วิธีค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันผ่านอนุพันธ์ของมัน วิธีค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

15.10.2019 | ขี้ผึ้งเจล

ค่าสุดขีดของฟังก์ชันคืออะไร และเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสุดขีดคืออะไร?

ปลายสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับค่าสูงสุดและต่ำสุด (สุดขีด) ของฟังก์ชันมีดังต่อไปนี้: หากฟังก์ชัน f(x) มีจุดสุดขีดที่จุด x = a ดังนั้น ณ จุดนี้อนุพันธ์จะเป็นศูนย์ อนันต์ หรือไม่ก็ได้ มีอยู่.

เงื่อนไขนี้จำเป็นแต่ไม่เพียงพอ อนุพันธ์ที่จุด x = a สามารถไปถึงศูนย์ อนันต์ หรือไม่มีอยู่ได้หากไม่มีฟังก์ชันสุดขั้ว ณ จุดนี้

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายของฟังก์ชัน (สูงสุดหรือต่ำสุด) คืออะไร?

เงื่อนไขแรก:

หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นบวกทางด้านซ้ายของ a และเป็นลบทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี สูงสุด

หากอยู่ใกล้จุด x = a มากพอ อนุพันธ์ของ f?(x) เป็นลบทางด้านซ้ายของ a และเป็นบวกทางด้านขวาของ a แล้วที่จุด x = a ฟังก์ชัน f(x) จะมี ขั้นต่ำโดยมีเงื่อนไขว่าฟังก์ชัน f(x) ในที่นี้เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

คุณสามารถใช้เงื่อนไขที่สองที่เพียงพอสำหรับส่วนปลายสุดของฟังก์ชันแทนได้:

ให้ ณ จุด x = a อนุพันธ์อันดับหนึ่ง f?(x) หายไป; ถ้าอนุพันธ์อันดับสอง f??(a) เป็นลบ แสดงว่าฟังก์ชัน f(x) จะมีค่าสูงสุดที่จุด x = a หากเป็นบวก ก็จะมีค่าต่ำสุด

จุดวิกฤตของฟังก์ชันคืออะไร และจะค้นหาได้อย่างไร

นี่คือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันที่ฟังก์ชันมีจุดสิ้นสุด (เช่น สูงสุดหรือต่ำสุด) เพื่อค้นหาสิ่งที่คุณต้องการ หาอนุพันธ์ฟังก์ชัน f?(x) และเมื่อเท่ากับศูนย์ แก้สมการ f?(x) = 0 รากของสมการนี้รวมถึงจุดที่อนุพันธ์ของฟังก์ชันนี้ไม่มีอยู่เป็นจุดวิกฤตเช่นค่าของอาร์กิวเมนต์ที่สามารถมีจุดสุดยอดได้ พวกเขาสามารถระบุได้ง่ายโดยการดู กราฟอนุพันธ์: เราสนใจค่าของการโต้แย้งที่กราฟของฟังก์ชันตัดกับแกน Abscissa (แกน Ox) และค่าที่กราฟประสบความไม่ต่อเนื่อง

เช่น เรามาค้นหากัน ส่วนปลายของพาราโบลา.

ฟังก์ชัน y(x) = 3x2 + 2x - 50

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y?(x) = 6x + 2

แก้สมการ: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

ในกรณีนี้ จุดวิกฤตคือ x0=-1/3 มันขึ้นอยู่กับค่าอาร์กิวเมนต์นี้ที่ฟังก์ชันมี สุดขั้ว- ถึงเขา หาให้แทนที่ตัวเลขที่พบในนิพจน์สำหรับฟังก์ชันแทน "x":

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

วิธีกำหนดค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน เช่น ค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดคืออะไร?

หากเครื่องหมายของอนุพันธ์เมื่อผ่านจุดวิกฤติ x0 เปลี่ยนจาก "บวก" เป็น "ลบ" แล้ว x0 คือ จุดสูงสุด- ถ้าเครื่องหมายของอนุพันธ์เปลี่ยนจากลบเป็นบวก แล้ว x0 คือ จุดต่ำสุด- หากเครื่องหมายไม่เปลี่ยนแปลง เมื่อถึงจุด x0 จะไม่มีทั้งค่าสูงสุดและค่าต่ำสุด

สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา:

เราใช้ค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: x = -1

ที่ x = -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “ลบ”)

ตอนนี้เรารับค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: x = 1

ที่ x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “บวก”)

อย่างที่คุณเห็น อนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากลบเป็นบวกเมื่อผ่านจุดวิกฤติ ซึ่งหมายความว่าที่ค่าวิกฤต x0 เรามีจุดต่ำสุด

ค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน ในช่วงเวลา(บนเซ็กเมนต์) จะถูกพบโดยใช้ขั้นตอนเดียวกัน โดยคำนึงถึงข้อเท็จจริงที่ว่าบางทีจุดวิกฤติไม่ใช่ทั้งหมดจะอยู่ภายในช่วงเวลาที่กำหนดเท่านั้น จุดวิกฤตเหล่านั้นที่อยู่นอกช่วงเวลาจะต้องถูกแยกออกจากการพิจารณา หากมีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียวภายในช่วงเวลา จะมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ในกรณีนี้ เพื่อกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน เรายังคำนึงถึงค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลาด้วย

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

y(x) = 3ซิน(x) - 0.5x

เป็นระยะ:

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

เราแก้สมการ 3cos(x) - 0.5 = 0

คอส(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±อาร์คคอส(0.16667) + 2πk

เราพบจุดวิกฤตในช่วงเวลา [-9; 9]:

