L'aire d'un triangle basée sur ses trois côtés. Comment calculer l'aire d'un triangle. Tâche. Changement de surface lors du changement de longueur des côtés

Comme vous vous en souvenez peut-être dans votre programme scolaire de géométrie, un triangle est une figure formée de trois segments reliés par trois points qui ne se trouvent pas sur la même ligne droite. Un triangle forme trois angles, d'où le nom de la figure. La définition peut être différente. Un triangle peut aussi être appelé un polygone à trois angles, la réponse sera également correcte. Les triangles sont divisés selon le nombre de côtés égaux et la taille des angles sur les figures. Ainsi, les triangles se distinguent respectivement en isocèles, équilatéraux et scalènes, ainsi que rectangulaires, aigus et obtus.

Il existe de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Choisissez comment trouver l'aire d'un triangle, c'est-à-dire La formule à utiliser dépend de vous. Mais il convient de noter seulement certaines des notations utilisées dans de nombreuses formules pour calculer l'aire d'un triangle. Alors souviens-toi:

S est l'aire du triangle,

a, b, c sont les côtés du triangle,

h est la hauteur du triangle,

R est le rayon du cercle circonscrit,

p est le demi-périmètre.

Voici les notations de base qui pourront vous être utiles si vous avez complètement oublié votre cours de géométrie. Vous trouverez ci-dessous les options les plus compréhensibles et les plus simples pour calculer la zone inconnue et mystérieuse d'un triangle. Ce n'est pas difficile et vous sera utile aussi bien pour les besoins de votre ménage que pour aider vos enfants. Rappelons comment calculer l'aire d'un triangle le plus simplement possible :

Dans notre cas, l'aire du triangle est : S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 cm². N'oubliez pas que la superficie est mesurée en centimètres carrés (cm²).

Triangle rectangle et son aire.

Un triangle rectangle est un triangle dont un angle est égal à 90 degrés (appelé donc droit). Un angle droit est formé de deux droites perpendiculaires (dans le cas d'un triangle, deux segments perpendiculaires). Dans un triangle rectangle, il ne peut y avoir qu'un seul angle droit, car... la somme de tous les angles d’un triangle est égale à 180 degrés. Il s'avère que 2 autres angles devraient diviser les 90 degrés restants, par exemple 70 et 20, 45 et 45, etc. Alors, rappelez-vous l'essentiel, il ne reste plus qu'à découvrir comment trouver l'aire d'un triangle rectangle. Imaginons que nous ayons un tel triangle rectangle devant nous et que nous devions trouver son aire S.

1. La façon la plus simple de déterminer l'aire d'un triangle rectangle est calculée à l'aide de la formule suivante :

Dans notre cas, l'aire du triangle rectangle est : S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 cm².

En principe, il n'est plus nécessaire de vérifier l'aire du triangle par d'autres moyens, car Seul celui-ci sera utile et aidera au quotidien. Mais il existe également des options pour mesurer l'aire d'un triangle par des angles aigus.

2. Pour les autres méthodes de calcul, vous devez disposer d'un tableau de cosinus, sinus et tangentes. Jugez par vous-même, voici quelques options pour calculer l'aire d'un triangle rectangle qui peuvent encore être utilisées :

Nous avons décidé d'utiliser la première formule et avec quelques taches mineures (nous l'avons dessinée dans un cahier et utilisé une vieille règle et un rapporteur), mais nous avons obtenu le calcul correct :

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Nous avons obtenu les résultats suivants : 3,6=3,7, mais compte tenu du décalage des cellules, on peut pardonner cette nuance.

Triangle isocèle et son aire.

Si vous êtes confronté à la tâche de calculer la formule d'un triangle isocèle, le moyen le plus simple est d'utiliser la formule principale et ce qui est considéré comme la formule classique de l'aire d'un triangle.

