Trigonometrie vanaf nul: basisconcepten, geschiedenis. Trigonometrie is eenvoudig en duidelijk. Hoe trigonometrie te begrijpen

16.01.2024 | Diagnostiek

De videocursus “Get an A” omvat alle onderwerpen die nodig zijn om met succes te slagen voor het Unified State Examen in wiskunde met 60-65 punten. Volledig alle taken 1 t/m 13 van het Profiel Unified State Examen wiskunde. Ook geschikt voor het behalen van het Basic Unified State Examination in wiskunde. Als je het Unified State Exam met 90-100 punten wilt halen, moet je deel 1 in 30 minuten en zonder fouten oplossen!

Voorbereidingscursus voor het Unified State Exam voor groep 10-11, maar ook voor docenten. Alles wat je nodig hebt om deel 1 van het Unified State Exam in wiskunde (de eerste 12 problemen) en probleem 13 (trigonometrie) op te lossen. En dit zijn meer dan 70 punten op het Unified State Exam, en noch een student met 100 punten, noch een student in de geesteswetenschappen kan zonder deze punten.

Alle benodigde theorie. Snelle oplossingen, valkuilen en geheimen van het Unified State Exam. Alle huidige taken van deel 1 uit de FIPI Task Bank zijn geanalyseerd. De cursus voldoet volledig aan de eisen van het Unified State Exam 2018.

De cursus bevat 5 grote onderwerpen van elk 2,5 uur. Elk onderwerp wordt vanaf het begin gegeven, eenvoudig en duidelijk.

Honderden Unified State Exam-taken. Woordproblemen en waarschijnlijkheidstheorie. Eenvoudige en gemakkelijk te onthouden algoritmen voor het oplossen van problemen. Geometrie. Theorie, referentiemateriaal, analyse van alle soorten Unified State Examination-taken. Stereometrie. Lastige oplossingen, handige spiekbriefjes, ontwikkeling van ruimtelijke verbeeldingskracht. Trigonometrie van nul tot probleem 13. Begrijpen in plaats van proppen. Duidelijke uitleg van complexe concepten. Algebra. Wortels, machten en logaritmen, functie en afgeleide. Een basis voor het oplossen van complexe problemen van deel 2 van het Unified State Exam.

In 1905 konden Russische lezers in het boek “Psychology” van William James zijn redenering lezen over “waarom is uit het hoofd leren zo’n slechte manier van leren?”

“Kennis die is verworven door eenvoudig uit het hoofd leren, wordt bijna onvermijdelijk volledig spoorloos vergeten. Integendeel, mentaal materiaal, dat geleidelijk aan door het geheugen wordt verworven, dag na dag, in verband met verschillende contexten, associatief geassocieerd met andere externe gebeurtenissen en herhaaldelijk onderworpen aan discussie, vormt zo’n systeem, gaat zo’n verbinding aan met de andere aspecten van onze wereld. intellect, wordt gemakkelijk in het geheugen hersteld door een groot aantal externe redenen, wat lange tijd een duurzame verworvenheid blijft.”

Sindsdien zijn er meer dan honderd jaar verstreken en deze woorden blijven verbazingwekkend actueel. Als je met schoolkinderen werkt, raak je daar elke dag van overtuigd. De enorme leemten in kennis zijn zo groot dat men kan beargumenteren: de wiskundecursus op school is in didactische en psychologische termen geen systeem, maar een soort apparaat dat het kortetermijngeheugen stimuleert en zich helemaal niets aantrekt van het langetermijngeheugen .

Het kennen van de wiskundecursus op school betekent dat je de stof van elk wiskundegebied beheerst en deze op elk moment kunt bijwerken. Om dit te bereiken, moet je systematisch contact opnemen met elk van hen, wat soms niet altijd mogelijk is vanwege de hoge werkdruk in de les.

Er is een andere manier om feiten en formules op de lange termijn te onthouden: dit zijn referentiesignalen.

Trigonometrie is een van de grote onderdelen van de schoolwiskunde, bestudeerd in de cursus meetkunde in groep 8 en 9 en in de cursus algebra in groep 9, en algebra en elementaire analyse in groep 10.

Het grootste volume materiaal dat in trigonometrie wordt bestudeerd, valt in het 10e leerjaar. Het meeste van dit trigonometriemateriaal kan worden geleerd en onthouden trigonometrische cirkel(een cirkel met eenheidsstraal waarvan het middelpunt de oorsprong is van het rechthoekige coördinatensysteem). Bijlage1.ppt

Dit zijn de volgende trigonometrieconcepten:

definities van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens van een hoek;
radiale hoekmeting;
domein van definitie en bereik van waarden van trigonometrische functies
waarden van trigonometrische functies voor sommige waarden van het numerieke en hoekige argument;
periodiciteit van trigonometrische functies;
gelijkmatigheid en eigenaardigheid van trigonometrische functies;
toenemende en afnemende trigonometrische functies;
reductieformules;
waarden van inverse trigonometrische functies;
het oplossen van eenvoudige trigonometrische vergelijkingen;
het oplossen van eenvoudige ongelijkheden;
basisformules van trigonometrie.

Laten we overwegen deze concepten op de trigonometrische cirkel te bestuderen.

1) Definitie van sinus, cosinus, tangens en cotangens.

Na introductie van het concept van een trigonometrische cirkel (een cirkel met eenheidsstraal met een middelpunt in de oorsprong), de initiële straal (de straal van de cirkel in de richting van de Ox-as) en de rotatiehoek, verkrijgen de leerlingen zelfstandig definities voor sinus, cosinus, raaklijn en cotangens op een trigonometrische cirkel, met behulp van de definities uit de cursusgeometrie, dat wil zeggen, rekening houdend met een rechthoekige driehoek met een hypotenusa gelijk aan 1.

De cosinus van een hoek is de abscis van een punt op een cirkel wanneer de initiële straal over een bepaalde hoek wordt geroteerd.

De sinus van een hoek is de ordinaat van een punt op een cirkel wanneer de initiële straal over een bepaalde hoek wordt geroteerd.

2) Radiaalmeting van hoeken op een goniometrische cirkel.

Na introductie van de radiale maat van een hoek (1 radiaal is de centrale hoek, die overeenkomt met de lengte van de boog die gelijk is aan de lengte van de straal van de cirkel), concluderen de leerlingen dat de radiale maat van de hoek de numerieke waarde is van de rotatiehoek op de cirkel, gelijk aan de lengte van de overeenkomstige boog wanneer de initiële straal over een gegeven hoek wordt geroteerd. .

De trigonometrische cirkel is verdeeld in 12 gelijke delen door de diameters van de cirkel. Omdat u weet dat de hoek in radialen is, kunt u de radialenmeting bepalen voor hoeken die een veelvoud zijn van .

