Escreva a equação de um plano que passa por 2 pontos. Equações planas: gerais, através de três pontos, normais. Tipo de equação de um plano que cruza três pontos

Deixe os pontos M 1, M 2, M 3 não estarem na mesma linha. Como é sabido, três desses pontos definem exclusivamente um certo plano p (Fig. 199).

Vamos derivar a equação do plano R. Seja M um ponto arbitrário no espaço. Obviamente, o ponto M pertence ao plano R se e somente se os vetores

\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) são coplanares. Uma condição necessária e suficiente para a coplanaridade de três vetores é que seu produto misto seja igual a zero (§ 23*, Teorema 2). Portanto, a equação de um plano que passa por três pontos que não estão na mesma reta pode ser escrita da seguinte forma:

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

Se os pontos M 1, M 2 e M 3 são dados por coordenadas em algum sistema de coordenadas cartesianas retangulares, então a equação (1) pode ser escrita em coordenadas.

Seja M 1 ( x 1 ; sim 1 ; z 1), M 2 ( X 2 ; no 2 ; z 2), M3 ( X 3 ; no 3 ; z 3) - dados pontuais. Vamos denotar as coordenadas de um ponto arbitrário M no plano p por x, você E z. Vamos encontrar as coordenadas dos vetores incluídos na equação (1):

\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( x-x 1 ; e-e 1 ; z - z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( x 2 -x 1 ; sim 2 - sim 1 ; z 2 - z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( x 3 -x 1 ; no 3 - sim 1 ; z 3 - z 1).

O produto misto de três vetores é igual ao determinante de terceira ordem, cujas linhas contêm as coordenadas dos vetores. Portanto, a equação (1) em coordenadas tem a forma

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0\;\; (2)$$

Vamos encontrar a equação de um plano que passa por três pontos A ( A; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; Com), qual A =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. Esses pontos estão nos eixos coordenados (Fig. 200).

Assumindo na equação (2) x 1 = A, no 1 = 0, z 1 = 0, x 2 = 0, no 2 = b, z 2 = 0, x 3 = 0, no 3 = 0, z 3 = Com, Nós temos

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

Expandindo o determinante nos elementos da primeira linha, obtemos a equação

a.C.(x-uma) + acy + abz = 0

bcx + asu + abz = abc,

x / a + sim / b + z / c = 1. (3)

A equação (3) é chamada equação do plano em segmentos, já que os números um, b E Com indique quais segmentos o plano corta nos eixos coordenados.

Tarefa. Escreva a equação do plano que passa pelos pontos M 1 (-1; 4; -1), M 2 (-13; 2; -10), M 3 (6; 0; 12). Simplifique a equação resultante. Obtenha a equação de um determinado plano em segmentos.

A equação (2) neste caso é escrita da seguinte forma:

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

Esta é a equação deste plano. Expandindo o determinante ao longo da primeira linha, obtemos

62(X+ 1) +93(você- 4)+ 62 (z + 1) = 0,

2x + 3sim + 2z - 12 = 0.

Dividindo termo a termo por 12 e movendo o termo livre da equação para o lado direito, obtemos a equação deste plano em segmentos

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

Da equação fica claro que este plano corta segmentos nos eixos coordenados cujos comprimentos são iguais a 6, 4 e 6, respectivamente. Oh cruza o plano em um ponto com uma abscissa negativa, o eixo UO- em um ponto com ordenada positiva, eixo onça- em um ponto com aplicação positiva.

1. Encontre a equação de um plano que passa por um determinado ponto paralelo a dois vetores dados (não colineares)

Observação: 1 maneira . Tomemos um ponto arbitrário do plano M (x, y, z). Os vetores serão coplanares, pois estão localizados em planos paralelos. Portanto, seu produto misto
Escrevendo esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado:

É mais conveniente calcular este determinante expandindo ao longo da primeira linha.

Método 2 . Vetores
paralelo ao plano desejado. Portanto, um vetor igual ao produto vetorial dos vetores
perpendicular a este plano , ou seja
E
. Vetor é um vetor normal do plano . Se
E
, então o vetor é encontrado pela fórmula:

Equação plana encontrar por ponto
e vetor normal

2. Encontre a equação de um plano que passa por dois pontos dados paralelos a um determinado vetor
.(
não colinear).

Observação: 1 maneira. Seja M (x, y, z) um ponto arbitrário no plano. Então os vetores e
estão localizados em planos paralelos, portanto, coplanares, ou seja, seu trabalho misto
Tendo escrito esta condição em coordenadas, obtemos a equação do plano desejado .

Método 2 . O vetor normal ao plano desejado será igual ao produto vetorial dos vetores
, ou seja
ou em coordenadas:

Equação do plano desejado encontrado pelo vetor normal e ponto
(ou ponto
)pela fórmula (2.1.1)

(ver exemplo 1, parágrafo 2.2).

3. Encontre a equação do plano que passa pelo ponto
paralelo ao plano 2x – 6y – 3z +5 =0.

Observação: Vetor normal encontramos na equação geral deste plano 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1).
Vetor perpendicular a um determinado plano, portanto, é perpendicular a qualquer plano paralelo a ele. Vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano desejado. Vamos criar uma equação para o plano desejado com base no ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1, parágrafo 2.2).

Responder:

4. Escreva uma equação para um plano passando por um ponto
perpendicular à linha de intersecção dos planos 2x + y – 2z + 1 =0 e

x + y + z – 5 = 0.

Observação: 1 maneira. Vetores perpendiculares a cada um de seus planos (as coordenadas dos vetores são encontradas a partir das equações gerais dos planos, fórmula (2.2.1)) são perpendiculares à linha de sua intersecção e, portanto, paralelos ao plano desejado. O plano desejado passa pelo ponto
paralelo a dois vetores
(ver tarefa 1 ponto 5).

