2点を通る平面の方程式を書きなさい。 平面方程式: 一般、3 点通過、法線。 三点が交わる平面の方程式の型

点 M 1 、M 2 、M 3 が 1 つの直線上にないとします。 知られているように、そのような 3 つの点は、特定の平面 p を一意に決定します (図 199)。

平面の方程式を導出します R. M を空間内の任意の点とします。 明らかに、点 M は平面に属します。 Rベクトルが

\(\overrightarrow(M_(1)M)\)、\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\)、\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) は同一平面上にあります。 3 つのベクトルの共平面性の必要十分条件は、それらの混合積が消滅することです (§ 23*、定理 2)。 したがって、1 つの直線上にない 3 点を通る平面の方程式は、次のように記述できます。

(\(\overrightarrow(M_(1)M)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_2)\), \(\overrightarrow(M_(1)M_3)\)) = 0. (1)

点 M 1 、M 2 、および M 3 が直交デカルト座標系の座標によって与えられる場合、式 (1) は座標で記述できます。

M 1 ( バツ 1 ; y 1 ; ぜ 1)、M 2 ( バツ 2 ; で 2 ; ぜ 2)、M 3 ( バツ 3 ; で 3 ; ぜ 3) - 与えられたポイント。 平面 p の任意の点 M の座標を x、yと ぜ. 式 (1) に含まれるベクトルの座標を求めます。

\(\overrightarrow(M_(1)M)\) = ( × - × 1 ; あなた - あなた 1 ; グーグー 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_2)\) = ( バツ 2 -バツ 1 ; y 2 -y 1 ; ぜ 2 -z 1),

\(\overrightarrow(M_(1)M_3)\) = ( バツ 3 -バツ 1 ; で 3 -y 1 ; ぜ 3 -z 1).

3 つのベクトルの混合積は 3 次行列式に等しく、その行はベクトルの座標です。 したがって、座標の式（1）は次の形式になります。

$$ \begin(vmatrix) x-x_1 & y-y_1 & z-z_1 \\ x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1 \\ x_3-x_1 & y_3-y_1 & z_3-z_1 \end(vmatrix)= 0 \;\; (2)$$

3 点 A を通る平面の方程式を求めましょう ( あ; 0; 0)、B(0; b; 0)、C(0; 0; と）、 どれの あ =/= 0, b =/= 0, c=/= 0. これらの点は座標軸上にあります (図 200)。

式（2）で仮定すると バツ 1 = あ, で 1 = 0, ぜ 1 = 0, バツ 2 = 0, で 2 = b, ぜ 2 = 0, バツ 3 = 0, で 3 = 0, ぜ 3 = と、 我々が得る

$$ \begin(vmatrix) x-a & y & z \\ -a & b & 0 \\ -a & 0 & c \end(vmatrix)=0 $$

最初の行の要素に行列式を展開すると、式が得られます

紀元前(x - a) + アシー + abz = 0

bcx + acu + abz = abc,

バツ / a + y / b + ぜ / c = 1. (3)

式（3）と呼ばれる セグメントの平面方程式、数字から a、bと と平面が座標軸上で切り取るセグメントを示します。

タスク。点 M 1 (-1; 4; -1)、M 2 (-13; 2; -10)、M 3 (6; 0; 12) を通る平面の方程式を書きます。 結果の方程式を単純化します。 指定された平面の方程式をセグメントで取得します。

この場合の式 (2) は、次のように記述されます。

$$ \begin(vmatrix) x+1 & y-4 & z+1 \\ -12 & -2 & -9 \\ 7 & -4 & 13 \end(vmatrix)=0 $$

これがこの平面の方程式です。 最初の行で行列式を展開すると、次のようになります。

62(バツ+ 1) +93(y- 4)+ 62 (ぜ + 1) = 0,

2バツ + 3y + 2ぜ - 12 = 0.

項ごとに 12 で除算し、方程式の自由項を右辺に移すと、セグメント内のこの平面の方程式が得られます。

$$ \frac(x)(-6)+\frac(y)(4)+\frac(z)(6)=1 $$

方程式から、この平面が座標軸上のセグメントを切断し、その長さがそれぞれ 6、4、および 6 に等しいことがわかります。 おお負の横座標、軸を持つ点で平面と交差します OU- 縦軸が正の点で、軸 オズ- 積極的なアプリケーションのポイントで。

1. 2 つの与えられた (共線でない) ベクトルに平行な与えられた点を通る平面の方程式を見つけます。

ノート： 片道 . 平面 M (x, y, z) の任意の点を取る。 ベクトルは平行な平面にあるため、同一平面上にあります。 したがって、それらの混合製品
この条件を座標で書くと、目的の平面の方程式が得られます。

この行列式は、最初の行で展開して計算する方が便利です。

2ウェイ . ベクトル
目的の平面に平行。 したがって、ベクトルのベクトル積に等しいベクトル
この平面に垂直 、つまり
と
. ベクター は平面の法線ベクトルです . もしも
と
、次にベクトル は次の式に従って求められます。

平面方程式 ポイントで見つける
と法線ベクトル

2.与えられたベクトルに平行な与えられた2点を通る平面の方程式を見つけます
.(
非共線)。

ノート： 1 つの方法。 M (x, y, z) を平面の任意の点とします。 次に、ベクトルと
平行な平面に配置されているため、同一平面上にあります。 それらの混合製品
この条件を座標で書くと、目的の平面の方程式が得られます .

2ウェイ . 目的の平面の法線ベクトルは、ベクトルのベクトル積に等しくなります
、つまり
または座標で：

希望する平面方程式 法線ベクトルによって求められる とポイント
（またはポイント
) 式 (2.1.1)

(例 1 ポイント 2.2 を参照)。

3.点を通る平面の方程式を見つけます
平面に平行 2x – 6y – 3z +5 =0.