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*2 = -11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

x = -อาร์คคอส(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

เราค้นหาค่าของฟังก์ชันตามค่าวิกฤตของอาร์กิวเมนต์:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

จะเห็นได้ว่าในช่วง [-9; 9] ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดที่ x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

และเล็กที่สุด - ที่ x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีจุดวิกฤตเพียงจุดเดียว: x = -4.88 ค่าของฟังก์ชันที่ x = -4.88 เท่ากับ y = 5.398

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลา:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีค่ามากที่สุดของฟังก์ชัน

y = 5.398 ที่ x = -4.88

ค่าน้อยที่สุด -

y = 1.077 ที่ x = -3

จะค้นหาจุดเปลี่ยนของกราฟฟังก์ชันและกำหนดด้านนูนและด้านเว้าได้อย่างไร

ในการค้นหาจุดเปลี่ยนเว้าทั้งหมดของเส้น y = f(x) คุณต้องค้นหาอนุพันธ์อันดับสอง จัดให้มันเป็นศูนย์ (แก้สมการ) และทดสอบค่าทั้งหมดของ x ซึ่งอนุพันธ์อันดับสองเป็นศูนย์ อนันต์หรือไม่มีอยู่จริง เมื่อส่งผ่านค่าใดค่าหนึ่งเหล่านี้ หากอนุพันธ์อันดับสองเปลี่ยนสัญญาณ กราฟของฟังก์ชันจะมีการเปลี่ยนแปลง ณ จุดนี้ ถ้าไม่เปลี่ยนก็ไม่มีโค้งงอ

รากของสมการ f? (x) = 0 รวมถึงจุดที่เป็นไปได้ของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับสอง ให้แบ่งโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันออกเป็นช่วงจำนวนหนึ่ง ความนูนในแต่ละช่วงเวลาถูกกำหนดโดยเครื่องหมายของอนุพันธ์อันดับสอง หากอนุพันธ์อันดับสอง ณ จุดหนึ่งในช่วงเวลาที่กำลังศึกษาเป็นบวก เส้น y = f(x) จะเว้าขึ้น และหากเป็นลบ ก็จะเว้าลง

จะค้นหา extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้อย่างไร?

ในการค้นหาเอ็กซ์ตรีมของฟังก์ชัน f(x,y) ซึ่งหาอนุพันธ์ได้ในโดเมนของข้อกำหนดเฉพาะ คุณจะต้อง:

1) ค้นหาจุดวิกฤตและเพื่อสิ่งนี้ - แก้ระบบสมการ

ฉะ? (x,y) = 0, แล้ว? (x,y) = 0

2) สำหรับแต่ละจุดวิกฤต P0(a;b) ตรวจสอบว่าสัญญาณของความแตกต่างยังคงไม่เปลี่ยนแปลงหรือไม่

สำหรับทุกจุด (x;y) ใกล้กับ P0 เพียงพอ หากความแตกต่างยังคงเป็นบวก จากนั้นที่จุด P0 เรามีค่าต่ำสุด หากเป็นลบ เราก็จะมีค่าสูงสุด หากความแตกต่างไม่คงเครื่องหมายไว้ แสดงว่าไม่มีจุดสิ้นสุดที่จุด P0

ค่าสุดขีดของฟังก์ชันถูกกำหนดในทำนองเดียวกันสำหรับอาร์กิวเมนต์จำนวนมากขึ้น

ในทางปฏิบัติ เป็นเรื่องปกติที่จะใช้อนุพันธ์เพื่อคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน เราทำการดำเนินการนี้เมื่อเราทราบวิธีลดต้นทุน เพิ่มผลกำไร คำนวณภาระการผลิตที่เหมาะสมที่สุด ฯลฯ นั่นคือในกรณีที่เราต้องกำหนดค่าที่เหมาะสมที่สุดของพารามิเตอร์ ในการแก้ปัญหาดังกล่าวอย่างถูกต้อง คุณต้องมีความเข้าใจที่ดีว่าค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดคืออะไร

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

โดยปกติแล้วเราจะกำหนดค่าเหล่านี้ภายในช่วงเวลา x ซึ่งอาจสอดคล้องกับโดเมนทั้งหมดของฟังก์ชันหรือบางส่วน มันอาจเป็นเหมือนส่วน [a; b ] และช่วงเวลาเปิด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), ช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) หรือช่วงเวลาที่ไม่มีที่สิ้นสุด - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

ในเนื้อหานี้ เราจะบอกวิธีคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนดไว้อย่างชัดเจนด้วยตัวแปรหนึ่งตัว y=f(x) y = f (x) .

คำจำกัดความพื้นฐาน

เริ่มต้นด้วยการกำหนดคำจำกัดความพื้นฐานเช่นเคย

คำจำกัดความ 1

ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วง x คือค่า m a x y = f (x 0) x ∈ X ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≤ ฉ (x) ถูกต้อง 0) .

คำจำกัดความ 2

ค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน y = f (x) ในช่วงเวลาหนึ่ง x คือค่า m i n x ∈ X y = f (x 0) ซึ่งสำหรับค่าใดๆ x ∈ X, x ≠ x 0 ทำให้ความไม่เท่าเทียมกัน f(X f (x) ≥ ฉ (x 0) .