A equação do plano desejado tem a forma:

Expandindo o determinante de terceira ordem ao longo da primeira linha, obtemos a equação necessária.

Método 2. Vamos criar uma equação do plano baseada em um ponto
e vetor normal de acordo com a fórmula (2.2.1). Vetor normal igual ao produto vetorial de vetores
,aqueles.
Como os vetores
são perpendiculares à linha de intersecção dos planos, então o vetor paralelo à linha de intersecção dos planos e perpendicular ao plano desejado.

Vetores (ver fórmula 2.2.1), então

Vamos criar uma equação do plano baseada em um ponto
e vetor normal

(ver exemplo 1 cláusula 2.2)

Responder:

5. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos
E
perpendicular ao plano 3x – y + 3z +15 = 0.

Observação: 1 maneira. Vamos escrever as coordenadas do vetor normal de um determinado n brilho

3x – y + 3z +15 = 0:
Como os planos são perpendiculares, então o vetor paralelo ao plano desejado Vamos compor a equação do plano desejado
que é paralelo ao vetor e passa pelos pontos
(ver solução para o problema 2, ponto 5; método 1).

Calculando o determinante, obtemos a equação do plano desejado

10x + 15y – 5z – 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

Método 2. Vamos compor a equação do plano desejado por ponto
e o vetor normal
Vetor

Compomos a equação do plano desejado .

10(x – 2) +15(y – 3) – 5(z + 1) = 0;

10x + 15y – 5z – 70 = 0 (ver problema 2, ponto 5; método 2). Divida ambos os lados da equação por 5.

2x + 3y – z – 14 = 0.

Responder: 2x + 3y – z – 14 = 0.

6. Escreva uma equação para um plano passando pelos pontos

E

Observação: Vamos criar uma equação para um plano que passa por três pontos (ver exemplo 1, parágrafo 2.3, fórmula 2.3.1).

Expandindo o determinante, obtemos

Responder:

Comente. Para verificar a exatidão do cálculo do determinante, recomenda-se substituir as coordenadas desses pontos por onde o plano passa na equação resultante. O resultado deverá ser uma identidade; caso contrário, há um erro nos cálculos.

7. Escreva uma equação para um plano passando por um ponto
paralelo ao plano x – 4y + 5z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral de um determinado plano
x – 4y + 5z + 1 = 0 encontre o vetor normal
(fórmula 2.2.1). Vetor perpendicular ao plano desejado
Vamos criar uma equação do plano baseada em um ponto
e vetor normal
(ver exemplo 1; parágrafo 2.2):

x – 4y + 5z + 15 = 0.

Responder: x – 4y + 5z + 15 = 0.

8. Escreva uma equação para um plano passando por um ponto
paralelo aos vetores

Observação: Ver solução do problema 1, ponto 5. Resolvemos o problema utilizando um dos métodos indicados.

Responder: x – y – z – 1 = 0.

9. Escreva uma equação para um plano que passa por um ponto
perpendicular à linha de intersecção dos planos 3x – 2y – z + 1 = 0 e x – y – z = 0.

Observação: Veja a solução do problema 4, ponto 5. Resolvemos o problema utilizando um dos métodos indicados.

Responder: x +2y – z – 8 = 0.

10. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

perpendicular ao plano 3x – y – 4z = 0.

Observação: Veja solução para o problema 5, ponto 5.

Responder: 9x – y +7z – 40 = 0.

11. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos

paralela à reta definida pelos pontos A (5; –2; 3) e B (6; 1; 0).

Observação: O plano desejado é paralelo à linha AB, portanto é paralelo ao vetor
Equação do plano desejado encontramos, como no problema 2 do parágrafo 5 (por um dos métodos).

Responder: 3x – 4y – 3z +4 = 0.

12. O ponto P (2; –1; –2) serve como base de uma perpendicular baixada da origem ao plano. Escreva uma equação para este plano.

Observação: Vetor normal para o plano desejado é o vetor
Vamos encontrar suas coordenadas. P (2; –1; –2) e O(0; 0; 0)

aqueles.
Vamos criar uma equação do plano por ponto e vetor normal
(ver exemplo 1, parágrafo 2.2).

Responder: 2x – y – 2z – 9 = 0.

13. Escreva uma equação para um plano passando por um ponto
paralelo ao plano: a)xoy; b) sim; c) xoz.

Observação: Vetor
– o vetor do eixo unitário oz é perpendicular ao plano xoy, portanto, é perpendicular ao plano desejado
Compomos a equação do plano no ponto A (0; –1; 2) e

= (0; 0; 1), porque
(ver solução para o problema 3, ponto 5).
z – 2 = 0.

Resolvemos os problemas b) ec) de forma semelhante.

b)
Onde
(1; 0; 0).

V)
Onde (0; 1; 0).

y + 1 = 0.

Responder: a) z – 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14. Escreva uma equação para um plano passando pelos pontos
E

B (2; 1; –1) perpendicular ao plano: a) xoy; b) xoz.

Observação: O vetor normal do plano xoy é o vetor

= (0; 0; 1) – vetor unitário do eixo oz. Vamos criar uma equação para um plano passando por dois pontos
e B (2; 1; –1) e perpendicular ao plano tendo um vetor normal
(0; 0; 1), utilizando um dos métodos de resolução do problema 5 do parágrafo 5.
y – 1 = 0.

Da mesma forma para o problema b):
onde = (0; 1; 0).

Responder: a) y – 1 = 0; b) x + z – 1 = 0.

15. Escreva uma equação para um plano passando pelos pontos
E

B (2; 3; –1) paralelo ao eixo oz.

Observação: No eixo oz podemos pegar um vetor unitário = (0; 0; 1). A solução do problema é semelhante à solução do problema 2, ponto 5 (por qualquer método).

