Definitie van een bal. Bol, bal, segment en sector. Formules en eigenschappen van de bol. Raaklijn, raakvlak aan een bol en hun eigenschappen

Bal (bol)

Bolvormig oppervlak. Bal (bol). Kogelsecties: cirkels.

De stelling van Archimedes. Delen van de bal: bolvormig segment,

bolvormige laag, bolvormige riem, bolvormige sector.

Bolvormig oppervlak - Dit plaats van punten(die. veelaantal van alle punten)in de ruimte, op gelijke afstand van één punt O , dat het midden van het bolvormige oppervlak wordt genoemd (Afb.90). Straal AOi diameter AB worden op dezelfde manier bepaald als in een cirkel.

Bal (bol) - Dit een lichaam begrensd door een bolvormig oppervlak. Kan verkrijg de bal door de halve cirkel te draaien ( of cirkel ) rond de diameter. Alle vlakke delen van de bal zijn dat cirkels ( Afb.90 ). De grootste cirkel ligt in een gedeelte dat door het midden van de bal gaat en wordt genoemd grote cirkel. De straal is gelijk aan de straal van de bal. Elke twee grote cirkels snijden elkaar langs de diameter van de bal ( AB, afb. 91 ).Deze diameter is ook de diameter van snijdende grote cirkels. Door twee punten van een bolvormig oppervlak aan de uiteinden met dezelfde diameter(A en B, afb. 91 ), kun je talloze grote cirkels tekenen. Er kunnen bijvoorbeeld een oneindig aantal meridianen door de polen van de aarde worden getrokken.

Het volume van de bol is anderhalf keer kleiner dan het volume van de cilinder eromheen. (Afb.92 ), A het oppervlak van de bal is anderhalf keer kleiner dan het totale oppervlak van dezelfde cilinder ( De stelling van Archimedes):

Hier S bal En V bal - respectievelijk het oppervlak en het volume van de bal;

S cil En V cil - het totale oppervlak en volume van de omgeschreven cilinder.

Delen van de bal. Deel van een bal (bol) ), ervan afgesneden door een vlak ( ABC, afb. 93), genaamd bal(bolvormig ) segment. Cirkel ABC genaamd basis bal segment. Lijnstuk MN loodrecht vanuit het midden getrokken N-cirkel ABC totdat het een bolvormig oppervlak kruist, wordt genoemd hoogte bal segment. Punt M genaamd bovenkant bal segment.

Deel van een bol, ingesloten tussen twee evenwijdige vlakken ABC en DEF kruisen een bolvormig oppervlak (Fig. 93), genaamd bolvormige laag; het gebogen oppervlak van een bolvormige laag wordt genoemd bal riem(zone). Cirkels ABC en DEF – gronden bal riem. Afstand N.K. tussen de basis van de bolvormige riem - zijn hoogte. Het deel van de bal dat wordt begrensd door het gebogen oppervlak van een bolvormig segment ( AMCB, Fig.93) en conisch oppervlak OABC , waarvan de basis de basis is van het segment ( abc ), en het hoekpunt is het midden van de bal O , genaamd bolvormige sector.

Wanneer mensen wordt gevraagd naar het verschil tussen een bol en een bal, halen velen simpelweg hun schouders op, in de veronderstelling dat ze in feite hetzelfde zijn (de analogie met een cirkel en een cirkel). Kennen we allemaal de meetkunde goed uit het schoolcurriculum en kunnen we deze vraag meteen beantwoorden? Een bol heeft enkele verschillen met een bal, die niet alleen schoolkinderen moeten kennen om een ​​goed cijfer te krijgen voor hun gedemonstreerde kennis, maar bijvoorbeeld ook veel andere mensen wier werk direct verband houdt met tekeningen.

Definitie

Bal– de verzameling van alle punten in de ruimte. Al deze punten bevinden zich vanuit het midden van het geometrische lichaam op een afstand die niet meer dan een bepaalde afstand bedraagt. Deze afstand zelf wordt de straal genoemd. Een bal, als geometrisch lichaam, wordt als volgt gevormd: een halve cirkel roteert nabij zijn diameter. Wat de bol betreft, dit is het oppervlak van de bal (een gesloten bal omvat deze bijvoorbeeld, een open bal niet). Bij het berekenen van de oppervlakte of het volume van een bal zijn hele geometrische formules nodig die zeer complex zijn, ondanks de schijnbare eenvoud van de geometrische figuur zelf.