คำจำกัดความเหล่านี้ค่อนข้างชัดเจน ที่ง่ายกว่านั้น เราสามารถพูดได้ว่า: ค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันคือค่าที่ใหญ่ที่สุดในช่วงเวลาที่ทราบที่ abscissa x 0 และค่าที่น้อยที่สุดคือค่าที่น้อยที่สุดที่ยอมรับในช่วงเวลาเดียวกันที่ x 0

คำจำกัดความ 3

จุดคงที่คือค่าเหล่านั้นของการโต้แย้งของฟังก์ชันที่อนุพันธ์ของมันกลายเป็น 0

ทำไมเราต้องรู้ว่าจุดคงที่คืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ เราต้องจำทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ จากนั้นจุดที่อยู่นิ่งคือจุดที่ปลายสุดของฟังก์ชันหาอนุพันธ์อยู่ (เช่น ค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดในพื้นที่) ดังนั้นฟังก์ชันจะใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือมากที่สุดในช่วงเวลาหนึ่งอย่างแม่นยำที่จุดใดจุดหนึ่งที่อยู่นิ่ง

ฟังก์ชันยังสามารถรับค่าที่มากที่สุดหรือน้อยที่สุด ณ จุดที่มีการกำหนดฟังก์ชันนั้นเอง และไม่มีอนุพันธ์ลำดับแรกอยู่

คำถามแรกที่เกิดขึ้นเมื่อศึกษาหัวข้อนี้: ในทุกกรณีเราสามารถกำหนดค่าฟังก์ชันที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดในช่วงเวลาที่กำหนดได้หรือไม่? ไม่ เราไม่สามารถทำเช่นนี้ได้เมื่อขอบเขตของช่วงที่กำหนดตรงกับขอบเขตของพื้นที่นิยาม หรือถ้าเรากำลังเผชิญกับช่วงอนันต์ นอกจากนี้ยังเกิดขึ้นที่ฟังก์ชันในส่วนที่กำหนดหรือที่อนันต์จะใช้ค่าที่น้อยหรือใหญ่อย่างไม่สิ้นสุด ในกรณีเหล่านี้ ไม่สามารถระบุค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดได้

จุดเหล่านี้จะชัดเจนขึ้นหลังจากแสดงบนกราฟ:

รูปแรกแสดงให้เราเห็นฟังก์ชันที่รับค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด (m a x y และ m i n y) ที่จุดที่นิ่งซึ่งอยู่บนส่วน [ - 6 ; 6].

ให้เราตรวจสอบรายละเอียดกรณีที่ระบุไว้ในกราฟที่สอง มาเปลี่ยนค่าของเซ็กเมนต์เป็น [ 1 ; 6 ] และเราพบว่าค่าสูงสุดของฟังก์ชันจะได้ที่จุดโดยมี abscissa ที่ขอบเขตด้านขวาของช่วงเวลาและค่าต่ำสุด - ที่จุดที่นิ่ง

ในรูปที่สาม ฝีของจุดแสดงถึงจุดขอบเขตของส่วน [ - 3 ; 2]. สอดคล้องกับค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชันที่กำหนด

ตอนนี้เรามาดูภาพที่สี่กัน ในนั้น ฟังก์ชันจะใช้ m a x y (ค่าที่ใหญ่ที่สุด) และ m i n y (ค่าที่น้อยที่สุด) ที่จุดคงที่ในช่วงเวลาเปิด (- 6 ; 6)

หากเราใช้ช่วงเวลา [ 1 ; 6) จากนั้นเราสามารถพูดได้ว่าค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนนั้นจะบรรลุที่จุดที่นิ่ง เราจะไม่รู้จักคุณค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุด ฟังก์ชันสามารถรับค่าสูงสุดที่ x เท่ากับ 6 ถ้า x = 6 อยู่ในช่วงเวลา นี่เป็นกรณีที่แสดงในกราฟที่ 5

ในกราฟที่ 6 ฟังก์ชันนี้รับค่าที่น้อยที่สุดที่ขอบเขตด้านขวาของช่วง (- 3; 2 ] และเราไม่สามารถสรุปแน่ชัดเกี่ยวกับค่าที่ใหญ่ที่สุดได้

ในรูปที่ 7 เราจะเห็นว่าฟังก์ชันจะมีค่า m x y ที่จุดที่อยู่กับที่โดยมีจุด Abscissa เท่ากับ 1 ฟังก์ชันจะถึงค่าต่ำสุดที่ขอบเขตของช่วงเวลาทางด้านขวา ที่ค่าอนันต์ลบ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ

หากเราใช้ช่วงเวลา x ∈ 2; + ∞ จากนั้นเราจะเห็นว่าฟังก์ชันที่กำหนดจะไม่ใช้ค่าที่น้อยที่สุดหรือใหญ่ที่สุด หาก x มีแนวโน้มเป็น 2 ค่าของฟังก์ชันจะมีแนวโน้มที่จะลบอนันต์เนื่องจากเส้นตรง x = 2 เป็นเส้นกำกับแนวตั้ง ถ้า abscissa มีแนวโน้มที่จะบวกอนันต์ ค่าฟังก์ชันจะเข้าใกล้ y = 3 แบบไม่แสดงกำกับ นี่เป็นกรณีที่แสดงในรูปที่ 8

ในย่อหน้านี้ เราจะนำเสนอลำดับของการกระทำที่ต้องทำเพื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์หนึ่งๆ

