik Perpendikulyar MR ning parametrik tenglamalarini tuzamiz.(28-masalaning 5-bandiga qarang).

P nuqta - MR to'g'ri chiziq va tekislikning kesishish nuqtasini topamiz (29-masala yechimining 5-bandiga qarang).

Javob:

31. A(1; 2; 1) nuqtaning chiziqqa proyeksiyasini toping

Eslatma: A nuqtaning L chiziqqa proyeksiyasi:
t nuqtalar B to'g'ri chiziq L va tekislikning kesishishi
u A nuqtadan o'tadi va L chiziqqa perpendikulyar. L to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan biz yo'nalish vektorini yozamiz =(3; –1; 2). Samolyot L chiziqqa perpendikulyar, shuning uchun
Shunday qilib vektor tekislikning normal vektori sifatida qabul qilinishi mumkin
= (3; –1; 2). Keling, tekislikning tenglamasini tuzamiz A(1; 2; 1) nuqtada va = (3; –1; 2) (1-misol, 2.2-bandga qarang):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. To‘g‘ri chiziq va tekislik kesishuvining B nuqtasini toping (29-masala, 5-bandga qarang):

Javob:

32. M (3; –1; 0) nuqta orqali ikkita x – y + z – 3 = 0 va x + y + 2z – 3 = 0 tekisliklarga parallel to‘g‘ri chiziq o‘tkazing.

Eslatma: Samolyotlar
x – y + z – 3 = 0 va
x + y + 2z – 3 = 0 parallel emas, chunki (2.5.1) shart bajarilmasa:
Samolyotlar
kesishadi. Kerakli to'g'ri chiziq L, tekisliklarga parallel
bu tekisliklarning kesishish chizig'iga parallel. (24 va 23-muammolarning 5-bandiga qarang).

Javob:

33. Ikki chiziqdan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing

Eslatma:1 yo'l. Istalgan tekislikning tenglamasini tuzamiz nuqta bo'yicha
, to'g'ri chiziqda yotish , va normal vektor . Vektor to'g'ri chiziqlarning yo'nalish vektorlarining vektor ko'paytmasiga teng bo'ladi
, biz chiziqlarning kanonik tenglamalaridan topamiz
(formula 3.1.1): = (7; 3; 5) va

= (5; 5; –3)

Nuqta koordinatalari
to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan topamiz

Biz tekislikning tenglamasini tuzamiz nuqta bo'yicha
va normal vektor =(–34; 46; 20) (1-misol, 2.2-bandga qarang)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

2-usul. Yo'nalish vektorlarini topish = (7; 3; 5) va = (5; 5; –3) chiziqlarning kanonik tenglamalaridan
Nuqta
(0; 2; –1) tenglamadan topiladi

. Keling, samolyotdagi ixtiyoriy nuqtani olaylik

M(x;y;z). Vektorlar
- koplanar, shuning uchun
Ushbu shartdan biz tekislikning tenglamasini olamiz:

Javob: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini yozing
(2; 0; 1) va to'g'ri chiziq

Eslatma: Keling, avvalo, bu fikrga ishonch hosil qilaylik
bu to'g'ri chiziqda to'siqlar:
Nuqta
va yo'nalish vektori to'g'ri chiziqning kanonik tenglamalaridan topamiz
:
(1; –1; –1) va

= (1; 2; –1). Istalgan tekislikning normal vektori
Koordinatalarini bilgan holda normal vektorning koordinatalarini topamiz =(1; 2; –1) va

= (1; 1; 2):

Biz nuqtadan tekislik tenglamasini tuzamiz
(2; 0; 1) va normal vektor = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Javob: 5x – 3y – z – 9 = 0.

Turli yo'llar bilan ko'rsatilishi mumkin (bir nuqta va vektor, ikkita nuqta va vektor, uch nuqta va boshqalar). Aynan shuni hisobga olgan holda tekislik tenglamasi har xil ko'rinishga ega bo'lishi mumkin. Shuningdek, ma'lum shartlarga rioya qilgan holda, tekisliklar parallel, perpendikulyar, kesishuvchi va hokazo bo'lishi mumkin. Bu haqda ushbu maqolada gaplashamiz. Biz tekislikning umumiy tenglamasini yaratish va boshqalarni o'rganamiz.

Oddiy tenglama shakli

Aytaylik, to'rtburchaklar XYZ koordinata tizimiga ega bo'lgan R 3 fazo mavjud. Dastlabki O nuqtadan chiqariladigan a vektorni aniqlaymiz. a vektorning oxiri orqali unga perpendikulyar bo'lgan P tekislik o'tkazamiz.