En radiale metingen van hoeken, veelvouden, worden op dezelfde manier verkregen:

3) Domein van definitie en bereik van waarden van trigonometrische functies.

Zal de overeenkomst tussen rotatiehoeken en coördinaatwaarden van een punt op een cirkel een functie zijn?

Elke rotatiehoek komt overeen met een enkel punt op de cirkel, wat betekent dat deze correspondentie een functie is.

De functies verkrijgen

Op de trigonometrische cirkel kun je zien dat het domein van de definitie van functies de verzameling van alle reële getallen is, en het bereik van waarden is .

Laten we de concepten van raaklijnen en cotangensen op een trigonometrische cirkel introduceren.

1) Laat Laten we een hulplijn introduceren evenwijdig aan de Oy-as, waarop raaklijnen worden bepaald voor elk numeriek argument.

2) Op dezelfde manier verkrijgen we een lijn van cotangensen. Stel y=1, dan . Dit betekent dat de cotangenswaarden worden bepaald op een rechte lijn evenwijdig aan de Ox-as.

Op een trigonometrische cirkel kunt u eenvoudig het domein van de definitie en het waardenbereik van trigonometrische functies bepalen:

voor raaklijn -

voor cotangens -

4) Waarden van trigonometrische functies op een trigonometrische cirkel.

Het been tegenover de hoek is gelijk aan de helft van de hypotenusa, dat wil zeggen het andere been volgens de stelling van Pythagoras:

Dit betekent dat u, door sinus, cosinus, tangens, cotangens te definiëren, waarden kunt bepalen voor hoeken die veelvouden of radialen zijn. De sinuswaarden worden bepaald langs de Oy-as, de cosinus langs de Ox-as, en de tangens- en cotangens-waarden kunnen worden bepaald met behulp van extra assen evenwijdig aan respectievelijk de Oy- en Ox-assen.

De tabelwaarden van sinus en cosinus bevinden zich als volgt op de overeenkomstige assen:

Tabelwaarden van tangens en cotangens -

5) Periodiciteit van trigonometrische functies.

Op de trigonometrische cirkel kun je zien dat de waarden van sinus en cosinus elke radiaal worden herhaald, en raaklijn en cotangens - elke radiaal.

6) Gelijkmatigheid en eigenaardigheid van trigonometrische functies.

Deze eigenschap kan worden verkregen door de waarden van positieve en tegengestelde rotatiehoeken van trigonometrische functies te vergelijken. Dat snappen wij

Dit betekent dat cosinus een even functie is, alle andere functies zijn oneven.

7) Toenemende en afnemende trigonometrische functies.

De trigonometrische cirkel laat zien dat de sinusfunctie toeneemt en afneemt

Door op dezelfde manier te redeneren, verkrijgen we de intervallen van toenemende en afnemende functies van cosinus, tangens en cotangens.

8) Reductieformules.

Voor de hoek nemen we de kleinere waarde van de hoek op de goniometrische cirkel. Alle formules worden verkregen door de waarden van trigonometrische functies op de benen van geselecteerde rechthoekige driehoeken te vergelijken.

Algoritme voor het toepassen van reductieformules:

1) Bepaal het teken van de functie bij rotatie over een bepaalde hoek.

Bij het nemen van een bocht de functie blijft behouden wanneer deze over een hoek wordt geroteerd - een geheel getal, oneven getal, de cofunctie (

9) Waarden van inverse trigonometrische functies.

Laten we inverse functies voor trigonometrische functies introduceren met behulp van de definitie van een functie.

Elke waarde van sinus, cosinus, raaklijn en cotangens op de trigonometrische cirkel komt overeen met slechts één waarde van de rotatiehoek. Dit betekent dat voor een functie het definitiedomein is, het bereik van waarden is - Voor de functie is het definitiedomein, het bereik van waarden is. Op dezelfde manier verkrijgen we het domein van de definitie en het waardenbereik van de inverse functies voor cosinus en cotangens.

Algoritme voor het vinden van de waarden van inverse trigonometrische functies:

1) het vinden van de waarde van het argument van de inverse trigonometrische functie op de corresponderende as;

2) het vinden van de rotatiehoek van de initiële straal, rekening houdend met het bereik van waarden van de inverse trigonometrische functie.

Bijvoorbeeld:

10) Eenvoudige vergelijkingen op een trigonometrische cirkel oplossen.

Om een vergelijking van de vorm op te lossen, zoeken we punten op de cirkel waarvan de ordinaten gelijk zijn en noteren we de overeenkomstige hoeken, rekening houdend met de periode van de functie.

Voor de vergelijking zoeken we punten op de cirkel waarvan de abscis gelijk is en noteren we de overeenkomstige hoeken, rekening houdend met de periode van de functie.

Hetzelfde geldt voor vergelijkingen van de vorm De waarden worden bepaald op de raaklijnen en cotangensen en de bijbehorende rotatiehoeken worden vastgelegd.

Alle concepten en formules van trigonometrie worden door de leerlingen zelf geleerd onder duidelijke begeleiding van de leraar met behulp van een trigonometrische cirkel. In de toekomst zal deze ‘cirkel’ dienen als referentiesignaal of als externe factor waarmee ze de concepten en formules van de trigonometrie in hun geheugen kunnen reproduceren.

Het bestuderen van trigonometrie op een goniometrische cirkel helpt:

het kiezen van de optimale communicatiestijl voor een bepaalde les, het organiseren van educatieve samenwerking;
lesdoelen worden voor elke leerling persoonlijk belangrijk;
nieuw materiaal is gebaseerd op de persoonlijke ervaring van de student op het gebied van handelen, denken en voelen;
de les omvat verschillende werkvormen en manieren om kennis te verwerven en te assimileren; er zijn elementen van wederzijds en zelfleren; zelf- en wederzijdse controle;
er wordt snel gereageerd op misverstanden en fouten (gezamenlijk overleg, steuntips, onderling overleg).

- -
Als ze iemand met ENGE WISKUNDE bang willen maken, noemen ze meestal allerlei soorten sinussen en cosinussen als voorbeeld, als iets heel complex en walgelijks. Maar in feite is dit een mooi en interessant gedeelte dat kan worden begrepen en opgelost.
Het onderwerp begint in groep 9 en alles is de eerste keer niet altijd duidelijk, er zijn veel subtiliteiten en trucs. Ik probeerde iets over het onderwerp te zeggen.

Inleiding tot de wereld van trigonometrie:
Voordat je halsoverkop in formules stort, moet je uit de meetkunde begrijpen wat sinus, cosinus, etc. zijn.
Sinus van hoek- de verhouding van de tegenoverliggende (hoek)zijde tot de hypotenusa.
Cosinus- de verhouding van aangrenzend tot hypotenusa.
Raaklijn- tegenoverliggende zijde naar aangrenzende zijde
Cotangens- grenzend aan het tegenovergestelde.