Mais d’abord, avant de trouver l’aire d’un triangle isocèle, découvrons de quel type de figure il s’agit. Un triangle isocèle est un triangle dont les deux côtés ont la même longueur. Ces deux côtés sont appelés latéraux, le troisième côté est appelé base. Ne confondez pas un triangle isocèle avec un triangle équilatéral, c'est-à-dire un triangle régulier dont les trois côtés sont égaux. Dans un tel triangle, il n’y a pas de tendances particulières dans les angles, ou plutôt dans leur taille. Cependant, les angles à la base d’un triangle isocèle sont égaux, mais différents de l’angle entre côtés égaux. Donc, vous connaissez déjà la première et principale formule, il reste à savoir quelles autres formules sont connues pour déterminer l'aire d'un triangle isocèle.

Un triangle est la figure géométrique la plus simple, composée de trois côtés et de trois sommets. En raison de sa simplicité, le triangle est utilisé depuis l'Antiquité pour prendre diverses mesures, et aujourd'hui, le chiffre peut être utile pour résoudre des problèmes pratiques et quotidiens.

Caractéristiques d'un triangle

Le chiffre est utilisé pour les calculs depuis l'Antiquité. Par exemple, les géomètres et les astronomes utilisent les propriétés des triangles pour calculer des superficies et des distances. Il est facile d'exprimer l'aire de n'importe quel n-gon à travers l'aire de cette figure, et cette propriété a été utilisée par les anciens scientifiques pour dériver des formules pour les aires des polygones. Le travail constant avec les triangles, en particulier le triangle rectangle, est devenu la base de toute une branche des mathématiques : la trigonométrie.

Géométrie triangulaire

Les propriétés de la figure géométrique sont étudiées depuis l’Antiquité : les premières informations sur le triangle ont été trouvées dans des papyrus égyptiens datant d’il y a 4 000 ans. Ensuite, la figure a été étudiée dans la Grèce antique et les plus grandes contributions à la géométrie du triangle ont été faites par Euclide, Pythagore et Héron. L'étude du triangle n'a jamais cessé et au XVIIIe siècle, Leonhard Euler a introduit le concept d'orthocentre d'une figure et de cercle d'Euler. Au tournant des XIXe et XXe siècles, alors qu'il semblait qu'on savait absolument tout sur le triangle, Frank Morley formula le théorème des trisecteurs d'angle et Waclaw Sierpinski proposa le triangle fractal.

Il existe plusieurs types de triangles plats qui nous sont familiers des cours de géométrie scolaire :

• aigu - tous les coins de la figure sont aigus;
• obtus - la figure a un angle obtus (plus de 90 degrés) ;
• rectangulaire - la figure contient un angle droit égal à 90 degrés ;
• isocèle - un triangle avec deux côtés égaux ;
• équilatéral - un triangle dont tous les côtés sont égaux.
• Il existe toutes sortes de triangles dans la vie réelle et, dans certains cas, nous devrons peut-être calculer l'aire d'une figure géométrique.

Aire d'un triangle

L'aire est une estimation de la superficie du plan qu'une figure englobe. L'aire d'un triangle peut être trouvée de six manières, en utilisant les côtés, la hauteur, les angles, le rayon du cercle inscrit ou circonscrit, ainsi qu'en utilisant la formule de Héron ou en calculant l'intégrale double le long des lignes délimitant le plan. La formule la plus simple pour calculer l'aire d'un triangle est :

où a est le côté du triangle, h est sa hauteur.

Cependant, dans la pratique, il n'est pas toujours pratique pour nous de trouver la hauteur d'une figure géométrique. L'algorithme de notre calculateur permet de calculer la superficie en connaissant :

• trois côtés ;
• deux côtés et l'angle entre eux ;
• un côté et deux coins.

Pour déterminer l'aire par trois côtés, nous utilisons la formule de Heron :

S = sqrt (p × (p-a) × (p-b) × (p-c)),

où p est le demi-périmètre du triangle.

L'aire de deux côtés et d'un angle est calculée à l'aide de la formule classique :

S = une × b × péché (alfa),

où alpha est l'angle entre les côtés a et b.

Pour déterminer l’aire en termes d’un côté et de deux angles, nous utilisons la relation suivante :

a / sin(alfa) = b / sin(bêta) = c / sin(gamma)

À l'aide d'une proportion simple, nous déterminons la longueur du deuxième côté, après quoi nous calculons l'aire à l'aide de la formule S = a × b × sin(alfa). Cet algorithme est entièrement automatisé et il vous suffit de saisir les variables spécifiées et d'obtenir le résultat. Regardons quelques exemples.