P dagi ixtiyoriy nuqtani Q = (x, y, z) deb belgilaymiz. Q nuqtaning radius vektorini p harfi bilan belgilaymiz. Bunda a vektor uzunligi r=IaI va Ʋ=(cosa,cosb,cosy) ga teng.

Bu a vektori kabi yon tomonga yo'naltirilgan birlik vektor. a, b va g - Ʋ vektori va mos ravishda x, y, z fazo o'qlarining musbat yo'nalishlari o'rtasida hosil bo'ladigan burchaklar. Har qanday QsP nuqtaning Ʋ vektorga proyeksiyasi p ga teng bo‘lgan doimiy qiymat: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Yuqoridagi tenglama p=0 bo'lganda mantiqiy bo'ladi. Yagona narsa shundaki, bu holda P tekislik koordinatalarning boshi bo'lgan O nuqtani (a=0) kesib o'tadi va O nuqtadan chiqarilgan birlik vektor Ʋ uning yo'nalishiga qaramay, P ga perpendikulyar bo'ladi. vektor Ʋ belgiga aniqlik bilan aniqlanganligini bildiradi. Oldingi tenglama vektor shaklida ifodalangan P tekisligimiz tenglamasi. Ammo koordinatalarda u quyidagicha ko'rinadi:

Bu yerda P 0 dan katta yoki teng. Fazodagi tekislik tenglamasini normal shaklda topdik.

Umumiy tenglama

Agar biz koordinatadagi tenglamani nolga teng bo'lmagan istalgan songa ko'paytirsak, biz aynan shu tekislikni aniqlaydigan shunga ekvivalent tenglamani olamiz. Bu shunday ko'rinadi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladigan raqamlardir. Bu tenglama umumiy tekislik tenglamasi deyiladi.

Samolyotlar tenglamalari. Maxsus holatlar

Umumiy shakldagi tenglama qo'shimcha shartlar mavjud bo'lganda o'zgartirilishi mumkin. Keling, ulardan ba'zilarini ko'rib chiqaylik.

Faraz qilaylik, A koeffitsienti 0. Demak, bu tekislik berilgan Ox o'qiga parallel. Bu holda tenglamaning shakli o'zgaradi: Vu+Cz+D=0.

Xuddi shunday, tenglamaning shakli quyidagi sharoitlarda o'zgaradi:

• Birinchidan, agar B = 0 bo'lsa, u holda tenglama Ax + Cz + D = 0 ga o'zgaradi, bu Oy o'qiga parallellikni ko'rsatadi.
• Ikkinchidan, agar C=0 bo'lsa, u holda tenglama Ax+By+D=0 ga aylanadi, bu esa berilgan Oz o'qiga parallellikni ko'rsatadi.
• Uchinchidan, agar D=0 boʻlsa, tenglama Ax+By+Cz=0 koʻrinishida boʻladi, yaʼni tekislik O ni (koordinata boshini) kesib oʻtishini bildiradi.
• To'rtinchidan, agar A=B=0 bo'lsa, u holda tenglama Cz+D=0 ga o'zgaradi, bu Oksi ga parallel bo'ladi.
• Beshinchidan, agar B=C=0 boʻlsa, tenglama Ax+D=0 boʻladi, yaʼni Oyzgacha boʻlgan tekislik parallel.
• Oltinchidan, agar A=C=0 bo'lsa, tenglama Vu+D=0 ko'rinishini oladi, ya'ni Oxz ga parallellik haqida xabar beradi.

Segmentlardagi tenglamalar turi

Agar A, B, C, D raqamlari noldan farq qiladigan bo'lsa, (0) tenglamaning shakli quyidagicha bo'lishi mumkin:

x/a + y/b + z/c = 1,

unda a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Natijaga erishamiz.Shuni ta'kidlash joizki, bu tekislik Ox o'qini (a,0,0), Oy - (0,b,0) va Oz - (0,0,c) koordinatali nuqtada kesib o'tadi. ).

x/a + y/b + z/c = 1 tenglamasini hisobga olgan holda, berilgan koordinatalar tizimiga nisbatan tekislikning joylashishini vizual tarzda tasavvur qilish qiyin emas.

Oddiy vektor koordinatalari

P tekislikka normal vektor n bu tekislikning umumiy tenglamasining koeffitsientlari bo'lgan koordinatalarga ega, ya'ni n (A, B, C).

Normal n ning koordinatalarini aniqlash uchun berilgan tekislikning umumiy tenglamasini bilish kifoya.