Responder: x – y + 1 = 0.

16. Crie uma equação para um plano que passa pelo eixo do boi e pelo ponto

Observação: Avião
passa pelo eixo boi, portanto, pelo ponto O(0; 0; 0). No eixo do boi podemos pegar um vetor unitário = (1; 0; 0). Compomos a equação do plano desejado usando dois pontos UMA(2; –1; 6) e O(0; 0; 0) e o vetor paralelo ao plano. (Ver solução para o problema 2, ponto 5).

Responder: 6y + z = 0.

17. Em que valor de A os planos Ax + 2y – 7z – 1 = 0 e 2x – y + 2z = 0 serão perpendiculares?

Observação: Das equações gerais dos planos

Machado + 2y – 7z – 1 = 0 e
2x – y + 2z = 0 vetores normais

= (A; 2; –7) e
= (2; –1; 2) (2.2.1). Condição para perpendicularidade de dois planos (2.6.1).

Responder: UMA = 8.

18. Em que valor A do plano 2x + 3y – 6z – 23 = 0 e

4x + Ay – 12z + 7 = 0 serão paralelos?

Observação:
2x + 3y – 6z – 23 = 0 e
4x + Ay – 12y + 7 = 0

= (2; 3; –6) e
= (4;A; –12) (2.2.1). Porque
(2.5.1)

Responder: UMA = 6.

19. Encontre o ângulo entre dois planos 2x + y + z + 7 = 0 e x – 2y + 3z = 0.

Observação:
2x + y + z + 7 = 0 e
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) e
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

Responder:

20. Componha equações canônicas de uma reta que passa por um ponto

A (1; 2; –3) paralelo ao vetor =(1; –2; 1).

Observação: Veja a solução para o exemplo do parágrafo 3.1.

Responder:

21. Escreva equações paramétricas para uma reta que passa por um ponto

A (–2; 3; 1) paralelo ao vetor =(3; –1; 2).

Observação: Veja a solução para o exemplo no parágrafo 3.2.

Responder:
.

22. Componha equações canônicas e paramétricas de uma reta que passa pelos pontos A (1; 0; –2) e B (1; 2; –4).

Observação: Veja a solução do exemplo 1 da cláusula 3.3.

Responder: A)
b)

23. Compor equações canônicas e paramétricas de uma reta definida como a interseção de dois planos x – 2y +3z – 4 = 0 e 3x + 2y – 5z – 4 = 0.

Observação: Ver exemplo 1, ponto 3.4. Seja z = 0, então as coordenadas x e y do ponto
encontramos a partir da solução do sistema

Portanto, o ponto
, situado na linha desejada, tem coordenadas

(2; –1; 0). Para encontrar o vetor de direção da linha reta desejada a partir das equações gerais dos planos
x – 2y +3z – 4 = 0 e
3x + 2y – 5z – 4 = 0

encontrar vetores normais =(1; –2; 3) e
=(3; 2; –5).

Encontramos as equações canônicas de uma linha reta de um ponto
(2; –1; 0) e o vetor de direção

(Ver fórmula (3.1.1)).

As equações paramétricas de uma linha reta podem ser encontradas usando a fórmula (3.2.1) ou a partir de equações canônicas:
Nós temos:

Responder:
;
.

24. Através do ponto
(2; –3; –4) desenhe uma linha paralela à linha

.

Observação: Equações canônicas da reta desejada vamos encontrar por ponto
e vetor de direção Porque
então para o vetor de direção direto você pode pegar um vetor de direção reto L. A seguir, veja a solução do problema 23, parágrafo 5 ou exemplo 1, parágrafo 3.4.

Responder:

25. Dados os vértices do triângulo A (–5; 7; 1), B (2; 4; –1) e C (–1; 3; 5). Encontre a equação da mediana do triângulo ABC desenhada a partir do vértice B.

Observação: Encontramos as coordenadas do ponto M a partir da condição AM = MC (BM é a mediana do triângulo ABC).

COM Deixemos as equações canônicas da reta BM para dois pontos B (2; 4; –1) e
(Ver exemplo 1, parágrafo 3.3).

Responder:

26. Componha equações canônicas e paramétricas de uma reta que passa por um ponto
(–1; –2; 2) paralelo ao eixo do boi.

Observação: Vetor
– o vetor unitário axisox é paralelo à linha desejada. Portanto, pode ser tomado como o vetor diretor da linha reta
= (1; 0; 0). Vamos compor as equações de uma reta a partir de um ponto

(–1; –2: 2) e vetor = (1; 0; 0) (ver exemplo, parágrafo 3.1 e exemplo 1, parágrafo 3.2).

Responder:
;

27. Componha equações canônicas de uma reta que passa por um ponto
(3; –2; 4) perpendicular ao plano 5x + 3y – 7z + 1 = 0.

Observação: Da equação geral do plano
5x + 3y – 7z + 1 = 0 encontre o vetor normal = (5; 3; –7). De acordo com a condição, a linha reta exigida
daí o vetor
aqueles. vetor é o vetor de direção da linha L: = (5; 3; –7). Compomos as equações canônicas de uma reta a partir de um ponto
(3; –2; 4) e vetor de direção

= (5; 3; –7). (Ver exemplo ponto 3.1).

Responder:

28. Componha equações paramétricas para uma perpendicular baixada da origem ao plano 4x – y + 2z – 3 = 0.

Observação: Vamos criar uma equação para a perpendicular desejada, ou seja, reta perpendicular ao plano
4x – y + 2z – 3 = 0 e passando pelo ponto O (0; 0; 0). (Veja a solução para o problema 27, parágrafo 5 e exemplo 1, parágrafo 3.2).

Responder:

29. Encontre o ponto de intersecção de uma linha
e aviões

x – 2y + z – 15 = 0.