ノート：法線ベクトル 与えられた平面の一般方程式から 2x – 6y – 3z +5 =0 (2.2.1) を見つけます。
ベクター は特定の平面に対して垂直であるため、それに平行な任意の平面に対して垂直です。 ベクター は、目的の平面の法線ベクトルと見なすことができます。 ポイントで目的の平面の方程式を作成します
と法線ベクトル
(例 1 ポイント 2.2 を参照)。

答え：

4. 点を通る平面の方程式を書きます
平面の交線に垂直 2x + y - 2z + 1 = 0 および

x + y + z - 5 = 0。

ノート： 1 つの方法。 各平面に垂直なベクトル (ベクトルの座標は、平面の一般方程式、式 (2.2.1) から求められます) は、それらの交線に垂直であり、したがって、目的の平面に平行です。 目的の平面は点を通過します
2 つのベクトルに平行
(タスク 1 ポイント 5 を参照)。

目的の平面の方程式は次の形式になります。

最初の行の 3 次行列式を展開すると、目的の方程式が得られます。

2ウェイ。 点で平面の方程式を構成する
と法線ベクトル 式（2.2.1）によって。 法線ベクトル ベクトルの外積に等しい
、それらの。
ベクトル
平面の交線に垂直である場合、ベクトル 平面の交線に平行で、目的の平面に垂直です。

ベクトル (式 2.2.1 を参照)、次に

点で平面の方程式を構成する
と法線ベクトル

(例 1 ポイント 2.2 を参照)

答え：

5.点を通る平面の方程式を見つけます
と
平面に垂直 3x – y + 3z +15 = 0.

ノート： 1 つの方法。 与えられた n の法線ベクトルの座標を書き出してみましょう 平坦度

3x - y + 3z +15 = 0:
平面は垂直なので、ベクトル 希望する平面に平行 目的の平面の方程式を作成します
これはベクトルに平行です そしてポイントを通過します
(問題 2 ポイント 5 の解決策を参照してください; 1 つの方法)。

行列式を計算すると、目的の平面の方程式が得られます

10x + 15y - 5z - 70 =0
2x + 3y – z – 14 =0.

2ウェイ。 目的の平面の方程式を作成します ポイントごと
と法線ベクトル
ベクター

目的の平面の方程式を作成します .

10(x - 2) +15(y - 3) - 5(z + 1) = 0;

10x + 15y - 5z - 70 = 0 (問題 2 のポイント 5 を参照; 2 番目の方法)。 式の両辺を 5 で割ります。

2x + 3y - z - 14 = 0。

答え： 2x + 3y - z - 14 = 0。

6.点を通る平面の方程式を書きます

と

ノート： 3 点を通る平面の方程式を作成してみましょう (例 1、節 2.3、式 2.3.1 を参照)。

行列式を展開すると、

答え：

コメント。行列式の計算の正確さを確認するには、平面が通過するこれらの点の座標を結果の方程式に代入することをお勧めします。 ID が必要です。 それ以外の場合は、計算でエラーが発生しました。

7. 点を通る平面の方程式を書きなさい
x 平面に平行 – 4y + 5z + 1 = 0.

ノート：与えられた平面の一般方程式から
x – 4y + 5z + 1 = 0 法線ベクトルを見つける
(式 2.2.1)。 ベクター 目的の平面に垂直
点で平面の方程式を構成する
と法線ベクトル
(例 1、条項 2.2 を参照):

x - 4y + 5z + 15 = 0。

答え： x - 4y + 5z + 15 = 0。

8. 点を通る平面の方程式を書きなさい
ベクトルに平行

ノート：問題の解決策を参照してください 1 ポイント 5. 示された方法のいずれかで問題を解決します。

答え： x - y - z - 1 = 0。

9. 点を通る平面の方程式を書きなさい
平面 3x - 2y - z + 1 = 0 と x - y - z = 0 の交線に垂直です。

ノート：問題 4 ポイント 5 の解決策を参照してください。指定された方法のいずれかで問題を解決します。

答え： x + 2y - z - 8 = 0。

10.点を通る平面の方程式を見つけます

平面 3x – y – 4z = 0 に垂直です。

ノート：問題 5 ポイント 5 の解決策を参照してください。

答え： 9x - y + 7z - 40 = 0.

11.点を通る平面の方程式を見つけます

点 A (5; –2; 3) と B (6; 1; 0) によって定義される直線に平行です。

ノート：目的の平面は直線 AB に平行であるため、ベクトルに平行です。
希望する平面方程式 タスク 2、パラグラフ 5 (方法の 1 つ) のように、見つけます。

答え： 3x - 4y - 3z +4 = 0。

12. 点 P (2; -1; -2) は、原点から平面に下ろした垂線の底となります。 この平面の方程式を書きなさい。

ノート：法線ベクトル 目的の平面へのベクトルは
その座標を見つける. P (2; -1; -2) および O(0; 0; 0)

それらの。
平面の方程式を構成する 点と法線ベクトルによる
(例 1、パラグラフ 2.2 を参照)。

答え： 2x - y - 2z - 9 = 0。

13. 点を通る平面の方程式を書きなさい
平面に平行: a) xoy; b) ヨズ; c) xoz.

ノート：ベクター
- 軸 oz の単位ベクトルは xoy 平面に垂直であるため、目的の平面に垂直です。
点 A (0; -1; 2) で平面の方程式を構成し、

= (0; 0; 1)、なぜなら
(問題 3 の解決策、項目 5 を参照)。
z - 2 = 0。

同様の方法で、問題 b) と c) を解決します。

b)
どこ
(1; 0; 0).

Ⅴ）
どこ (0; 1; 0).

y + 1 = 0。

答え： a) z - 2 = 0; b) x = 0; c) y + 1 = 0.

14.点を通る平面の方程式を書きなさい
と

B (2; 1; –1) 平面に垂直: a) xoy; b) xoz.

