Τριγωνομετρία από το μηδέν: βασικές έννοιες, ιστορία. Η τριγωνομετρία είναι απλή και ξεκάθαρη Πώς να κατανοήσετε την τριγωνομετρία

16.01.2024 | Διαγνωστικά

Το μάθημα βίντεο "Get an A" περιλαμβάνει όλα τα απαραίτητα θέματα για την επιτυχή επιτυχία της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά με 60-65 βαθμούς. Πλήρως όλες οι εργασίες 1-13 του Προφίλ Unified State Exam στα μαθηματικά. Κατάλληλο και για επιτυχία στη Βασική Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά. Αν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με 90-100 μόρια, πρέπει να λύσετε το μέρος 1 σε 30 λεπτά και χωρίς λάθη!

Μάθημα προετοιμασίας για την Ενιαία Κρατική Εξέταση για τις τάξεις 10-11, καθώς και για εκπαιδευτικούς. Όλα όσα χρειάζεστε για να λύσετε το Μέρος 1 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης στα μαθηματικά (τα πρώτα 12 προβλήματα) και το πρόβλημα 13 (τριγωνομετρία). Και αυτά είναι περισσότερα από 70 μόρια στην Ενιαία Κρατική Εξέταση και ούτε ένας μαθητής 100 βαθμών ούτε ένας φοιτητής ανθρωπιστικών επιστημών μπορεί να τα κάνει χωρίς αυτά.

Όλη η απαραίτητη θεωρία. Γρήγορες λύσεις, παγίδες και μυστικά της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Όλες οι τρέχουσες εργασίες του μέρους 1 από την τράπεζα εργασιών FIPI έχουν αναλυθεί. Το μάθημα συμμορφώνεται πλήρως με τις απαιτήσεις της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης 2018.

Το μάθημα περιέχει 5 μεγάλα θέματα, 2,5 ώρες το καθένα. Κάθε θέμα δίνεται από την αρχή, απλά και ξεκάθαρα.

Εκατοντάδες εργασίες Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Προβλήματα λέξεων και θεωρία πιθανοτήτων. Απλοί και εύκολοι στην απομνημόνευση αλγόριθμοι για την επίλυση προβλημάτων. Γεωμετρία. Θεωρία, υλικό αναφοράς, ανάλυση όλων των τύπων εργασιών Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης. Στερεομετρία. Δύσκολες λύσεις, χρήσιμα cheat sheets, ανάπτυξη χωρικής φαντασίας. Τριγωνομετρία από το μηδέν στο πρόβλημα 13. Κατανόηση αντί να στριμώχνω. Σαφείς εξηγήσεις περίπλοκων εννοιών. Αλγεβρα. Ρίζες, δυνάμεις και λογάριθμοι, συνάρτηση και παράγωγος. Μια βάση για την επίλυση σύνθετων προβλημάτων του Μέρους 2 της Ενιαίας Κρατικής Εξέτασης.

Πίσω στο 1905, οι Ρώσοι αναγνώστες μπορούσαν να διαβάσουν στο βιβλίο του Ουίλιαμ Τζέιμς «Ψυχολογία» τον συλλογισμό του σχετικά με το «γιατί η σχολαστική μάθηση είναι τόσο κακός τρόπος μάθησης;»

«Η γνώση που αποκτάται μέσω της απλής εκμάθησης είναι σχεδόν αναπόφευκτα ξεχασμένη εντελώς χωρίς ίχνος. Αντίθετα, το νοητικό υλικό, που αποκτάται από τη μνήμη σταδιακά, μέρα με τη μέρα, σε σχέση με διάφορα περιβάλλοντα, συνδέεται συνειρμικά με άλλα εξωτερικά γεγονότα και υπόκειται επανειλημμένα σε συζήτηση, σχηματίζει ένα τέτοιο σύστημα, μπαίνει σε μια τέτοια σύνδεση με τις άλλες πτυχές μας. η διάνοια, αποκαθίσταται εύκολα στη μνήμη από μια μάζα εξωτερικών περιστάσεων, η οποία παραμένει ένα ανθεκτικό απόκτημα για μεγάλο χρονικό διάστημα.»

Έχουν περάσει περισσότερα από 100 χρόνια από τότε και αυτά τα λόγια παραμένουν εκπληκτικά επίκαιρα. Γίνεσαι πεπεισμένος για αυτό κάθε μέρα όταν δουλεύεις με μαθητές. Τα τεράστια κενά στη γνώση είναι τόσο μεγάλα που μπορεί να υποστηριχθεί: το σχολικό μάθημα των μαθηματικών με διδακτικούς και ψυχολογικούς όρους δεν είναι ένα σύστημα, αλλά ένα είδος συσκευής που ενθαρρύνει τη βραχυπρόθεσμη μνήμη και δεν ενδιαφέρεται καθόλου για τη μακροπρόθεσμη μνήμη .

Η γνώση του σχολικού μαθήματος των μαθηματικών σημαίνει ότι κατέχεις την ύλη κάθε τομέα των μαθηματικών και μπορείς να ενημερώνεις οποιαδήποτε από αυτές ανά πάσα στιγμή. Για να το πετύχετε αυτό, πρέπει να επικοινωνείτε συστηματικά με καθένα από αυτά, κάτι που μερικές φορές δεν είναι πάντα δυνατό λόγω του μεγάλου φόρτου εργασίας στο μάθημα.