Beschouw nu een cirkel met eenheidsradius op het coördinatenvlak en markeer er een alfa-hoek op: (afbeeldingen zijn aanklikbaar, tenminste enkele)
-
-
Dunne rode lijnen zijn de loodlijnen vanaf het snijpunt van de cirkel en de rechte hoek op de os- en oy-as. De rode x en y zijn de waarde van de x- en y-coördinaat op de assen (de grijze x en y geven alleen aan dat dit coördinaatassen zijn en niet alleen maar lijnen).
Opgemerkt moet worden dat de hoeken worden berekend vanuit de positieve richting van de ox-as tegen de klok in.
Laten we de sinus, cosinus, enz. ervoor vinden.
sin a: tegenoverliggende zijde is gelijk aan y, hypotenusa is gelijk aan 1.
zonde a = y / 1 = y
Om helemaal duidelijk te maken waar ik y en 1 vandaan haal, laten we voor de duidelijkheid de letters rangschikken en naar de driehoeken kijken.
- -
AF = AE = 1 - straal van de cirkel.
Daarom is AB = 1 als straal. AB - hypotenusa.
BD = CA = y - als de waarde voor oh.
AD = CB = x - als de waarde volgens oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Het volgende is de cosinus:
cos a: aangrenzende zijde - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Wij produceren ook tangens en cotangens.
tg a = y / x = sin a / cos a
kinderbedje a = x / y = cos a / sin a
Plotseling hebben we de formule voor raaklijn en cotangens afgeleid.

Laten we eens concreet kijken hoe dit wordt opgelost.
Bijvoorbeeld a = 45 graden.
We krijgen een rechthoekige driehoek met één hoek van 45 graden. Voor sommigen is het meteen duidelijk dat dit een gelijkzijdige driehoek is, maar ik zal het toch beschrijven.
Laten we de derde hoek van de driehoek vinden (de eerste is 90, de tweede is 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Als twee hoeken gelijk zijn, dan zijn hun zijden gelijk, zo klonk het.
Het blijkt dus dat als we twee van zulke driehoeken op elkaar optellen, we een vierkant krijgen met een diagonaal gelijk aan straal = 1. Volgens de stelling van Pythagoras weten we dat de diagonaal van een vierkant met zijde a gelijk is aan een wortel van twee.
Nu denken wij. Als 1 (de hypotenusa oftewel diagonaal) gelijk is aan de zijde van het vierkant maal de wortel van twee, dan moet de zijde van het vierkant gelijk zijn aan 1/sqrt(2), en als we de teller en de noemer van deze breuk vermenigvuldigen door de wortel van twee krijgen we sqrt(2)/2 . En aangezien de driehoek gelijkbenig is, geldt AD = AC => x = y
Onze trigonometrische functies vinden:
zonde 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
U moet op dezelfde manier met de overige hoekwaarden werken. Alleen zullen de driehoeken niet gelijkbenig zijn, maar de zijden kunnen net zo gemakkelijk worden gevonden met behulp van de stelling van Pythagoras.
Op deze manier krijgen we een tabel met waarden van trigonometrische functies vanuit verschillende invalshoeken:
-
-
Bovendien is deze tafel vals en erg handig.
Zo stel je het zelf samen zonder gedoe: Teken een tabel zoals deze en schrijf de cijfers 1 2 3 in de vakjes.
-
-
Nu neem je van deze 1 2 3 de wortel en deel je door 2. Het wordt zo:
-
-
Nu schrappen we de sinus en schrijven we de cosinus. De waarden zijn de gespiegelde sinus:
-
-
De raaklijn is net zo eenvoudig af te leiden: je moet de waarde van de sinuslijn delen door de waarde van de cosinuslijn:
-
-
De cotangenswaarde is de omgekeerde waarde van de tangens. Als resultaat krijgen we zoiets als dit:
- -

opmerking die raaklijn bestaat bijvoorbeeld niet in P/2. Denk na over waarom. (Je kunt niet delen door nul.)

Wat u hier moet onthouden: sinus is de y-waarde, cosinus is de x-waarde. Tangens is de verhouding van y tot x, en cotangens is het tegenovergestelde. dus om de waarden van sinussen/cosinussen te bepalen, volstaat het om de tabel te tekenen die ik hierboven heb beschreven en een cirkel met coördinaatassen (het is handig om de waarden te bekijken onder hoeken van 0, 90, 180, 360).
- -

Nou, ik hoop dat je onderscheid kunt maken kwartalen:
- -
Het teken van de sinus, cosinus, etc. hangt af van in welk kwart de hoek zich bevindt. Hoewel absoluut primitief logisch denken je naar het juiste antwoord zal leiden als je er rekening mee houdt dat x in het tweede en derde kwartaal negatief is, en y negatief in het derde en vierde kwartaal. Niets eng of eng.

Ik denk dat het niet verkeerd zou zijn om dit te vermelden formules voor reductie ala geesten, zoals iedereen hoort, en daar zit een kern van waarheid in. Er zijn geen formules als zodanig, omdat ze niet nodig zijn. De betekenis van deze hele actie: we vinden de hoekwaarden gemakkelijk alleen voor het eerste kwart (30 graden, 45, 60). Trigonometrische functies zijn periodiek, dus we kunnen elke grote hoek naar het eerste kwart slepen. Dan zullen we onmiddellijk de betekenis ervan vinden. Maar simpelweg slepen is niet genoeg - je moet het bord onthouden. Daar zijn reductieformules voor.
We hebben dus een grote hoek, of beter gezegd meer dan 90 graden: a = 120. En we moeten de sinus en cosinus ervan vinden. Om dit te doen, zullen we 120 ontleden in de volgende hoeken waarmee we kunnen werken:
zonde a = zonde 120 = zonde (90 + 30)
We zien dat deze hoek in het tweede kwart ligt, de sinus daar is positief, daarom blijft het + teken voor de sinus behouden.
Om van 90 graden af te komen, veranderen we de sinus in cosinus. Welnu, dit is een regel die u moet onthouden:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Of je kunt het je op een andere manier voorstellen:
zonde 120 = zonde (180 - 60)
Om van 180 graden af te komen, veranderen we de functie niet.
zonde (180 - 60) = zonde 60 = sqrt(3) / 2
We hebben dezelfde waarde, dus alles klopt. Nu de cosinus:
cos 120 = cos (90 + 30)
De cosinus in het tweede kwartaal is negatief, dus plaatsen we een minteken. En we veranderen de functie naar de tegenovergestelde, omdat we 90 graden moeten verwijderen.
cos (90 + 30) = - sin 30 = - 1 / 2
Of:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Wat je moet weten, kunnen en doen om hoeken over te dragen naar het eerste kwartaal:
- ontbind de hoek in verteerbare termen;
-houd er rekening mee in welk kwart de hoek zich bevindt en plaats het juiste teken als de functie in dit kwart negatief of positief is;
-verwijder onnodige dingen:
*als je 90, 270, 450 en de resterende 90+180n moet wegwerken, waarbij n een geheel getal is, dan wordt de functie omgekeerd (sinus naar cosinus, raaklijn naar cotangens en omgekeerd);
*als je 180 en de resterende 180+180n wilt wegwerken, waarbij n een geheel getal is, dan verandert de functie niet. (Er is hier één functie, maar die is moeilijk in woorden uit te leggen, maar ach).
Dat is alles. Ik denk niet dat het nodig is om de formules zelf uit het hoofd te leren als je een paar regels kunt onthouden en ze gemakkelijk kunt gebruiken. Overigens zijn deze formules heel eenvoudig te bewijzen:
-
-
En ze stellen ook omslachtige tabellen samen, dan weten we:
-
-