Observação: Para encontrar o ponto M de intersecção de uma linha

EU:
e aviões

x – 2y + z – 15 = 0, precisamos resolver o sistema de equações:

;

Para resolver o sistema, transformamos as equações canônicas da reta em equações paramétricas. (Ver tarefa 23, parágrafo 5).

Responder:

30. Encontre a projeção do ponto M (4; –3; 1) no plano x + 2y – z – 3 = 0.

Observação: A projeção do ponto M no plano será o ponto P - ponto p intersecção de uma perpendicular largada do ponto M a um plano
e planicidade Vamos compor as equações paramétricas da perpendicular MR (ver solução do problema 28, ponto 5).

Vamos encontrar o ponto P - o ponto de intersecção da reta MR e do plano (Ver solução para o problema 29, ponto 5).

Responder:

31. Encontre a projeção do ponto A(1; 2; 1) na linha

Observação: Projeção do ponto A na linha L:
é pontos B interseção da reta L e do plano
que passa pelo ponto A e é perpendicular à linha L. A partir das equações canônicas da reta L escrevemos o vetor de direção =(3; –1; 2). Avião é perpendicular à linha L, portanto,
Então o vetor pode ser tomado como o vetor normal do plano
= (3; –1; 2). Vamos criar uma equação do plano no ponto A(1; 2; 1) e = (3; –1; 2) (ver exemplo 1, parágrafo 2.2):
3(x – 1) – 1(y – 2) + 2(z – 1) = 0

3x – y + 2z – 3 = 0. Encontre o ponto B da intersecção de uma linha reta e um plano (ver problema 29, parágrafo 5):

Responder:

32. Através do ponto M (3; –1; 0) desenhe uma linha reta paralela a dois planos x – y + z – 3 = 0 e x + y + 2z – 3 = 0.

Observação: Aviões
x – y + z – 3 = 0 e
x + y + 2z – 3 = 0 não são paralelos, porque condição (2.5.1) não for atendida:
Aviões
cruzar. A linha reta necessária L, paralela aos planos
paralelo à linha de intersecção desses planos. (Ver solução para os problemas 24 e 23, parágrafo 5).

Responder:

33. Escreva uma equação para um plano que passa por duas retas

Observação:1 maneira. Vamos compor a equação do plano desejado por ponto
, deitado em linha reta , e o vetor normal . Vetor será igual ao produto vetorial dos vetores de direção das retas
, que encontramos nas equações canônicas das retas
(fórmula 3.1.1): = (7; 3; 5) e

= (5; 5; –3)

Coordenadas de ponto
encontramos a partir das equações canônicas da linha reta

Compomos a equação do plano por ponto
e o vetor normal =(–34; 46; 20) (ver exemplo 1, parágrafo 2.2)
17x – 23y – 10z + 36 = 0.

Método 2. Encontrando vetores de direção = (7; 3; 5) e = (5; 5; –3) das equações canônicas de retas
Ponto final
(0; 2; –1) é encontrado a partir da equação

. Vamos pegar um ponto arbitrário no plano

M(x;y;z). Vetores
– são coplanares, portanto,
A partir desta condição obtemos a equação do plano:

Responder: 17x – 23y – 10z +36 = 0.

34. Escreva uma equação para um plano passando por um ponto
(2; 0; 1) e linha reta

Observação: Vamos ter certeza, antes de tudo, de que o ponto
nesta linha reta cerca:
Ponto final
e vetor de direção encontramos a partir das equações canônicas da linha reta
:
(1; –1; –1) e

= (1; 2; –1). Vetor normal do plano desejado
Encontramos as coordenadas do vetor normal, conhecendo as coordenadas =(1; 2; –1) e

= (1; 1; 2):

Compomos a equação de um plano a partir de um ponto
(2; 0; 1) e vetor normal = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

Responder: 5x – 3y – z – 9 = 0.

Pode ser especificado de diferentes maneiras (um ponto e um vetor, dois pontos e um vetor, três pontos, etc.). É com isso em mente que a equação plana pode ter diferentes formas. Além disso, sujeito a certas condições, os planos podem ser paralelos, perpendiculares, que se cruzam, etc. Falaremos sobre isso neste artigo. Aprenderemos como criar uma equação geral do plano e muito mais.

Forma normal da equação

Digamos que exista um espaço R 3 que possui um sistema de coordenadas XYZ retangular. Vamos definir o vetor α, que será liberado do ponto inicial O. Através do final do vetor α traçamos um plano P, que será perpendicular a ele.

Vamos denotar um ponto arbitrário em P como Q = (x, y, z). Vamos assinar o vetor raio do ponto Q com a letra p. Neste caso, o comprimento do vetor α é igual a р=IαI e Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Este é um vetor unitário direcionado para o lado, como o vetor α. α, β e γ são os ângulos formados entre o vetor Ʋ e as direções positivas dos eixos espaciais x, y, z, respectivamente. A projeção de qualquer ponto QϵП no vetor Ʋ é um valor constante igual a p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

A equação acima faz sentido quando p = 0. A única coisa é que o plano P neste caso cruzará o ponto O (α=0), que é a origem das coordenadas, e o vetor unitário Ʋ liberado do ponto O será perpendicular a P, apesar de sua direção, que significa que o vetor Ʋ é determinado com precisão de sinal. A equação anterior é a equação do nosso plano P, expressa em forma vetorial. Mas em coordenadas ficará assim:

P aqui é maior ou igual a 0. Encontramos a equação do plano no espaço na forma normal.

Equação geral

Se multiplicarmos a equação em coordenadas por qualquer número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente a esta, definindo esse mesmo plano. Isso parecerá assim:

Aqui A, B, C são números simultaneamente diferentes de zero. Esta equação é chamada de equação geral do plano.

Equações de planos. Casos especiais

A equação na forma geral pode ser modificada na presença de condições adicionais. Vejamos alguns deles.