Υπάρχει ένας άλλος τρόπος μακροπρόθεσμης απομνημόνευσης γεγονότων και τύπων - αυτά είναι σήματα αναφοράς.

Η τριγωνομετρία είναι ένα από τα μεγάλα τμήματα των σχολικών μαθηματικών, που μελετάται στο μάθημα της γεωμετρίας στις τάξεις 8 και 9 και στο μάθημα της άλγεβρας στην τάξη 9, της άλγεβρας και της στοιχειώδους ανάλυσης στη τάξη 10.

Ο μεγαλύτερος όγκος υλικού που μελετήθηκε στην τριγωνομετρία πέφτει στη 10η τάξη. Το μεγαλύτερο μέρος αυτού του υλικού τριγωνομετρίας μπορεί να μάθει και να απομνημονευτεί τριγωνομετρικός κύκλος(κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με το κέντρο του στην αρχή του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων). Παράρτημα 1.ppt

Αυτές είναι οι ακόλουθες έννοιες τριγωνομετρίας:

ορισμοί ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης γωνίας.
Μέτρηση ακτινικής γωνίας.
πεδίο ορισμού και εύρος τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων για ορισμένες τιμές του αριθμητικού και γωνιακού ορίσματος.
περιοδικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
ομαλότητα και παραδοξότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
αύξηση και μείωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
τύποι μείωσης?
Τιμές αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.
επίλυση απλών τριγωνομετρικών εξισώσεων.
επίλυση απλών ανισοτήτων.
βασικοί τύποι τριγωνομετρίας.

Ας εξετάσουμε τη μελέτη αυτών των εννοιών στον τριγωνομετρικό κύκλο.

1) Ορισμός ημιτόνου, συνημίτονος, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

Αφού εισαγάγουν την έννοια του τριγωνομετρικού κύκλου (κύκλος μοναδιαίας ακτίνας με κέντρο στην αρχή), της αρχικής ακτίνας (η ακτίνα του κύκλου προς την κατεύθυνση του άξονα Ox) και της γωνίας περιστροφής, οι μαθητές αποκτούν ανεξάρτητα ορισμούς για ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη και συνεφαπτομένη σε τριγωνομετρικό κύκλο, χρησιμοποιώντας τους ορισμούς από τη γεωμετρία του μαθήματος, δηλαδή θεωρώντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο με υποτείνουσα ίση με 1.

Το συνημίτονο μιας γωνίας είναι η τετμημένη ενός σημείου ενός κύκλου όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά μια δεδομένη γωνία.

Το ημίτονο μιας γωνίας είναι η τεταγμένη ενός σημείου σε έναν κύκλο όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά μια δεδομένη γωνία.

2) Ακτινωτή μέτρηση γωνιών σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Αφού εισαγάγουμε το μέτρο ακτινίου μιας γωνίας (1 ακτίνιο είναι η κεντρική γωνία, η οποία αντιστοιχεί στο μήκος του τόξου ίσο με το μήκος της ακτίνας του κύκλου), οι μαθητές καταλήγουν στο συμπέρασμα ότι η μέτρηση ακτίνων της γωνίας είναι η αριθμητική τιμή του η γωνία περιστροφής στον κύκλο, ίση με το μήκος του αντίστοιχου τόξου όταν η αρχική ακτίνα περιστρέφεται κατά δεδομένη γωνία. .

Ο τριγωνομετρικός κύκλος χωρίζεται σε 12 ίσα μέρη από τις διαμέτρους του κύκλου. Γνωρίζοντας ότι η γωνία είναι σε ακτίνια, μπορείτε να προσδιορίσετε τη μέτρηση του ακτινίου για γωνίες που είναι πολλαπλάσια του .

Και οι μετρήσεις ακτίνων των γωνιών, πολλαπλάσια, λαμβάνονται ομοίως:

3) Τομέας ορισμού και εύρος τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Η αντιστοιχία μεταξύ των γωνιών περιστροφής και των τιμών συντεταγμένων ενός σημείου σε έναν κύκλο θα είναι συνάρτηση;

Κάθε γωνία περιστροφής αντιστοιχεί σε ένα μόνο σημείο του κύκλου, που σημαίνει ότι αυτή η αντιστοιχία είναι συνάρτηση.

Λήψη των λειτουργιών

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε να δείτε ότι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων είναι το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών και το εύρος τιμών είναι .

Ας εισαγάγουμε τις έννοιες των ευθειών εφαπτομένων και συνεφαπτομένων σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο.

1) Αφήστε Ας εισαγάγουμε μια βοηθητική ευθεία παράλληλη προς τον άξονα Oy, στην οποία προσδιορίζονται οι εφαπτομένες για οποιοδήποτε αριθμητικό όρισμα.

2) Παρομοίως, λαμβάνουμε μια σειρά συνεφαπτομένων. Έστω y=1, τότε . Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές της συνεφαπτομένης καθορίζονται σε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα Ox.

Σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε εύκολα να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

για εφαπτομένη -

για συνεφαπτομένη -

4) Τιμές τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Το σκέλος απέναντι από τη γωνία προς τα μέσα είναι ίσο με το μισό της υποτείνουσας, δηλαδή το άλλο σκέλος σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα:

Αυτό σημαίνει ότι ορίζοντας ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη, είναι δυνατός ο προσδιορισμός τιμών για γωνίες που είναι πολλαπλάσια ή ακτίνια. Οι τιμές ημιτόνου προσδιορίζονται κατά μήκος του άξονα Oy, το συνημίτονο κατά μήκος του άξονα Ox και οι τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης μπορούν να προσδιοριστούν χρησιμοποιώντας πρόσθετους άξονες παράλληλους στους άξονες Oy και Ox, αντίστοιχα.

Οι πινακοποιημένες τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου βρίσκονται στους αντίστοιχους άξονες ως εξής:

Πίνακες τιμών εφαπτομένης και συνεφαπτομένης -

5) Περιοδικότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Στον τριγωνομετρικό κύκλο μπορείτε να δείτε ότι οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου επαναλαμβάνονται κάθε ακτίνιο και η εφαπτομένη και η συνεφαπτομένη - κάθε ακτίνιο.

6) Ομοιότητα και περιττότητα τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Αυτή η ιδιότητα μπορεί να ληφθεί συγκρίνοντας τις τιμές των θετικών και των αντίθετων γωνιών περιστροφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Το καταλαβαίνουμε

Αυτό σημαίνει ότι το συνημίτονο είναι άρτια συνάρτηση, όλες οι άλλες συναρτήσεις είναι περιττές.

7) Αύξηση και μείωση τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ο τριγωνομετρικός κύκλος δείχνει ότι η ημιτονοειδής συνάρτηση αυξάνεται και μειώνεται

Συλλογίζοντας παρομοίως, λαμβάνουμε τα διαστήματα αύξουσας και φθίνουσας συνάρτησης συνημίτονου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης.

8) Τύποι αναγωγής.

Για τη γωνία παίρνουμε τη μικρότερη τιμή της γωνίας στον τριγωνομετρικό κύκλο. Όλοι οι τύποι λαμβάνονται συγκρίνοντας τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων στα σκέλη επιλεγμένων ορθογωνίων τριγώνων.

Αλγόριθμος για την εφαρμογή τύπων αναγωγής:

1) Προσδιορίστε το πρόσημο της συνάρτησης όταν περιστρέφεται σε μια δεδομένη γωνία.

Όταν στρίβετε σε μια γωνία η συνάρτηση διατηρείται, όταν περιστρέφεται κατά γωνία - ακέραιος, περιττός αριθμός, η συνσυνάρτηση (

9) Τιμές αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Ας εισαγάγουμε αντίστροφες συναρτήσεις για τριγωνομετρικές συναρτήσεις χρησιμοποιώντας τον ορισμό μιας συνάρτησης.

Κάθε τιμή ημιτόνου, συνημιτόνου, εφαπτομένης και συνεφαπτομένης στον τριγωνομετρικό κύκλο αντιστοιχεί μόνο σε μία τιμή της γωνίας περιστροφής. Αυτό σημαίνει ότι για μια συνάρτηση ο τομέας ορισμού είναι, το εύρος τιμών είναι - Για τη συνάρτηση ο τομέας ορισμού είναι, το εύρος τιμών είναι. Ομοίως, λαμβάνουμε το πεδίο ορισμού και το εύρος τιμών των αντίστροφων συναρτήσεων για συνημίτονο και συνεφαπτομένη.

Αλγόριθμος για την εύρεση των τιμών των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων:

1) εύρεση της τιμής του ορίσματος της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης στον αντίστοιχο άξονα.

2) εύρεση της γωνίας περιστροφής της αρχικής ακτίνας, λαμβάνοντας υπόψη το εύρος τιμών της αντίστροφης τριγωνομετρικής συνάρτησης.

Για παράδειγμα:

10) Επίλυση απλών εξισώσεων σε τριγωνομετρικό κύκλο.

Για να λύσουμε μια εξίσωση της μορφής , βρίσκουμε σημεία στον κύκλο των οποίων οι τεταγμένες είναι ίσες και γράφουμε τις αντίστοιχες γωνίες, λαμβάνοντας υπόψη την περίοδο της συνάρτησης.

Για την εξίσωση, βρίσκουμε σημεία στον κύκλο των οποίων τα τετμημένα είναι ίσα και γράφουμε τις αντίστοιχες γωνίες, λαμβάνοντας υπόψη την περίοδο της συνάρτησης.

Ομοίως για εξισώσεις της μορφής Οι τιμές προσδιορίζονται στις γραμμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων και καταγράφονται οι αντίστοιχες γωνίες περιστροφής.

Όλες οι έννοιες και οι τύποι της τριγωνομετρίας μαθαίνονται από τους ίδιους τους μαθητές υπό τη σαφή καθοδήγηση του δασκάλου χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο. Στο μέλλον, αυτός ο «κύκλος» θα χρησιμεύσει ως σήμα αναφοράς ή εξωτερικός παράγοντας για να αναπαράγουν στη μνήμη τις έννοιες και τους τύπους της τριγωνομετρίας.