Basisvergelijkingen van trigonometrie: je moet ze heel, heel goed uit je hoofd kennen.
Fundamentele trigonometrische identiteit(gelijkwaardigheid):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Als je het niet gelooft, is het beter om het zelf te controleren en het zelf te zien. Vervang de waarden van verschillende hoeken.
Deze formule is heel erg handig, onthoud hem altijd. hiermee kun je sinus via cosinus uitdrukken en omgekeerd, wat soms erg handig is. Maar net als bij elke andere formule moet je weten hoe je ermee om moet gaan. Onthoud altijd dat het teken van de trigonometrische functie afhangt van het kwadrant waarin de hoek zich bevindt. Daarom bij het extraheren van de wortel moet je het kwart weten.

Raaklijn en cotangens: We hebben deze formules al aan het begin afgeleid.
tg a = zonde a / cos a
kinderbed a = cos a / zonde a

Product van raaklijn en cotangens:
tg a * ctg a = 1
Omdat:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - breuken worden geannuleerd.

Zoals je kunt zien, zijn alle formules een spel en een combinatie.
Hier zijn er nog twee, verkregen door te delen door het cosinusvierkant en het sinusvierkant van de eerste formule:
-
-
Houd er rekening mee dat de laatste twee formules kunnen worden gebruikt met een beperking van de waarde van hoek a, aangezien u niet door nul kunt delen.

Formules voor optelling: worden bewezen met behulp van vectoralgebra.
- -
Zelden gebruikt, maar nauwkeurig. Er staan formules op de scan, maar deze kunnen onleesbaar zijn of de digitale vorm is makkelijker waar te nemen:
- -

Formules voor dubbele hoeken:
Ze worden verkregen op basis van optelformules, bijvoorbeeld: de cosinus van een dubbele hoek is cos 2a = cos (a + a) - doet het je ergens aan denken? Ze hebben zojuist de betta vervangen door een alfa.
- -
De twee volgende formules zijn afgeleid van de eerste substitutie sin^2(a) = 1 - cos^2(a) en cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
De sinus van een dubbele hoek is eenvoudiger en wordt veel vaker gebruikt:
- -
En speciale perverselingen kunnen de raaklijn en de cotangens van een dubbele hoek afleiden, gegeven het feit dat tan a = sin a / cos a, etc.
-
-

Voor bovengenoemde personen Drievoudige hoekformules: ze worden afgeleid door de hoeken 2a en a bij elkaar op te tellen, omdat we de formules voor dubbele hoeken al kennen.
-
-

Formules voor halve hoeken:
- -
Ik weet niet hoe ze worden afgeleid, of beter gezegd, hoe ik het moet uitleggen... Als we deze formules opschrijven en de belangrijkste trigonometrische identiteit vervangen door a/2, zal het antwoord convergeren.

Formules voor het optellen en aftrekken van goniometrische functies:
-
-
Ze worden verkregen uit optelformules, maar het kan niemand iets schelen. Ze komen niet vaak voor.

Zoals je begrijpt, zijn er nog steeds een heleboel formules, waarvan de opsomming eenvoudigweg zinloos is, omdat ik er niet iets adequaats over kan schrijven, en droge formules zijn overal te vinden, en ze zijn een spel met eerder bestaande formules. Alles is vreselijk logisch en precies. Ik zal het je als laatste vertellen over de hulphoekmethode:
Het omzetten van de uitdrukking a cosx + b sinx naar de vorm Acos(x+) of Asin(x+) wordt de methode voor het introduceren van een hulphoek (of een aanvullend argument) genoemd. De methode wordt gebruikt bij het oplossen van trigonometrische vergelijkingen, bij het schatten van de waarden van functies, bij extreme problemen, en het is belangrijk op te merken dat sommige problemen niet kunnen worden opgelost zonder een hulphoek te introduceren.
Hoe je deze methode ook probeerde uit te leggen, er kwam niets uit, dus je zult het zelf moeten doen:
-
-
Een eng ding, maar nuttig. Als je de problemen oplost, zou het moeten lukken.
Vanaf hier bijvoorbeeld: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Het volgende in de cursus zijn grafieken van goniometrische functies. Maar dat is genoeg voor één les. Gezien het feit dat ze dit op school zes maanden lang leren.

Schrijf uw vragen, los problemen op, vraag om scans van sommige taken, zoek het uit, probeer het.
Altijd de jouwe, Dan Faraday.

In deze les leren we de definities trigonometrische functies en hun basiseigenschappen, leer ermee werken trigonometrische cirkel, laten we uitzoeken wat het is periode van de functie en onthoud de verschillende manieren om hoeken te meten. Bovendien zullen we het gebruik begrijpen formules voor reductie.

Deze les helpt je bij de voorbereiding op een van de soorten taken OM 7 UUR.

Voorbereiding op het Unified State Examen in de wiskunde

Experiment

Les 7.Inleiding tot trigonometrie.

Theorie

Samenvatting van de les

Vandaag starten we met een sectie die voor velen de enge naam “Trigonometrie” heeft. Laten we meteen duidelijk maken dat dit geen apart onderwerp is dat qua naam lijkt op geometrie, zoals sommige mensen denken. Hoewel het woord “trigonometrie” uit het Grieks is vertaald, betekent het “het meten van driehoeken” en is het direct gerelateerd aan de geometrie. Bovendien worden trigonometrische berekeningen veel gebruikt in de natuurkunde en technologie. Maar we zullen beginnen met een beschouwing van hoe de fundamentele trigonometrische functies in de meetkunde worden geïntroduceerd met behulp van een rechthoekige driehoek.

We hebben zojuist de term 'trigonometrische functie' gebruikt - dit betekent dat we een hele klasse van bepaalde correspondentiewetten tussen de ene variabele en de andere zullen introduceren.