ก่อนอื่น เรามาค้นหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันกันก่อน เรามาตรวจสอบว่ากลุ่มที่ระบุในเงื่อนไขรวมอยู่ในนั้นหรือไม่
ทีนี้ลองคำนวณคะแนนที่มีอยู่ในส่วนนี้ซึ่งไม่มีอนุพันธ์ตัวแรกอยู่ ส่วนใหญ่มักพบได้ในฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์เขียนไว้ใต้เครื่องหมายโมดูลัส หรือในฟังก์ชันยกกำลังซึ่งมีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วน
ต่อไปเราจะค้นหาว่าจุดใดจะอยู่นิ่งในส่วนที่กำหนด ในการทำเช่นนี้ คุณต้องคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชัน จากนั้นจัดให้เป็น 0 แล้วแก้สมการผลลัพธ์ จากนั้นเลือกรากที่เหมาะสม หากเราไม่ได้รับจุดคงที่เพียงจุดเดียวหรือไม่ตกอยู่ในส่วนที่กำหนด เราก็ไปยังขั้นตอนต่อไป
เรากำหนดว่าฟังก์ชันจะใช้ค่าใด ณ จุดคงที่ที่กำหนด (ถ้ามี) หรือ ณ จุดที่ไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง (ถ้ามี) หรือเราคำนวณค่าสำหรับ x = a และ x = ข
5. เรามีค่าฟังก์ชันจำนวนหนึ่ง ซึ่งตอนนี้เราต้องเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุด นี่จะเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันที่เราต้องค้นหา

เรามาดูวิธีการใช้อัลกอริทึมนี้อย่างถูกต้องเมื่อแก้ไขปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

เงื่อนไข:ให้ฟังก์ชัน y = x 3 + 4 x 2 กำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดในเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

สารละลาย:

เริ่มต้นด้วยการหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชันที่กำหนด ในกรณีนี้ มันจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมดยกเว้น 0 กล่าวอีกนัยหนึ่ง D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + . ทั้งสองส่วนที่ระบุในเงื่อนไขจะอยู่ภายในพื้นที่คำจำกัดความ

ตอนนี้เราคำนวณอนุพันธ์ของฟังก์ชันตามกฎการแยกเศษส่วน:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x3

เราได้เรียนรู้ว่าอนุพันธ์ของฟังก์ชันจะมีอยู่ที่ทุกจุดของเซ็กเมนต์ [ 1 ; 4 ] และ [ - 4 ; - 1 ] .

ตอนนี้เราจำเป็นต้องกำหนดจุดคงที่ของฟังก์ชัน ลองทำโดยใช้สมการ x 3 - 8 x 3 = 0 มีรากจริงเพียงรากเดียวเท่านั้น ซึ่งก็คือ 2 มันจะเป็นจุดคงที่ของฟังก์ชันและจะตกอยู่ในส่วนแรก [1; 4].

ให้เราคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนแรกและ ณ จุดนี้ นั่นคือ สำหรับ x = 1, x = 2 และ x = 4:

ปี (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 ปี (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 ปี (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

เราพบว่าค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 จะได้ที่ x = 1 และค่า m i n y x ∈ ที่เล็กที่สุด [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 – ที่ x = 2

ส่วนที่สองไม่มีจุดคงที่เพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องคำนวณค่าฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนที่กำหนดเท่านั้น:

ปี (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

นี่หมายถึง m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

คำตอบ:สำหรับส่วน [ 1 ; 4 ] - ม x ย x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 สำหรับเซ็กเมนต์ [ - 4 ; - 1 ] - ม x ย x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , ฉันไม่มี x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = ย (- 4) = - 3 3 4 .

ดูภาพ:

ก่อนที่จะศึกษาวิธีนี้ เราแนะนำให้คุณทบทวนวิธีการคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวและขีดจำกัดที่อนันต์อย่างถูกต้อง รวมถึงเรียนรู้วิธีพื้นฐานในการค้นหา หากต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและ/หรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาเปิดหรืออนันต์ ให้ทำตามขั้นตอนต่อไปนี้ตามลำดับ

ขั้นแรก คุณต้องตรวจสอบว่าช่วงที่กำหนดจะเป็นเซตย่อยของโดเมนของฟังก์ชันที่กำหนดหรือไม่
ให้เราพิจารณาจุดทั้งหมดที่มีอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการและไม่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง โดยปกติจะเกิดขึ้นสำหรับฟังก์ชันที่อาร์กิวเมนต์อยู่ในเครื่องหมายมอดุลัส และสำหรับฟังก์ชันยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังตรรกยะแบบเศษส่วน หากจุดเหล่านี้หายไป คุณสามารถดำเนินการขั้นตอนต่อไปได้
ตอนนี้เรามาดูกันว่าจุดใดที่อยู่นิ่งจะตกภายในช่วงเวลาที่กำหนด ขั้นแรก เราเทียบอนุพันธ์กับ 0 แก้สมการ และเลือกรากที่เหมาะสม ถ้าเราไม่มีจุดหยุดนิ่งจุดเดียวหรือไม่ตกในช่วงเวลาที่กำหนด เราจะดำเนินการต่อไปทันที ถูกกำหนดโดยประเภทของช่วงเวลา

หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; b) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = a และลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) .
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ (a; b ] เราต้องคำนวณค่าของฟังก์ชันที่จุด x = b และลิมิตด้านเดียว lim x → a + 0 f (x)
หากช่วงเวลามีรูปแบบ (a; b) เราต้องคำนวณขีด จำกัด ด้านเดียว lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x)
หากช่วงเวลาอยู่ในรูปแบบ [ a ; + ∞) จากนั้นเราจำเป็นต้องคำนวณค่าที่จุด x = a และลิมิตที่บวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) .
หากช่วงเวลาดูเหมือน (- ∞ ; b ] เราจะคำนวณค่าที่จุด x = b และขีดจำกัดที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞ ; b จากนั้นเราจะพิจารณาลิมิตด้านเดียว lim x → b - 0 f (x) และลิมิตที่ลบอนันต์ lim x → - ∞ f (x)
ถ้า - ∞; + ∞ จากนั้นเราจะพิจารณาขีด จำกัด ของลบและบวกอนันต์ lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x)