Η μελέτη της τριγωνομετρίας σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο βοηθά:

επιλογή του βέλτιστου στυλ επικοινωνίας για ένα δεδομένο μάθημα, οργάνωση εκπαιδευτικής συνεργασίας.
οι στόχοι μαθήματος γίνονται προσωπικά σημαντικοί για κάθε μαθητή.
το νέο υλικό βασίζεται στην προσωπική εμπειρία δράσης, σκέψης και συναισθήματος του μαθητή.
το μάθημα περιλαμβάνει διάφορες μορφές εργασίας και τρόπους απόκτησης και αφομοίωσης γνώσης.
Υπάρχουν στοιχεία αμοιβαίας και αυτομάθησης.

- -
αυτο- και αμοιβαίος έλεγχος?
υπάρχει γρήγορη απάντηση σε παρεξήγηση και λάθος (κοινή συζήτηση, συμβουλές υποστήριξης, αμοιβαίες διαβουλεύσεις).

Συνήθως, όταν θέλουν να τρομάξουν κάποιον με ΤΡΟΜΑΚΤΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ, αναφέρουν κάθε λογής ημίτονο και συνημίτονο ως παράδειγμα, ως κάτι πολύ περίπλοκο και αηδιαστικό. Αλλά στην πραγματικότητα, αυτή είναι μια όμορφη και ενδιαφέρουσα ενότητα που μπορεί να γίνει κατανοητή και να λυθεί.
Το θέμα ξεκινάει στην 9η δημοτικού και δεν είναι πάντα ξεκάθαρα όλα την πρώτη φορά, υπάρχουν πολλές λεπτότητες και κόλπα. Προσπάθησα να πω κάτι για το θέμα.
Εισαγωγή στον κόσμο της τριγωνομετρίας:Προτού βιαστείτε ασταμάτητα σε τύπους, πρέπει να καταλάβετε από τη γεωμετρία τι είναι το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
Ημίτονο γωνίας- ο λόγος της αντίθετης (γωνίας) πλευράς προς την υποτείνουσα.
Συνημίτονο- η αναλογία παρακείμενου προς την υποτείνουσα.
Εφαπτομένη γραμμή- απέναντι πλευρά σε διπλανή πλευρά

Συνεφαπτομένη
-
-
- δίπλα στο απέναντι.
Τώρα εξετάστε έναν κύκλο μοναδιαίας ακτίνας στο επίπεδο συντεταγμένων και σημειώστε κάποια γωνία άλφα σε αυτόν: (οι φωτογραφίες μπορούν να κάνουν κλικ, τουλάχιστον μερικές)
Οι λεπτές κόκκινες γραμμές είναι οι κάθετες από το σημείο τομής του κύκλου και η ορθή γωνία στον άξονα βόδι και όυ. Το κόκκινο x και y είναι η τιμή των συντεταγμένων x και y στους άξονες (το γκρι x και y είναι απλώς για να υποδείξουν ότι πρόκειται για άξονες συντεταγμένων και όχι μόνο για γραμμές).
Πρέπει να σημειωθεί ότι οι γωνίες υπολογίζονται από τη θετική κατεύθυνση του άξονα βόδι αριστερόστροφα.
Ας βρούμε το ημίτονο, το συνημίτονο κ.λπ.
Για να είναι απολύτως σαφές από πού παίρνω το y και το 1, για λόγους σαφήνειας, ας τακτοποιήσουμε τα γράμματα και ας δούμε τα τρίγωνα.
- -
AF = AE = 1 - ακτίνα του κύκλου.
Επομένως ΑΒ = 1 ως ακτίνα. ΑΒ - υποτείνουσα.
BD = CA = y - ως τιμή για το oh.
AD = CB = x - ως τιμή σύμφωνα με το oh.
sin a = BD / AB = y / 1 = y
Ακολουθεί το συνημίτονο:
cos a: διπλανή πλευρά - AD = x
cos a = AD / AB = x / 1 = x

Επίσης βγάζουμε εφαπτομένη και συνεφαπτομένη.
tg a = y / x = αμαρτία a / cos a
κούνια α = x / y = cos a / αμαρτία α
Ξαφνικά αντλήσαμε τον τύπο για την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη.