ノート： xoy 平面の法線ベクトルは

= (0; 0; 1) は oz 軸の単位ベクトルです。 2 点を通る平面の方程式を作成する
および B (2; 1; –1) で、法線ベクトルを持つ平面に垂直
(0; 0; 1)、段落 5 の問題 5 を解決する方法の 1 つを使用します。
y - 1 = 0。

同様に、問題 b) について:
ここで、= (0; 1; 0) です。

答え： a) y - 1 = 0; b) x + z - 1 = 0.

15. 点を通る平面の方程式を書きなさい
と

B (2; 3; –1) オンス軸に平行。

ノート：オンス軸では、単位ベクトルを取得できます = (0; 0; 1)。 この問題の解決策は、問題 2 のポイント 5 の解決策と似ています (いずれにしても)。

答え: x - y + 1 = 0。

16. ox 軸と点を通る平面の方程式を書きます

ノート：飛行機
は x 軸を通過するため、点 O(0; 0; 0) も通過します。 牛軸では、単位ベクトルを取得できます = (1; 0; 0)。 2 つの点 A(2; –1; 6) と O(0; 0; 0) とベクトルを使用して、目的の平面の方程式を作成します。 平面に平行。 (問題 2 ポイント 5 の解決策を参照してください)。

答え： 6y + z = 0。

17. 平面 Ax + 2y - 7z - 1 \u003d 0 および 2x - y + 2z \u003d 0 が垂直になる A の値は?

ノート：平面の一般方程式から

斧 + 2y - 7z - 1 = 0 および
2x – y + 2z = 0 法線ベクトル

= (A; 2; -7) および
= (2; –1; 2) (2.2.1)。 二平面の直角の条件 (2.6.1).

答え： A = 8。

18.平面のどの値Aで2x + 3y - 6z - 23 = 0および

4x + Ay - 12z + 7 = 0 は平行になりますか?

ノート：
2x + 3y - 6z - 23 = 0 および
4x + Ay - 12y + 7 = 0

= (2; 3; -6) および
= (4;A; –12) (2.2.1)。 なぜなら
(2.5.1)

答え： A = 6。

19. 2 つの平面間の角度 2x + y + z + 7 = 0 と x - 2y + 3z = 0 を見つけます。

ノート：
2x + y + z + 7 = 0 および
x – 2y + 3z = 0

= (2; 1; 1) および
= (1; –2; 3)

(2.4.1)

答え:

20. 点を通る直線の正準方程式を作成する

ベクトルに平行な (1; 2; -3) =(1; –2; 1).

ノート：ポイント3.1の例の解決策を参照してください。

答え:

21. 点を通る直線のパラメトリック方程式を作成する

A (–2; 3; 1) ベクトルに平行 =(3; –1; 2).

ノート：ポイント3.2の例の解決策を参照してください。

答え:
.

22. 点 A (1; 0; -2) と B (1; 2; -4) を通る直線の正準方程式とパラメトリック方程式を作成します。

ノート：段落 3.3 の例 1 の解決策を参照してください。

答え： A)
b)

23. 2 つの平面 x - 2y + 3z - 4 = 0 と 3x + 2y - 5z - 4 = 0 の交点として定義される直線の正準方程式とパラメトリック方程式を作成します。

ノート：例 1 のポイント 3.4 を参照してください。 z = 0 とすると、点の x 座標と y 座標
系の解から見つける

したがって、ポイント
、目的の線上にあり、座標を持っています

(2; -1; 0)。 平面の一般方程式から目的の直線の方向ベクトルを見つけるには
x – 2y +3z – 4 = 0 および
3x + 2y - 5z - 4 = 0

法線ベクトルを見つける =(1; -2; 3) および
=(3; 2; –5).

直線の正準方程式は点から見つけられる
(2; -1; 0) および方向ベクトル

（式（3.1.1）を参照）。

直線のパラメトリック方程式は、式 (3.2.1) または正準方程式から求めることができます。
我々は持っています：

答え:
;
.

24. スルー・ザ・ドット
(2; -3; -4) 線に平行な線を引く

.

ノート：必要な行の正準方程式 ポイントで見つける
および方向ベクトル なぜなら
次に、方向ベクトル 真っ直ぐ 方向ベクトルを取ることができます ストレートL。 さらに、問題 23、パラグラフ 5 または例 1、パラグラフ 3.4 の解決策を参照してください。

答え:

25. 三角形の頂点 A (–5; 7; 1)、B (2; 4; –1)、および C (–1; 3; 5) が与えられます。 頂点 B から引いた三角形 ABC の中央値の方程式を見つけます。

ノート：条件 AM = MC (BM は三角形 ABC の中央値) から点 M の座標を見つけます。

と 2 点 B (2; 4; –1) における直線 BM の正準方程式を残し、
(例 1 のポイント 3.3 を参照)。

答え:

26. 点を通る直線の正準方程式とパラメトリック方程式を作成する
(–1; –2; 2) x 軸に平行。

ノート：ベクター
– x 軸の単位ベクトルは、必要な直線に平行です。 したがって、直線の方向ベクトルと見なすことができます。
= (1; 0; 0)。 直線の方程式を点で構成する

(–1; –2: 2) およびベクトル = (1; 0; 0) (例のポイント 3.1 と例 1 のポイント 3.2 を参照)。

答え:
;

27. 点を通る直線の正準方程式を作成する
(3; –2; 4) 平面 5x + 3y – 7z + 1 = 0 に垂直。

ノート：平面の一般式より
5x + 3y – 7z + 1 = 0 法線ベクトルを見つける = (5; 3; -7)。 条件に応じて、ご希望のライン
したがって、ベクトル
それらの。 ベクター は直線 L の方向ベクトルです。 = (5; 3; -7)。 直線の正準方程式を点で構成します
(3; –2; 4) および方向ベクトル

= (5; 3; -7)。 (例のポイント 3.1 を参照)。

答え:

28. 原点から平面に下ろした垂線のパラメトリック方程式 4x - y + 2z - 3 = 0 を作成します。

ノート：必要な垂線の方程式を作成しましょう。つまり、 平面に垂直な直線
4x – y + 2z – 3 = 0 で、点 O (0; 0; 0) を通過します。 (問題 27 のポイント 5 と例 1 のポイント 3.2 の解決策を参照してください)。

答え：

29. 線の交点を見つける
と飛行機

x - 2y + z - 15 = 0。

ノート：直線の交点 M を求めるには

L:
と飛行機

x - 2y + z - 15 = 0、連立方程式を解く必要があります。

;

この系を解くために、直線の正準方程式をパラメトリック方程式に変換します。 (問題 23 ポイント 5 を参照)。

答え:

30. 点 M (4; -3; 1) の平面 x + 2y - z - 3 = 0 への投影を見つけます。

ノート：平面への点 M の投影は、点 P - 点 p になります。 点 M から平面に下ろした垂線の交点
そして飛行機 MP 垂線のパラメトリック方程式を構成してみましょう (問題 28、パラグラフ 5 の解法を参照)。

点 P を見つけましょう - 線 MP と平面の交点 (問題 29 ポイント 5 の解決策を参照してください)。

答え：

31. 直線上の点 A (1; 2; 1) の投影を見つけます。

ノート：点 A の直線 L への射影:
です 点 直線 L と平面の交点
点Aを通り、直線Lに垂直な直線です。 直線 L の正準方程式から、方向ベクトルを書き出します。 =(3; -1; 2)。 飛行機 直線 L に垂直なので、
だからベクトル 平面の法線ベクトルと見なすことができます
= (3; –1; 2)。 平面の方程式を構成する 点 A(1; 2; 1) および = (3; –1; 2) (例 1 ポイント 2.2 を参照):
3(x - 1) - 1(y - 2) + 2(z - 1) = 0

3x - y + 2z - 3 = 0. 直線と平面の交点で点 B を見つけます (問題 29、段落 5 を参照)。

答え:

32. 2 つの平面 x - y + z - 3 = 0 および x + y + 2z - 3 = 0 に平行な点 M (3; -1; 0) を通る線を引きます。

ノート：飛行機
x – y + z – 3 = 0 および
x + y + 2z - 3 = 0 は平行ではありません。 条件 (2.5.1) が満たされていない:
飛行機
交差します。 平面に平行な目的の直線 L
これらの平面の交線に平行。 (問題 24 と 23 ポイント 5 の解決策を参照してください)。

答え:

33. 2 本の直線を通る平面の方程式を書きなさい

ノート：1 つの方法。 目的の平面の方程式を作成します ポイントごと
一直線に横たわる 、および法線ベクトル . ベクター 線の方向ベクトルのベクトル積に等しくなります
、直線の正準方程式から見つけます
(式 3.1.1): = (7; 3; 5) および

= (5; 5; –3)

ポイント座標
直線の正準方程式から求める

平面の方程式を構成します ポイントごと
と法線ベクトル =(–34; 46; 20) (例 1 ポイント 2.2 を参照)
17x - 23y - 10z + 36 = 0.

2ウェイ。 方向ベクトルを見つける = (7; 3; 5) および = (5; 5; –3) 直線の正準方程式から
点
(0; 2; –1) 式から

. 平面上の任意の点を取る

M (x; y; z)。 ベクトル
は同一平面上にあるため、
この条件から、平面の方程式を取得します。

答え: 17x - 23y - 10z +36 = 0.

34. 点を通る平面の方程式を書きなさい
(2; 0; 1) と直線

ノート：まずポイントを確認しましょう
この直線上に エジット:
点
および方向ベクトル 直線の正準方程式から
:
(1; -1; -1) および

= (1; 2; -1)。 目的の平面の法線ベクトル
座標を知って、法線ベクトルの座標を見つけます =(1; 2; -1) および

= (1; 1; 2):

点で平面の方程式を構成します
(2; 0; 1) と法線ベクトル = (–5; 3; 1):

–5(x – 2) + 3(y – 0) + 1(z – 1) = 0.

答え: 5x - 3y - z - 9 = 0。

さまざまな方法で指定できます (1 点とベクトル、2 点とベクトル、3 点など)。 これを念頭に置いて、平面の方程式はさまざまな形式を持つことができます。 また、特定の条件下では、平面は平行、垂直、交差などになる可能性があります。 これについては、この記事で説明します。 だけでなく、平面の一般方程式の書き方を学びます。

方程式の正規形

直交座標系 XYZ を持つ空間 R 3 があるとします。 初期点 O から解放されるベクトル α を設定します。ベクトル α の終点を通り、それに垂直な平面 P を描きます。

任意の点 Q=(x, y, z) を P で表す。 点 Q の半径ベクトルを文字 p で署名します。 ベクトル α の長さは p=IαI であり、 Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ) です。

これは、ベクトル α と同じように横向きの単位ベクトルです。 α、β、および γ は、それぞれベクトル Ʋ と空間軸 x、y、z の正の方向との間で形成される角度です。 ある点 QϵП のベクトル Ʋ への射影は、р: (р,Ʋ) = р(р≥0) に等しい定数値です。

この式は、p=0 の場合に意味があります。 ただ、この場合の平面 P は、原点である点 O (α=0) と交差し、点 O から放たれた単位ベクトル Ʋ は、その方向に関係なく、P に垂直になります。つまり、ベクトル Ʋ は符号精度から決定されます。 前の方程式は、ベクトル形式で表された P 平面の方程式です。 しかし、座標では次のようになります。

ここで、P は 0 以上です。通常の形の空間の平面の方程式を見つけました。

一般式

座標の方程式にゼロ以外の任意の数を掛けると、同じ平面を決定する与えられた方程式と同等の方程式が得られます。 次のようになります。

ここで、A、B、C は、同時にゼロとは異なる数です。 この方程式は一般平面方程式と呼ばれます。

平面方程式。 特殊なケース

一般的な形式の式は、追加の条件が存在する場合に変更できます。 それらのいくつかを考えてみましょう。

係数 A が 0 であると仮定します。これは、与えられた平面が与えられた軸 Ox に平行であることを意味します。 この場合、式の形が変わります: Âу+Cz+D=0.