ในตอนท้ายคุณต้องสรุปตามค่าฟังก์ชันและขีดจำกัดที่ได้รับ มีตัวเลือกมากมายที่นี่ ดังนั้นหากขีด จำกัด ด้านเดียวเท่ากับลบอนันต์หรือบวกอนันต์ก็ชัดเจนทันทีว่าไม่มีอะไรสามารถพูดเกี่ยวกับค่าที่เล็กที่สุดและใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันได้ ด้านล่างนี้เราจะดูตัวอย่างทั่วไปหนึ่งตัวอย่าง คำอธิบายโดยละเอียดจะช่วยให้คุณเข้าใจว่าอะไรคืออะไร หากจำเป็น คุณสามารถกลับไปที่รูปที่ 4 - 8 ในส่วนแรกของเนื้อหาได้

ตัวอย่างที่ 2

เงื่อนไข: ฟังก์ชันที่กำหนด y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . คำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในช่วงเวลา - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ) .

สารละลาย

ก่อนอื่น เราจะหาโดเมนของนิยามของฟังก์ชัน ตัวส่วนของเศษส่วนประกอบด้วยตรีโกณมิติกำลังสอง ซึ่งไม่ควรเปลี่ยนเป็น 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

เราได้รับโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันซึ่งช่วงเวลาทั้งหมดที่ระบุในเงื่อนไขเป็นสมาชิก

ตอนนี้เรามาแยกความแตกต่างของฟังก์ชันและรับ:

y" = 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 " = 3 จ 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · จ 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

ดังนั้น อนุพันธ์ของฟังก์ชันจึงมีอยู่ตลอดขอบเขตคำจำกัดความของมัน

มาดูการหาจุดคงที่กันดีกว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชันกลายเป็น 0 ที่ x = - 1 2 . นี่คือจุดคงที่ซึ่งอยู่ในช่วงเวลา (- 3 ; 1 ] และ (- 3 ; 2) .

ลองคำนวณค่าของฟังก์ชันที่ x = - 4 สำหรับช่วงเวลา (- ∞ ; - 4 ] รวมถึงขีดจำกัดที่ลบอนันต์:

y (- 4) = 3 อี 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 อี 1 6 - 4 µ - 0 . 456 ลิม x → - ∞ 3 จ 1 x 2 + x - 6 = 3 จ 0 - 4 = - 1

เนื่องจาก 3 e 1 6 - 4 > - 1 หมายความว่า m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 ซึ่งไม่อนุญาตให้เราระบุค่าที่น้อยที่สุดของ ฟังก์ชัน เราสามารถสรุปได้เพียงว่ามีข้อ จำกัด ต่ำกว่า - 1 เนื่องจากเป็นค่านี้ที่ฟังก์ชันเข้าใกล้เชิงเส้นกำกับที่ลบอนันต์

ลักษณะเฉพาะของช่วงที่สองคือไม่มีจุดคงที่จุดเดียวและไม่มีขอบเขตที่เข้มงวดเพียงจุดเดียว ดังนั้นเราจึงไม่สามารถคำนวณค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุดของฟังก์ชันได้ เมื่อกำหนดขีดจำกัดที่ลบอนันต์และอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็น - 3 ทางด้านซ้าย เราจะได้ค่าเพียงช่วงเวลาหนึ่งเท่านั้น:

ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 - 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 จ 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → - ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

ซึ่งหมายความว่าค่าฟังก์ชันจะอยู่ในช่วงเวลา - 1; +

ในการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันในช่วงที่สาม เราจะกำหนดค่าของมันที่จุดคงที่ x = - 1 2 ถ้า x = 1 นอกจากนี้เรายังจำเป็นต้องทราบขีดจำกัดด้านเดียวสำหรับกรณีที่ข้อโต้แย้งมีแนวโน้มที่จะ - 3 ทางด้านขวา:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี 4 25 - 4 data - 1 . 444 ปี (1) = 3 อี 1 1 2 + 1 - 6 - 4 data - 1 . 644 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 จ 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (- 0) - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

ปรากฎว่าฟังก์ชันจะรับค่าสูงสุดที่จุดคงที่ m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 ส่วนค่าที่น้อยที่สุดนั้นเราไม่สามารถระบุได้ ทุกสิ่งที่เรารู้ คือการมีอยู่ของขีดจำกัดล่างถึง - 4

สำหรับช่วงเวลา (- 3 ; 2) ให้นำผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้ามาคำนวณอีกครั้งว่าขีดจำกัดด้านเดียวเท่ากับเท่าใดเมื่อพุ่งไปที่ 2 ทางด้านซ้าย:

y - 1 2 = 3 อี 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 อี - 4 25 - 4 data - 1 . 444 ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 ลิม x → 2 - 0 3 จ 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 จ 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 - 0 - 4 = 3 อี - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

ซึ่งหมายความว่า m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 และไม่สามารถกำหนดค่าที่น้อยที่สุดได้และค่าของฟังก์ชันจะถูกจำกัดจากด้านล่างด้วยตัวเลข - 4 .

จากสิ่งที่เราได้จากการคำนวณสองครั้งก่อนหน้านี้ เราสามารถพูดได้ว่าในช่วงเวลา [ 1 ; 2) ฟังก์ชันจะใช้ค่าที่ใหญ่ที่สุดที่ x = 1 แต่ไม่สามารถหาค่าที่เล็กที่สุดได้

ในช่วงเวลา (2 ; + ∞) ฟังก์ชันจะไม่ถึงค่าที่ใหญ่ที่สุดหรือน้อยที่สุด เช่น จะใช้ค่าจากช่วงเวลา - 1 ; + .