Gebied, zoals hierboven vermeld, is het oppervlak van de bal, de schaal. Alle punten in de ruimte liggen op gelijke afstand van het middelpunt van de bol. Wat de straal van een geometrisch lichaam betreft, dit wordt elk segment genoemd, waarvan het ene punt direct het midden van de bol is en het andere zich op elk punt op het oppervlak kan bevinden. We kunnen zeggen dat een bol de schaal is van een bal zonder enige inhoud (hieronder zullen meer specifieke voorbeelden worden gegeven). Net als een bal is een bol een rotatielichaam. Trouwens, velen vragen zich ook af wat het verschil is tussen een cirkel en een cirkel van een bol en een bal. Alles is hier eenvoudig: in het eerste geval zijn dit figuren in een vlak, in het tweede geval in de ruimte.

Vergelijking

Er is al gezegd dat een bol het oppervlak van een bal is, wat het al mogelijk maakt om over één significant teken van verschil te praten. Het verschil tussen de twee geometrische lichamen wordt in een aantal andere aspecten waargenomen:

• Alle punten van de bal bevinden zich op dezelfde afstand van het midden, terwijl het lichaam wordt begrensd door het oppervlak (een bol die van binnen leeg is). Met andere woorden: de bol is hol. Meestal wordt voor het gemak een eenvoudig voorbeeld gegeven met een ballon en een biljartbal. Beide objecten worden ballen genoemd, maar in het eerste geval hebben we te maken met een bol, en in het tweede geval met een volwaardige bal met zijn eigen inhoud erin.
• Een bol heeft een eigen oppervlakte, maar geen volume. Bij een bol is het tegenovergestelde het geval: het volume kan worden berekend, terwijl hij geen oppervlakte heeft. Sommigen zeggen misschien dat dit het belangrijkste teken van verschil is, maar het verschijnt alleen als het nodig is om enkele berekeningen uit te voeren (complexe geometrische formules). Het belangrijkste verschil is daarom dat de bol hol is en dat de bal een lichaam is met inhoud erin.
• Een ander verschil ligt in de straal. De straal van een bol is bijvoorbeeld niet alleen de afstand van punten tot het middelpunt. Een straal kan elk segment zijn dat een punt op een bol met het middelpunt ervan verbindt. Al deze segmenten zijn gelijk aan elkaar. Wat de bal betreft, de punten die erin liggen, zijn minder dan een straal verwijderd van het midden (precies vanwege de bol die hem begrenst).

Conclusie website

1. Een bol is hol, terwijl een bal een lichaam is dat van binnen gevuld is. Een heteluchtballon is bijvoorbeeld een bol, een biljartbal is een volwaardige bal.
2. Een bol heeft oppervlakte en geen volume, maar een bol doet het tegenovergestelde.
3. Het derde verschil is de meting van de straal van twee geometrische lichamen.

Een bal en een bol zijn in de eerste plaats geometrische figuren, en als een bal een geometrisch lichaam is, dan is een bol het oppervlak van een bal. Deze cijfers waren vele duizenden jaren geleden voor Christus van belang.

Toen vervolgens werd ontdekt dat de aarde een bal is en de lucht een hemelbol, werd een nieuwe fascinerende richting in de geometrie ontwikkeld: geometrie op een bol of sferische geometrie. Om over de grootte en het volume van een bal te kunnen praten, moet je deze eerst definiëren.

Bal

Een bal met straal R met een middelpunt op punt O in de geometrie is een lichaam dat wordt gecreëerd door alle punten in de ruimte die een gemeenschappelijke eigenschap hebben. Deze punten bevinden zich op een afstand die de straal van de bal niet overschrijdt, dat wil zeggen dat ze de gehele ruimte vullen, minder dan de straal van de bal in alle richtingen vanaf het midden. Als we alleen die punten beschouwen die op gelijke afstand van het midden van de bal liggen, beschouwen we het oppervlak of de schaal van de bal.

Hoe kan ik de bal bemachtigen? We kunnen een cirkel uit papier knippen en deze rond zijn eigen diameter draaien. Dat wil zeggen, de diameter van de cirkel zal de rotatie-as zijn. De gevormde figuur zal een bal zijn. Daarom wordt de bal ook wel een revolutielichaam genoemd. Omdat het kan worden gevormd door een plat figuur te draaien - een cirkel.

Laten we een vliegtuig nemen en onze bal ermee doorsnijden. Net zoals we een sinaasappel snijden met een mes. Het stuk dat we van de bal afsnijden, wordt een bolvormig segment genoemd.

In het oude Griekenland wisten ze niet alleen hoe ze met een bal en bol moesten werken als geometrische figuren, bijvoorbeeld in de bouw, maar wisten ze ook hoe ze de oppervlakte van een bal en het volume van een bal moesten berekenen.

Een bol is een andere naam voor het oppervlak van een bal. Een bol is geen lichaam; het is het oppervlak van een lichaam van revolutie. Omdat zowel de aarde als veel lichamen echter een bolvorm hebben, bijvoorbeeld een waterdruppel, is de studie van geometrische relaties binnen de bol wijdverbreid geworden.