同様に、方程式の形式は、次の条件下で変化します。

• まず、B = 0 の場合、方程式は Ax + Cz + D = 0 に変わり、Oy 軸に対する平行度を示します。
• 次に、С=0 の場合、式は Ах+Ву+D=0 に変換されます。これは、指定された軸 Oz に対する平行度を示します。
• 第 3 に、D=0 の場合、方程式は Ax+By+Cz=0 のようになり、平面が O (原点) と交差することを意味します。
• 第 4 に、A=B=0 の場合、方程式は Cz+D=0 に変わり、Oxy と平行であることが証明されます。
• 第 5 に、B=C=0 の場合、式は Ax+D=0 となり、Oyz までの平面が平行であることを意味します。
• 第 6 に、A=C=0 の場合、式は Ву+D=0 の形式になります。つまり、Oxz に並列性がレポートされます。

セグメントの方程式のタイプ

数値 A、B、C、D が非ゼロの場合、式 (0) の形式は次のようになります。

x/a + y/b + z/c = 1、

a \u003d -D / A、b \u003d -D / B、c \u003d -D / C。

この平面は、座標 (a,0,0)、Oy - (0,b,0)、および Oz - (0,0,c) の点で Ox 軸と交差することに注意してください。 .

式 x/a + y/b + z/c = 1 を考慮すると、特定の座標系に対する平面の配置を視覚的に表すのは簡単です。

法線ベクトル座標

平面Ｐの法線ベクトルｎは、与えられた平面の一般式ｎ（Ａ，Ｂ，Ｃ）の係数を座標とする。

法線 n の座標を決定するには、与えられた平面の一般方程式を知っていれば十分です。

x/a + y/b + z/c = 1 の形式を持つセグメントの方程式を使用する場合、および一般的な方程式を使用する場合、与えられた平面の法線ベクトルの座標を次のように書くことができます。 /a + 1/b + 1/ あり)。

法線ベクトルはさまざまな問題の解決に役立つことに注意してください。 最も一般的なのは、平面の垂直性または平行性を証明するタスク、平面間の角度または平面と線の間の角度を見つける際の問題です。

点の座標と法線ベクトルによる平面の方程式の表示

特定の平面に垂直な非ゼロのベクトル n は、特定の平面の法線 (法線) と呼ばれます。

座標空間 (直角座標系) で Oxyz が与えられているとします。

• 座標 (xₒ,yₒ,zₒ) を持つポイント Mₒ;
• ゼロ ベクトル n=A*i+B*j+C*k.

法線 n に垂直な点 Mₒ を通る平面の方程式を作成する必要があります。

空間では、任意の点を選び、それを M (x y, z) で表します。 任意の点 M (x, y, z) の半径ベクトルを r=x*i+y*j+z*k とし、点 Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) の半径ベクトル - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. ベクトル MₒM がベクトル n に垂直な場合、点 M は指定された平面に属します。 スカラー積を使用して直交条件を書きます。

[MₒM、n] = 0。

MₒM \u003d r-rₒ であるため、平面のベクトル方程式は次のようになります。

この方程式は、別の形を取ることができます。 これを行うには、スカラー積のプロパティが使用され、方程式の左辺が変換されます。 = - . c として表すと、次の方程式が得られます。 - c \u003d 0 または \u003d c は、平面に属する特定の点の半径ベクトルの法線ベクトルへの投影の不変性を表します。

これで、平面 = 0 のベクトル方程式を書く座標形式を取得できます。r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k なので、n = A*i+B *j+C*k で、次のようになります。

法線 n に垂直な点を通る平面の方程式があることがわかります。

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

2 点の座標と平面と同一線上にあるベクトルによる平面方程式の表示

2 つの任意の点 M' (x',y',z') および M" (x",y",z") と、ベクトル a (a',a",a‴) を定義します。

これで、指定されたベクトル a に平行な座標 (x、y、z) を持つ任意の点 M だけでなく、使用可能な点 M ' および M '' を通過する、指定された平面の方程式を作成できます。

この場合、ベクトル M'M=(x-x';y-y';z-z') および M''M=(x''-x';y''-y';z''-z') は、ベクトルと同一平面上になければなりません。 ａ＝（ａ'，ａ''，ａ‴）、これは（Ｍ'Ｍ，Ｍ''Ｍ，ａ）＝０を意味する。

したがって、空間における平面の方程式は次のようになります。

三点が交わる平面の方程式の型

同じ直線に属さない (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) の 3 つの点があるとします。 与えられた3点を通る平面の方程式を書く必要があります。 幾何学の理論は、この種の平面が実際に存在すると主張しています。 この平面は点 (x′, y′, z′) と交差するため、その方程式の形式は次のようになります。

ここで、A、B、C は同時にゼロではありません。 また、与えられた平面はさらに 2 つの点 (x″,y″,z″) と (x‴,y‴,z‴) と交差します。 これに関して、次の条件を満たす必要があります。

これで、未知数 u、v、w を含む同次系を構成できます。

この場合、x、y、または z は式 (1) を満たす任意の点です。 式 (1) と連立方程式 (2) および (3) を考慮すると、上の図に示されている連立方程式はベクトル N (A, B, C) を満たしますが、これは自明ではありません。 それが、このシステムの行列式がゼロに等しい理由です。