Suponhamos que o coeficiente A seja 0. Isso significa que este plano é paralelo ao eixo do Boi dado. Neste caso, a forma da equação mudará: Ву+Cz+D=0.

Da mesma forma, a forma da equação mudará nas seguintes condições:

• Primeiramente, se B = 0, então a equação mudará para Ax + Cz + D = 0, o que indicará paralelismo com o eixo Oy.
• Em segundo lugar, se C=0, então a equação será transformada em Ax+By+D=0, o que indicará paralelismo com o eixo Oz dado.
• Terceiro, se D=0, a equação será semelhante a Ax+By+Cz=0, o que significa que o plano intercepta O (a origem).
• Quarto, se A=B=0, então a equação mudará para Cz+D=0, que será paralela a Oxy.
• Em quinto lugar, se B=C=0, então a equação torna-se Ax+D=0, o que significa que o plano para Oyz é paralelo.
• Sexto, se A=C=0, então a equação assumirá a forma Ву+D=0, ou seja, reportará paralelismo a Oxz.

Tipo de equação em segmentos

No caso em que os números A, B, C, D são diferentes de zero, a forma da equação (0) pode ser a seguinte:

x/uma + y/b + z/c = 1,

em que a = -D/A, b = -D/B, c = -D/C.

Obtemos como resultado. É importante notar que este plano cruzará o eixo do Boi em um ponto com coordenadas (a,0,0), Oy - (0,b,0) e Oz - (0,0,c ).

Levando em consideração a equação x/a + y/b + z/c = 1, não é difícil imaginar visualmente o posicionamento do plano em relação a um determinado sistema de coordenadas.

Coordenadas vetoriais normais

O vetor normal n ao plano P possui coordenadas que são coeficientes da equação geral deste plano, ou seja, n (A, B, C).

Para determinar as coordenadas da normal n, basta conhecer a equação geral de um determinado plano.

Ao usar uma equação em segmentos, que tem a forma x/a + y/b + z/c = 1, bem como ao usar uma equação geral, você pode escrever as coordenadas de qualquer vetor normal de um determinado plano: (1 /a + 1/b + 1/ Com).

Vale a pena notar que o vetor normal ajuda a resolver vários problemas. Os mais comuns incluem problemas que envolvem comprovar a perpendicularidade ou paralelismo de planos, problemas de encontrar ângulos entre planos ou ângulos entre planos e retas.

Tipo de equação plana de acordo com as coordenadas do ponto e vetor normal

Um vetor diferente de zero n perpendicular a um determinado plano é chamado normal para um determinado plano.

Suponhamos que no espaço de coordenadas (sistema de coordenadas retangulares) Oxyz sejam dados:

• ponto Mₒ com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ);
• vetor zero n=A*i+B*j+C*k.

É necessário criar uma equação para um plano que passará pelo ponto Mₒ perpendicular à normal n.

Escolhemos qualquer ponto arbitrário no espaço e o denotamos como M (x y, z). Seja o vetor raio de qualquer ponto M (x,y,z) r=x*i+y*j+z*k, e o vetor raio do ponto Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* eu+yₒ *j+zₒ*k. O ponto M pertencerá a um determinado plano se o vetor MₒM for perpendicular ao vetor n. Vamos escrever a condição de ortogonalidade usando o produto escalar:

[MₒM, n] = 0.

Como MₒM = rrₒ, a equação vetorial do plano será semelhante a esta:

Esta equação pode ter outra forma. Para isso, são utilizadas as propriedades do produto escalar e o lado esquerdo da equação é transformado. = - . Se denotarmos como c, obtemos a seguinte equação: - c = 0 ou = c, que expressa a constância das projeções no vetor normal dos vetores de raio de determinados pontos que pertencem ao plano.

Agora podemos obter a forma de coordenadas para escrever a equação vetorial do nosso plano = 0. Como r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, e n = A*i+B *j+С*k, temos:

Acontece que temos uma equação para um plano que passa por um ponto perpendicular à normal n:

A*(x- xₒ)+B*(y- yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Tipo de equação do plano segundo as coordenadas de dois pontos e um vetor colinear ao plano

Vamos definir dois pontos arbitrários M′ (x′,y′,z′) e M″ (x″,y″,z″), bem como um vetor a (a′,a″,a‴).

Agora podemos criar uma equação para um determinado plano que passará pelos pontos existentes M′ e M″, bem como por qualquer ponto M com coordenadas (x, y, z) paralelas ao vetor a fornecido.

Neste caso, os vetores M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) e M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) devem ser coplanares com o vetor a=(a′,a″,a‴), o que significa que (M′M, M″M, a)=0.

Então, nossa equação plana no espaço ficará assim:

Tipo de equação de um plano que cruza três pontos

Digamos que temos três pontos: (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), que não pertencem à mesma reta. É necessário escrever a equação de um plano que passa por três pontos dados. A teoria da geometria afirma que este tipo de plano realmente existe, mas é o único e único. Como este plano intercepta o ponto (x′,y′,z′), a forma de sua equação será a seguinte:

Aqui A, B, C são diferentes de zero ao mesmo tempo. Além disso, o plano dado intercepta mais dois pontos: (x″,y″,z″) e (x‴,y‴,z‴). A este respeito, as seguintes condições devem ser atendidas:

Agora podemos criar um sistema homogêneo com incógnitas u, v, w:

No nosso caso, x, y ou z é um ponto arbitrário que satisfaz a equação (1). Dada a equação (1) e o sistema de equações (2) e (3), o sistema de equações indicado na figura acima é satisfeito pelo vetor N (A,B,C), que não é trivial. É por isso que o determinante deste sistema é igual a zero.

