La définition d'une balle. Sphère, boule, segment et secteur. Formules et propriétés de la sphère. Tangente, plan tangent à la sphère et leurs propriétés

Boule (sphère)

superficie sphérique. Boule (sphère). Sections de balle : cercles.

Théorème d'Archimède. Parties de la balle : segment de balle (sphérique),

couche sphérique, ceinture sphérique, secteur sphérique.

surface sphérique - Ce lieu des points(ceux. beaucoupensemble de tous les points)dans un espace équidistant d'un point O , qui est appelé le centre de la surface sphérique (Fig.90). Rayon AOi diamètre UN B sont définis de la même manière que dans un cercle.

Boule (sphère) - Ce un corps délimité par une surface sphérique. Peut obtenir une balle en faisant tourner un demi-cercle ( ou cercle ) autour du diamètre. Toutes les sections planes de la sphère sont cercles ( fig.90 ). Le plus grand cercle se trouve dans la section passant par le centre de la balle et s'appelle grand cercle. Son rayon est égal au rayon de la sphère. Deux grands cercles quelconques se coupent dans le diamètre de la boule ( AB, fig.91 ).Ce diamètre est aussi le diamètre des grands cercles qui se croisent. Par deux points d'une surface sphérique situés aux extrémités de même diamètre(A et B, fig.91 ), vous pouvez dessiner un nombre infini de grands cercles. Par exemple, un nombre infini de méridiens peuvent être tracés à travers les pôles de la Terre.

Le volume d'une sphère est une fois et demie inférieur au volume du cylindre qui lui est circonscrit. (fig.92 ), UN la surface d'une sphère est une fois et demie inférieure à la surface totale du même cylindre ( Théorème d'Archimède):

Ici S balle Et V balle sont respectivement la surface et le volume de la sphère ;

S cylindre Et V cylindre - surface totale et volume du cylindre circonscrit.

Pièces de balle. Partie du ballon (sphères ), coupé de lui par quelque plan ( ABC, figure 93), appelé balle(sphérique ) segment. cercle ABC appelé base segment de balle. Segment de ligne MN une perpendiculaire tirée du centre N cercle ABC jusqu'à ce qu'il croise une surface sphérique, s'appelle grand segment de balle. Point M appelé sommet segment de balle.

Partie d'une sphère enfermée entre deux plans parallèles ABC et DEF coupant une surface sphérique (Fig.93), appelé couche sphérique; la surface courbe de la couche sphérique est appelée ceinture de balle(zone). Cercles ABC et DEF – terrains ceinture à billes. Distance NK entre les bases de la ceinture sphérique - sa hauteur. Partie d'une sphère délimitée par la surface courbe d'un segment sphérique ( AMCB, fig.93) et une surface conique OABC , dont la base est la base du segment ( abc ), et le sommet est le centre de la balle O , est appelé secteur balle.

Lorsqu'on pose aux gens la question de savoir en quoi une sphère diffère d'une balle, beaucoup haussent simplement les épaules, pensant qu'ils sont en fait la même chose (une analogie avec un cercle et un cercle). En effet, connaissons-nous tous bien la géométrie du programme scolaire et pouvons-nous immédiatement répondre à cette question ? La sphère présente quelques différences par rapport au ballon, que non seulement les écoliers doivent connaître pour obtenir une bonne note pour leurs connaissances démontrées, mais aussi de nombreuses autres personnes, par exemple, dont le travail est directement lié aux dessins.

Définition

Balle est la totalité de tous les points de l'espace. Tous ces points partent du centre du corps géométrique à une distance qui n'est pas supérieure à celle spécifiée. Cette distance elle-même s'appelle le rayon. Une boule, en tant que corps géométrique, est formée comme suit : un demi-cercle tourne autour de son diamètre. Quant à la sphère, c'est la surface de la balle (par exemple, une balle fermée l'inclut, une ouverte non). Le calcul de l'aire ou du volume d'une boule est une formule géométrique entière très complexe, malgré l'apparente simplicité de la figure géométrique elle-même.