X/a + y/b + z/c = 1 ko'rinishga ega bo'lgan segmentlarda tenglamadan foydalanganda, shuningdek umumiy tenglamadan foydalanganda siz berilgan tekislikning istalgan normal vektorining koordinatalarini yozishingiz mumkin: (1). /a + 1/b + 1/ Bilan).

Shuni ta'kidlash kerakki, oddiy vektor turli muammolarni hal qilishga yordam beradi. Eng keng tarqalganlari qatoriga tekisliklarning perpendikulyarligi yoki parallelligini isbotlash masalalari, tekisliklar orasidagi burchaklarni yoki tekisliklar va to'g'ri chiziqlar orasidagi burchaklarni topish masalalari kiradi.

Nuqta va normal vektor koordinatalari bo'yicha tekislik tenglamasining turi

Berilgan tekislikka perpendikulyar bo'lgan n nolga teng bo'lmagan vektor berilgan tekislik uchun normal deyiladi.

Faraz qilaylik, koordinatalar fazosida (to'rtburchaklar koordinatalar tizimi) Oxyz berilgan:

• koordinatali Mₒ nuqtasi (xₒ,yₒ,zₒ);
• nol vektor n=A*i+B*j+C*k.

Oddiy n ga perpendikulyar Mₒ nuqtadan o'tadigan tekislik uchun tenglama tuzish kerak.

Fazodagi istalgan ixtiyoriy nuqtani tanlaymiz va uni M (x y, z) ni belgilaymiz. Har qanday M (x,y,z) nuqtaning radius vektori r=x*i+y*j+z*k, Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) nuqtaning radius vektori - rₒ=xₒ* bo‘lsin. i+yₒ *j+zₒ*k. MₒM vektori n vektorga perpendikulyar bo'lsa, M nuqta berilgan tekislikka tegishli bo'ladi. Ortogonallik shartini skalyar ko‘paytma yordamida yozamiz:

[MₒM, n] = 0.

MₒM = r-rₒ bo'lgani uchun tekislikning vektor tenglamasi quyidagicha ko'rinadi:

Bu tenglama boshqa shaklga ega bo'lishi mumkin. Buning uchun skalyar ko'paytmaning xossalaridan foydalaniladi va tenglamaning chap tomoni o'zgartiriladi. = -. Agar uni c deb belgilasak, quyidagi tenglamani olamiz: - c = 0 yoki = c, bu tekislikka tegishli berilgan nuqtalar radius vektorlarining normal vektoriga proyeksiyalarning konstantligini ifodalaydi.

Endi tekisligimiz vektor tenglamasini yozishning koordinata shaklini olishimiz mumkin = 0. Chunki r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, va n = A*i+B *j+S*k, bizda:

Ma’lum bo‘lishicha, bizda normal n ga perpendikulyar nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasi mavjud:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Ikki nuqtaning koordinatalariga ko'ra tekislik tenglamasining turi va tekislikka kollinear vektor

Ikki ixtiyoriy M′ (x′,y′,z′) va M″ (x″,y″,z″) nuqtalarni, shuningdek a (a′,a″,a‴) vektorini aniqlaymiz.

Endi biz mavjud M′ va M″ nuqtalardan, shuningdek berilgan a vektoriga parallel ravishda koordinatalari (x, y, z) bo‘lgan har qanday M nuqtadan o‘tadigan berilgan tekislik uchun tenglama tuzishimiz mumkin.

Bunda M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) va M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) vektorlari vektor bilan mutanosib boʻlishi kerak. a=(a′,a″,a‴), ya’ni (M′M, M″M, a)=0.

Shunday qilib, bizning kosmosdagi tekislik tenglamamiz quyidagicha ko'rinadi:

Uch nuqtani kesishgan tekislik tenglamasining turi

Aytaylik, bizda uchta nuqta bor: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), ular bir chiziqqa tegishli emas. Berilgan uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini yozish kerak. Geometriya nazariyasi bunday tekislik haqiqatan ham mavjudligini ta'kidlaydi, ammo u yagona va noyobdir. Bu tekislik (x',y',z') nuqtani kesib o'tganligi sababli, uning tenglama shakli quyidagicha bo'ladi:

Bu erda A, B, C bir vaqtning o'zida noldan farq qiladi. Shuningdek, berilgan tekislik yana ikkita nuqtani kesishadi: (x″,y″,z″) va (x‴,y‴,z‴). Shu munosabat bilan quyidagi shartlar bajarilishi kerak:

Endi biz u, v, w noma'lumlari bilan bir hil sistema yaratishimiz mumkin:

Bizning holatimizda x, y yoki z (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy nuqtadir. Berilgan (1) tenglama va (2) va (3) tenglamalar sistemasi yuqoridagi rasmda ko'rsatilgan tenglamalar tizimi N (A,B,C) vektori bilan qanoatlantiriladi, u notrivialdir. Shuning uchun ham bu sistemaning determinanti nolga teng.