A equação (1) que obtivemos é a equação do plano. Ele passa exatamente por 3 pontos e isso é fácil de verificar. Para fazer isso, precisamos de expandir o nosso determinante nos elementos da primeira linha. Das propriedades existentes do determinante segue-se que nosso plano intercepta simultaneamente três pontos inicialmente dados (x′,y′,z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Ou seja, resolvemos a tarefa que nos foi atribuída.

Ângulo diédrico entre planos

Um ângulo diédrico é uma figura geométrica espacial formada por dois semiplanos que emanam de uma linha reta. Em outras palavras, esta é a parte do espaço limitada por esses semiplanos.

Digamos que temos dois planos com as seguintes equações:

Sabemos que os vetores N=(A,B,C) e N¹=(A¹,B¹,C¹) são perpendiculares aos planos dados. Nesse sentido, o ângulo φ entre os vetores N e N¹ é igual ao ângulo (diédrico) que se localiza entre esses planos. O produto escalar tem a forma:

NN¹=|N||N¹|cosφ,

precisamente porque

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Basta levar em conta que 0≤φ≤π.

Na verdade, dois planos que se cruzam formam dois ângulos (diédrico): φ 1 e φ 2. Sua soma é igual a π (φ 1 + φ 2 = π). Quanto aos seus cossenos, seus valores absolutos são iguais, mas diferem em sinal, ou seja, cos φ 1 = -cos φ 2. Se na equação (0) substituirmos A, B e C pelos números -A, -B e -C, respectivamente, então a equação que obtivermos determinará o mesmo plano, o único, o ângulo φ na equação cos φ=NN 1 /|N||N 1 | será substituído por π-φ.

Equação de um plano perpendicular

Os planos entre os quais o ângulo é de 90 graus são chamados de perpendiculares. Utilizando o material apresentado acima, podemos encontrar a equação de um plano perpendicular a outro. Digamos que temos dois planos: Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Podemos dizer que serão perpendiculares se cosφ=0. Isso significa que NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Equação do plano paralelo

Dois planos que não contêm pontos comuns são chamados de paralelos.

A condição (suas equações são as mesmas do parágrafo anterior) é que os vetores N e N¹, que são perpendiculares a eles, sejam colineares. Isto significa que as seguintes condições de proporcionalidade são satisfeitas:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Se as condições de proporcionalidade forem estendidas - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

isso indica que esses planos coincidem. Isso significa que as equações Ax+By+Cz+D=0 e A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 descrevem um plano.

Distância ao plano do ponto

Digamos que temos um plano P, que é dado pela equação (0). É necessário encontrar a distância até ele de um ponto com coordenadas (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. Para fazer isso, você precisa trazer a equação do plano P à forma normal:

(ρ,v)=р (р≥0).

Neste caso, ρ (x,y,z) é o vetor raio do nosso ponto Q localizado em P, p é o comprimento da perpendicular P que foi liberada do ponto zero, v é o vetor unitário, que está localizado em a direção A.

A diferença do vetor raio ρ-ρº de algum ponto Q = (x, y, z), pertencente a P, bem como o vetor raio de um determinado ponto Q 0 = (xₒ, уₒ, zₒ) é tal vetor, o valor absoluto cuja projeção em v é igual à distância d que precisa ser encontrada de Q 0 = (xₒ,уₒ,zₒ) a P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, mas

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Então acontece

d=|(ρ 0 ,v)-р|.

Assim, encontraremos o valor absoluto da expressão resultante, ou seja, o d desejado.

Usando a linguagem de parâmetros, obtemos o óbvio:

d=|Ахₒ+Вуₒ+Czₒ|/√(А²+В²+С²).

Se um determinado ponto Q 0 está do outro lado do plano P, como a origem das coordenadas, então entre o vetor ρ-ρ 0 e v existe, portanto:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-р>0.

No caso em que o ponto Q 0, juntamente com a origem das coordenadas, está localizado no mesmo lado de P, então o ângulo criado é agudo, ou seja:

d=(ρ-ρ 0 ,v)=р - (ρ 0 , v)>0.

Como resultado, verifica-se que no primeiro caso (ρ 0 ,v)>р, no segundo (ρ 0 ,v)<р.

Plano tangente e sua equação

O plano tangente à superfície no ponto de contato Mº é um plano que contém todas as tangentes possíveis às curvas traçadas através deste ponto na superfície.

Com este tipo de equação de superfície F(x,y,z)=0, a equação do plano tangente no ponto tangente Mº(xº,yº,zº) ficará assim:

F x (xº,yº,zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y- yº)+ F x (xº, yº,zº)(z-zº)=0.

Se você especificar a superfície na forma explícita z=f (x,y), então o plano tangente será descrito pela equação:

z-zº =f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y- yº).

Interseção de dois planos

No sistema de coordenadas (retangular) Oxyz está localizado, são dados dois planos П′ e П″, que se cruzam e não coincidem. Como qualquer plano localizado em um sistema de coordenadas retangular é determinado por uma equação geral, assumiremos que P′ e P″ são dados pelas equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x +B″y+ С″z+D″=0. Neste caso, temos o normal n′ (A′,B′,C′) do plano P′ e o normal n″ (A″,B″,C″) do plano P″. Como os nossos planos não são paralelos e não coincidem, estes vetores não são colineares. Usando a linguagem da matemática, podemos escrever esta condição da seguinte forma: n′≠ n″ ↔ (A′,B′,C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. Deixe a linha reta que fica na intersecção de P′ e P″ ser denotada pela letra a, neste caso a = P′ ∩ P″.

a é uma linha reta que consiste no conjunto de todos os pontos dos planos (comuns) P′ e P″. Isso significa que as coordenadas de qualquer ponto pertencente à reta a devem satisfazer simultaneamente as equações A′x+B′y+C′z+D′=0 e A″x+B″y+C″z+D″=0 . Isso significa que as coordenadas do ponto serão uma solução parcial do seguinte sistema de equações:

Como resultado, verifica-se que a solução (geral) deste sistema de equações determinará as coordenadas de cada um dos pontos da reta, que atuará como ponto de intersecção de P′ e P″, e determinará a reta a no sistema de coordenadas Oxyz (retangular) no espaço.