得られた式(1)が平面の方程式です。 3 点を正確に通過し、これは簡単に確認できます。 これを行うには、行列式を最初の行の要素に展開する必要があります。 行列式の既存のプロパティから、平面は最初に与えられた 3 つの点 (x′、y′、z′)、(x″、y″、z″)、(x‴、y‴、z‴) と同時に交差することがわかります。 . つまり、私たちは目の前に設定されたタスクを解決しました。

平面間の二面角

二面角は、1 つの直線から発する 2 つの半平面によって形成される空間的な幾何学図形です。 言い換えれば、これはこれらの半平面によって制限される空間の一部です。

次の式を持つ 2 つの平面があるとします。

ベクトル N=(A,B,C) および N¹=(A¹,B¹,C¹) は、与えられた平面に従って垂直であることがわかっています。 これに関して、ベクトルＮとＮ１との間の角度φは、これらの平面の間の角度（二面角）に等しい。 スカラー積の形式は次のとおりです。

NN¹=|N||N¹|cosφ、

まさにその理由

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²))。

0≦φ≦πであることを考慮すれば十分である。

実際、交差する 2 つの平面は 2 つの (二面角) 角 φ 1 と φ 2 を形成します。 それらの合計は π (φ 1 + φ 2 = π) に等しくなります。 余弦に関しては、絶対値は同じですが、符号が異なります。つまり、cos φ 1 =-cos φ 2 です。 式 (0) で、A、B、および C をそれぞれ数値 -A、-B、および -C に置き換えると、得られる式は同じ平面を決定し、式 cos φ= NN の唯一の角度 φ になります。 1 /| N||N 1 | π-φ に置き換えられます。

垂直面方程式

平面間の角度が 90 度の場合、それらの平面は垂直であると呼ばれます。 上記の資料を使用して、別の平面に垂直な平面の方程式を見つけることができます。 Ax+By+Cz+D=0 と A¹x+B¹y+C¹z+D=0 の 2 つの平面があるとします。 cosφ=0 の場合、それらは垂直になると言えます。 これは、NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0 であることを意味します。

平行平面方程式

平行とは、共通点を含まない 2 つの平面です。

条件 (それらの方程式は前の段落と同じです) は、それらに垂直なベクトル N と N¹ が同一線上にあることです。 これは、次の比例条件が満たされていることを意味します。

A/A¹=B/B¹=C/C¹。

比例条件を拡張すると、A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹、

これは、これらの平面が一致していることを示しています。 これは、式 Ax+By+Cz+D=0 および A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 が 1 つの平面を表すことを意味します。

ポイントから平面までの距離

式（0）で与えられる平面Pがあるとしましょう。 座標 (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ の点からの距離を見つける必要があります。 これを行うには、平面 P の方程式を正規形にする必要があります。

(ρ,v)=p (p≥0)。

この場合、ρ(x,y,z) は P 上にある点 Q の半径ベクトル、p はゼロ点から解放された P への垂線の長さ、v は次の場所にある単位ベクトルです。方向。

Pに属するある点Q \u003d（x、y、z）の半径ベクトルと、特定の点Q 0 \u003d（xₒ、yₒ、zₒ）の半径ベクトルの差ρ-ρºは、ベクトル、v 上の射影の絶対値は、Q 0 \u003d (xₒ、yₒ、zₒ) から P までの距離 d に等しくなります。

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|、しかし

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v)。

それで判明

d=|(ρ 0 ,v)-p|。

したがって、結果の式の絶対値、つまり目的の d を見つけます。

パラメータの言語を使用すると、明らかなことがわかります。

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

与えられた点 Q 0 が原点と同様に平面 P の反対側にある場合、ベクトル ρ-ρ 0 と v の間は次のようになります。

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

点 Q 0 が原点と共に P の同じ側にある場合、作成される角度は鋭角になります。つまり、次のようになります。

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

その結果、最初のケースでは (ρ 0 ,v)> р、2 番目のケースでは (ρ 0 ,v)<р.

接平面とその方程式

接触点 Mº でのサーフェスへの接平面は、サーフェス上のこの点を通って描かれた曲線へのすべての可能な接線を含む平面です。

この形式の表面方程式 F (x, y, z) \u003d 0 では、接点 Mº (xº, yº, zº) での接平面の方程式は次のようになります。

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

サーフェスを明示的な形式 z=f (x, y) で指定すると、接平面は次の式で表されます。

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº)。

2 つの平面の交差

座標系 (長方形) に Oxyz が配置され、2 つの平面 П' および П'' が与えられ、これらは交差し、一致しません。 直角座標系に位置する任意の平面は一般方程式によって決定されるため、P' および P'' は方程式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A''x によって与えられると仮定します。 +B″y+ С″z+D″=0. この場合、P' 平面の法線 n' (A', B', C') と P'' 平面の法線 n'' (A'', B'', C'') があります。 私たちの平面は平行ではなく、一致していないので、これらのベクトルは共線ではありません。 数学の言葉を使って、この条件を次のように書くことができます: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. P' と P'' の交点にある線を文字 a で表すとします。この場合、a = P' ∩ P'' です。

a は (共通) 平面 П' と П'' のすべての点の集合からなる直線です。 これは、線 a に属する任意の点の座標が、式 A'x+B'y+C'z+D'=0 および A″x+B″y+C″z+D″= を同時に満たさなければならないことを意味します。 0. これは、点の座標が次の連立方程式の特定の解になることを意味します。

結果として、この連立方程式の (一般的な) 解は、直線の各点の座標を決定し、それが П' と П'' の交点として機能し、直線を決定することがわかります。空間の座標系 Oxyz (長方形) のライン a。

空間内の任意の 3 点を通る 1 つの平面を描くには、これらの点が 1 つの直線上にない必要があります。

一般的な直交座標系の点 M 1 (x 1, y 1, z 1)、M 2 (x 2, y 2, z 2)、M 3 (x 3, y 3, z 3) を考えてみましょう。

任意の点 M(x, y, z) が点 M 1 、M 2 、M 3 と同じ平面にあるためには、ベクトルが同一平面上になければなりません。

(
) = 0

したがって、

3 点を通る平面の方程式:

2 点に関する平面の方程式と、平面と同一線上にあるベクトル。

点 M 1 (x 1, y 1, z 1), M 2 (x 2, y 2, z 2) とベクトル
.