Overweeg hiervoor een rechthoekige driehoek, waarin voor het gemak standaardnotaties voor zijden en hoeken worden gebruikt, die u in de figuur kunt zien:

Denk bijvoorbeeld aan de hoeken voer hiervoor de volgende acties in:

Laten we de verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de sinus van de hypotenusa noemen, d.w.z.

Laten we de verhouding van het aangrenzende been tot de cosinus van de hypotenusa noemen, d.w.z. ;

De verhouding van de tegenoverliggende zijde tot de aangrenzende zijde wordt tangens genoemd, d.w.z. ;

De verhouding tussen de aangrenzende zijde en de tegenoverliggende zijde wordt cotangens genoemd, d.w.z. .

Al deze acties met een hoek worden genoemd trigonometrische functies. De hoek zelf wordt meestal genoemd argument van de trigonometrische functie en kan bijvoorbeeld worden aangegeven met X, zoals gewoonlijk gebruikelijk is in de algebra.

Het is belangrijk om meteen te begrijpen dat trigonometrische functies specifiek afhankelijk zijn van de hoek in een rechthoekige driehoek, en niet van de zijkanten. Dit is gemakkelijk te bewijzen als we een driehoek beschouwen die vergelijkbaar is met deze, waarin de lengtes van de zijden verschillend zullen zijn, maar alle hoeken en verhoudingen van de zijden zullen niet veranderen, d.w.z. De goniometrische functies van hoeken blijven ook ongewijzigd.

Na deze definitie van trigonometrische functies kan de vraag rijzen: “Is er bijvoorbeeld? De hoek tenslottekan niet in een rechthoekige driehoek liggen» . Vreemd genoeg is het antwoord op deze vraag bevestigend, en de waarde van deze uitdrukking is gelijk aan , en dit is zelfs nog verrassender, aangezien alle goniometrische functies de verhouding zijn van de zijden van een rechthoekige driehoek, en de lengtes van de zijden zijn positieve cijfers.

Maar daarin schuilt geen paradox. Feit is dat het bijvoorbeeld in de natuurkunde bij het beschrijven van sommige processen noodzakelijk is om trigonometrische functies van hoeken te gebruiken die niet alleen groot zijn, maar ook groot en even. Om dit te doen, is het noodzakelijk om een meer algemene regel te introduceren voor het berekenen van goniometrische functies met behulp van de zogenaamde "eenheid trigonometrische cirkel".

Het is een cirkel met eenheidsstraal, zo getekend dat het middelpunt zich op de oorsprong van het cartesiaanse vlak bevindt.

Om de hoeken in deze cirkel weer te geven, moet je afspreken waar je ze vandaan moet halen. Het wordt geaccepteerd om de positieve richting van de abscis-as als referentiehoekstraal te nemen, d.w.z. x-as. De richting van de afzetting van hoeken wordt als tegen de klok in beschouwd. Laten we op basis van deze afspraken eerst de scherpe hoek opzij zetten. Voor zulke scherpe hoeken weten we al hoe we de waarden van goniometrische functies in een rechthoekige driehoek moeten berekenen. Het blijkt dat je met de afgebeelde cirkel ook trigonometrische functies kunt berekenen, maar dan handiger.

De waarden van de sinus en cosinus van een scherpe hoek zijn de coördinaten van het snijpunt van de zijde van deze hoek met de eenheidscirkel:

Dit kan als volgt worden geschreven:

Gebaseerd op het feit dat coördinaten langs de x-as tonen de waarde van de cosinus, en coördinaten langs de y-as tonen de waarde van de sinus van de hoek is het handig om de namen van de assen in een coördinatensysteem te hernoemen met een eenheidscirkel, zoals je ziet in de afbeelding:

De abscis-as wordt hernoemd naar de cosinus-as en de ordinaat-as naar de sinus-as.

De gespecificeerde regel voor het bepalen van sinus en cosinus wordt gegeneraliseerd naar zowel stompe hoeken als hoeken die in het bereik van tot liggen. In dit geval kunnen sinussen en cosinussen zowel positieve als negatieve waarden aannemen. Verscheidene tekenen van de waarden van deze trigonometrische functies afhankelijk van in welk kwart de betreffende hoek valt, is het gebruikelijk om deze als volgt weer te geven:

Zoals u kunt zien, worden de tekens van trigonometrische functies bepaald door de positieve en negatieve richtingen van hun overeenkomstige assen.

Bovendien is het de moeite waard om aandacht te besteden aan het feit dat, aangezien de grootste coördinaat van een punt op de eenheidscirkel zowel langs de abscis als de ordinaat gelijk is aan één, en de kleinste min één, dan sinus- en cosinuswaarden beperkt tot deze aantallen:

Deze records worden meestal ook in deze vorm geschreven:

Om de functies van raaklijn en cotangens op een trigonometrische cirkel te introduceren, is het noodzakelijk om extra elementen te tekenen: de raaklijn aan de cirkel op punt A - de waarde van de raaklijn van de hoek wordt daaruit bepaald, en de raaklijn aan punt B - daaruit wordt de waarde van de cotangens van de hoek bepaald.

We zullen ons echter niet verdiepen in de definitie van raaklijnen en cotangensen op een trigonometrische cirkel, omdat ze kunnen eenvoudig worden berekend door de waarden van de sinus en cosinus van een bepaalde hoek te kennen, wat we al weten te doen. Als je geïnteresseerd bent in het leren berekenen van de raaklijn en de cotangens op een trigonometrische cirkel, bekijk dan de syllabus van de algebracursus van het 10e leerjaar.

We geven alleen de afbeelding op de cirkel aan tekenen van raaklijnen en cotangenten afhankelijk van de hoek:

Houd er rekening mee dat u, net als bij de bereiken van sinus- en cosinuswaarden, bereiken van raaklijn- en cotangenswaarden kunt specificeren. Gebaseerd op hun definitie van de trigonometrische cirkel, de betekenissen van deze functies zijn niet beperkt:

Wat kan er nog meer als volgt worden geschreven:

Naast hoeken in het bereik van tot, kunt u met de trigonometrische cirkel werken met hoeken die groter zijn en zelfs met negatieve hoeken. Hoewel ze voor de geometrie betekenisloos lijken, worden dergelijke hoekwaarden gebruikt om sommige fysieke processen te beschrijven. Hoe beantwoord je bijvoorbeeld de vraag: “In welke hoek zal de wijzer over een dag draaien?” Gedurende deze tijd zal het twee volledige omwentelingen voltooien, en in één omwenteling zal het voorbijgaan, d.w.z. binnen een dag zal het veranderen in . Zoals u kunt zien, hebben dergelijke waarden een zeer praktische betekenis. Hoektekens worden gebruikt om de draairichting aan te geven - er wordt afgesproken dat een van de richtingen wordt gemeten met positieve hoeken, en de andere met negatieve. Hoe kan hiermee rekening worden gehouden in de trigonometrische cirkel?