Para que um único plano seja traçado através de três pontos quaisquer no espaço, é necessário que esses pontos não estejam na mesma linha reta.

Considere os pontos M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2), M 3 (x 3, y 3, z 3) no sistema de coordenadas cartesianas geral.

Para que um ponto arbitrário M(x, y, z) esteja no mesmo plano dos pontos M 1, M 2, M 3, é necessário que os vetores sejam coplanares.

(
) = 0

Por isso,

Equação de um plano passando por três pontos:

Equação de um plano dados dois pontos e um vetor colinear ao plano.

Sejam dados os pontos M 1 (x 1,y 1,z 1),M 2 (x 2,y 2,z 2) e o vetor
.

Vamos criar uma equação para um plano passando pelos pontos dados M 1 e M 2 e um ponto arbitrário M (x, y, z) paralelo ao vetor .

Vetores
e vetor
deve ser coplanar, ou seja,

(
) = 0

Equação plana:

Equação de um plano usando um ponto e dois vetores,

colinear ao plano.

Sejam dados dois vetores
E
, planos colineares. Então, para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, os vetores
deve ser coplanar.

Equação plana:

Equação de um plano por ponto e vetor normal .

Teorema. Se um ponto M é dado no espaço 0 (X 0 , sim 0 , z 0 ), então a equação do plano que passa pelo ponto M 0 perpendicular ao vetor normal (A, B, C) tem a forma:

A(x – x 0 ) + B(sim – sim 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Prova. Para um ponto arbitrário M(x, y, z) pertencente ao plano, compomos um vetor. Porque vetor é o vetor normal, então é perpendicular ao plano e, portanto, perpendicular ao vetor
. Então o produto escalar

= 0

Assim, obtemos a equação do plano

O teorema foi provado.

Equação de um plano em segmentos.

Se na equação geral Ax + Bi + Cz + D = 0 dividimos ambos os lados por (-D)

,

substituindo
, obtemos a equação do plano em segmentos:

Os números a, b, c são os pontos de intersecção do plano com os eixos x, y, z, respectivamente.

Equação de um plano em forma vetorial.

Onde

- vetor raio do ponto atual M(x, y, z),

Um vetor unitário que tem a direção de uma perpendicular lançada em um plano a partir da origem.

,  e  são os ângulos formados por este vetor com os eixos x, y, z.

p é o comprimento desta perpendicular.

Em coordenadas, esta equação se parece com:

xcos + ycos + zcos - p = 0.

Distância de um ponto a um plano.

A distância de um ponto arbitrário M 0 (x 0, y 0, z 0) ao plano Ax+By+Cz+D=0 é:

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4; -3; 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Então A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13, usamos a fórmula:

UMA(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

Exemplo. Encontre a equação de um plano passando por dois pontos P(2; 0; -1) e

Q(1; -1; 3) perpendicular ao plano 3x + 2y – z + 5 = 0.

Vetor normal ao plano 3x + 2y – z + 5 = 0
paralelo ao plano desejado.

Nós temos:

Exemplo. Encontre a equação do plano que passa pelos pontos A(2, -1, 4) e

B(3, 2, -1) perpendicular ao plano X + no + 2z – 3 = 0.

A equação necessária do plano tem a forma: A x+B sim+C z+ D = 0, vetor normal a este plano (A, B, C). Vetor
(1, 3, -5) pertence ao plano. O plano que nos é dado, perpendicular ao desejado, tem um vetor normal (1, 1, 2). Porque os pontos A e B pertencem a ambos os planos, e os planos são mutuamente perpendiculares, então

Então o vetor normal (11, -7, -2). Porque o ponto A pertence ao plano desejado, então suas coordenadas devem satisfazer a equação deste plano, ou seja, 112 + 71 - 24 +D= 0;D= -21.

No total, obtemos a equação do plano: 11 x - 7sim – 2z – 21 = 0.

Exemplo. Encontre a equação do plano, sabendo que o ponto P(4, -3, 12) é a base da perpendicular baixada da origem até este plano.

Encontrando as coordenadas do vetor normal
= (4, -3, 12). A equação necessária do plano tem a forma: 4 x – 3sim + 12z+ D = 0. Para encontrar o coeficiente D, substituímos as coordenadas do ponto P na equação:

16 + 9 + 144 + D = 0

No total, obtemos a equação necessária: 4 x – 3sim + 12z – 169 = 0

Exemplo. Dadas as coordenadas dos vértices da pirâmide A 1 (1; 0; 3), A 2 (2; -1; 3), A 3 (2; 1; 1),

Encontre o comprimento da aresta A 1 A 2.

Encontre o ângulo entre as arestas A 1 A 2 e A 1 A 4.

Encontre o ângulo entre a aresta A 1 A 4 e a face A 1 A 2 A 3.

Primeiro encontramos o vetor normal à face A 1 A 2 A 3 como um produto vetorial de vetores
E
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

Vamos encontrar o ângulo entre o vetor normal e o vetor
.

-4 – 4 = -8.

O ângulo desejado  entre o vetor e o plano será igual a  = 90 0 - .

Encontre a área da face A 1 A 2 A 3.

Encontre o volume da pirâmide.

Encontre a equação do plano A 1 A 2 A 3.

Vamos usar a fórmula da equação de um plano que passa por três pontos.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

Ao usar a versão para computador “ Curso superior de matemática”você pode executar um programa que resolverá o exemplo acima para quaisquer coordenadas dos vértices da pirâmide.