Λοιπόν, ας ρίξουμε μια συγκεκριμένη ματιά στο πώς λύνεται αυτό.
Για παράδειγμα, a = 45 μοίρες.
Παίρνουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με μία γωνία 45 μοιρών. Είναι αμέσως ξεκάθαρο σε κάποιους ότι πρόκειται για ισόπλευρο τρίγωνο, αλλά θα το περιγράψω ούτως ή άλλως.
Ας βρούμε την τρίτη γωνία του τριγώνου (η πρώτη είναι 90, η δεύτερη είναι 5): b = 180 - 90 - 45 = 45
Αν δύο γωνίες είναι ίσες, τότε οι πλευρές τους είναι ίσες, έτσι ακούστηκε.
Έτσι, φαίνεται ότι αν προσθέσουμε δύο τέτοια τρίγωνα το ένα πάνω στο άλλο, θα έχουμε ένα τετράγωνο με διαγώνιο ίση με ακτίνα = 1. Με το Πυθαγόρειο θεώρημα, γνωρίζουμε ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου με πλευρά α είναι ίση με α ρίζες δύο.
Τώρα σκεφτόμαστε. Αν το 1 (η υποτείνουσα γνωστή και ως διαγώνιος) είναι ίση με την πλευρά του τετραγώνου επί τη ρίζα του δύο, τότε η πλευρά του τετραγώνου θα πρέπει να είναι ίση με 1/sqrt(2) και αν πολλαπλασιάσουμε τον αριθμητή και τον παρονομαστή αυτού του κλάσματος από τη ρίζα δύο, παίρνουμε sqrt(2)/2 . Και αφού το τρίγωνο είναι ισοσκελές, τότε AD = AC => x = y
Βρίσκοντας τις τριγωνομετρικές μας συναρτήσεις:
sin 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
cos 45 = sqrt(2)/2 / 1 = sqrt(2)/2
tg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
ctg 45 = sqrt(2)/2 / sqrt(2)/2 = 1
Πρέπει να εργαστείτε με τις άλλες τιμές γωνίας με τον ίδιο τρόπο. Μόνο τα τρίγωνα δεν θα είναι ισοσκελές, αλλά οι πλευρές μπορούν να βρεθούν εξίσου εύκολα χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Με αυτόν τον τρόπο παίρνουμε έναν πίνακα τιμών των τριγωνομετρικών συναρτήσεων από διαφορετικές γωνίες:
-
-
Επιπλέον, αυτός ο πίνακας είναι απατηλός και πολύ βολικός.
Πώς να το συνθέσετε μόνοι σας χωρίς καμία ταλαιπωρία:Σχεδιάστε έναν τέτοιο πίνακα και γράψτε τους αριθμούς 1 2 3 στα κουτάκια.
-
-
Τώρα από αυτά τα 1 2 3 παίρνετε τη ρίζα και διαιρείτε με το 2. Αποδεικνύεται ως εξής:
-
-
Τώρα διαγράφουμε το ημίτονο και γράφουμε το συνημίτονο. Οι τιμές του είναι το κατοπτρικό ημίτονο:
-
-
Η εφαπτομένη είναι εξίσου εύκολο να εξαχθεί - πρέπει να διαιρέσετε την τιμή της ημιτονοειδούς γραμμής με την τιμή της συνημιτονοειδούς γραμμής:
-
-
Η τιμή συνεφαπτομένης είναι η ανεστραμμένη τιμή της εφαπτομένης. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε κάτι σαν αυτό:
- -

Σημείωσηαυτή η εφαπτομένη δεν υπάρχει στο P/2, για παράδειγμα. Σκεφτείτε γιατί. (Δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.)

Τι πρέπει να θυμάστε εδώ:ημίτονο είναι η τιμή y, συνημίτονο είναι η τιμή x. Η εφαπτομένη είναι ο λόγος του y προς το x και η συνεφαπτομένη είναι το αντίθετο. Έτσι, για να προσδιορίσετε τις τιμές των ημιτόνων / συνημιτόνων, αρκεί να σχεδιάσετε τον πίνακα που περιέγραψα παραπάνω και έναν κύκλο με άξονες συντεταγμένων (είναι βολικό να κοιτάξετε τις τιμές σε γωνίες 0, 90, 180, 360).
- -

Λοιπόν, ελπίζω ότι μπορείτε να διακρίνετε κατάλυμα:
- -
Το πρόσημο του ημιτόνου, του συνημιτόνου κ.λπ. εξαρτάται από το σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία. Αν και, η απολύτως πρωτόγονη λογική σκέψη θα σας οδηγήσει στη σωστή απάντηση, αν λάβετε υπόψη ότι στο δεύτερο και τρίτο τρίμηνο το x είναι αρνητικό, και το y είναι αρνητικό στο τρίτο και τέταρτο. Τίποτα τρομακτικό ή τρομακτικό.

Νομίζω ότι δεν θα ήταν λάθος να αναφέρω φόρμουλες μείωσηςαλά φαντάσματα, όπως ακούνε όλοι, που έχει έναν κόκκο αλήθειας. Δεν υπάρχουν τύποι ως τέτοιοι, καθώς είναι περιττοί. Το ίδιο το νόημα όλης αυτής της ενέργειας: Βρίσκουμε εύκολα τις τιμές γωνίας μόνο για το πρώτο τέταρτο (30 μοίρες, 45, 60). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, επομένως μπορούμε να σύρουμε οποιαδήποτε μεγάλη γωνία στο πρώτο τέταρτο. Τότε θα βρούμε αμέσως το νόημά του. Αλλά απλά το σύρσιμο δεν αρκεί - πρέπει να θυμάστε για το σημάδι. Για αυτό χρησιμεύουν οι τύποι μείωσης.
Έτσι, έχουμε μια μεγάλη γωνία, ή μάλλον περισσότερο από 90 μοίρες: a = 120. Και πρέπει να βρούμε το ημίτονο και το συνημίτονο του. Για να γίνει αυτό, θα αποσυνθέσουμε το 120 σε γωνίες με τις οποίες μπορούμε να δουλέψουμε:
αμαρτία α = αμαρτία 120 = αμαρτία (90 + 30)
Βλέπουμε ότι αυτή η γωνία βρίσκεται στο δεύτερο τέταρτο, το ημίτονο εκεί είναι θετικό, επομένως διατηρείται το σύμβολο + μπροστά από το ημίτονο.
Για να απαλλαγούμε από τις 90 μοίρες, αλλάζουμε το ημίτονο σε συνημίτονο. Λοιπόν, αυτός είναι ένας κανόνας που πρέπει να θυμάστε:
sin (90 + 30) = cos 30 = sqrt(3) / 2
Ή μπορείτε να το φανταστείτε αλλιώς:
αμαρτία 120 = αμαρτία (180 - 60)
Για να απαλλαγούμε από τις 180 μοίρες, δεν αλλάζουμε τη λειτουργία.
sin (180 - 60) = sin 60 = sqrt(3) / 2
Έχουμε την ίδια τιμή, οπότε όλα είναι σωστά. Τώρα το συνημίτονο:
cos 120 = cos (90 + 30)
Το συνημίτονο στο δεύτερο τρίμηνο είναι αρνητικό, οπότε βάζουμε πρόσημο μείον. Και αλλάζουμε τη συνάρτηση στην αντίθετη, αφού πρέπει να αφαιρέσουμε 90 μοίρες.
cos (90 + 30) = - αμαρτία 30 = - 1 / 2
Ή:
cos 120 = cos (180 - 60) = - cos 60 = - 1 / 2