Olingan (1) tenglama tekislikning tenglamasidir. U 3 nuqtadan aniq o'tadi va buni tekshirish oson. Buning uchun biz determinantimizni birinchi qatordagi elementlarga kengaytirishimiz kerak. Determinantning mavjud xususiyatlaridan kelib chiqadiki, bizning tekisligimiz bir vaqtning o'zida uchta dastlabki berilgan nuqtani (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) kesib o'tadi. . Ya'ni, o'zimizga yuklangan vazifani hal qildik.

Samolyotlar orasidagi dihedral burchak

Ikki burchakli burchak - bu bitta to'g'ri chiziqdan chiqadigan ikkita yarim tekislikdan hosil bo'lgan fazoviy geometrik figura. Boshqacha qilib aytganda, bu kosmosning bu yarim tekisliklar bilan chegaralangan qismidir.

Aytaylik, bizda quyidagi tenglamalarga ega ikkita tekislik bor:

Biz bilamizki, N=(A,B,C) va N¹=(A¹,B¹,C¹) vektorlari berilgan tekisliklarga muvofiq perpendikulyar. Shu munosabat bilan N va N¹ vektorlari orasidagi ph burchagi bu tekisliklar orasida joylashgan burchakka (dihedral) teng. Nuqta mahsuloti quyidagi shaklga ega:

NN¹=|N||N¹|cos ph,

aniq, chunki

cosph= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/(√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

0≤ph≤p ekanligini hisobga olish kifoya.

Aslida, kesishgan ikkita tekislik ikkita burchak (dihedral) hosil qiladi: ph 1 va ph 2. Ularning yig'indisi p ga teng (ph 1 + ph 2 = p). Ularning kosinuslariga kelsak, ularning mutlaq qiymatlari teng, lekin ular belgisi jihatidan farq qiladi, ya'ni cos ph 1 = -cos ph 2. Agar (0) tenglamada biz A, B va C raqamlarini mos ravishda -A, -B va -C raqamlari bilan almashtirsak, biz olgan tenglama bir xil tekislikni, yagona, cos tenglamadagi ph burchagini aniqlaydi. ph= NN 1 /| N||N 1 | p-ph bilan almashtiriladi.

Perpendikulyar tekislik tenglamasi

Burchaklari 90 gradus bo'lgan tekisliklar perpendikulyar deyiladi. Yuqorida keltirilgan materialdan foydalanib, boshqasiga perpendikulyar tekislikning tenglamasini topishimiz mumkin. Aytaylik, bizda ikkita tekislik bor: Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Agar cosph=0 bo'lsa, ular perpendikulyar bo'ladi, deb aytishimiz mumkin. Bu NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 ekanligini bildiradi.

Parallel tekislik tenglamasi

Umumiy nuqtalari bo'lmagan ikkita tekislik parallel deyiladi.

Shart (ularning tenglamalari oldingi paragrafdagi kabi) ularga perpendikulyar bo'lgan N va N¹ vektorlari kollinear bo'lishidir. Bu quyidagi mutanosiblik shartlari bajarilishini anglatadi:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Agar mutanosiblik shartlari kengaytirilsa - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

bu bu samolyotlarning bir-biriga mos kelishini ko'rsatadi. Demak, Ax+By+Cz+D=0 va A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 tenglamalari bitta tekislikni tasvirlaydi.

Nuqtadan samolyotgacha bo'lgan masofa

Aytaylik, bizda P tekislik bor, u (0) tenglama bilan berilgan. Koordinatalari (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ bo'lgan nuqtadan unga masofani topish kerak. Buning uchun siz P tekislik tenglamasini normal shaklga keltirishingiz kerak:

(r,v)=r (r≥0).

Bunday holda, r (x,y,z) - P da joylashgan Q nuqtamizning radius vektori, p - nol nuqtadan chiqarilgan perpendikulyar P ning uzunligi, v - birlik vektor, u erda joylashgan. yo'nalishi a.

