แทนเจนต์เป็นเส้นตรง ซึ่งสัมผัสกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งและทุกจุดที่อยู่ห่างจากกราฟของฟังก์ชันน้อยที่สุด ดังนั้นแทนเจนต์จึงส่งแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่มุมหนึ่ง และแทนเจนต์หลายตัวในมุมที่ต่างกันไม่สามารถผ่านจุดแทนเจนต์ได้ สมการแทนเจนต์และสมการปกติของกราฟของฟังก์ชันถูกสร้างขึ้นโดยใช้อนุพันธ์

สมการแทนเจนต์ได้มาจากสมการเส้นตรง .

ขอให้เราได้สมการของแทนเจนต์แล้วสมการของเส้นปกติกับกราฟของฟังก์ชัน

ย = เคเอ็กซ์ + ข .

ในนั้น เค- สัมประสิทธิ์เชิงมุม

จากที่นี่เราได้รับรายการต่อไปนี้:

ย - ย 0 = เค(x - x 0 ) .

มูลค่าอนุพันธ์ ฉ "(x 0 ) ฟังก์ชั่น ย = ฉ(x) ตรงจุด x0 เท่ากับความชัน เค= ทีจี φ สัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชันที่ลากผ่านจุด ม0 (x 0 , ย 0 ) , ที่ไหน ย0 = ฉ(x 0 ) - นี่คือ ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ .

ดังนั้นเราจึงสามารถทดแทนได้ เคบน ฉ "(x 0 ) และรับสิ่งต่อไปนี้ สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน :

ย - ย 0 = ฉ "(x 0 )(x - x 0 ) .

ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชัน (และเราจะพูดถึงมันในเร็วๆ นี้) จำเป็นต้องลดสมการที่ได้จากสูตรข้างต้นลงเหลือ สมการของเส้นตรงในรูปแบบทั่วไป- ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องย้ายตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดไปทางด้านซ้ายของสมการ และปล่อยศูนย์ไว้ทางด้านขวา

ทีนี้เกี่ยวกับสมการปกติ ปกติ - นี่คือเส้นตรงที่ผ่านจุดแทนเจนต์ไปยังกราฟของฟังก์ชันที่ตั้งฉากกับแทนเจนต์ สมการปกติ :

(x - x 0 ) + ฉ "(x 0 )(ย - ย 0 ) = 0

เพื่ออุ่นเครื่อง คุณจะต้องแก้ตัวอย่างแรกด้วยตัวเอง จากนั้นจึงดูวิธีแก้ปัญหา มีเหตุผลทุกประการที่หวังว่างานนี้จะไม่เป็น "การอาบน้ำเย็น" สำหรับผู้อ่านของเรา

ตัวอย่างที่ 0สร้างสมการแทนเจนต์และสมการปกติสำหรับกราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ม (1, 1) .

ตัวอย่างที่ 1เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติให้เป็นกราฟของฟังก์ชัน ถ้าแอบซิสซาสัมผัสกัน

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตอนนี้เรามีทุกอย่างที่ต้องแทนที่ลงในค่าที่ให้ไว้ในวิธีช่วยทางทฤษฎีเพื่อให้ได้สมการแทนเจนต์ เราได้รับ

ในตัวอย่างนี้ เราโชคดี: ความชันกลายเป็นศูนย์ ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องแยกสมการให้เหลือรูปแบบทั่วไป ตอนนี้เราสามารถสร้างสมการปกติได้:

ในรูปด้านล่าง: กราฟของฟังก์ชันคือเบอร์กันดี แทนเจนต์เป็นสีเขียว เส้นปกติคือสีส้ม

ตัวอย่างถัดไปก็ไม่ซับซ้อนเช่นกัน: ฟังก์ชันเช่นเดียวกับในตัวอย่างก่อนหน้านี้ก็เป็นพหุนามเช่นกัน แต่ความชันจะไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นจึงจะเพิ่มอีกหนึ่งขั้นตอน - นำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป

ตัวอย่างที่ 2

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

เราแทนที่ข้อมูลที่ได้รับทั้งหมดลงใน "สูตรเปล่า" และรับสมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป (เรารวบรวมตัวอักษรและตัวเลขทั้งหมดที่ไม่ใช่ศูนย์ทางด้านซ้าย และปล่อยให้เป็นศูนย์ทางด้านขวา):

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 3เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

.

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

.

เราพบสมการแทนเจนต์:

ก่อนที่จะนำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป คุณต้อง "รวมมัน" เล็กน้อย: คูณเทอมต่อเทอมด้วย 4 เราทำสิ่งนี้และนำสมการไปสู่รูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ตัวอย่างที่ 4เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

.

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

มาหาค่าของอนุพันธ์ ณ จุดแทนเจนต์ซึ่งก็คือความชันของแทนเจนต์:

.

เราได้รับสมการแทนเจนต์:

เรานำสมการมาสู่รูปแบบทั่วไป:

เราเขียนสมการปกติ:

ข้อผิดพลาดทั่วไปในการเขียนสมการแทนเจนต์และสมการปกติไม่ใช่การสังเกตว่าฟังก์ชันที่ให้ไว้ในตัวอย่างมีความซับซ้อนและต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันดังกล่าวเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันอย่างง่าย ตัวอย่างต่อไปนี้มาจาก ฟังก์ชั่นที่ซับซ้อน(บทเรียนที่เกี่ยวข้องจะเปิดขึ้นในหน้าต่างใหม่)

ตัวอย่างที่ 5เขียนสมการแทนเจนต์และสมการของเส้นปกติลงในกราฟของฟังก์ชัน ถ้าจุดแอบซิสซาคือจุดสัมผัสกัน

สารละลาย. มาหาพิกัดของจุดสัมผัสกัน:

ความสนใจ! ฟังก์ชันนี้มีความซับซ้อน เนื่องจากอาร์กิวเมนต์แทนเจนต์ (2 x) ก็คือฟังก์ชันนั่นเอง ดังนั้นเราจึงพบว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันเป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชันเชิงซ้อน

ในบทความนี้เราจะวิเคราะห์ปัญหาทุกประเภทเพื่อค้นหา

มาจำกัน ความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์: ถ้าวาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง ค่าสัมประสิทธิ์ความชันของแทนเจนต์ (เท่ากับแทนเจนต์ของมุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกน) จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ตรงจุด

ลองใช้จุดใดก็ได้บนแทนเจนต์ด้วยพิกัด:

และพิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ในรูปสามเหลี่ยมนี้

จากที่นี่

นี่คือสมการของแทนเจนต์ที่ลากไปยังกราฟของฟังก์ชันที่จุดนั้น

ในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราเพียงแต่ต้องรู้สมการของฟังก์ชันและจุดที่วาดแทนเจนต์เท่านั้น จากนั้นเราจะสามารถค้นหา และ .