Τι πρέπει να γνωρίζετε, να είστε σε θέση να κάνετε και να κάνετε για να μεταφέρετε γωνίες στο πρώτο τρίμηνο:
- να αποσυνθέσετε τη γωνία σε εύπεπτους όρους.
-Λάβετε υπόψη σε ποιο τέταρτο βρίσκεται η γωνία και βάλτε το κατάλληλο πρόσημο εάν η συνάρτηση σε αυτό το τέταρτο είναι αρνητική ή θετική.
-Απαλλαγείτε από περιττά πράγματα:
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από τα 90, 270, 450 και τα υπόλοιπα 90+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός, τότε η συνάρτηση αντιστρέφεται (ημίτονο σε συνημίτονο, εφαπτομένη σε συνεφαπτομένη και αντίστροφα).
*αν πρέπει να απαλλαγείτε από το 180 και το υπόλοιπο 180+180n, όπου n είναι οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε η συνάρτηση δεν αλλάζει. (Υπάρχει ένα χαρακτηριστικό εδώ, αλλά είναι δύσκολο να το εξηγήσω με λόγια, αλλά οκ).
Αυτό είναι όλο. Δεν νομίζω ότι είναι απαραίτητο να απομνημονεύσετε τους ίδιους τους τύπους όταν μπορείτε να θυμάστε μερικούς κανόνες και να τους χρησιμοποιήσετε εύκολα. Παρεμπιπτόντως, αυτοί οι τύποι είναι πολύ εύκολο να αποδειχθούν:
-
-
Και συντάσσουν επίσης δυσκίνητους πίνακες, τότε ξέρουμε:
-
-

Βασικές εξισώσεις τριγωνομετρίας:πρέπει να τα ξέρεις πολύ, πολύ καλά, από καρδιάς.
Θεμελιώδης τριγωνομετρική ταυτότητα(ισότητα):
sin^2(a) + cos^2(a) = 1
Αν δεν το πιστεύετε, καλύτερα να το ελέγξετε μόνοι σας και να το δείτε μόνοι σας. Αντικαταστήστε τις τιμές διαφορετικών γωνιών.
Αυτή η φόρμουλα είναι πολύ, πολύ χρήσιμη, να την θυμάστε πάντα. χρησιμοποιώντας το μπορείτε να εκφράσετε το ημίτονο μέσω συνημίτονο και αντίστροφα, κάτι που μερικές φορές είναι πολύ χρήσιμο. Αλλά, όπως κάθε άλλη φόρμουλα, πρέπει να ξέρετε πώς να το χειριστείτε. Να θυμάστε πάντα ότι το πρόσημο της τριγωνομετρικής συνάρτησης εξαρτάται από το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται η γωνία. Να γιατί κατά την εξαγωγή της ρίζας πρέπει να γνωρίζετε το τέταρτο.

Εφαπτομένη και συνεφαπτομένη:Έχουμε ήδη αντλήσει αυτούς τους τύπους στην αρχή.
tg a = αμαρτία a / cos a
κούνια α = cos a / αμαρτία α

Προϊόν εφαπτομένης και συνεφαπτομένης:
tg a * ctg a = 1
Επειδή:
tg a * ctg a = (sin a / cos a) * (cos a / sin a) = 1 - τα κλάσματα ακυρώνονται.

Όπως μπορείτε να δείτε, όλες οι φόρμουλες είναι ένα παιχνίδι και ένας συνδυασμός.
Ακολουθούν δύο ακόμη, που προκύπτουν από τη διαίρεση με το συνημιτονο τετράγωνο και το ημιτονο τετράγωνο του πρώτου τύπου:
-
-
Λάβετε υπόψη ότι οι δύο τελευταίοι τύποι μπορούν να χρησιμοποιηθούν με περιορισμό στην τιμή της γωνίας a, καθώς δεν μπορείτε να διαιρέσετε με το μηδέν.