P ga tegishli bo'lgan ba'zi Q = (x, y, z) nuqtaning r-rº radius vektori, shuningdek, berilgan nuqtaning radius vektori Q 0 = (xₒ, uₒ, zₒ) ayirmasi shunday vektor, v ga proyeksiyasining mutlaq qiymati Q 0 = (xₒ,uₒ,zₒ) dan P gacha topilishi kerak bo'lgan d masofaga teng:

D=|(r-r 0 ,v)|, lekin

(r-r 0 ,v)= (r,v)-(r 0 ,v) =r-(r 0 ,v).

Shunday qilib, shunday bo'ladi

d=|(r 0 ,v)-r|.

Shunday qilib, hosil bo'lgan ifodaning mutlaq qiymatini, ya'ni kerakli d ni topamiz.

Parametr tilidan foydalanib, biz aniq narsani olamiz:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+V²+S²).

Agar berilgan Q 0 nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi kabi P tekislikning narigi tomonida bo'lsa, u holda r-r 0 va v vektori orasida shunday bo'ladi:

d=-(r-r 0 ,v)=(r 0 ,v)-r>0.

Agar Q 0 nuqtasi koordinatalarning kelib chiqishi bilan birga P ning bir tomonida joylashgan bo'lsa, yaratilgan burchak o'tkir, ya'ni:

d=(r-r 0 ,v)=r - (r 0 , v)>0.

Natijada, birinchi holatda (r 0 ,v)>r, ikkinchi holatda (r 0 ,v) ekanligi ma'lum bo'ladi.<р.

Tangens tekislik va uning tenglamasi

Mº aloqa nuqtasida sirtga teginish tekisligi - bu sirtdagi bu nuqta orqali chizilgan egri chiziqlarga barcha mumkin bo'lgan teglarni o'z ichiga olgan tekislik.

Ushbu turdagi sirt tenglamasi F(x,y,z)=0 bilan Mº(xº,yº,zº) teginish nuqtasidagi tangens tekislik tenglamasi quyidagicha bo’ladi:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Agar siz sirtni aniq z=f (x,y) shaklida ko'rsatsangiz, u holda teginish tekisligi tenglama bilan tavsiflanadi:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Ikki tekislikning kesishishi

Koordinatalar tizimida (to'rtburchaklar) Oxyz joylashgan, kesishgan va bir-biriga to'g'ri kelmaydigan ikkita P′ va P″ tekisliklari berilgan. To'g'ri to'rtburchaklar koordinatalar tizimida joylashgan har qanday tekislik umumiy tenglama bilan aniqlanganligi sababli, biz P′ va P″ A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x tenglamalar bilan berilgan deb faraz qilamiz. +B″y+ S″z+D″=0. Bunda biz P ′ tekislikning normal n′ (A′,B′,C′) ga va P″ tekislikning normal n″ (A″,B″,C″) ga egamiz. Bizning samolyotlarimiz parallel emas va bir-biriga to'g'ri kelmasligi sababli, bu vektorlar kollinear emas. Matematika tilidan foydalanib, bu shartni quyidagicha yozishimiz mumkin: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (l*A″,l*B″,l*C″), lsR. P′ va P″ kesishmasida joylashgan to‘g‘ri chiziq a harfi bilan belgilansin, bu holda a = P′ ∩ P″.

a - P′ va P″ (umumiy) tekisliklarning barcha nuqtalari toʻplamidan iborat toʻgʻri chiziq. Bu shuni anglatadiki, a chiziqqa tegishli har qanday nuqtaning koordinatalari bir vaqtning o'zida A′x+B′y+C′z+D′=0 va A″x+B″y+C″z+D″=0 tenglamalarini qondirishi kerak. . Bu shuni anglatadiki, nuqta koordinatalari quyidagi tenglamalar tizimining qisman yechimi bo'ladi:

Natijada, ma'lum bo'lishicha, ushbu tenglamalar tizimining (umumiy) yechimi chiziqning har bir nuqtasining koordinatalarini aniqlaydi, ular P' va P' ning kesishish nuqtasi vazifasini bajaradi va to'g'ri chiziqni aniqlaydi. a fazodagi Oxyz (to'rtburchak) koordinatalar tizimida.

Fazodagi istalgan uchta nuqtadan bitta tekislik o'tkazilishi uchun bu nuqtalar bir to'g'ri chiziqda yotmasligi kerak.

Umumiy dekart koordinata sistemasidagi M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) nuqtalarni ko‘rib chiqaylik.

Ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta M 1, M 2, M 3 nuqtalar bilan bir tekislikda yotishi uchun vektorlar koplanar bo lishi kerak.