โจทย์สมการแทนเจนต์มีสามประเภทหลักๆ

1. มีจุดติดต่อ

2. ให้ค่าสัมประสิทธิ์ความชันแทนเจนต์ นั่นคือค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุด

3. กำหนดให้เป็นพิกัดของจุดที่วาดแทนเจนต์ แต่ไม่ใช่จุดสัมผัส

มาดูงานแต่ละประเภทกันดีกว่า

1. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน ตรงจุด .

.

b) ค้นหามูลค่าของอนุพันธ์ ณ จุด . ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน

แทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์:

ลองเปิดวงเล็บทางด้านขวาของสมการกัน เราได้รับ:

คำตอบ: .

2. ค้นหาจุดแอบซิสซาของจุดที่ฟังก์ชันสัมผัสกันกับกราฟ ขนานกับแกน x

ถ้าแทนเจนต์ขนานกับแกน x มุมระหว่างแทนเจนต์กับทิศทางบวกของแกนจึงเป็นศูนย์ ดังนั้นแทนเจนต์ของมุมแทนเจนต์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ที่จุดสัมผัสเป็นศูนย์

ก) ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน .

b) ลองเทียบอนุพันธ์ให้เป็นศูนย์แล้วค้นหาค่าที่แทนเจนต์ขนานกับแกน:

เมื่อเทียบแต่ละปัจจัยให้เป็นศูนย์ เราจะได้:

คำตอบ: 0;3;5

3. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน , ขนาน โดยตรง .

แทนเจนต์ขนานกับเส้นตรง ความชันของเส้นนี้คือ -1 เนื่องจากแทนเจนต์ขนานกับเส้นนี้ ดังนั้นความชันของแทนเจนต์จึงเป็น -1 ด้วย นั่นก็คือ เรารู้ความชันของแทนเจนต์และด้วยเหตุนี้ มูลค่าอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัส.

นี่เป็นปัญหาประเภทที่สองในการค้นหาสมการแทนเจนต์

ดังนั้นเราจึงได้ฟังก์ชันและค่าของอนุพันธ์ ณ จุดสัมผัสกัน

ก) ค้นหาจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ -1

ก่อนอื่น มาหาสมการอนุพันธ์กันก่อน

ลองเทียบอนุพันธ์กับเลข -1 กัน

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

.

b) ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด .

ลองหาค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

(ตามเงื่อนไข)

ลองแทนค่าเหล่านี้ลงในสมการแทนเจนต์:

.

คำตอบ:

4. เขียนสมการแทนเจนต์ให้กับเส้นโค้ง , ผ่านจุดหนึ่ง

ขั้นแรก ลองตรวจสอบว่าจุดนั้นเป็นจุดสัมผัสกันหรือไม่ หากจุดหนึ่งเป็นจุดสัมผัสกัน จุดนั้นจะอยู่ในกราฟของฟังก์ชัน และพิกัดของจุดนั้นต้องเป็นไปตามสมการของฟังก์ชัน ลองแทนพิกัดของจุดลงในสมการของฟังก์ชันกัน

Title="1sqrt(8-3^2)">. Мы получили под корнем отрицательное число, равенство не верно, и точка не принадлежит графику функции и !} ไม่ใช่จุดติดต่อ

นี่เป็นปัญหาประเภทสุดท้ายในการค้นหาสมการแทนเจนต์ ก่อนอื่นเลย เราจำเป็นต้องหาแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน.

มาหาค่ากัน.

ให้เป็นจุดติดต่อ จุดนั้นเป็นของแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน หากเราแทนพิกัดของจุดนี้ลงในสมการแทนเจนต์ เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง:

.

ค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งคือ .

ลองหาค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ณ จุดนั้นกัน

ก่อนอื่น มาหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกันก่อน นี้ .

อนุพันธ์ ณ จุดหนึ่งเท่ากับ .

ลองแทนนิพจน์ของ และ เข้าไปในสมการแทนเจนต์กัน เราได้รับสมการสำหรับ:

เรามาแก้สมการนี้กัน

ลดตัวเศษและส่วนของเศษส่วนลง 2:

ลองนำด้านขวาของสมการมาเป็นตัวส่วนร่วมกัน. เราได้รับ:

ลองลดความซับซ้อนของเศษของเศษส่วนแล้วคูณทั้งสองข้างด้วย - นิพจน์นี้มากกว่าศูนย์อย่างเคร่งครัด

เราได้สมการ

มาแก้กันเถอะ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามายกกำลังทั้งสองส่วนแล้วไปที่ระบบกัน

Title="delim(lbrace)(matrix(2)(1)((64-48(x_0)+9(x_0)^2=8-(x_0)^2) (8-3x_0>=0 ) ))( )">!}

มาแก้สมการแรกกัน

เรามาแก้สมการกำลังสองกันดีกว่า

รูทที่สองไม่ตรงตามเงื่อนไข title="8-3x_0>=0">, следовательно, у нас только одна точка касания и её абсцисса равна .!}

ลองเขียนสมการแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่จุดนั้น เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนค่าลงในสมการ - เราบันทึกไว้แล้ว

คำตอบ:
.

บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" สาธิตสื่อการเรียนรู้สำหรับการเรียนรู้หัวข้อนี้ ในระหว่างบทเรียนวิดีโอ เนื้อหาทางทฤษฎีที่จำเป็นในการสร้างแนวคิดของสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาแทนเจนต์ดังกล่าว และตัวอย่างการแก้ปัญหาโดยใช้เนื้อหาทางทฤษฎีที่ศึกษา .

วิดีโอสอนใช้วิธีการปรับปรุงความชัดเจนของเนื้อหา งานนำเสนอประกอบด้วยภาพวาด ไดอะแกรม ความคิดเห็นด้วยเสียงที่สำคัญ ภาพเคลื่อนไหว การไฮไลต์ และเครื่องมืออื่นๆ