Op een cirkel met zulke hoeken werken ze als volgt:

1) Hoeken die groter zijn dan , worden tegen de klok in uitgezet en gaan zo vaak als nodig door de oorsprong. Om bijvoorbeeld een hoek te construeren, moet je twee volledige omwentelingen doorlopen en nog een. Voor de eindpositie worden alle goniometrische functies berekend. Het is gemakkelijk in te zien dat de waarden van alle trigonometrische functies for en for hetzelfde zullen zijn.

2) Negatieve hoeken worden precies volgens hetzelfde principe uitgezet als positieve, alleen met de klok mee.

Alleen al door de methode om grote hoeken te construeren, kunnen we concluderen dat de waarden van de sinussen en cosinussen van hoeken die van elkaar verschillen, hetzelfde zijn. Als we de waarden van raaklijnen en cotangens analyseren, zullen ze hetzelfde zijn voor hoeken die verschillen met .

Dergelijke minimale getallen die niet nul zijn, veranderen, wanneer ze aan een argument worden toegevoegd, de waarde van de functie niet en worden aangeroepen periode deze functie.

Dus, periodesinus en cosinus zijn gelijk, en raaklijn en cotangens. Dit betekent dat, ongeacht hoeveel u deze perioden optelt of aftrekt van de beschouwde hoeken, de waarden van de goniometrische functies niet zullen veranderen.

Bijvoorbeeld, , en etc.

We zullen later terugkomen op een meer gedetailleerde uitleg en toepassing van deze eigenschap van goniometrische functies.

Er zijn bepaalde relaties tussen trigonometrische functies van hetzelfde argument die heel vaak worden gebruikt en aangeroepen fundamentele trigonometrische identiteiten.

Ze zien er zo uit:

1) , de zogenaamde "trigonometrische eenheid"

Merk op dat de notatie bijvoorbeeld betekent dat de gehele trigonometrische functie in het kwadraat is. Die. het kan in deze vorm worden weergegeven: . Het is belangrijk om te begrijpen dat dit niet gelijk is aan een notatie als . In dit geval wordt alleen het argument gekwadrateerd en niet de hele functie. Bovendien zijn dit soort uitdrukkingen uiterst zeldzaam.

Er zijn twee zeer nuttige uitvloeisels uit de eerste identiteit die nuttig kunnen zijn bij het oplossen van vele soorten problemen. Na eenvoudige transformaties kun je de sinus uitdrukken via de cosinus van dezelfde hoek en omgekeerd:

Er verschijnen twee mogelijke expressietekens omdat het nemen van de rekenkundige vierkantswortel levert alleen niet-negatieve waarden op, en sinus en cosinus kunnen, zoals we al hebben gezien, negatieve waarden hebben. Bovendien is het het gemakkelijkst om de tekens van deze functies te bepalen met behulp van een trigonometrische cirkel, afhankelijk van welke hoeken erin aanwezig zijn.

Laten we nu niet vergeten dat hoeken op twee manieren kunnen worden gemeten: in graden en in radialen. Laten we de definities van één graad en één radiaal aangeven.

Eén graad- dit is de hoek gevormd door twee stralen die een boog insluiten die gelijk is aan een cirkel.

Eén radiaal- dit is de hoek gevormd door twee stralen die worden ingesloten door een boog die even lang is als de stralen.

Die. het zijn eenvoudigweg twee verschillende manieren om hoeken te meten die absoluut gelijk zijn. Bij het beschrijven van fysieke processen die worden gekenmerkt door trigonometrische functies, is het gebruikelijk om de radiale maat voor hoeken te gebruiken, dus we zullen er ook aan moeten wennen.

Het is gebruikelijk om hoeken in radialen te meten in fracties van pi, bijvoorbeeld of. In dit geval kan de waarde van het getal “pi”, dat gelijk is aan 3,14, worden vervangen, maar dit wordt zelden gedaan.

Om de graadmaat van hoeken om te zetten in radialen profiteer van het feit dat de hoek , is, van waaruit het gemakkelijk is om een algemene vertaalformule te verkrijgen:

Laten we bijvoorbeeld converteren naar radialen: .

Er is ook het tegenovergestelde formuleconversie van radialen naar graden:

Laten we bijvoorbeeld naar graden converteren: .

We zullen in dit onderwerp vrij vaak de radiale hoekmaat gebruiken.

Dit is het moment om te onthouden welke specifieke waarden kunnen worden gegeven door trigonometrische functies met verschillende hoeken. Voor sommige hoeken die een veelvoud zijn van , is dat wel het geval tabel met waarden van trigonometrische functies. Voor het gemak worden hoeken gegeven in graden en radialen.

Deze hoeken komen vaak voor bij veel problemen, en het is raadzaam om met vertrouwen door deze tabel te kunnen navigeren. De raak- en cotangenswaarden van sommige hoeken zijn niet logisch, wat in de tabel als streepjes wordt aangegeven. Bedenk zelf waarom dit zo is of lees er meer over in de bijlage bij de les.

Het laatste waar we kennis mee moeten maken in onze eerste trigonometrieles is transformatie van goniometrische functies met behulp van de zogenaamde reductieformules.

Het blijkt dat er een bepaald type uitdrukking bestaat voor goniometrische functies dat vrij gebruikelijk is en handig vereenvoudigd. Dit zijn bijvoorbeeld uitdrukkingen: etc.

Die. We zullen het hebben over functies die als argument een willekeurige invalshoek aannemen, veranderd in een geheel of een half deel. Dergelijke functies worden vereenvoudigd tot een argument dat gelijk is aan een willekeurige hoek voor het optellen of aftrekken van delen. Bijvoorbeeld, , A . Zoals u kunt zien, kan het resultaat de tegenovergestelde functie zijn en kan de functie van teken veranderen.

Daarom kunnen de regels voor het transformeren van dergelijke functies in twee fasen worden verdeeld. Eerst moet u bepalen welke functie u na de transformatie krijgt:

1) Als een willekeurig argument wordt gewijzigd in een geheel getal, verandert de functie niet. Dit geldt voor functies van het type , waarbij elk geheel getal;

In deze les zullen we praten over hoe de noodzaak ontstaat om trigonometrische functies te introduceren en waarom ze worden bestudeerd, wat je moet begrijpen in dit onderwerp, en waar je er gewoon beter in moet worden (wat is een techniek). Merk op dat techniek en begrip twee verschillende dingen zijn. Mee eens, er is een verschil: leren fietsen, dat wil zeggen begrijpen hoe het moet, of een professionele wielrenner worden. We zullen specifiek praten over begrip, over waarom trigonometrische functies nodig zijn.