Para iniciar o programa, clique duas vezes no ícone:

Na janela do programa que se abre, insira as coordenadas dos vértices da pirâmide e pressione Enter. Desta forma, todos os pontos de decisão podem ser obtidos um por um.

Nota: Para executar o programa, o programa Maple ( Waterloo Maple Inc.) de qualquer versão, começando com MapleV Release 4, deve estar instalado em seu computador.

Para determinar o paralelismo e a perpendicularidade dos planos, bem como para calcular as distâncias entre esses objetos geométricos, é conveniente utilizar um ou outro tipo de funções numéricas. Para quais problemas é conveniente usar a equação plana em segmentos? Neste artigo veremos o que é e como utilizá-lo em tarefas práticas.

O que é uma equação linear?

Um plano pode ser definido no espaço tridimensional de diversas maneiras. Neste artigo, alguns deles serão apresentados na resolução de problemas de diversos tipos. Aqui daremos uma descrição detalhada da equação em segmentos do plano. Em geral, tem o seguinte formato:

Onde os símbolos p, q, r denotam alguns números específicos. Esta equação pode ser facilmente traduzida em uma expressão geral e outras formas de funções numéricas para o plano.

A conveniência de escrever uma equação em segmentos é que ela contém coordenadas explícitas da intersecção do plano com os eixos coordenados perpendiculares. No eixo x em relação à origem das coordenadas, o plano corta um segmento de comprimento p, no eixo y - igual a q, em z - com comprimento r.

Se alguma das três variáveis ​​​​não estiver contida na equação, isso significa que o plano não passa pelo eixo correspondente (os matemáticos dizem que ele se cruza no infinito).

Relação entre o geral e os segmentos das equações

Sabe-se que o plano é dado pela seguinte igualdade:

2*x - 3*y + z - 6 = 0.

É necessário escrever esta equação geral do plano em segmentos.

Quando surge um problema semelhante, você precisa seguir esta técnica: mover o termo livre para o lado direito da igualdade. A seguir dividimos toda a equação por este termo, tentando expressá-la na forma dada no parágrafo anterior. Nós temos:

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

Obtivemos em segmentos a equação do plano, inicialmente dada de forma geral. É perceptível que o plano corta segmentos com comprimentos 3, 2 e 6 para os eixos x, y e z, respectivamente. O eixo y intercepta o plano na região de coordenadas negativas.

Ao compor uma equação em segmentos, é importante que todas as variáveis ​​sejam precedidas de um sinal “+”. Somente neste caso, o número pelo qual esta variável é dividida mostrará a coordenada cortada no eixo.

Vetor normal e ponto no plano

Sabe-se que algum plano possui (3; 0; -1). Sabe-se também que passa pelo ponto (1; 1; 1). Você deve escrever uma equação em segmentos para este plano.

Para resolver este problema, você deve primeiro usar uma forma geral para este objeto geométrico bidimensional. A forma geral é escrita como:

A*x + B*y + C*z + D = 0.

Os três primeiros coeficientes são aqui as coordenadas do vetor guia, que é especificado na definição do problema, ou seja:

Resta encontrar o termo livre D. Ele pode ser determinado usando a seguinte fórmula:

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1).

Onde os valores das coordenadas com índice 1 correspondem às coordenadas de um ponto pertencente ao plano. Substituímos seus valores nas condições do problema, obtemos:

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

Agora podemos escrever a equação por extenso:

A técnica de conversão desta expressão em uma equação em segmentos planos já foi demonstrada acima. Vamos aplicá-lo:

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

A resposta para o problema foi recebida. Observe que este plano intercepta apenas os eixos x e z. Para y é paralelo.

Duas linhas retas definindo um plano

A partir de um curso de geometria espacial, todo aluno sabe que duas linhas retas arbitrárias definem de forma única um plano no espaço tridimensional. Vamos resolver um problema semelhante.

Existem duas equações de linha conhecidas:

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1).

É necessário escrever em segmentos a equação do plano que passa por essas retas.

Como ambas as retas devem estar no plano, isso significa que seus vetores (diretores) devem ser perpendiculares ao vetor (diretor) do plano. Ao mesmo tempo, sabe-se que o produto vetorial de dois segmentos direcionados arbitrários dá o resultado na forma das coordenadas do terceiro, perpendiculares aos dois originais. Levando em consideração esta propriedade, obtemos as coordenadas do vetor normal ao plano desejado:

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

Como pode ser multiplicado por um número arbitrário, neste caso forma-se um novo segmento direcionado, paralelo ao original, então o sinal das coordenadas obtidas pode ser substituído pelo oposto (multiplicado por -1), obtemos:

Conhecemos o vetor de direção. Resta pegar um ponto arbitrário em uma das retas e compor uma equação geral do plano:

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0.

Traduzindo essa igualdade em uma expressão em segmentos, obtemos:

x + 2*y + z = 1 =>

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

Assim, o plano intercepta todos os três eixos na região positiva do sistema de coordenadas.

Assim como duas linhas retas, três pontos definem um plano exclusivamente no espaço tridimensional. Vamos escrever a equação correspondente em segmentos se as seguintes coordenadas dos pontos situados no plano forem conhecidas:

Procedamos da seguinte forma: calcule as coordenadas de dois vetores arbitrários conectando esses pontos e, a seguir, encontre o vetor n¯ normal ao plano calculando o produto dos segmentos direcionados encontrados. Nós temos:

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6).

Tomemos o ponto P como exemplo e criemos uma equação para o plano:

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 ou z = 0.

Temos uma expressão simples que corresponde ao plano xy em um determinado sistema de coordenadas retangulares. Não pode ser escrito em segmentos, pois os eixos xey pertencem ao plano, e o comprimento do segmento cortado no eixo z é zero (o ponto (0; 0; 0) pertence ao plano).