บทเรียนวิดีโอเริ่มต้นด้วยการนำเสนอหัวข้อของบทเรียนและรูปภาพของเส้นสัมผัสกราฟของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน y=f(x) ที่จุด M(a;f(a)) เป็นที่ทราบกันดีว่าค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์ที่พล็อตกราฟ ณ จุดที่กำหนดนั้นเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(a) ณ จุดนี้ จากหลักสูตรพีชคณิต เรารู้สมการของเส้นตรง y=kx+m วิธีแก้ไขปัญหาการค้นหาสมการแทนเจนต์ที่จุดหนึ่งถูกนำเสนอในเชิงแผนผัง ซึ่งช่วยลดการหาค่าสัมประสิทธิ์ k, m เมื่อทราบพิกัดของจุดที่เป็นกราฟของฟังก์ชัน เราสามารถหา m ได้โดยการแทนที่ค่าพิกัดลงในสมการแทนเจนต์ f(a)=ka+m จากนั้นเราจะพบ m=f(a)-ka ดังนั้น เมื่อทราบค่าของอนุพันธ์ ณ จุดที่กำหนดและพิกัดของจุดนั้น เราก็สามารถแสดงสมการแทนเจนต์ได้ด้วยวิธีนี้ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างการเขียนสมการแทนเจนต์ตามแผนภาพ เมื่อพิจารณาจากฟังก์ชัน y=x 2 , x=-2 เมื่อหา a=-2 เราจะหาค่าของฟังก์ชันที่จุดที่กำหนด f(a)= f(-2)=(-2) 2 =4 เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=2x ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเท่ากับ f΄(a)= f΄(-2)=2·(-2)=-4 ในการเขียนสมการ จะพบสัมประสิทธิ์ a=-2, f(a)=4, f΄(a)=-4 ทั้งหมด ดังนั้นสมการแทนเจนต์คือ y=4+(-4)(x+2) ลดความซับซ้อนของสมการ เราได้ y = -4-4x

ตัวอย่างต่อไปนี้แนะนำให้สร้างสมการแทนเจนต์ที่จุดกำเนิดของกราฟของฟังก์ชัน y=tgx ณ จุดที่กำหนด a=0, f(0)=0, f΄(x)=1/cos 2 x, f΄(0)=1 ดังนั้นสมการแทนเจนต์จะดูเหมือน y=x

โดยภาพรวมแล้ว กระบวนการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งนั้นจะถูกทำให้เป็นทางการในรูปแบบของอัลกอริทึมซึ่งประกอบด้วย 4 ขั้นตอน:

• ป้อนการกำหนด a สำหรับ abscissa ของจุดสัมผัสกัน
• f(a) ถูกคำนวณ;
• f΄(x) ถูกกำหนด และ f΄(a) ถูกคำนวณ ค่าที่พบของ a, f(a), f΄(a) จะถูกแทนที่ในสูตรสมการแทนเจนต์ y=f(a)+f΄(a)(x-a)

ตัวอย่างที่ 1 พิจารณาการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=1/x ที่จุด x=1 เพื่อแก้ปัญหาเราใช้อัลกอริทึม สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุด a=1 ค่าของฟังก์ชันคือ f(a)=-1 อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(x)=1/x 2 ณ จุด a=1 อนุพันธ์ f΄(a)= f΄(1)=1 จากข้อมูลที่ได้รับ สมการแทนเจนต์ y=-1+(x-1) หรือ y=x-2 จะถูกวาดขึ้นมา

ในตัวอย่างที่ 2 จำเป็นต้องค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y=x 3 +3x 2 -2x-2 เงื่อนไขหลักคือความขนานของเส้นแทนเจนต์และเส้นตรง y=-2x+1 อันดับแรก เราจะหาค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกัน ซึ่งเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรง y=-2x+1 เนื่องจาก f΄(a)=-2 สำหรับเส้นตรงที่กำหนด ดังนั้น k=-2 สำหรับแทนเจนต์ที่ต้องการ เราค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน (x 3 +3x 2 -2x-2)΄=3x 2 +6x-2 เมื่อรู้ว่า f΄(a)=-2 เราจะพบพิกัดของจุด 3a 2 +6a-2=-2 เมื่อแก้สมการแล้ว เราจะได้ 1 =0 และ 2 =-2 เมื่อใช้พิกัดที่พบ คุณสามารถค้นหาสมการแทนเจนต์ได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี เราหาค่าของฟังก์ชันได้ที่จุด f(a 1)=-2, f(a 2)=-18 ค่าของอนุพันธ์ ณ จุด f΄(а 1)= f΄(а 2)=-2 การแทนที่ค่าที่พบลงในสมการแทนเจนต์เราได้สำหรับจุดแรก a 1 =0 y=-2x-2 และสำหรับจุดที่สอง 2 =-2 สมการแทนเจนต์ y=-2x-22

ตัวอย่างที่ 3 อธิบายองค์ประกอบของสมการแทนเจนต์สำหรับการวาดที่จุด (0;3) ไปยังกราฟของฟังก์ชัน y=√x การแก้ปัญหาทำได้โดยใช้อัลกอริธึมที่รู้จักกันดี จุดสัมผัสกันมีพิกัด x=a โดยที่ a>0 ค่าของฟังก์ชันที่จุด f(a)=√x อนุพันธ์ของฟังก์ชัน f΄(х)=1/2√х ดังนั้น ณ จุดที่กำหนด f΄(а)=1/2√а แทนที่ค่าที่ได้รับทั้งหมดลงในสมการแทนเจนต์เราจะได้ y = √a + (x-a)/2√a การแปลงสมการ เราได้ y=x/2√а+√а/2 เมื่อรู้ว่าแทนเจนต์ผ่านจุด (0;3) เราจะพบค่าของ a เราหาจาก 3=√a/2 ดังนั้น √a=6, a=36 เราพบสมการแทนเจนต์ y=x/12+3 รูปนี้แสดงกราฟของฟังก์ชันที่กำลังพิจารณาและแทนเจนต์ที่ต้องการที่สร้างขึ้น

นักเรียนจะได้รับการเตือนถึงความเท่าเทียมกันโดยประมาณ Δy=µf΄(x)Δxและ f(x+Δx)-f(x)µf΄(x)Δx เมื่อหา x=a, x+Δx=x, Δx=x-a เราจะได้ f(x)- f(a)µf΄(a)(x-a) ดังนั้น f(x)µf(a)+ f΄( ก)(ก-ก)

ในตัวอย่างที่ 4 จำเป็นต้องค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ 2.003 6 เนื่องจากจำเป็นต้องค้นหาค่าของฟังก์ชัน f(x)=x 6 ที่จุด x=2.003 เราจึงใช้สูตรที่รู้จักกันดี โดยหา f(x)=x 6, a=2, f(a )= ฉ(2)=64, ฉ ΄(x)=6x 5 อนุพันธ์ที่จุด f΄(2)=192 ดังนั้น 2.003 6 γ65-192·0.003 เมื่อคำนวณนิพจน์แล้ว เราจะได้ 2.003 6 mut64.576

แนะนำให้ใช้บทเรียนวิดีโอ "สมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน" เพื่อใช้ในบทเรียนคณิตศาสตร์แบบดั้งเดิมที่โรงเรียน สำหรับครูที่สอนทางไกล สื่อวิดีโอจะช่วยอธิบายหัวข้อได้ชัดเจนยิ่งขึ้น สามารถแนะนำวิดีโอให้นักเรียนทบทวนได้อย่างอิสระหากจำเป็นเพื่อเพิ่มความเข้าใจในหัวข้อนี้ให้ลึกซึ้งยิ่งขึ้น