Τύποι προσθήκης:αποδεικνύονται χρησιμοποιώντας διανυσματική άλγεβρα.
- -
Χρησιμοποιείται σπάνια, αλλά με ακρίβεια. Υπάρχουν τύποι στη σάρωση, αλλά μπορεί να είναι δυσανάγνωστοι ή η ψηφιακή φόρμα να γίνεται πιο εύκολα αντιληπτή:
- -

Τύποι διπλής γωνίας:
Λαμβάνονται με βάση τους τύπους πρόσθεσης, για παράδειγμα: το συνημίτονο διπλής γωνίας είναι cos 2a = cos (a + a) - σας θυμίζει κάτι; Μόλις αντικατέστησαν το betta με ένα άλφα.
- -
Οι δύο επόμενοι τύποι προέρχονται από την πρώτη αντικατάσταση sin^2(a) = 1 - cos^2(a) και cos^2(a) = 1 - sin^2(a).
Το ημίτονο διπλής γωνίας είναι απλούστερο και χρησιμοποιείται πολύ πιο συχνά:
- -
Και ειδικοί διεστραμμένοι μπορούν να αντλήσουν την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη διπλής γωνίας, δεδομένου ότι tan a = αμαρτία α / συν α, κ.λπ.
-
-

Για τα παραπάνω πρόσωπα Τύποι τριπλής γωνίας:προκύπτουν προσθέτοντας γωνίες 2α και α, αφού γνωρίζουμε ήδη τους τύπους για τις διπλές γωνίες.
-
-

Τύποι μισής γωνίας:
- -
Δεν ξέρω πώς προέρχονται, ή ακριβέστερα, πώς να το εξηγήσω... Αν γράψουμε αυτούς τους τύπους, αντικαθιστώντας την κύρια τριγωνομετρική ταυτότητα με a/2, τότε η απάντηση θα συγκλίνει.

Τύποι πρόσθεσης και αφαίρεσης τριγωνομετρικών συναρτήσεων:
-
-
Λαμβάνονται από τύπους προσθήκης, αλλά κανείς δεν νοιάζεται. Δεν συμβαίνουν συχνά.

Όπως καταλαβαίνετε, υπάρχουν ακόμα ένα σωρό φόρμουλες, η λίστα που είναι απλά άσκοπη, γιατί δεν θα μπορώ να γράψω κάτι επαρκές για αυτούς, και ξηρές φόρμουλες μπορούν να βρεθούν οπουδήποτε, και είναι ένα παιχνίδι με προηγούμενες υπάρχουσες φόρμουλες. Όλα είναι τρομερά λογικά και ακριβή. Τελευταία θα σου πω σχετικά με τη μέθοδο της βοηθητικής γωνίας:
Η μετατροπή της έκφρασης a cosx + b sinx στη μορφή Acos(x+) ή Asin(x+) ονομάζεται μέθοδος εισαγωγής βοηθητικής γωνίας (ή πρόσθετου ορίσματος). Η μέθοδος χρησιμοποιείται κατά την επίλυση τριγωνομετρικών εξισώσεων, κατά την εκτίμηση των τιμών των συναρτήσεων, σε ακραία προβλήματα και είναι σημαντικό να σημειωθεί ότι ορισμένα προβλήματα δεν μπορούν να λυθούν χωρίς την εισαγωγή μιας βοηθητικής γωνίας.
Ανεξάρτητα από το πώς προσπαθήσατε να εξηγήσετε αυτήν τη μέθοδο, δεν προέκυψε τίποτα, επομένως θα πρέπει να το κάνετε μόνοι σας:
-
-
Πράγμα τρομακτικό, αλλά χρήσιμο. Εάν λύσετε τα προβλήματα, θα πρέπει να λυθεί.
Από εδώ, για παράδειγμα: mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/trigonom/metod/metod2/met2/met2.htm

Ακολουθούν στο μάθημα γραφήματα τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Αλλά αυτό αρκεί για ένα μάθημα. Λαμβάνοντας υπόψη ότι στο σχολείο αυτό το διδάσκουν για έξι μήνες.

Γράψτε τις ερωτήσεις σας, λύστε προβλήματα, ζητήστε σαρώσεις ορισμένων εργασιών, ανακαλύψτε το, δοκιμάστε το.
Πάντα δικός σου, Dan Faraday.

Σε αυτό το μάθημα θα μάθουμε τους ορισμούς τριγωνομετρικές συναρτήσεις και τις βασικές τους ιδιότητες, μάθετε πώς να εργάζεστε με τριγωνομετρικός κύκλος, ας μάθουμε τι είναι περίοδο λειτουργίαςκαι θυμηθείτε τα διάφορα τρόποι μέτρησης γωνιών. Επιπλέον, θα κατανοήσουμε τη χρήση φόρμουλες μείωσης.

Αυτό το μάθημα θα σας βοηθήσει να προετοιμαστείτε για έναν από τους τύπους εργασιών ΣΤΙΣ 7.

Προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση στα μαθηματικά

Πείραμα

Μάθημα 7.Εισαγωγή στην τριγωνομετρία.

Θεωρία

Περίληψη μαθήματος

Σήμερα ξεκινάμε μια ενότητα που έχει για πολλούς το τρομακτικό όνομα «Τριγωνομετρία». Ας ξεκαθαρίσουμε αμέσως ότι αυτό δεν είναι ένα ξεχωριστό θέμα παρόμοιο ως προς το όνομα με τη γεωμετρία, όπως νομίζουν ορισμένοι. Αν και μεταφράζεται από τα ελληνικά η λέξη «τριγωνομετρία» σημαίνει «μέτρηση τριγώνων» και σχετίζεται άμεσα με τη γεωμετρία. Επιπλέον, οι τριγωνομετρικοί υπολογισμοί χρησιμοποιούνται ευρέως στη φυσική και την τεχνολογία. Αλλά θα ξεκινήσουμε με μια εξέταση του τρόπου με τον οποίο οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις εισάγονται στη γεωμετρία χρησιμοποιώντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο.