与えられた点 M 1 と M 2 と、ベクトルに平行な任意の点 M (x, y, z) を通る平面の方程式を作成しましょう。 .

ベクトル
とベクトル
同一平面上にある必要があります。

(
) = 0

平面方程式:

一点と二ベクトルに関する平面の方程式、

共線平面。

2 つのベクトルを与える
と
、共線面。 次に、平面に属する任意の点 M(x, y, z) に対して、ベクトル
同一平面上にある必要があります。

平面方程式:

点と法線ベクトルによる平面方程式 .

定理。 点 M が空間で与えられた場合 0 （バツ 0 、y 0 , ぜ 0 )、次に、点 M を通る平面の方程式 0 法線ベクトルに垂直 (あ, B, ハ) は次のようになります。

あ(バツ – バツ 0 ) + B(y – y 0 ) + ハ(ぜ – ぜ 0 ) = 0.

証拠。 平面に属する任意の点 M(x, y, z) に対して、ベクトル を構成します。 なぜなら ベクター - 法線ベクトル、平面に対して垂直、したがってベクトルに対して垂直
. 次に、スカラー積

= 0

したがって、平面の方程式を取得します

定理は証明されました。

セグメントの平面の方程式。

一般式Ax + Wu + Cz + D \u003d 0の場合、両方の部分を（-D）で割ります

,

交換する
、セグメント内の平面の方程式を取得します。

数値 a、b、c は、それぞれ x、y、z 軸との平面の交点です。

ベクトル形式の平面方程式。

どこ

- 現在の点の半径ベクトル M(x, y, z),

原点から平面に下ろした垂線の方向を持つ単位ベクトル。

、、 は、このベクトルが x、y、z 軸に対して形成する角度です。

p はこの垂線の長さです。

座標では、この方程式は次の形式になります。

xcos + ycos + zcos - p = 0.

点から平面までの距離。

任意の点 M 0 (x 0, y 0, z 0) から平面 Ax + Vy + Cz + D \u003d 0 までの距離は次のとおりです。

例。点 P (4; -3; 12) が原点からこの平面に下ろした垂線の底であることを知って、平面の方程式を見つけます。

したがって、A = 4/13; B = -3/13; C = 12/13、次の式を使用します。

A(x – x 0 ) + B(y – y 0 ) + C(z – z 0 ) = 0.

例。 2 点 P(2; 0; -1) を通る平面の方程式を求め、

Q(1; -1; 3) は平面 3x + 2y - z + 5 = 0 に垂直です。

平面の法線ベクトル 3x + 2y - z + 5 = 0
目的の平面に平行。

我々が得る：

例。点 A(2, -1, 4) を通る平面の方程式を求め、

Â(3, 2, -1) 平面に垂直 バツ + で + 2ぜ – 3 = 0.

目的の平面方程式の形式は次のとおりです。 バツ+ B y+C ぜ+ D = 0、この平面の法線ベクトル (A、B、C)。 ベクター
(1, 3, -5) は平面に属します。 私たちに与えられた、目的の平面に垂直な平面には、法線ベクトルがあります (1、1、2)。 なぜなら 点 A と B は両方の平面に属し、平面は互いに垂直です。

したがって、法線ベクトル (11、-7、-2)。 なぜなら 点 A が目的の平面に属している場合、その座標はこの平面の方程式を満たさなければなりません。 112 + 71 - 24 + D= 0; D= -21.

合計すると、平面の方程式が得られます: 11 バツ - 7y – 2ぜ – 21 = 0.

例。点 P(4, -3, 12) が原点からこの平面に下ろした垂線の底であることを知って、平面の方程式を見つけます。

法線ベクトルの座標を見つける
= (4, -3, 12)。 必要な平面の方程式は次の形式です。 4 バツ – 3y + 12ぜ+ D = 0. 係数 D を求めるには、点 Р の座標を次の式に代入します。

16 + 9 + 144 + D = 0

合計すると、目的の方程式が得られます: 4 バツ – 3y + 12ぜ – 169 = 0

例。ピラミッドの頂点 A 1 (1; 0; 3)、A 2 (2; -1; 3)、A 3 (2; 1; 1) の座標を考えると、

辺 A 1 A 2 の長さを求めます。

エッジ A 1 A 2 と A 1 A 4 の間の角度を見つけます。

エッジ A 1 A 4 と面 A 1 A 2 A 3 の間の角度を見つけます。

まず、面の法線ベクトルを求めます A 1 A 2 A 3 ベクトルの外積として
と
.

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

法線ベクトルとベクトルの間の角度を見つける
.

-4 – 4 = -8.

ベクトルと平面の間の望ましい角度  は  = 90 0 -  に等しくなります。

面 A 1 A 2 A 3 の面積を求めます。

ピラミッドの体積を見つける.

平面 А 1 А 2 А 3 の方程式を見つけます。

3 点を通る平面の方程式の公式を使用します。

2x + 2y + 2z - 8 = 0

x + y + z - 4 = 0;

PC版「 高等数学コース」 ピラミッド頂点の任意の座標について上記の例を解くプログラムを実行できます。

アイコンをダブルクリックして、プログラムを起動します。

開いたプログラム ウィンドウで、ピラミッドの頂点の座標を入力し、Enter キーを押します。 したがって、すべての決定点を 1 つずつ取得できます。

注: プログラムを実行するには、コンピュータに Maple ( Waterloo Maple Inc.) がインストールされている必要があります。MapleV リリース 4 以降のすべてのバージョンです。

平面の平行度と垂直度を決定し、これらの幾何学的オブジェクト間の距離を計算するには、1 つまたは別のタイプの数値関数を使用すると便利です。 セグメントで平面の方程式を使用すると、どのような問題に便利ですか? この記事では、それが何であるか、実際のタスクでどのように使用するかを検討します。

セグメントの方程式とは何ですか?