การถอดรหัสข้อความ:

เรารู้ว่าถ้าจุด M (a; f(a)) (em ที่มีพิกัด a และ ef จาก a) อยู่ในกราฟของฟังก์ชัน y = f (x) และหาก ณ จุดนี้ เป็นไปได้ที่จะวาดแทนเจนต์ กับกราฟของฟังก์ชันที่ไม่ตั้งฉากกับแกน abscissa ดังนั้นค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับ f"(a) (eff ไพรม์จาก a)

กำหนดให้ฟังก์ชัน y = f(x) และจุด M (a; f(a)) เป็นที่รู้กันว่า f´(a) มีอยู่จริง เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่กำหนดกันดีกว่า สมการนี้เหมือนกับสมการของเส้นตรงใดๆ ที่ไม่ขนานกับแกนพิกัด มีรูปแบบ y = kx+m (y เท่ากับ ka x บวก em) ดังนั้นงานคือหาค่าของ ค่าสัมประสิทธิ์ k และ m (ka และ em)

ค่าสัมประสิทธิ์มุม k= f"(a) ในการคำนวณค่า m เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าเส้นตรงที่ต้องการผ่านจุด M(a; f (a)) ซึ่งหมายความว่าหากเราแทนที่พิกัดของ ชี้ M ไปที่สมการของเส้นตรง เราจะได้ความเท่าเทียมกันที่ถูกต้อง : f(a) = ka+m จากจุดที่เราพบว่า m = f(a) - ka

ยังคงทดแทนค่าที่พบของสัมประสิทธิ์ ki และ m ลงในสมการของเส้นตรง:

y = kx+(ฉ(a) -ka);

y = ฉ(ก)+k(x-ก);

ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก). ( y เท่ากับ ef จากบวก ef ไพรม์จาก a, คูณด้วย x ลบ a)

เราได้สมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x=a แล้ว

ถ้า พูดว่า y = x 2 และ x = -2 (เช่น a = -2) แล้ว f (a) = f (-2) = (-2) 2 = 4; f´(x) = 2x ซึ่งหมายถึง f"(a) = f´(-2) = 2·(-2) = -4 (จากนั้น ef ของ a เท่ากับ 4 ซึ่งเป็น ef ของจำนวนเฉพาะของ x เท่ากับสอง x ซึ่งหมายถึง ef ไพรม์จาก a เท่ากับลบสี่)

แทนที่ค่าที่พบ a = -2, f(a) = 4, f"(a) = -4 ลงในสมการเราได้รับ: y = 4+(-4)(x+2) เช่น y = -4x -4.

(E เท่ากับลบสี่ x ลบสี่)

เรามาสร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = tanx (y เท่ากับแทนเจนต์ x) ที่จุดกำเนิดกัน เรามี: a = 0, f(0) = tan0=0;

f"(x)= , ซึ่งหมายถึง f"(0) = l. แทนที่ค่าที่พบ a=0, f(a)=0, f´(a) = 1 ลงในสมการเราจะได้: y=x

ให้เราสรุปขั้นตอนของเราในการค้นหาสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันที่จุด x โดยใช้อัลกอริทึม

อัลกอริทึมสำหรับการพัฒนาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1) กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a

2) คำนวณ f(a)

3) ค้นหา f'(x) และคำนวณ f'(a)

4) แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f'(a) ลงในสูตร ย= ฉ(ก)+ ฉ"(ก) (x- ก).

ตัวอย่างที่ 1 สร้างสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = - in

จุด x = 1

สารละลาย. ลองใช้อัลกอริทึมโดยคำนึงถึงสิ่งนั้นในตัวอย่างนี้

2) ฉ(ก)=ฉ(1)=- =-1

3) ฉ'(x)=; ฉ'(ก)= ฉ'(1)= =1.

4) แทนที่ตัวเลขสามตัวที่พบ: a = 1, f(a) = -1, f"(a) = 1 ลงในสูตร เราได้รับ: y = -1+(x-1), y = x-2 .

คำตอบ: y = x-2

ตัวอย่างที่ 2 รับฟังก์ชัน y = x 3 +3x 2 -2x-2- เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = f(x) ขนานกับเส้นตรง y = -2x +1

เมื่อใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ เราจะพิจารณาว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = x 3 +3x 2 -2x-2แต่ไม่ได้ระบุจุดแอบซิสซาของจุดสัมผัสกันตรงนี้

เรามาเริ่มคิดแบบนี้กันดีกว่า แทนเจนต์ที่ต้องการจะต้องขนานกับเส้นตรง y = -2x+1 และเส้นขนานมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์เท่ากับสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงที่กำหนด: k แทนเจนต์ = -2. ฮกคาส = f"(a) ดังนั้น เราสามารถหาค่าของ a ได้จากสมการ f ´(a) = -2

ลองหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันกัน ย=ฉ(x):

ฉ"(x)= (x 3 +3x 2 -2x-2)´ =3x 2 +6x-2;ฉ"(ก)= 3a 2 +6a-2

จากสมการ f"(a) = -2 เช่น 3เอ 2 +6เอ-2=-2 เราพบว่า 1 =0, 2 =-2 ซึ่งหมายความว่ามีแทนเจนต์สองตัวที่ตรงตามเงื่อนไขของปัญหา: อันหนึ่งอยู่ที่จุด Abscissa 0 และอีกอันอยู่ที่จุด Abscissa -2

ตอนนี้คุณสามารถปฏิบัติตามอัลกอริทึมได้แล้ว

1) ก 1 =0 และ 2 =-2

2) ฉ(ก 1)= 0 3 +3·0 2 -2∙0-2=-2- ฉ(ก 2)= (-2) 3 +3·(-2) 2 -2·(-2)-2=6;

3) ฉ"(ก 1) = ฉ"(ก 2) = -2

4) แทนที่ค่า a 1 = 0, f(a 1) = -2, f"(a 1) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=-2-2(x-0), y=-2x-2

แทนค่า a 2 = -2, f(a 2) =6, f"(a 2) = -2 ลงในสูตรเราจะได้:

y=6-2(x+2), y=-2x+2

คำตอบ: y=-2x-2, y=-2x+2

ตัวอย่างที่ 3 จากจุด (0; 3) วาดแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = . สารละลาย. ลองใช้อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์ โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x) = . โปรดสังเกตว่าในตัวอย่างที่ 2 นี้ จะไม่มีการระบุค่า Abscissa ของจุดสัมผัสกันอย่างชัดเจน อย่างไรก็ตาม เราปฏิบัติตามอัลกอริธึม

1) ให้ x = a เป็น abscissa ของจุดสัมผัส เห็นได้ชัดว่า a >0

3) ฉ'(x)=()'=; ฉ'(ก) =.