Als we bijvoorbeeld twee punten van een bol met elkaar verbinden door een rechte lijn, dan wordt deze rechte lijn een akkoord genoemd, en als dit akkoord door het midden van de bol gaat, wat samenvalt met het midden van de bal, dan het akkoord wordt de diameter van de bol genoemd.

Als we een rechte lijn tekenen die de bol maar op één punt raakt, dan wordt deze lijn een raaklijn genoemd. Bovendien zal deze raaklijn aan de bol op dit punt loodrecht staan ​​op de straal van de bol die naar het contactpunt wordt getrokken.

Als we het akkoord vanuit de bol in de ene of de andere richting verlengen tot een rechte lijn, dan wordt dit akkoord een secans genoemd. Of we kunnen het anders zeggen: de secans van de bol bevat zijn akkoord.

Balvolume

De formule voor het berekenen van het volume van een bal is:

waarbij R de straal van de bal is.

Als u het volume van een bolvormig segment wilt vinden, gebruikt u de formule:

V seg =πh 2 (R-h/3), h is de hoogte van het bolvormige segment.

Oppervlakte van een bal of bol

Om de oppervlakte van een bol of de oppervlakte van een bal te berekenen (ze zijn hetzelfde):

waarbij R de straal van de bol is.

Archimedes was dol op de bal en de bol, hij vroeg zelfs om een ​​tekening op zijn graf achter te laten waarin een bal in een cilinder was ingeschreven. Archimedes geloofde dat het volume van een bal en zijn oppervlak gelijk zijn aan tweederde van het volume en oppervlak van de cilinder waarin de bal is ingeschreven.”

In hoofdstuk 2 gaan we verder met 'structurele geometrie' en praten we over de structuur en eigenschappen van de belangrijkste ruimtelijke figuren - bal en bol, cilinders en kegels, prisma's en piramides. De meeste objecten gemaakt door mensenhanden - gebouwen, auto's, meubels, schalen , enz. ., enz., bestaat uit delen in de vorm van deze figuren.

§ 4. BOL EN BAL

Na rechte lijnen en vlakken zijn de bol en de bal de eenvoudigste, maar zeer belangrijke ruimtelijke figuren, rijk aan verschillende eigenschappen. Er zijn hele boeken geschreven over de geometrische eigenschappen van een bal en zijn oppervlak - een bol. Sommige van deze eigenschappen waren bekend bij oude Griekse meetkundigen, en andere werden recentelijk, in de afgelopen jaren, ontdekt. Deze eigenschappen (samen met de wetten van de natuurwetenschappen) verklaren bijvoorbeeld waarom hemellichamen en viseieren bolvormig zijn, waarom bathyscaafjes en voetballen in de vorm van een bal worden gemaakt, waarom kogellagers zo gebruikelijk zijn in de technologie, enz. We kunnen alleen de eenvoudigste eigenschappen van de bal bewijzen. Bewijzen van andere, zij het zeer belangrijke eigenschappen, vereisen vaak het gebruik van volledig niet-elementaire methoden, hoewel de formulering van dergelijke eigenschappen heel eenvoudig kan zijn: van alle lichamen met een bepaald oppervlak heeft de bal bijvoorbeeld het grootste volume.

4.1. Definities van bol en bal.

Een bol en een bal worden in de ruimte op precies dezelfde manier gedefinieerd als een cirkel en een cirkel in een vlak. Een bol is een figuur die bestaat uit alle punten in de ruimte die op afstand liggen van een bepaald punt.

verschillende punten op dezelfde (positieve) afstand.

Dit punt wordt het middelpunt van de bol genoemd en de afstand is de straal (Fig. 4.1).

Een bol met middelpunt O en straal R is dus een figuur gevormd door alle punten X van de ruimte waarvoor

Een bal is een figuur gevormd door alle punten in de ruimte die zich op een afstand van een bepaald punt bevinden die niet groter is dan een bepaalde (positieve) afstand. Dit punt wordt het middelpunt van de bal genoemd en deze afstand is de straal.

Een bal met middelpunt O en straal R is dus een figuur gevormd door alle punten X van de ruimte waarvoor

Die punten X van een bal met middelpunt O en straal R waarvoor ze een bol vormen. Ze zeggen dat deze bol een bepaalde bal omsluit of dat dit het oppervlak ervan is.

Ongeveer dezelfde punten X van de bal waarvan ze zeggen dat ze in de bal liggen.

De straal van een bol (en bal) wordt niet alleen de afstand genoemd, maar ook elk segment dat het middelpunt verbindt met een punt op de bol.