平面は、いくつかの方法で 3D 空間で定義できます。 この記事では、さまざまなタイプの問題を解決しながら、それらのいくつかを示します。 ここでは、方程式を平面のセグメントで詳細に説明します。 一般に、次の形式をとります。

ここで、記号 p、q、r は特定の数値を表します。 この方程式は、簡単に一般式に変換したり、平面の数値関数の他の形式に変換したりできます。

方程式をセグメントで書くことの便利さは、平面と垂直な座標軸との交点の明示的な座標が含まれているという事実にあります。 原点に対する x 軸上で、平面は長さ p のセグメントを y 軸上 (q に等しい)、z 上で長さ r で切断します。

3 つの変数のいずれも方程式に含まれていない場合、これは平面が対応する軸を通過しないことを意味します (数学者は、平面は無限遠で交差すると言います)。

方程式の一般部分と部分部分の接続

平面は次の等式で与えられることが知られています。

2*x - 3*y + z - 6 = 0。

この平面の一般方程式を線分で書き留める必要があります。

同様の問題が発生した場合は、この手法に従う必要があります。自由項を等式の右側に移動します。 次に、式全体をこの項で割り、前の段落で示した形式で表現しようとします。 我々は持っています：

2*x - 3*y + z = 6 =>

2*x/6 - 3*y/6 + z/6 = 1 =>

x/3 + y/(-2) + z/6 = 1.

最初に一般的な形式で与えられた平面の方程式をセグメントで取得しました。 平面が、x 軸、y 軸、z 軸に対してそれぞれ長さ 3、2、6 のセグメントを切り取っていることに注目してください。 y 軸は、負の座標領域で平面と交差します。

セグメントで方程式を作成する場合、すべての変数の前に「+」記号を付けることが重要です。 この場合のみ、この変数を割った数が軸上で切り取られた座標を示します。

平面上の法線ベクトルと点

(3; 0; -1) を持つ平面があることが知られています。 点 (1; 1; 1) を通過することも知られています。 この平面の方程式を線分で書く必要があります。

この問題を解決するには、まずこの 2 次元の幾何学的オブジェクトの一般的な形状を使用する必要があります。 一般的な形式は次のように記述されます。

A*x + B*y + C*z + D = 0.

ここで、最初の 3 つの係数はガイド ベクトルの座標であり、問​​題のステートメントで指定されています。つまり、次のようになります。

自由項Dを見つけることは残っています。これは、次の式で決定できます。

D = -1*(A*x 1 + B*y 1 + C*z 1)。

インデックス1の座標値は、平面に属する点の座標に対応します。 問題の状態からそれらの値を代入すると、次のようになります。

D = -1*(3*1 + 0*1 + (-1)*1) = -2.

これで完全な方程式を書くことができます:

この式を平面のセグメントの方程式に変換する手法は、既に上で説明しました。 それを適用しましょう：

3*x - z = 2 =>

x/(2/3) + z/(-2) = 1.

問題に対する回答が得られました。 この平面は x 軸と z 軸とのみ交差することに注意してください。 y の場合は平行です。

平面を定義する 2 本の直線

空間幾何学のコースから、すべての学生は、任意の 2 本の直線が 3 次元空間の平面を一意に定義することを知っています。 同様の問題を解いてみましょう。

直線には次の 2 つの方程式があります。

(x; y; z) = (1; 0; 0) + α*(2; -1; 0);

(x; y; z) = (1; -1; 0) + β*(-1; 0; 1)。

これらの直線を通る平面の方程式を線分で書き留める必要があります。

両方の線が平面内にある必要があるため、これは、それらのベクトル (ガイド) が平面のベクトル (ガイド) に対して垂直でなければならないことを意味します。 同時に、任意の 2 つの有向セグメントのベクトル積は、元の 2 つのセグメントに垂直な 3 番目の座標の形で結果を与えることが知られています。 このプロパティを指定して、目的の平面に垂直なベクトルの座標を取得します。

[(2; -1; 0)*(-1; 0; 1)] = (-1; -2; -1).

任意の数を掛けることができるため、この場合、元のセグメントと平行に新しい有向セグメントが形成され、取得した座標の符号を反対のものに置き換えることができます（-1 を掛ける）。 :

方向ベクトルがわかります。 直線のいずれかの任意の点を取り、平面の一般方程式を構成する必要があります。

D = -1*(1*1 + 2*0 + 3*0) = -1;

x + 2*y + z -1 = 0。

この等式をセグメントの式に変換すると、次のようになります。

x + 2*y + z = 1

x/1 + y/(1/2) + z/1 = 1.

したがって、平面は座標系の正の領域で 3 つの軸すべてと交差します。

2 本の直線と同様に、3 点は 3 次元空間で平面を一意に定義します。 平面上にある次の点の座標がわかっている場合、対応する方程式をセグメントで書きます。

次のように進めます。これらの点を結ぶ 2 つの任意のベクトルの座標を計算し、見つかった有向線分の積を計算して、平面に垂直なベクトル n¯ を見つけます。 我々が得る：

QP¯ = P - Q = (1; -1; 0);

QM¯ = M - Q = (2; 4; 0);

n¯ = = [(1; -1; 0)*(2; 4; 0)] = (0; 0; 6)。

点 P を例に取り、平面の方程式を作成します。

D = -1*(0*2 + 0*(-3) + 6*0) = 0;

6*z = 0 または z = 0。

与えられた直角座標系の xy 平面に対応する簡単な式があります。 x 軸と y 軸は平面に属し、z 軸で切り取られたセグメントの長さはゼロに等しいため、セグメントに書き込むことはできません (点 (0; 0; 0) は平面に属します)。