4) การแทนค่าของ a, f(a) = , f"(a) = ลงในสูตร

y=f (ก) +f "(ก) (x-a)เราได้รับ:

ตามเงื่อนไข แทนเจนต์จะผ่านจุด (0; 3) แทนที่ค่า x = 0, y = 3 ลงในสมการเราจะได้: 3 = แล้ว =6, a =36

ดังที่คุณเห็นในตัวอย่างนี้ เฉพาะในขั้นตอนที่สี่ของอัลกอริธึมเท่านั้นที่เราจัดการเพื่อค้นหา abscissa ของจุดสัมผัสกัน แทนค่า a =36 ลงในสมการ เราจะได้: y=+3

ในรูป รูปที่ 1 แสดงภาพประกอบทางเรขาคณิตของตัวอย่างที่พิจารณา: กราฟของฟังก์ชัน y = ถูกสร้างขึ้น และลากเส้นตรง y = +3

คำตอบ: y = +3

เรารู้ว่าสำหรับฟังก์ชัน y = f(x) ซึ่งมีอนุพันธ์ที่จุด x ความเท่าเทียมกันโดยประมาณนั้นใช้ได้: Δyf´(x)Δx (เดลต้า y มีค่าประมาณเท่ากับ ef ไพรม์ของ x คูณด้วยเดลต้า x)

หรือในรายละเอียดมากขึ้น f(x+Δx)-f(x) f´(x) Δx (eff จาก x บวก เดลต้า x ลบ ef จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ eff ไพรม์จาก x คูณ delta x)

เพื่อความสะดวกในการอภิปรายต่อไป ให้เราเปลี่ยนสัญลักษณ์:

แทนที่จะเป็น x เราจะเขียน ก,

แทนที่จะเป็น x+Δx เราจะเขียน x

แทนที่จะเป็น Δx เราจะเขียน x-a

จากนั้นความเท่าเทียมกันโดยประมาณที่เขียนไว้ด้านบนจะอยู่ในรูปแบบ:

ฉ(x)-f(ก)ฉ'(ก)(x-a)

ฉ(x)ฉ(ก)+ฉ'(ก)(x-a) (eff จาก x มีค่าประมาณเท่ากับ ef จาก a บวก ef ไพรม์จาก a คูณด้วยผลต่างระหว่าง x และ a)

ตัวอย่างที่ 4 ค้นหาค่าโดยประมาณของนิพจน์ตัวเลข 2.003 6

สารละลาย. เรากำลังพูดถึงการค้นหาค่าของฟังก์ชัน y = x 6 ที่จุด x = 2.003 ลองใช้สูตร f(x)f(a)+f´(a)(x-a) โดยคำนึงถึงว่าในตัวอย่างนี้ f(x)=x 6, a = 2,f(a) = f(2) = 2 6 =64; x = 2.003, f"(x) = 6x 5 และด้วยเหตุนี้ f"(a) = f"(2) = 6 2 5 =192

เป็นผลให้เราได้รับ:

2.003 6 64+192· 0.003 เช่น 2.003 6 =64.576.

หากเราใช้เครื่องคิดเลขเราจะได้:

2,003 6 = 64,5781643...

อย่างที่คุณเห็นความแม่นยำในการประมาณนั้นค่อนข้างยอมรับได้

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

พี. โรมานอฟ, ต. โรมาโนวา,
แมกนิโตกอร์สค์
ภูมิภาคเชเลียบินสค์

สมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน

บทความนี้ได้รับการตีพิมพ์โดยได้รับการสนับสนุนจาก ITAKA+ Hotel Complex เมื่ออยู่ในเมืองของช่างต่อเรือ Severodvinsk คุณจะไม่พบปัญหาในการหาที่อยู่อาศัยชั่วคราว บนเว็บไซต์ของโรงแรมคอมเพล็กซ์ "ITHAKA+" http://itakaplus.ru คุณสามารถเช่าอพาร์ทเมนต์ในเมืองได้อย่างง่ายดายและรวดเร็วทุกช่วงเวลาโดยชำระเงินรายวัน

ในขั้นตอนปัจจุบันของการพัฒนาการศึกษาภารกิจหลักประการหนึ่งคือการสร้างบุคลิกภาพที่มีความคิดสร้างสรรค์ ความสามารถในการสร้างสรรค์ของนักเรียนสามารถพัฒนาได้ก็ต่อเมื่อพวกเขามีส่วนร่วมอย่างเป็นระบบในพื้นฐานของกิจกรรมการวิจัย รากฐานสำหรับนักเรียนในการใช้พลังสร้างสรรค์ ความสามารถ และพรสวรรค์ของตนเองนั้นถูกสร้างขึ้นด้วยความรู้และทักษะที่เต็มเปี่ยม ในเรื่องนี้ปัญหาของการสร้างระบบความรู้และทักษะพื้นฐานสำหรับแต่ละหัวข้อของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนก็มีความสำคัญไม่น้อย ในเวลาเดียวกันทักษะที่ครบถ้วนควรเป็นเป้าหมายการสอนไม่ใช่ของงานแต่ละงาน แต่เป็นระบบที่คิดอย่างรอบคอบ ในความหมายที่กว้างที่สุด ระบบถูกเข้าใจว่าเป็นชุดขององค์ประกอบการโต้ตอบที่เชื่อมโยงถึงกันซึ่งมีความสมบูรณ์และโครงสร้างที่มั่นคง

ลองพิจารณาเทคนิคในการสอนนักเรียนว่าจะเขียนสมการแทนเจนต์ให้กับกราฟของฟังก์ชันได้อย่างไร โดยพื้นฐานแล้ว ปัญหาทั้งหมดในการค้นหาสมการแทนเจนต์ขึ้นอยู่กับความจำเป็นในการเลือกจากชุด (บันเดิล ตระกูล) ของเส้นตรงที่ตรงตามข้อกำหนด - เส้นเหล่านั้นสัมผัสกับกราฟของฟังก์ชันบางอย่าง ในกรณีนี้ ชุดของบรรทัดที่ใช้เลือกสามารถระบุได้สองวิธี:

ก) จุดที่วางอยู่บนระนาบ xOy (ดินสอเส้นกลาง)
b) ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม (ลำแสงขนานของเส้นตรง)

ในเรื่องนี้ เมื่อศึกษาหัวข้อ “แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน” เพื่อแยกองค์ประกอบของระบบ เราได้ระบุปัญหาไว้ 2 ประเภท คือ

1) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยจุดที่มันผ่านไป
2) ปัญหาเกี่ยวกับแทนเจนต์ที่กำหนดโดยความชัน

การฝึกอบรมการแก้ปัญหาแทนเจนต์ดำเนินการโดยใช้อัลกอริทึมที่เสนอโดย A.G. มอร์ดโควิช. ความแตกต่างพื้นฐานจากที่ทราบกันดีอยู่แล้วคือ abscissa ของจุดแทนเจนต์แสดงด้วยตัวอักษร a (แทนที่จะเป็น x0) ดังนั้นสมการของแทนเจนต์จึงอยู่ในรูปแบบ

y = ฉ(ก) + ฉ "(ก)(x – ก)

(เปรียบเทียบกับ y = f(x 0) + f "(x 0)(x – x 0)) ในความคิดของเรา เทคนิคระเบียบวิธีนี้ช่วยให้นักเรียนเข้าใจได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายว่าพิกัดของจุดปัจจุบันเขียนไว้ที่ใดอย่างรวดเร็วและง่ายดาย สมการแทนเจนต์ทั่วไป และจุดสัมผัสอยู่ที่ไหน

อัลกอริทึมในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = f(x)

1. กำหนด abscissa ของจุดสัมผัสกันด้วยตัวอักษร a
2. หา f(a)
3. ค้นหา f "(x) และ f "(a)
4. แทนตัวเลขที่พบ a, f(a), f "(a) ลงในสมการแทนเจนต์ทั่วไป y = f(a) = f "(a)(x – a)

อัลกอริทึมนี้สามารถรวบรวมได้บนพื้นฐานของการระบุการปฏิบัติงานโดยอิสระของนักเรียนและลำดับของการนำไปปฏิบัติ

การปฏิบัติแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาตามลำดับของแต่ละปัญหาสำคัญโดยใช้อัลกอริทึมช่วยให้คุณพัฒนาทักษะในการเขียนสมการแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันเป็นระยะและขั้นตอนของอัลกอริทึมทำหน้าที่เป็นจุดอ้างอิงสำหรับการดำเนินการ . แนวทางนี้สอดคล้องกับทฤษฎีการก่อตัวของการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไปซึ่งพัฒนาโดย P.Ya Galperin และ N.F. ทาลีซินา.

ในงานประเภทแรก มีการระบุงานหลักสองงาน:

• แทนเจนต์ผ่านจุดที่วางอยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 1)
• แทนเจนต์ผ่านจุดที่ไม่อยู่บนเส้นโค้ง (ปัญหาที่ 2)

ภารกิจที่ 1. เขียนสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน ที่จุด M(3; – 2)

สารละลาย. จุด M(3; – 2) เป็นจุดสัมผัส เนื่องจาก

1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(3) = – 2.
3. ฉ "(x) = x 2 – 4, ฉ "(3) = 5
y = – 2 + 5(x – 3), y = 5x – 17 – สมการแทนเจนต์

ปัญหาที่ 2 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = – x 2 – 4x + 2 ที่ผ่านจุด M(– 3; 6)

สารละลาย. จุด M(– 3; 6) ไม่ใช่จุดสัมผัส เนื่องจาก f(– 3) 6 (รูปที่ 2)

2. ฉ(ก) = – ก 2 – 4a + 2
3. ฉ "(x) = – 2x – 4, ฉ "(ก) = – 2a – 4.
4. y = – a 2 – 4a + 2 – 2(a + 2)(x – a) – สมการแทนเจนต์

แทนเจนต์ผ่านจุด M(– 3; 6) ดังนั้นพิกัดของมันจึงเป็นไปตามสมการแทนเจนต์

6 = – ก 2 – 4ก + 2 – 2(ก + 2)(– 3 – ก)
2 + 6a + 8 = 0↑ ก 1 = – 4, ก 2 = – 2.

ถ้า a = – 4 แล้วสมการแทนเจนต์จะเป็น y = 4x + 18

ถ้า a = – 2 สมการแทนเจนต์จะมีรูปแบบ y = 6

ในประเภทที่สอง งานหลักจะเป็นดังนี้:

• แทนเจนต์ขนานกับเส้นบางเส้น (ปัญหา 3)
• แทนเจนต์ผ่านมุมหนึ่งไปยังเส้นที่กำหนด (ปัญหาที่ 4)

ปัญหาที่ 3 เขียนสมการแทนเจนต์ทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x 2 + 3 ขนานกับเส้นตรง y = 9x + 1

สารละลาย.

1. a – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(ก) = ก 3 – 3a 2 + 3
3. ฉ "(x) = 3x 2 – 6x, ฉ "(a) = 3a 2 – 6a

แต่ในทางกลับกัน f "(a) = 9 (เงื่อนไขความขนาน) ซึ่งหมายความว่าเราต้องแก้สมการ 3a 2 – 6a = 9 รากของมันคือ a = – 1, a = 3 (รูปที่ 3 ).

4. 1) ก = – 1;
2) ฉ(– 1) = – 1;
3) ฉ "(– 1) = 9;
4) y = – 1 + 9(x + 1);

y = 9x + 8 – สมการแทนเจนต์;

1) ก = 3;
2) ฉ(3) = 3;
3) ฉ "(3) = 9;
4) y = 3 + 9(x – 3);

y = 9x – 24 – สมการแทนเจนต์

ปัญหาที่ 4 เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = 0.5x 2 – 3x + 1 โดยส่งผ่านมุม 45° ไปยังเส้นตรง y = 0 (รูปที่ 4)

สารละลาย. จากเงื่อนไข f "(a) = tan 45° เราพบว่า a: a – 3 = 1^a = 4.

1. a = 4 – abscissa ของจุดสัมผัสกัน
2. ฉ(4) = 8 – 12 + 1 = – 3.
3. ฉ "(4) = 4 – 3 = 1.
4. y = – 3 + 1(x – 4)

y = x – 7 – สมการแทนเจนต์

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการแก้ปัญหาอื่นๆ ขึ้นอยู่กับการแก้ปัญหาหลักๆ หนึ่งปัญหาขึ้นไป ลองพิจารณาปัญหาสองข้อต่อไปนี้เป็นตัวอย่าง

1. เขียนสมการของแทนเจนต์ลงในพาราโบลา y = 2x 2 – 5x – 2 หากแทนเจนต์ตัดกันที่มุมขวาและมีอันใดอันหนึ่งแตะพาราโบลาที่จุดด้วย abscissa 3 (รูปที่ 5)

สารละลาย. เนื่องจากให้ค่า abscissa ของจุดสัมผัส ส่วนแรกของการแก้ปัญหาจึงลดลงเป็นปัญหาหลัก 1