(
) = 0

Shunday qilib,

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi:

Tekislik tenglamasi ikki nuqta va tekislikka kollinear vektor berilgan.

M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) nuqtalar va vektor berilsin.
.

Berilgan M 1 va M 2 nuqtalardan va vektorga parallel bo‘lgan ixtiyoriy M (x, y, z) nuqtadan o‘tuvchi tekislik tenglamasini tuzamiz. .

Vektorlar
va vektor
koplanar bo'lishi kerak, ya'ni.

(
) = 0

Tekislik tenglamasi:

Bir nuqta va ikkita vektor yordamida tekislik tenglamasi,

tekislikka to'g'ri keladi.

Ikki vektor berilgan bo'lsin
Va
, kollinear tekisliklar. U holda tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektorlar.
mutanosib bo'lishi kerak.

Tekislik tenglamasi:

Tekislikning nuqta va normal vektor bo'yicha tenglamasi .

Teorema. Agar fazoda M nuqta berilgan bo'lsa 0 (X 0 , y 0 , z 0 ), keyin M nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi 0 normal vektorga perpendikulyar (A, B, C) quyidagi shaklga ega:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Isbot. Tekislikka tegishli ixtiyoriy M(x, y, z) nuqta uchun vektor tuzamiz. Chunki vektor normal vektor bo'lsa, u tekislikka perpendikulyar va shuning uchun vektorga perpendikulyar bo'ladi.
. Keyin skalyar mahsulot

= 0

Shunday qilib, biz tekislikning tenglamasini olamiz

Teorema isbotlangan.

Segmentlardagi tekislik tenglamasi.

Agar umumiy tenglamada Ax + Bi + Cz + D = 0 bo'lsa, ikkala tomonni (-D) ga bo'lamiz.

,

almashtirish
, biz segmentlardagi tekislikning tenglamasini olamiz:

a, b, c raqamlari tekislikning mos ravishda x, y, z o'qlari bilan kesishgan nuqtalaridir.

Tekislikning vektor ko'rinishidagi tenglamasi.

Qayerda

- joriy nuqtaning radius vektori M(x, y, z),

Perpendikulyar yo'nalishga ega bo'lgan birlik vektor koordinata boshidan tekislikka tushdi.

,  va  - bu vektor tomonidan x, y, z o'qlari bilan hosil qilingan burchaklar.

p - bu perpendikulyarning uzunligi.

Koordinatalarda bu tenglama quyidagicha ko'rinadi:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Bir nuqtadan tekislikgacha bo'lgan masofa.

Ixtiyoriy M 0 (x 0, y 0, z 0) nuqtadan Ax+By+Cz+D=0 tekislikgacha bo‘lgan masofa:

Misol. P(4; -3; 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Shunday qilib, A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, biz formuladan foydalanamiz:

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Misol. P(2; 0; -1) va ikkita nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

Q(1; -1; 3) tekislikka perpendikulyar 3x + 2y – z + 5 = 0.

3x + 2y – z + 5 = 0 tekislikka normal vektor
kerakli tekislikka parallel.

Biz olamiz:

Misol. A(2, -1, 4) va nuqtalardan o'tuvchi tekislik tenglamasini toping

B(3, 2, -1) tekislikka perpendikulyar X + da + 2z – 3 = 0.

Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: A x+B y+C z+ D = 0, bu tekislikka normal vektor (A, B, C). Vektor
(1, 3, -5) tekislikka tegishli. Bizga berilgan tekislik, kerakliga perpendikulyar, normal vektorga ega (1, 1, 2). Chunki A va B nuqtalari ikkala tekislikka tegishli va tekisliklar o'zaro perpendikulyar, demak

Shunday qilib, normal vektor (11, -7, -2). Chunki nuqta A kerakli tekislikka tegishli, keyin uning koordinatalari bu tekislikning tenglamasini qondirishi kerak, ya'ni. 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

Hammasi bo'lib, biz tekislikning tenglamasini olamiz: 11 x - 7y – 2z – 21 = 0.

Misol. P(4, -3, 12) nuqta koordinata boshidan shu tekislikka tushirilgan perpendikulyarning asosi ekanligini bilib, tekislik tenglamasini toping.

Normal vektorning koordinatalarini topish
= (4, -3, 12). Tekislikning kerakli tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: 4 x – 3y + 12z+ D = 0. D koeffitsientini topish uchun P nuqtaning koordinatalarini tenglamaga almashtiramiz:

16 + 9 + 144 + D = 0

Hammasi bo'lib biz kerakli tenglamani olamiz: 4 x – 3y + 12z – 169 = 0

Misol. Piramida cho'qqilarining koordinatalari berilgan A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

A 1 A 2 chetining uzunligini toping.