Er zijn vier trigonometrische functies, maar ze kunnen allemaal worden uitgedrukt in termen van één met behulp van identiteiten (gelijkheden die ze met elkaar in verband brengen).

Formele definities van trigonometrische functies voor scherpe hoeken in rechthoekige driehoeken (Fig. 1).

Sinus De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de hypotenusa.

Cosinus De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen het aangrenzende been en de hypotenusa.

Raaklijn De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen de tegenoverliggende zijde en de aangrenzende zijde.

Cotangens De scherpe hoek van een rechthoekige driehoek is de verhouding tussen de aangrenzende zijde en de tegenoverliggende zijde.

Rijst. 1. Bepaling van trigonometrische functies van een scherpe hoek van een rechthoekige driehoek

Deze definities zijn formeel. Het is juister om te zeggen dat er maar één functie is, bijvoorbeeld sinus. Als ze niet zo nodig waren (niet zo vaak gebruikt) in de technologie, zouden er niet zoveel verschillende trigonometrische functies geïntroduceerd worden.

De cosinus van een hoek is bijvoorbeeld gelijk aan de sinus van dezelfde hoek met toevoeging van (). Bovendien kan de cosinus van een hoek altijd worden uitgedrukt via de sinus van dezelfde hoek tot aan het teken, met behulp van de trigonometrische basisidentiteit (). De tangens van een hoek is de verhouding van sinus tot cosinus of een omgekeerde cotangens (figuur 2). Sommigen gebruiken helemaal geen cotangens en vervangen deze door . Daarom is het belangrijk om één goniometrische functie te begrijpen en ermee te kunnen werken.

Rijst. 2. Relatie tussen verschillende goniometrische functies

Maar waarom waren dergelijke functies überhaupt nodig? Welke praktische problemen worden ermee opgelost? Laten we een paar voorbeelden bekijken.

Twee personen ( A En IN) duw de auto uit de plas (Fig. 3). Menselijk IN kan de auto zijwaarts duwen, terwijl het waarschijnlijk niet helpt A. Aan de andere kant kan de richting van zijn inspanningen geleidelijk veranderen (figuur 4).

Rijst. 3. IN duwt de auto zijwaarts

Rijst. 4. IN begint de richting van zijn inspanningen te veranderen

Het is duidelijk dat hun inspanningen het meest effectief zullen zijn als ze de auto in één richting duwen (Fig. 5).

Rijst. 5. De meest effectieve gezamenlijke inspanningsrichting

Hoe veel IN helpt de machine zo ver te duwen dat de richting van de kracht dichtbij de richting van de kracht ligt waarmee deze werkt A, is een functie van de hoek en wordt uitgedrukt via de cosinus ervan (Fig. 6).

Rijst. 6. Cosinus als kenmerk van inspanningsefficiëntie IN

Als we de grootte van de kracht waarmee IN, op de cosinus van de hoek verkrijgen we de projectie van zijn kracht op de richting van de kracht waarmee hij werkt A. Hoe kleiner de hoek tussen de richtingen van de krachten is, hoe effectiever het resultaat van gezamenlijke acties zal zijn. A En IN(Afb. 7). Als ze de auto met dezelfde kracht in tegengestelde richtingen duwen, blijft de auto op zijn plaats (Fig. 8).

Rijst. 7. Effectiviteit van gezamenlijke inspanningen A En IN

Rijst. 8. Tegengestelde richting van krachten A En IN

Het is belangrijk om te begrijpen waarom we een hoek (de bijdrage ervan aan het eindresultaat) kunnen vervangen door een cosinus (of een andere trigonometrische functie van een hoek). In feite volgt dit uit deze eigenschap van soortgelijke driehoeken. Omdat we in feite het volgende zeggen: de hoek kan worden vervangen door de verhouding van twee getallen (zij-hypotenusa of zijkant). Dit zou onmogelijk zijn als bijvoorbeeld voor dezelfde hoek van verschillende rechthoekige driehoeken deze verhoudingen verschillend zouden zijn (Fig. 9).

Rijst. 9. Gelijke zijdeverhoudingen in gelijkvormige driehoeken

Als de verhouding en de verhouding bijvoorbeeld verschillend zouden zijn, zouden we de raaklijnfunctie niet kunnen introduceren, omdat voor dezelfde hoek in verschillende rechthoekige driehoeken de raaklijn anders zou zijn. Maar vanwege het feit dat de verhoudingen van de lengtes van de benen van soortgelijke rechthoekige driehoeken hetzelfde zijn, zal de waarde van de functie niet afhangen van de driehoek, wat betekent dat de scherpe hoek en de waarden van zijn trigonometrische functies zijn een op een.

Stel dat we de hoogte van een bepaalde boom weten (Fig. 10). Hoe meet je de hoogte van een nabijgelegen gebouw?

Rijst. 10. Illustratie van de toestand van voorbeeld 2

We vinden een punt zodat een lijn die door dit punt en de bovenkant van het huis wordt getrokken, door de bovenkant van de boom gaat (Fig. 11).

Rijst. 11. Illustratie van de oplossing voor het probleem van voorbeeld 2

We kunnen de afstand vanaf dit punt tot de boom meten, de afstand ervan tot het huis, en we weten de hoogte van de boom. Uit de verhouding kunt u de hoogte van de woning afleiden: .

Proportie is de gelijkheid van de verhouding van twee getallen. In dit geval de gelijkheid van de verhouding van de lengtes van de benen van soortgelijke rechthoekige driehoeken. Bovendien zijn deze verhoudingen gelijk aan een bepaalde hoekmaat, die wordt uitgedrukt via een goniometrische functie (dit is per definitie een raaklijn). We ontdekken dat voor elke scherpe hoek de waarde van zijn trigonometrische functie uniek is. Dat wil zeggen dat sinus, cosinus, raaklijn en cotangens in werkelijkheid functies zijn, aangezien elke scherpe hoek overeenkomt met precies één waarde van elk ervan. Bijgevolg kunnen ze verder worden onderzocht en kunnen hun eigenschappen worden gebruikt. De waarden van trigonometrische functies voor alle hoeken zijn al berekend en kunnen worden gebruikt (ze zijn te vinden in de Bradis-tabellen of met behulp van een technische rekenmachine). Maar we kunnen het omgekeerde probleem niet altijd oplossen (bijvoorbeeld door de waarde van de sinus te gebruiken om de maat van de hoek die ermee overeenkomt te herstellen).

Laat de sinus van een bepaalde hoek gelijk zijn aan of ongeveer (Fig. 12). Welke hoek komt overeen met deze sinuswaarde? Natuurlijk kunnen we opnieuw de Bradis-tabel gebruiken en enige waarde vinden, maar het blijkt dat dit niet de enige zal zijn (Fig. 13).