Sphère, comme indiqué ci-dessus, est la surface de la balle, sa coquille. Tous les points de l'espace sont équidistants du centre de la sphère. Quant au rayon d'un corps géométrique, il s'appelle tout segment dont un point est directement le centre de la sphère et l'autre peut être situé en tout point de la surface. On peut dire que la sphère est la coque de la balle sans aucun contenu (des exemples plus précis seront donnés ci-dessous). Tout comme une balle, une sphère est un corps de révolution. Au fait, beaucoup se demandent aussi quelle est la différence entre un cercle et un cercle d'une sphère et d'une balle. Tout est simple ici: dans le premier cas, ce sont des figures sur un plan, dans le second - dans l'espace.

Comparaison

On a déjà dit que la sphère est la surface d'une boule, ce qui permet déjà de parler d'un signe significatif de différence. La différence entre les deux corps géométriques est également observée dans certains autres aspects :

• Tous les points de la balle sont à la même distance du centre, tandis que le corps est limité par la surface (une sphère vide à l'intérieur). En d'autres termes, la sphère est creuse. Habituellement, pour faciliter la compréhension, un exemple simple est donné avec un ballon et une boule de billard. Ces deux objets sont appelés balles, mais dans le premier cas, nous avons affaire à une sphère, et dans le second à une balle à part entière avec son contenu à l'intérieur.
• Une sphère a sa propre surface, mais elle n'a pas de volume. Une sphère, en revanche, a un volume qui peut être calculé, alors qu'elle n'a pas d'aire. Quelqu'un peut dire que c'est le principal signe de différence, mais il n'apparaît que s'il est nécessaire de faire des calculs (formules géométriques complexes). Par conséquent, la principale différence est que la sphère est creuse et que la balle est un corps avec un contenu à l'intérieur.
• Une autre différence réside dans le rayon. Par exemple, le rayon d'une sphère n'est pas seulement la distance des points au centre. Tout segment reliant un point d'une sphère à son centre peut être appelé un rayon. Tous ces segments sont égaux entre eux. Quant à la balle, les points situés à l'intérieur sont à moins d'un rayon du centre (juste à cause de la sphère qui la délimite).

Site de découvertes

1. Une sphère est creuse, tandis qu'une sphère est un solide rempli à l'intérieur. Par exemple, un ballon est une sphère, une boule de billard est une boule à part entière.
2. Une sphère a une aire et pas de volume, alors qu'une sphère fait le contraire.
3. La troisième différence est la mesure du rayon de deux corps géométriques.

La balle et la sphère sont principalement des figures géométriques, et si la balle est un corps géométrique, alors la sphère est la surface de la balle. Ces chiffres étaient intéressants il y a plusieurs milliers d'années avant JC.

Par la suite, lorsqu'on a découvert que la Terre est une boule et que le ciel est une sphère céleste, une nouvelle direction fascinante de la géométrie a été développée - la géométrie sur une sphère ou la géométrie sphérique. Pour parler de la taille et du volume d'une balle, vous devez d'abord la définir.

Balle

Une boule de rayon R centrée en un point O de la géométrie est appelée un corps créé par tous les points de l'espace qui ont une propriété commune. Ces points sont situés à une distance ne dépassant pas le rayon de la balle, c'est-à-dire qu'ils remplissent tout l'espace inférieur au rayon de la balle dans toutes les directions à partir de son centre. Si nous ne considérons que les points équidistants du centre de la balle, nous considérerons sa surface ou la coque de la balle.

Comment puis-je obtenir une balle? Nous pouvons découper un cercle dans du papier et commencer à le faire tourner autour de son propre diamètre. Autrement dit, le diamètre du cercle sera l'axe de rotation. Une figure instruite sera une balle. Par conséquent, la balle est également appelée corps de révolution. Parce qu'il peut être formé en faisant tourner une figure plate - un cercle.

Prenons un avion et coupons notre balle avec. Tout comme on coupe une orange avec un couteau. Le morceau que nous avons coupé de la balle s'appelle le segment de balle.

Dans la Grèce antique, ils savaient non seulement travailler avec une boule et une sphère, comme avec des figures géométriques, par exemple, pour les utiliser dans la construction, mais savaient aussi calculer la surface d'une boule et le volume de un ballon.

Une sphère est un autre nom pour la surface d'une sphère. Une sphère n'est pas un corps - c'est la surface d'un corps de révolution. Cependant, comme la Terre et de nombreux corps ont une forme sphérique, comme une goutte d'eau, l'étude des relations géométriques au sein de la sphère s'est généralisée.