Exemples de la vie

Dalles de pavage

Disons que vous souhaitez paver le sol avec des carreaux triangulaires et que pour déterminer la quantité de matériau nécessaire, vous devez connaître la surface d'un carreau et la surface du sol. Supposons que vous deviez traiter 6 mètres carrés de surface à l'aide d'un carreau dont les dimensions sont a = 20 cm, b = 21 cm, c = 29 cm. Évidemment, pour calculer l'aire d'un triangle, la calculatrice utilise la formule de Héron et donne le résultat:

Ainsi, la superficie d'un élément de carrelage sera de 0,021 mètre carré et vous aurez besoin de 6/0,021 = 285 triangles pour l'amélioration du sol. Les nombres 20, 21 et 29 forment un triple nombre pythagoricien qui satisfait . Et c'est vrai, notre calculatrice a également calculé tous les angles du triangle, et l'angle gamma est exactement de 90 degrés.

Tâche scolaire

Dans un problème scolaire, vous devez trouver l'aire d'un triangle, sachant que le côté a = 5 cm et que les angles alpha et bêta sont respectivement de 30 et 50 degrés. Pour résoudre ce problème manuellement, nous trouverions d’abord la valeur du côté b en utilisant la proportion du rapport hauteur/largeur et les sinus des angles opposés, puis déterminerions l’aire à l’aide de la formule simple S = a × b × sin(alfa). Gagnons du temps, saisissons les données dans le formulaire de calculatrice et obtenons une réponse instantanée

Lors de l'utilisation de la calculatrice, il est important d'indiquer correctement les angles et les côtés, sinon le résultat sera incorrect.

Conclusion

Le triangle est une figure unique que l'on retrouve aussi bien dans la vie réelle que dans les calculs abstraits. Utilisez notre calculateur en ligne pour déterminer l'aire de triangles de toute nature.

Aire d'un triangle. Dans de nombreux problèmes de géométrie impliquant le calcul d'aires, des formules pour l'aire d'un triangle sont utilisées. Il en existe plusieurs, nous allons ici examiner les principaux.Énumérer ces formules serait trop simple et inutile. Nous analyserons l'origine des formules de base, celles qui sont les plus souvent utilisées.

Avant de lire la dérivation des formules, assurez-vous de consulter l'article sur.Après avoir étudié le matériel, vous pouvez facilement restaurer les formules dans votre mémoire (si elles « s'envolent » soudainement au moment où vous en avez besoin).

Première formule

La diagonale d'un parallélogramme le divise en deux triangles d'égale aire :

Par conséquent, l'aire du triangle sera égale à la moitié de l'aire du parallélogramme :

Aire de formule du triangle

*C'est-à-dire que si nous connaissons n'importe quel côté du triangle et la hauteur abaissée de ce côté, alors nous pouvons toujours calculer l'aire de ce triangle.

Formule deux

Comme déjà indiqué dans l'article sur l'aire d'un parallélogramme, la formule ressemble à :

L'aire d'un triangle est égale à la moitié de son aire, ce qui signifie :

*C'est-à-dire que si deux côtés d'un triangle et l'angle qui les sépare sont connus, nous pouvons toujours calculer l'aire d'un tel triangle.

Formule du héron (troisième)

Cette formule est difficile à dériver et elle ne vous est d’aucune utilité. Regardez comme elle est belle, vous pouvez dire qu'elle est elle-même mémorable.

*Si trois côtés d'un triangle sont donnés, alors en utilisant cette formule, nous pouvons toujours calculer son aire.

Formule quatre

Où r– rayon du cercle inscrit

*Si les trois côtés d'un triangle et le rayon du cercle qui y est inscrit sont connus, alors on peut toujours trouver l'aire de ce triangle.

Formule cinq

Où R.– rayon du cercle circonscrit.

*Si les trois côtés d'un triangle et le rayon du cercle qui l'entoure sont connus, alors on peut toujours trouver l'aire d'un tel triangle.

La question se pose : si trois côtés d’un triangle sont connus, alors n’est-il pas plus facile de trouver son aire à l’aide de la formule de Héron !