Rijst. 12. Een hoek vinden aan de hand van de waarde van zijn sinus

Rijst. 13. Polysemie van inverse trigonometrische functies

Bijgevolg ontstaat bij het reconstrueren van de waarde van de goniometrische functie van een hoek de meerwaardige aard van de inverse goniometrische functies. Dit lijkt misschien moeilijk, maar in werkelijkheid worden we elke dag met soortgelijke situaties geconfronteerd.

Als je de ramen dichtdoet en niet weet of het buiten licht of donker is, of als je in een grot bent, dan is het, als je wakker wordt, moeilijk te zeggen of het één uur in de middag, 's nachts of de volgende dag (Fig. 14). Als je ons vraagt: “Hoe laat is het?”, moeten we eerlijk antwoorden: “Uur plus vermenigvuldigd met waar”

Rijst. 14. Illustratie van polysemie aan de hand van het voorbeeld van een klok

We kunnen concluderen dat dit een periode is (het interval waarna de klok dezelfde tijd zal aangeven als nu). Trigonometrische functies hebben ook punten: sinus, cosinus, enz. Dat wil zeggen dat hun waarden worden herhaald na enige verandering in het argument.

Als er geen verandering van dag en nacht of verandering van seizoenen op de planeet zou zijn, dan zouden we geen periodieke tijd kunnen gebruiken. We nummeren de jaren immers alleen in oplopende volgorde, maar de dagen hebben uren, en elke nieuwe dag begint het tellen opnieuw. De situatie is hetzelfde met maanden: als het nu januari is, dan komt over een paar maanden januari weer, enz. Externe referentiepunten helpen ons bij het periodiek tellen van de tijd (uren, maanden), bijvoorbeeld de rotatie van de aarde om zijn as en de verandering in de positie van de zon en de maan aan de hemel. Als de zon altijd in dezelfde positie hing, zouden we om de tijd te berekenen het aantal seconden (minuten) tellen vanaf het moment dat deze berekening begon. De datum en tijd kunnen er dan als volgt uitzien: een miljard seconden.

Conclusie: er zijn geen problemen in termen van polysemie van inverse functies. Er kunnen inderdaad opties zijn als er voor dezelfde sinus verschillende hoekwaarden zijn (Fig. 15).

Rijst. 15. Een hoek herstellen vanuit de waarde van zijn sinus

Bij het oplossen van praktische problemen werken wij doorgaans altijd in het standaardbereik van tot . In dit bereik zijn er voor elke waarde van de trigonometrische functie slechts twee overeenkomstige waarden van de hoekmeting.

Beschouw een bewegende riem en een slinger in de vorm van een emmer met een gat waaruit zand stroomt. De slinger zwaait, de tape beweegt (Fig. 16). Als gevolg hiervan zal het zand een spoor achterlaten in de vorm van een grafiek van de sinus- (of cosinus-) functie, die een sinusgolf wordt genoemd.

In feite verschillen de grafieken van sinus en cosinus alleen van elkaar in het referentiepunt (als u er een tekent en vervolgens de coördinaatassen wist, kunt u niet bepalen welke grafiek is getekend). Daarom heeft het geen zin om de cosinusgrafiek een grafiek te noemen (waarom zou je een aparte naam voor dezelfde grafiek bedenken)?

Rijst. 16. Illustratie van de probleemstelling in voorbeeld 4

De grafiek van een functie kan u ook helpen begrijpen waarom inverse functies veel waarden zullen hebben. Als de waarde van de sinus vast is, d.w.z. teken een rechte lijn evenwijdig aan de abscis-as, dan krijgen we op het snijpunt alle punten waarop de sinus van de hoek gelijk is aan de gegeven hoek. Het is duidelijk dat er een oneindig aantal van dergelijke punten zal zijn. Net als in het voorbeeld met de klok, waar de tijdswaarde verschilde met , zal hier alleen de hoekwaarde met de hoeveelheid verschillen (Fig. 17).

Rijst. 17. Illustratie van polysemie voor sinus

Als we het voorbeeld van een klok bekijken, beweegt het punt (met de klok mee) rond de cirkel. Trigonometrische functies kunnen op dezelfde manier worden gedefinieerd: denk niet aan de hoeken in een rechthoekige driehoek, maar aan de hoek tussen de straal van de cirkel en de positieve richting van de as. Het aantal cirkels waar het punt doorheen gaat (we hebben afgesproken om de beweging met de klok mee te tellen met een minteken, en tegen de klok in met een plusteken), dit is een punt (Fig. 18).

Rijst. 18. De waarde van sinus op een cirkel

De inverse functie is dus uniek gedefinieerd op een bepaald interval. Voor dit interval kunnen we de waarden ervan berekenen en de rest uit de gevonden waarden halen door de periode van de functie op te tellen en af te trekken.

Laten we eens naar een ander voorbeeld van een periode kijken. De auto rijdt over de weg. Laten we ons voorstellen dat haar wiel in verf of een plas is terechtgekomen. Er kunnen af en toe sporen van verf of plassen op de weg zichtbaar zijn (Figuur 19).

Rijst. 19. Periodeillustratie

Er zijn nogal wat trigonometrische formules in de schoolcursus, maar over het algemeen is het voldoende om er maar één te onthouden (Fig. 20).

Rijst. 20. Trigonometrische formules

De dubbele-hoekformule kan ook gemakkelijk worden afgeleid uit de sinus van de som door deze te vervangen (op dezelfde manier als de cosinus). Ook kunt u productformules afleiden.

In feite hoeft u heel weinig te onthouden, omdat bij het oplossen van problemen deze formules vanzelf worden onthouden. Natuurlijk zullen sommige mensen te lui zijn om te beslissen, maar dan hebben ze deze techniek en dus de formules zelf niet nodig.

En aangezien de formules niet nodig zijn, is het niet nodig om ze uit het hoofd te leren. U hoeft alleen maar het idee te begrijpen dat trigonometrische functies functies zijn die worden gebruikt om bijvoorbeeld bruggen te berekenen. Bijna geen enkel mechanisme kan zonder het gebruik en de berekening ervan.

1. Vaak rijst de vraag of draden absoluut evenwijdig aan de grond kunnen zijn. Antwoord: nee, dat kan niet, aangezien de ene kracht naar beneden werkt en de andere parallel werken - ze zullen nooit in evenwicht komen (Fig. 21).

2. Een zwaan, een rivierkreeft en een snoek trekken een kar in hetzelfde vlak. De zwaan vliegt in de ene richting, de rivierkreeft trekt de andere kant op en de snoek in de derde (Fig. 22). Hun krachten kunnen in evenwicht zijn. Deze balancering kan worden berekend met behulp van trigonometrische functies.