ลิม x → 2 + 0 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = ลิม x → - 3 + 0 3 อี 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 อี 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 อี 1 (+ 0) - 4 = 3 อี + ∞ - 4 = + ∞ ลิม x → + ∞ 3 อี 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 อี 0 - 4 = - 1

เมื่อคำนวณว่าค่าของฟังก์ชันจะเท่ากับเท่าใดที่ x = 4 เราจะพบว่า m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 และฟังก์ชันที่กำหนดที่บวกอนันต์จะเข้าใกล้เส้นตรงเชิงกำกับเชิงกำกับ y = - 1

ลองเปรียบเทียบสิ่งที่เราได้จากการคำนวณแต่ละครั้งกับกราฟของฟังก์ชันที่กำหนด ในรูป เส้นกำกับจะแสดงด้วยเส้นประ

นั่นคือทั้งหมดที่เราต้องการบอกคุณเกี่ยวกับการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชัน ลำดับการกระทำที่เราให้ไว้จะช่วยให้คุณคำนวณที่จำเป็นได้อย่างรวดเร็วและง่ายดายที่สุด แต่โปรดจำไว้ว่ามันมักจะมีประโยชน์ในการค้นหาก่อนว่าฟังก์ชันจะลดลงในช่วงเวลาใดและจะเพิ่มขึ้นเมื่อใด หลังจากนั้นคุณสามารถสรุปเพิ่มเติมได้ วิธีนี้ทำให้คุณสามารถกำหนดค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันได้แม่นยำยิ่งขึ้น และปรับผลลัพธ์ที่ได้รับให้เหมาะสม

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ปลายสุดของฟังก์ชันคือค่าสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน

เงื่อนไขแรก:

จุดวิกฤตของฟังก์ชันคืออะไร และจะค้นหาได้อย่างไร

เช่น เรามาค้นหากัน ส่วนปลายของพาราโบลา.

ฟังก์ชัน y(x) = 3x2 + 2x - 50

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน: y?(x) = 6x + 2

แก้สมการ: y?(x) = 0

6x + 2 = 0, 6x = -2, x = -2/6 = -1/3

y0 = 3*(-1/3)2 + 2*(-1/3) - 50 = 3*1/9 - 2/3 - 50 = 1/3 - 2/3 - 50 = -1/3 - 50 = -50.333.

สำหรับตัวอย่างที่พิจารณา:

เราใช้ค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านซ้ายของจุดวิกฤติ: x = -1

ที่ x = -1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y?(-1) = 6*(-1) + 2 = -6 + 2 = -4 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “ลบ”)

ตอนนี้เรารับค่าอาร์กิวเมนต์ตามอำเภอใจทางด้านขวาของจุดวิกฤติ: x = 1

ที่ x = 1 ค่าของอนุพันธ์จะเป็น y(1) = 6*1 + 2 = 6 + 2 = 8 (นั่นคือ เครื่องหมายคือ “บวก”)

ตัวอย่างเช่น ลองหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

y(x) = 3ซิน(x) - 0.5x

เป็นระยะ:

แล้วอนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ

y?(x) = 3cos(x) - 0.5

เราแก้สมการ 3cos(x) - 0.5 = 0

คอส(x) = 0.5/3 = 0.16667

x = ±อาร์คคอส(0.16667) + 2πk

เราพบจุดวิกฤตในช่วงเวลา [-9; 9]:

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*2 = -11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

x = -อาร์คคอส(0.16667) - 2π*1 = -7.687

x = ส่วนโค้ง (0.16667) - 2π*1 = -4.88

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*0 = -1.403

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*0 = 1.403

x = -อาร์คคอส(0.16667) + 2π*1 = 4.88

x = ส่วนโค้ง (0.16667) + 2π*1 = 7.687

x = -arccos(0.16667) + 2π*2 = 11.163 (ไม่รวมในช่วงเวลา)

เราค้นหาค่าของฟังก์ชันตามค่าวิกฤตของอาร์กิวเมนต์:

y(-7.687) = 3cos(-7.687) - 0.5 = 0.885

y(-4.88) = 3cos(-4.88) - 0.5 = 5.398

y(-1.403) = 3cos(-1.403) - 0.5 = -2.256

y(1.403) = 3cos(1.403) - 0.5 = 2.256

y(4.88) = 3cos(4.88) - 0.5 = -5.398

y(7.687) = 3cos(7.687) - 0.5 = -0.885

จะเห็นได้ว่าในช่วง [-9; 9] ฟังก์ชันมีค่ามากที่สุดที่ x = -4.88:

x = -4.88, y = 5.398,

และเล็กที่สุด - ที่ x = 4.88:

x = 4.88, y = -5.398

ค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของช่วงเวลา:

y(-6) = 3cos(-6) - 0.5 = 3.838

y(-3) = 3cos(-3) - 0.5 = 1.077

ในช่วงเวลา [-6; -3] เรามีค่ามากที่สุดของฟังก์ชัน

y = 5.398 ที่ x = -4.88

ค่าน้อยที่สุด -

y = 1.077 ที่ x = -3

จะค้นหา extrema ของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวได้อย่างไร?