Oui, cela peut être plus facile, mais pas toujours, parfois la complexité surgit. Cela implique d’extraire la racine. De plus, ces formules sont très pratiques à utiliser dans des problèmes où l'aire d'un triangle et ses côtés sont donnés et où vous devez trouver le rayon du cercle inscrit ou circonscrit. De telles tâches sont disponibles dans le cadre de l'examen d'État unifié.

Examinons la formule séparément :

C'est un cas particulier de la formule de l'aire d'un polygone dans lequel est inscrit un cercle :

Considérons cela en utilisant l'exemple d'un pentagone :

Relions le centre du cercle aux sommets de ce pentagone et aux perpendiculaires inférieures du centre à ses côtés. Nous obtenons cinq triangles, les perpendiculaires tombées étant les rayons du cercle inscrit :

L'aire du pentagone est :

Or il est clair que si nous parlons d'un triangle, alors cette formule prend la forme :

Formule six

Peut être trouvé en connaissant la base et la hauteur. Toute la simplicité du schéma réside dans le fait que la hauteur divise la base a en deux parties a 1 et a 2, et le triangle lui-même en deux triangles rectangles dont l'aire est et. Ensuite, l'aire du triangle entier sera la somme des deux aires indiquées, et si nous retirons une seconde de la hauteur du support, alors dans la somme nous récupérerons la base :

Une méthode de calcul plus difficile est la formule de Heron, pour laquelle vous devez connaître les trois côtés. Pour cette formule, il faut d'abord calculer le demi-périmètre du triangle : La formule de Héron elle-même implique la racine carrée du demi-périmètre, multipliée à son tour par sa différence de chaque côté.

La méthode suivante, également pertinente pour tout triangle, vous permet de trouver l'aire du triangle passant par deux côtés et l'angle entre eux. La preuve en est la formule avec la hauteur - nous dessinons la hauteur sur l'un des côtés connus et par le sinus de l'angle α nous obtenons que h=a⋅sinα. Pour calculer la superficie, multipliez la moitié de la hauteur par le deuxième côté.

Une autre façon consiste à trouver l'aire d'un triangle, en connaissant 2 angles et le côté qui les sépare. La preuve de cette formule est assez simple et peut être clairement visible sur le diagramme.

Nous abaissons la hauteur du sommet du troisième angle jusqu'au côté connu et appelons les segments résultants x en conséquence. A partir des triangles rectangles, on peut voir que le premier segment x est égal au produit

Formule de superficie est nécessaire pour déterminer l'aire d'une figure, qui est une fonction à valeur réelle définie sur une certaine classe de figures du plan euclidien et satisfaisant 4 conditions :

1. Positivité - La surface ne peut pas être inférieure à zéro ;
2. Normalisation - un carré avec unité latérale a une aire 1 ;
3. Congruence : les figures congruentes ont une surface égale ;
4. Additivité - l'aire de l'union de 2 figures sans points internes communs est égale à la somme des aires de ces figures.

Formules pour l'aire des figures géométriques.

Figure géométrique	Formule	Dessin
Le résultat de l’addition des distances entre les milieux des côtés opposés d’un quadrilatère convexe sera égal à son demi-périmètre.
Secteur cercle. L'aire d'un secteur de cercle est égale au produit de son arc et de la moitié de son rayon.
Segment de cercle. Pour obtenir l'aire du segment ASB, il suffit de soustraire l'aire du triangle AOB à l'aire du secteur AOB.	S = 1 / 2 R(s - CA)
L'aire de l'ellipse est égale au produit des longueurs des demi-axes majeur et mineur de l'ellipse et du nombre pi.
Ellipse. Une autre option pour calculer l'aire d'une ellipse consiste à passer par deux de ses rayons.
Triangle. À travers la base et la hauteur. Formule pour l'aire d'un cercle en utilisant son rayon et son diamètre.
Carré . À ses côtés. L'aire d'un carré est égale au carré de la longueur de son côté.
Carré. A travers ses diagonales. L'aire d'un carré est égale à la moitié du carré de la longueur de sa diagonale.
Polygone régulier. Pour déterminer l'aire d'un polygone régulier, il faut le diviser en triangles égaux qui auraient un sommet commun au centre du cercle inscrit.	S = r p = 1/2 r n a