A 1 A 2 va A 1 A 4 qirralari orasidagi burchakni toping.

A 1 A 4 chekkasi va A 1 A 2 A 3 yuzi orasidagi burchakni toping.

Avval A 1 A 2 A 3 yuzining normal vektorini topamiz vektorlarning o'zaro mahsuloti sifatida
Va
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Normal vektor bilan vektor orasidagi burchakni topamiz
.

-4 – 4 = -8.

Vektor va tekislik orasidagi kerakli burchak   = 90 0 -  ga teng bo'ladi.

A 1 A 2 A 3 yuzning maydonini toping.

Piramidaning hajmini toping.

A 1 A 2 A 3 tekislik tenglamasini toping.

Uch nuqtadan o'tuvchi tekislik tenglamasi formulasidan foydalanamiz.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Kompyuter versiyasidan foydalanganda " Oliy matematika kursi” siz piramida cho'qqilarining istalgan koordinatalari uchun yuqoridagi misolni hal qiladigan dasturni ishga tushirishingiz mumkin.

Dasturni ishga tushirish uchun belgini ikki marta bosing:

Ochilgan dastur oynasida piramida uchlari koordinatalarini kiriting va Enter tugmasini bosing. Shu tarzda, barcha qaror nuqtalarini birma-bir olish mumkin.

Eslatma: Dasturni ishga tushirish uchun kompyuteringizda MapleV Release 4 dan boshlab istalgan versiyadagi Maple dasturi ( Waterloo Maple Inc.) o'rnatilgan bo'lishi kerak.

Tekisliklarning parallelligi va perpendikulyarligini aniqlash, shuningdek, ushbu geometrik jismlar orasidagi masofalarni hisoblash uchun u yoki bu turdagi raqamli funktsiyalardan foydalanish qulay. Qanday masalalar uchun tekislik tenglamasidan segmentlarda foydalanish qulay? Ushbu maqolada biz nima ekanligini va uni amaliy vazifalarda qanday ishlatishni ko'rib chiqamiz.

Chiziqli tenglama nima?

Uch o'lchovli fazoda tekislikni bir necha usul bilan aniqlash mumkin. Ushbu maqolada ularning ba'zilari har xil turdagi muammolarni hal qilishda taqdim etiladi. Bu erda biz tekislik segmentlarida tenglamaning batafsil tavsifini beramiz. Umuman olganda, u quyidagi shaklga ega:

Bu erda p, q, r belgilari ba'zi aniq raqamlarni bildiradi. Ushbu tenglamani umumiy ifodaga va tekislik uchun raqamli funktsiyalarning boshqa shakllariga osongina tarjima qilish mumkin.

Tenglamani segmentlarda yozishning qulayligi shundaki, u tekislikning perpendikulyar koordinata o'qlari bilan kesishishining aniq koordinatalarini o'z ichiga oladi. Koordinatalarning kelib chiqishiga nisbatan x o'qida tekislik p uzunlikdagi segmentni, y o'qida - q ga teng, zda - r uzunlikdagi segmentni kesib tashlaydi.

Agar uchta o'zgaruvchidan birortasi tenglamada mavjud bo'lmasa, demak, bu tekislik mos keladigan o'qdan o'tmaydi (matematiklarning aytishicha, u abadiylikda kesishadi).

Tenglamalarning umumiy va segmentlari o'rtasidagi bog'liqlik

Ma'lumki, tekislik quyidagi tenglik bilan berilgan:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

Bu tekislikning umumiy tenglamasini segmentlarga bo'lib yozish kerak.

Shunga o'xshash muammo yuzaga kelganda, siz ushbu texnikaga amal qilishingiz kerak: erkin atamani tenglikning o'ng tomoniga o'tkazing. Keyin biz barcha tenglamani ushbu atama bilan ajratamiz, uni avvalgi xatboshida berilgan shaklda ifodalashga harakat qilamiz. Bizda ... bor:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Biz segmentlarda dastlab umumiy shaklda berilgan tekislik tenglamasini oldik. Ko'rinib turibdiki, tekislik x, y va z o'qlari uchun mos ravishda 3, 2 va 6 uzunlikdagi segmentlarni kesib tashlaydi. Y o'qi manfiy koordinata mintaqasida tekislikni kesib o'tadi.