1. a = 3 – abscissa ของจุดสัมผัสของด้านใดด้านหนึ่งของมุมฉาก
2. ฉ(3) = 1.
3. ฉ "(x) = 4x – 5, ฉ "(3) = 7
4. y = 1 + 7(x – 3), y = 7x – 20 – สมการของแทนเจนต์แรก

ให้ก – มุมเอียงของแทนเจนต์แรก เนื่องจากแทนเจนต์ตั้งฉากกัน มุมเอียงของแทนเจนต์ที่สองจึงเป็นมุมเอียง จากสมการ y = 7x – 20 ของแทนเจนต์แรก เรามี tg a = 7 มาหากัน

ซึ่งหมายความว่าความชันของแทนเจนต์ที่สองเท่ากับ

แนวทางแก้ไขเพิ่มเติมอยู่ที่งานหลัก 3

ให้ B(c; f(c)) เป็นจุดสัมผัสของเส้นที่สอง

1. – ละทิ้งจุดสัมผัสที่สอง
2.
3.
4.
– สมการของแทนเจนต์ที่สอง

บันทึก. ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นสัมผัสกันจะหาได้ง่ายขึ้นถ้านักเรียนรู้อัตราส่วนของค่าสัมประสิทธิ์ของเส้นตั้งฉาก k 1 k 2 = – 1

2. เขียนสมการของแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน

สารละลาย. ภารกิจอยู่ที่การค้นหา abscissa ของจุดแทนเจนต์ของแทนเจนต์ทั่วไปนั่นคือการแก้ปัญหาสำคัญ 1 ในรูปแบบทั่วไป จัดทำระบบสมการแล้วแก้ไข (รูปที่ 6)

1. ให้ a เป็น abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + x + 1
2. ฉ(ก) = ก 2 + ก + 1
3. ฉ "(ก) = 2a + 1
4. y = ก 2 + ก + 1 + (2a + 1)(x – a) = (2a + 1)x + 1 – a 2

1. ให้ c เป็นค่า Abscissa ของจุดแทนเจนต์ที่วางอยู่บนกราฟของฟังก์ชัน
2.
3. ฉ "(ค) = ค.
4.

เนื่องจากแทนเจนต์เป็นเรื่องทั่วไปแล้ว

ดังนั้น y = x + 1 และ y = – 3x – 3 จึงเป็นแทนเจนต์ร่วม

เป้าหมายหลักของงานที่พิจารณาคือการเตรียมนักเรียนให้รับรู้ประเภทของปัญหาหลักอย่างอิสระเมื่อแก้ไขปัญหาที่ซับซ้อนมากขึ้นซึ่งต้องใช้ทักษะการวิจัยบางอย่าง (ความสามารถในการวิเคราะห์ เปรียบเทียบ สรุป สรุป ตั้งสมมติฐาน ฯลฯ ) งานดังกล่าวรวมถึงงานใดๆ ที่งานหลักถูกรวมไว้เป็นส่วนประกอบ ให้เราพิจารณาเป็นตัวอย่างปัญหา (ตรงกันข้ามกับปัญหา 1) ในการค้นหาฟังก์ชันจากตระกูลแทนเจนต์ของมัน

3. เส้นตรง y = x และ y = – 2x สัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + bx + c สำหรับ b และ c คืออะไร?

สารละลาย.

ให้ t เป็น abscissa ของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c; p คือจุดหักล้างของจุดสัมผัสของเส้นตรง y = – 2x โดยมีพาราโบลา y = x 2 + bx + c จากนั้นสมการแทนเจนต์ y = x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2t + b)x + c – t 2 และสมการแทนเจนต์ y = – 2x จะอยู่ในรูปแบบ y = (2p + b)x + c – p 2 .

มาเขียนและแก้ระบบสมการกัน

คำตอบ:

ปัญหาที่ต้องแก้ไขอย่างอิสระ

1. เขียนสมการของแทนเจนต์ที่วาดลงบนกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 – 4x + 3 ที่จุดตัดของกราฟด้วยเส้น y = x + 3

คำตอบ: y = – 4x + 3, y = 6x – 9.5

2. ค่าใดที่แทนเจนต์ดึงไปยังกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – ax ที่จุดของกราฟโดยมี abscissa x 0 = 1 ผ่านจุด M(2; 3)?

คำตอบ: ก = 0.5

3. เส้นตรง y = px – 5 แตะเส้นโค้ง y = 3x 2 – 4x – 2 มีค่าเท่าใด

คำตอบ: หน้า 1 = – 10, หน้า 2 = 2

4. ค้นหาจุดร่วมทั้งหมดของกราฟของฟังก์ชัน y = 3x – x 3 และแทนเจนต์ที่วาดมายังกราฟนี้ผ่านจุด P(0; 16)

คำตอบ: ก(2; – 2), ข(– 4; 52)

5. จงหาระยะห่างที่สั้นที่สุดระหว่างพาราโบลา y = x 2 + 6x + 10 กับเส้นตรง

คำตอบ:

6. บนเส้นโค้ง y = x 2 – x + 1 ให้หาจุดที่เส้นสัมผัสของกราฟขนานกับเส้นตรง y – 3x + 1 = 0

คำตอบ: ม(2; 3)

7. เขียนสมการแทนเจนต์ลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 + 2x – | 4x | ซึ่งแตะจุดสองจุด วาดรูป.

คำตอบ: y = 2x – 4

8. พิสูจน์ว่าเส้นตรง y = 2x – 1 ไม่ได้ตัดกับเส้นโค้ง y = x 4 + 3x 2 + 2x ค้นหาระยะห่างระหว่างจุดที่ใกล้เคียงที่สุด

คำตอบ:

9. บนพาราโบลา y = x 2 จุดสองจุดจะถูกลากโดยมีจุดหักมุม x 1 = 1, x 2 = 3 เส้นตัดจะถูกลากผ่านจุดเหล่านี้ เส้นสัมผัสกันของพาราโบลาจะขนานกับเส้นตัดที่จุดใดของพาราโบลา? เขียนสมการซีแคนต์และแทนเจนต์

คำตอบ: y = 4x – 3 – สมการซีแคนต์; y = 4x – 4 – สมการแทนเจนต์

10. ค้นหามุม q ระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 4x 2 + 3x + 1 วาดที่จุดด้วย abscissas 0 และ 1

คำตอบ: q = 45°

11. แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันมีมุม 135° กับแกน Ox ที่จุดใด

คำตอบ: ก(0; – 1), ข(4; 3)

12. ที่จุด A(1; 8) ถึงเส้นโค้ง แทนเจนต์ถูกดึงออกมา ค้นหาความยาวของส่วนแทนเจนต์ระหว่างแกนพิกัด

คำตอบ:

13. เขียนสมการแทนเจนต์ร่วมทั้งหมดลงในกราฟของฟังก์ชัน y = x 2 – x + 1 และ y = 2x 2 – x + 0.5

คำตอบ: y = – 3x และ y = x

14. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นสัมผัสกันกับกราฟของฟังก์ชัน ขนานกับแกน x

คำตอบ:

15. จงพิจารณาว่าพาราโบลา y = x 2 + 2x – 8 มีมุมตัดกับแกน x อยู่ที่มุมใด

คำตอบ: q 1 = อาร์กแทน 6, q 2 = อาร์กแทน (– 6)

16. กราฟฟังก์ชัน ค้นหาจุดทั้งหมด โดยค่าแทนเจนต์ของแต่ละจุดของกราฟจะตัดกับครึ่งแกนบวกของพิกัด โดยตัดส่วนที่เท่ากันออกจากจุดเหล่านั้น

คำตอบ: ก(– 3; 11)

17. เส้นตรง y = 2x + 7 และพาราโบลา y = x 2 – 1 ตัดกันที่จุด M และ N จงหาจุด K ของจุดตัดของเส้นตรงที่สัมผัสกับพาราโบลาที่จุด M และ N

คำตอบ: K(1; – 9)

18. เส้น y = 9x + b แทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน y = x 3 – 3x + 15 มีค่าเท่าใด

คำตอบ: – 1; 31.

19. เส้นตรง y = kx – 10 มีจุดร่วมเพียงจุดเดียวกับกราฟของฟังก์ชัน y = 2x 2 + 3x – 2 สำหรับค่า k ใด สำหรับค่า k ที่พบ ให้กำหนดพิกัดของจุด

คำตอบ: k 1 = – 5, A(– 2; 0); k 2 = 11, B(2; 12)

20. ค่าของ b ที่แทนเจนต์วาดไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = bx 3 – 2x 2 – 4 ที่จุดที่มี abscissa x 0 = 2 ผ่านจุด M(1; 8)?

คำตอบ: ข = – 3

21. พาราโบลาที่มีจุดยอดบนแกน Ox แตะเส้นที่ผ่านจุด A(1; 2) และ B(2; 4) ที่จุด B จงหาสมการของพาราโบลา

คำตอบ:

22. พาราโบลา y = x 2 + kx + 1 สัมผัสกับแกน Ox ที่มีค่าสัมประสิทธิ์ k เท่ากับเท่าใด

คำตอบ: k = d 2

23. จงหามุมระหว่างเส้นตรง y = x + 2 และเส้นโค้ง y = 2x 2 + 4x – 3

29. จงหาระยะห่างระหว่างแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชันกับตัวกำเนิดด้วยทิศทางบวกของแกน Ox ที่มุม 45°

คำตอบ:

30. จงหาตำแหน่งของจุดยอดของพาราโบลาทั้งหมดในรูปแบบ y = x 2 + ax + b สัมผัสกันกับเส้นตรง y = 4x – 1

คำตอบ: เส้นตรง y = 4x + 3

วรรณกรรม

1. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina M.V. พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์: 3,600 ปัญหาสำหรับเด็กนักเรียนและผู้เข้ามหาวิทยาลัย – ม., บัสตาร์ด, 1999.
2. Mordkovich A. สัมมนา 4 สำหรับครูรุ่นเยาว์ หัวข้อ: การประยุกต์อนุพันธ์ – ม., “คณิตศาสตร์”, เลขที่ 21/94.
3. การสร้างความรู้และทักษะตามทฤษฎีการดูดซึมการกระทำทางจิตอย่างค่อยเป็นค่อยไป

/ เอ็ด. พ.ย. กัลเปรินา, N.F. ทาลีซินา.

– ม., มหาวิทยาลัยแห่งรัฐมอสโก, 2511

พิจารณารูปต่อไปนี้:

มันแสดงให้เห็นฟังก์ชันบางอย่าง y = f(x) ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด a มีการทำเครื่องหมายจุด M พร้อมพิกัด (a; f(a)) MR เส้นตัดจะถูกลากผ่านจุดใดก็ได้ P(a + ∆x; f(a + ∆x)) ของกราฟ

ค่าแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชันคือตำแหน่งจำกัดของเส้นตัดตอน เนื่องจากการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ ควรเข้าใจว่าการมีอยู่ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน f ที่จุด x0 หมายความว่า ณ จุดนี้บนกราฟ แทนเจนต์ถึงเขา

ในกรณีนี้ ค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมของแทนเจนต์จะเท่ากับอนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ ณ จุดนี้ f’(x0) นี่คือความหมายทางเรขาคณิตของอนุพันธ์ แทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ ณ จุด x0 คือเส้นตรงเส้นหนึ่งที่ผ่านจุดนั้น (x0;f(x0)) และมีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม f’(x0)

สมการแทนเจนต์

ลองหาสมการแทนเจนต์ของกราฟของฟังก์ชัน f ที่จุด A(x0; f(x0)) สมการของเส้นตรงที่มีความชัน k มีรูปแบบดังนี้:

เนื่องจากสัมประสิทธิ์ความชันของเราเท่ากับอนุพันธ์ ฉ'(x0)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้: y = ฉ'(x0)*x + ข.

ทีนี้ลองคำนวณค่าของ b กัน ในการทำเช่นนี้ เราใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันผ่านจุด A

f(x0) = f’(x0)*x0 + b จากตรงนี้เราแสดง b และรับ b = f(x0) - f’(x0)*x0

เราแทนที่ค่าผลลัพธ์ลงในสมการแทนเจนต์:

y = f’(x0)*x + b = f’(x0)*x + f(x0) - f’(x0)*x0 = f(x0) + f’(x0)*(x - x0)

y = ฉ(x0) + ฉ’(x0)*(x - x0)

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้: ค้นหาสมการของแทนเจนต์กับกราฟของฟังก์ชัน f(x) = x 3 - 2*x 2 + 1 ที่จุด x = 2

2. ฉ(x0) = ฉ(2) = 2 2 - 2*2 2 + 1 = 1

3. f’(x) = 3*x 2 - 4*x

4. f’(x0) = f’(2) = 3*2 2 - 4*2 = 4.

5. แทนค่าที่ได้รับลงในสูตรแทนเจนต์เราจะได้: y = 1 + 4*(x - 2) เมื่อเปิดวงเล็บแล้วนำคำที่คล้ายกันมาให้เรา: y = 4*x - 7

คำตอบ: y = 4*x - 7

รูปแบบทั่วไปสำหรับการเขียนสมการแทนเจนต์ไปที่กราฟของฟังก์ชัน y = f(x):

1. กำหนด x0

2. คำนวณ f(x0)

3. คำนวณ f’(x)