1) ค้นหาจุดวิกฤตและเพื่อสิ่งนี้ - แก้ระบบสมการ

ฉะ? (x,y) = 0, แล้ว? (x,y) = 0

การ์ตูนเรื่อง "Shrek Forever After" เกี่ยวกับอะไร?
การ์ตูน: “Shrek Forever After” ปีที่ออก: 2010 รอบปฐมทัศน์ (รัสเซีย): 20 พฤษภาคม 2010 ประเทศ: สหรัฐอเมริกา ผู้อำนวยการ: Michael Pitchel สคริปต์: Josh Klausner, Darren Lemke ประเภท: ตลกครอบครัว, แฟนตาซี, การผจญภัย เว็บไซต์อย่างเป็นทางการ: www.shrekforeverafter .com พล็อตเรื่องล่อ

เป็นไปได้ไหมที่จะบริจาคเลือดในช่วงมีประจำเดือน?
แพทย์ไม่แนะนำให้บริจาคเลือดในช่วงมีประจำเดือน เพราะ... การสูญเสียเลือดแม้ว่าจะไม่ใช่ในปริมาณที่มีนัยสำคัญ แต่ก็เต็มไปด้วยระดับฮีโมโกลบินที่ลดลงและการเสื่อมสภาพในความเป็นอยู่ที่ดีของผู้หญิง ในระหว่างขั้นตอนการบริจาคโลหิต สถานการณ์สุขภาพของคุณอาจแย่ลงจนกระทั่งมีเลือดออก ดังนั้นผู้หญิงจึงควรงดการบริจาคเลือดในช่วงมีประจำเดือน และแล้วในวันที่ 5 หลังจากเสร็จสิ้น

ในการล้างพื้นใช้กี่กิโลแคลอรี/ชั่วโมง?
ประเภทการออกกำลังกาย การใช้พลังงาน กิโลแคลอรี/ชั่วโมง การทำอาหาร 80 การแต่งตัว 30 การขับรถ 50 การปัดฝุ่น 80 การรับประทานอาหาร 30 การทำสวน 135 การรีดผ้า 45 การทำเตียง 130 การซื้อของ 80 งานประจำ 75 การสับไม้ 300 การซักผ้าพื้น 130 เซ็กซ์ 100-150 การเต้นรำแบบแอโรบิกความเข้มต่ำ

คำว่า "คด" แปลว่าอะไร?
นักต้มตุ๋นคือหัวขโมยที่ทำการลักเล็กขโมยน้อยหรือคนฉลาดแกมโกงซึ่งมีแนวโน้มที่จะใช้อุบายหลอกลวง การยืนยันคำจำกัดความนี้มีอยู่ในพจนานุกรมนิรุกติศาสตร์ของ Krylov ซึ่งคำว่า "นักต้มตุ๋น" มาจากคำว่า "zhal" (ขโมย, นักต้มตุ๋น) ที่เกี่ยวข้องกับคำกริยา &la

เรื่องที่ตีพิมพ์ล่าสุดของพี่น้อง Strugatsky ชื่ออะไร?
เรื่องสั้นโดย Arkady และ Boris Strugatsky "On the Question of Cyclotation" ได้รับการตีพิมพ์ครั้งแรกในเดือนเมษายน 2551 ในกวีนิพนธ์ของนวนิยายเรื่อง "Noon. XXI Century" (ภาคผนวกของนิตยสาร "Around the World" ซึ่งตีพิมพ์ภายใต้กองบรรณาธิการของ Boris สตรูกัตสกี) การตีพิมพ์มีกำหนดเวลาให้ตรงกับวันครบรอบ 75 ปีของ Boris Strugatsky

คุณจะอ่านเรื่องราวจากผู้เข้าร่วมโปรแกรม Work And Travel USA ได้ที่ไหน
Work and Travel USA (การทำงานและการเดินทางในสหรัฐอเมริกา) เป็นโครงการแลกเปลี่ยนนักเรียนยอดนิยม ซึ่งคุณสามารถใช้เวลาช่วงฤดูร้อนในอเมริกา โดยทำงานในภาคบริการและการเดินทางอย่างถูกกฎหมาย ประวัติความเป็นมาของโครงการ Work & Travel รวมอยู่ในโครงการแลกเปลี่ยนระหว่างรัฐบาล Cultural Exchange Pro

หู. ภูมิหลังด้านอาหารและประวัติศาสตร์ เป็นเวลากว่าสองศตวรรษครึ่งที่คำว่า "ukha" ถูกใช้เพื่อเรียกซุปหรือยาต้มปลาสด แต่มีช่วงหนึ่งที่คำนี้ถูกตีความในวงกว้างมากขึ้น มันหมายถึงซุป ไม่ใช่แค่ปลาเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเนื้อสัตว์ ถั่ว และแม้แต่รสหวานด้วย ดังนั้นในเอกสารประวัติศาสตร์ - “

ข้อมูลและการสรรหาพอร์ทัล Superjob.ru - พอร์ทัลการสรรหา Superjob.ru ดำเนินงานในตลาดจัดหางานออนไลน์ของรัสเซียมาตั้งแต่ปี 2000 และเป็นผู้นำในด้านทรัพยากรที่เสนองานและการค้นหาบุคลากร ทุกวัน มีการเพิ่มเรซูเม่ของผู้เชี่ยวชาญมากกว่า 80,000 รายและตำแหน่งงานว่างมากกว่า 10,000 ตำแหน่งในฐานข้อมูลของเว็บไซต์

แรงจูงใจคืออะไร
คำจำกัดความของแรงจูงใจ แรงจูงใจ (จากภาษาละติน moveo - ฉันย้าย) - แรงจูงใจในการดำเนินการ; กระบวนการทางสรีรวิทยาและจิตวิทยาแบบไดนามิกที่ควบคุมพฤติกรรมของมนุษย์ กำหนดทิศทาง องค์กร กิจกรรม และความมั่นคง ความสามารถของบุคคลในการตอบสนองความต้องการของเขาผ่านการทำงาน โมติวัค

บ็อบ ดีแลนคือใคร
Bob Dylan (ภาษาอังกฤษ Bob Dylan ชื่อจริง - Robert Allen Zimmerman English. Robert Allen Zimmerman; เกิด 24 พฤษภาคม พ.ศ. 2484) เป็นนักแต่งเพลงชาวอเมริกันซึ่งตามการสำรวจความคิดเห็นของนิตยสาร Rolling Stone เป็นคนที่สอง (