Segmentlar bo'yicha tenglama tuzishda barcha o'zgaruvchilardan oldin "+" belgisi bo'lishi muhimdir. Faqat bu holatda, bu o'zgaruvchining bo'linadigan soni eksa bo'yicha kesilgan koordinatani ko'rsatadi.

Oddiy vektor va tekislikdagi nuqta

Ma'lumki, ba'zi tekisliklarda (3; 0; -1) mavjud. (1; 1; 1) nuqtadan o'tishi ham ma'lum. Ushbu tekislik uchun segmentlarda tenglama yozishingiz kerak.

Ushbu muammoni hal qilish uchun siz avval ushbu ikki o'lchovli geometrik ob'ekt uchun umumiy shakldan foydalanishingiz kerak. Umumiy shakl quyidagicha yoziladi:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Birinchi uchta koeffitsient bu erda muammo bayonotida ko'rsatilgan yo'naltiruvchi vektorning koordinatalari, ya'ni:

Erkin D atamasini topish qoladi. Uni quyidagi formula yordamida aniqlash mumkin:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Bu erda 1 indeksli koordinata qiymatlari tekislikka tegishli nuqtaning koordinatalariga mos keladi. Biz ularning qiymatlarini muammoli sharoitlardan almashtiramiz, biz quyidagilarni olamiz:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Endi biz tenglamani to'liq yozishimiz mumkin:

Ushbu ifodani tekislik segmentlarida tenglamaga aylantirish texnikasi allaqachon yuqorida ko'rsatilgan. Keling, uni qo'llaymiz:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

Muammoga javob olindi. E'tibor bering, bu tekislik faqat x va z o'qlarini kesib o'tadi. y uchun u parallel.

Tekislikni belgilovchi ikkita to'g'ri chiziq

Fazoviy geometriya kursidan har bir maktab o'quvchisi ikkita ixtiyoriy to'g'ri chiziq uch o'lchovli fazoda tekislikni aniq belgilashini biladi. Keling, shunga o'xshash muammoni hal qilaylik.

Ikkita ma'lum chiziqli tenglamalar mavjud:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + a*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + b*(-1; 0; 1).

Ushbu chiziqlardan o'tadigan tekislik tenglamasini segmentlarga yozish kerak.

Ikkala chiziq ham tekislikda yotishi kerakligi sababli, bu ularning vektorlari (direktorlari) tekislik uchun vektorga (direktor) perpendikulyar bo'lishi kerakligini anglatadi. Shu bilan birga, ma'lumki, ixtiyoriy ikkita yo'naltirilgan segmentlarning vektor ko'paytmasi ikkita asl qismga perpendikulyar uchinchi koordinatalar ko'rinishida natija beradi. Ushbu xususiyatni hisobga olgan holda, biz kerakli tekislikka normal vektorning koordinatalarini olamiz:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Uni ixtiyoriy raqamga ko'paytirish mumkin bo'lganligi sababli, bu holda asl qismga parallel ravishda yangi yo'naltirilgan segment hosil bo'ladi, keyin olingan koordinatalarning belgisi teskarisiga almashtirilishi mumkin (-1 ga ko'paytiriladi), biz olamiz:

Biz yo'nalish vektorini bilamiz. Chiziqlardan birida ixtiyoriy nuqtani olish va tekislikning umumiy tenglamasini tuzish qoladi:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Ushbu tenglikni segmentlardagi ifodaga aylantirib, biz quyidagilarni olamiz:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Shunday qilib, tekislik koordinata tizimining musbat mintaqasida barcha uch o'qni kesib o'tadi.

Xuddi ikkita to'g'ri chiziq kabi, uch nuqta uch o'lchovli fazoda tekislikni aniq belgilaydi. Agar tekislikda yotgan nuqtalarning quyidagi koordinatalari ma'lum bo'lsa, tegishli tenglamani segmentlarga yozamiz:

Keling, quyidagicha davom etamiz: bu nuqtalarni bog'laydigan ikkita ixtiyoriy vektorning koordinatalarini hisoblang, so'ngra topilgan yo'naltirilgan segmentlarning mahsulotini hisoblab, tekislikka normal vektor n¯ toping. Biz olamiz:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Misol tariqasida P nuqtani olaylik va tekislik uchun tenglama tuzamiz:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 yoki z = 0.

Bizda berilgan to'rtburchaklar koordinatalar tizimidagi xy tekisligiga mos keladigan oddiy ifoda mavjud. Uni segmentlarda yozib bo'lmaydi, chunki x va y o'qlari tekislikka tegishli va z o'qida kesilgan segmentning uzunligi nolga teng (nuqta (0; 0; 0) tekislikka tegishli).