Par exemple, si nous relions deux points de la sphère entre eux par une ligne droite, alors cette ligne droite s'appellera une corde, et si cette corde passe par le centre de la sphère, qui coïncide avec le centre de la balle, alors la corde s'appellera le diamètre de la sphère.

Si nous traçons une ligne droite qui touche la sphère en un seul point, cette ligne s'appellera une tangente. De plus, cette tangente à la sphère en ce point sera perpendiculaire au rayon de la sphère dessinée au point tangent.

Si nous continuons l'accord en ligne droite dans un sens et dans l'autre à partir de la sphère, alors cet accord s'appellera une sécante. Ou vous pouvez dire le contraire - la sécante de la sphère contient son accord.

Volume de balle

La formule pour calculer le volume d'une boule est :

où R est le rayon de la balle.

Si vous avez besoin de trouver le volume d'un segment sphérique, utilisez la formule :

V seg \u003d πh 2 (R-h / 3), h est la hauteur du segment sphérique.

Surface d'une boule ou d'une sphère

Pour calculer l'aire d'une sphère ou la surface d'une boule (ce sont les mêmes) :

où R est le rayon de la sphère.

Archimède aimait beaucoup la boule et la sphère, il demanda même à laisser un dessin sur sa tombe, dans lequel une boule est inscrite dans un cylindre. Archimède croyait que le volume d'une sphère et sa surface sont égaux aux deux tiers du volume et de la surface du cylindre dans lequel la sphère est inscrite.

Dans le chapitre 2, nous continuerons à "construire la géométrie" et parlerons de la structure et des propriétés des figures spatiales les plus importantes - une boule et une sphère, des cylindres et des cônes, des prismes et des pyramides. La plupart des objets créés par des mains humaines sont des bâtiments, voitures, meubles, ustensiles, etc., etc., se compose de pièces ayant la forme de ces figures.

§ 4. SPHÈRE ET BOULE

Après les lignes droites et les plans, la sphère et la boule sont les plus simples, mais très importantes et riches en diverses propriétés des figures spatiales. Des livres entiers ont été écrits sur les propriétés géométriques d'une balle et de sa surface - une sphère. Certaines de ces propriétés étaient déjà connues des anciens géomètres grecs, et certaines ont été découvertes assez récemment, ces dernières années. Ces propriétés (associées aux lois des sciences naturelles) expliquent pourquoi, par exemple, les corps célestes et les œufs de poisson ont la forme d'une balle, pourquoi les bathyscaphes et les ballons de football ont la forme d'une balle, pourquoi les roulements à billes sont si courants dans technologie, etc... Nous ne pouvons prouver que les propriétés les plus simples d'une balle. La preuve d'autres propriétés, bien que très importantes, nécessite souvent l'utilisation de méthodes qui ne sont pas du tout élémentaires, bien que les formulations de telles propriétés puissent être très simples : par exemple, parmi tous les corps de surface donnée, la sphère a pour plus grand volume.

4.1. Définitions de sphère et sphère.

Une sphère et une boule sont définies dans l'espace exactement de la même manière qu'un cercle et un cercle sur un plan. Une sphère est une figure composée de tous les points de l'espace éloignés d'un

pointe vers la même distance (positive).

Ce point s'appelle le centre de la sphère et la distance s'appelle son rayon (Fig. 4.1).

Ainsi, une sphère de centre O et de rayon R est une figure formée par tous les points X de l'espace pour lesquels

Une balle est une figure formée par tous les points de l'espace qui sont à une distance non supérieure à une distance donnée (positive) d'un point donné. Ce point s'appelle le centre de la balle et cette distance s'appelle son rayon.

Ainsi, une boule de centre O et de rayon R est une figure formée par tous les points X de l'espace pour lesquels

Les points X de la boule de centre O et de rayon R pour lesquels ils forment une sphère. On dit que cette sphère délimite la sphère donnée, ou qu'elle en est la surface.

A peu près les mêmes points X de la balle, pour lesquels on dit qu'ils se trouvent à l'intérieur de la balle.

Le rayon de la sphère (et de la boule) s'appelle non seulement la distance, mais aussi tout segment reliant le centre au point de la sphère.