วิธีการขนส่งพืชในร่ม
หลังจากซื้อพืชในร่มแล้ว คนสวนต้องเผชิญกับภารกิจในการจัดส่งดอกไม้แปลกใหม่ที่ซื้อมาโดยไม่เป็นอันตราย ความรู้เกี่ยวกับกฎพื้นฐานสำหรับการบรรจุและขนส่งพืชในร่มจะช่วยแก้ปัญหานี้ได้ พืชจะต้องได้รับการบรรจุหีบห่อเพื่อที่จะขนส่งหรือขนส่ง ไม่ว่าต้นไม้จะถูกขนส่งในระยะทางที่สั้นแค่ไหน ต้นไม้ก็อาจเสียหาย แห้ง และในช่วงฤดูหนาวได้

จะค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ได้อย่างไร?

สำหรับสิ่งนี้ เราปฏิบัติตามอัลกอริธึมที่รู้จักกันดี:

1 - การค้นหาฟังก์ชัน ODZ

2 - การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3 - การทำให้อนุพันธ์เท่ากับศูนย์

4 - เราค้นหาช่วงเวลาที่อนุพันธ์คงเครื่องหมายไว้และจากนั้นเราจะกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชัน:

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชันคือ 0" title="f^(prime)(x)>0">, то функция !} เพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

ถ้าในช่วงเวลา I อนุพันธ์ของฟังก์ชัน ดังนั้นฟังก์ชัน ลดลงในช่วงเวลานี้

5 - เราพบ จุดสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชัน.

ใน ที่จุดสูงสุดของฟังก์ชัน อนุพันธ์จะเปลี่ยนเครื่องหมายจาก "+" เป็น "-".

ใน จุดต่ำสุดของฟังก์ชันเครื่องหมายการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์จาก "-" เป็น "+".

6 - เราค้นหาค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์

จากนั้นเราจะเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของส่วนและที่จุดสูงสุด และ เลือกค่าที่ใหญ่ที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน
หรือเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ส่วนท้ายของเซ็กเมนต์และที่จุดต่ำสุด และ เลือกค่าที่น้อยที่สุดหากคุณต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชัน

อย่างไรก็ตาม ขึ้นอยู่กับว่าฟังก์ชันทำงานบนเซ็กเมนต์อย่างไร อัลกอริธึมนี้สามารถลดลงได้อย่างมาก

พิจารณาฟังก์ชัน - กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะดังนี้:

ลองดูตัวอย่างการแก้ปัญหาต่างๆ จาก Open Task Bank for

1. งาน B15 (หมายเลข 26695)

บนส่วน.

1. ฟังก์ชันถูกกำหนดไว้สำหรับค่าจริงทั้งหมดของ x

แน่นอนว่าสมการนี้ไม่มีคำตอบ และอนุพันธ์เป็นบวกสำหรับค่าทั้งหมดของ x ดังนั้น ฟังก์ชันจึงเพิ่มขึ้นและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ซึ่งก็คือที่ x=0

คำตอบ: 5.

2 . งาน B15 (หมายเลข 26702)

ค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดของฟังก์ชัน บนส่วน

1. ฟังก์ชัน ODZ title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

อนุพันธ์มีค่าเท่ากับศูนย์ที่ อย่างไรก็ตาม ณ จุดเหล่านี้จะไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย:

ดังนั้น title="3/(cos^2(x))>=3">, значит, title="3/(คอส^2(x))-3>=0">, то есть производная при всех допустимых значених х неотрицательна, следовательно, функция !} เพิ่มและรับค่าสูงสุดที่ด้านขวาสุดของช่วงเวลา ที่

เพื่อให้ชัดเจนว่าเหตุใดอนุพันธ์จึงไม่เปลี่ยนเครื่องหมาย เราจึงแปลงนิพจน์ของอนุพันธ์ดังนี้:

Title="y^(prime)=3/(cos^2(x))-3=(3-3cos^2(x))/(cos^2(x))=(3sin^2 (x))/(cos^2(x))=3tg^2(x)>=0">!}

คำตอบ: 5.

3. งาน B15 (หมายเลข 26708)

ค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์

1. ฟังก์ชัน ODZ: title="x(pi)/2+(pi)k, k(in)(bbZ)">!}

ลองวางรากของสมการนี้บนวงกลมตรีโกณมิติ

ช่วงประกอบด้วยตัวเลขสองตัว: และ

มาติดป้ายกัน. ในการทำเช่นนี้ เราจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ที่จุด x=0: - เมื่อผ่านจุดและสัญญาณการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์

ให้เราพรรณนาถึงการเปลี่ยนแปลงสัญญาณของอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนเส้นพิกัด:

แน่นอนว่าจุดนี้คือจุดต่ำสุด (ซึ่งอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจาก "-" เป็น "+") และหากต้องการค้นหาค่าที่น้อยที่สุดของฟังก์ชันบนเซ็กเมนต์ คุณต้องเปรียบเทียบค่าของฟังก์ชันที่ จุดต่ำสุดและที่ปลายด้านซ้ายของเซ็กเมนต์

คำจำกัดความพื้นฐาน

การคำนวณเงินคงค้างและการหักเงิน

โรงไฟฟ้านิวเคลียร์ไครเมียที่ถูกทิ้งร้าง โรงไฟฟ้านิวเคลียร์ในไครเมีย

ราชาแห่งร็อกแอนด์โรล - เอลวิส เพรสลีย์

หมวดหมู่