Μόλις χρησιμοποιήσαμε τον όρο "τριγωνομετρική συνάρτηση" - αυτό σημαίνει ότι θα εισαγάγουμε μια ολόκληρη κατηγορία ορισμένων νόμων αντιστοιχίας μεταξύ μιας μεταβλητής και μιας άλλης.

Για να το κάνετε αυτό, εξετάστε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο, για ευκολία, χρησιμοποιούνται τυπικές σημειώσεις για πλευρές και γωνίες, τις οποίες μπορείτε να δείτε στο σχήμα:

Σκεφτείτε, για παράδειγμα, τη γωνίακαι εισαγάγετε τις ακόλουθες ενέργειες για αυτό:

Ας ονομάσουμε το λόγο της αντίθετης πλευράς προς το ημίτονο της υποτείνουσας, δηλ.

Ας ονομάσουμε την αναλογία του διπλανού σκέλους προς το συνημίτονο της υποτείνουσας, δηλ. ;

Ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά θα ονομάζεται εφαπτομένη, δηλ. ;

Ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την απέναντι πλευρά θα ονομάζεται συνεφαπτομένη, δηλ. .

Όλες αυτές οι ενέργειες με γωνία λέγονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η ίδια η γωνία συνήθως ονομάζεται όρισμα της τριγωνομετρικής συνάρτησηςκαι μπορεί να συμβολιστεί, για παράδειγμα, με Χ, όπως συνηθίζεται στην άλγεβρα.

Είναι σημαντικό να καταλάβουμε αμέσως ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις εξαρτώνται συγκεκριμένα από τη γωνία σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και όχι από τις πλευρές του. Αυτό είναι εύκολο να αποδειχθεί αν λάβουμε υπόψη ένα τρίγωνο παρόμοιο με αυτό, στο οποίο τα μήκη των πλευρών θα είναι διαφορετικά, αλλά όλες οι γωνίες και οι λόγοι των πλευρών δεν θα αλλάξουν, δηλ. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις των γωνιών θα παραμείνουν επίσης αμετάβλητες.

Μετά από αυτόν τον ορισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων, μπορεί να προκύψει το ερώτημα: «Υπάρχει, για παράδειγμα,? Μετά από όλα, η γωνίαδεν μπορεί να είναι σε ορθογώνιο τρίγωνο» . Παραδόξως, η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση είναι καταφατική, και η τιμή αυτής της έκφρασης είναι ίση με , και αυτό είναι ακόμη πιο εκπληκτικό, καθώς όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι ο λόγος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου και τα μήκη του οι πλευρές είναι θετικοί αριθμοί.

Αλλά δεν υπάρχει παράδοξο σε αυτό. Το γεγονός είναι ότι, για παράδειγμα, στη φυσική, κατά την περιγραφή ορισμένων διεργασιών, είναι απαραίτητο να χρησιμοποιηθούν τριγωνομετρικές συναρτήσεις γωνιών όχι μόνο μεγάλων, αλλά και μεγάλων και ομοιόμορφων. Για να γίνει αυτό, είναι απαραίτητο να εισαχθεί ένας γενικότερος κανόνας για τον υπολογισμό τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας το λεγόμενο "μοναδικός τριγωνομετρικός κύκλος".

Είναι ένας κύκλος με μοναδιαία ακτίνα, σχεδιασμένος έτσι ώστε το κέντρο του να βρίσκεται στην αρχή του καρτεσιανού επιπέδου.

Για να απεικονίσετε τις γωνίες σε αυτόν τον κύκλο, πρέπει να συμφωνήσετε από πού να τις τοποθετήσετε. Είναι αποδεκτό να λαμβάνεται η θετική κατεύθυνση του άξονα της τετμημένης ως ακτίνα αναφοράς γωνίας, δηλ. άξονας x. Η κατεύθυνση απόθεσης των γωνιών θεωρείται ότι είναι αριστερόστροφη.Με βάση αυτές τις συμφωνίες, ας αφήσουμε πρώτα την οξεία γωνία. Είναι για τέτοιες οξείες γωνίες που γνωρίζουμε ήδη πώς να υπολογίσουμε τις τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Αποδεικνύεται ότι χρησιμοποιώντας τον απεικονιζόμενο κύκλο μπορείτε επίσης να υπολογίσετε τριγωνομετρικές συναρτήσεις, μόνο πιο βολικά.

Οι τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας οξείας γωνίας είναι οι συντεταγμένες του σημείου τομής της πλευράς αυτής της γωνίας με τον μοναδιαίο κύκλο:

Αυτό μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Με βάση το γεγονός ότι οι συντεταγμένες κατά μήκος του άξονα x δείχνουν την τιμή του συνημιτόνου και οι συντεταγμένες κατά μήκος του άξονα y δείχνουν την τιμή του ημιτόνου της γωνίας, είναι βολικό να μετονομάσετε τα ονόματα των αξόνων σε ένα σύστημα συντεταγμένων με κύκλο μονάδας όπως βλέπετε στο σχήμα:

Ο άξονας της τετμημένης μετονομάζεται σε άξονα συνημιτόνου και ο άξονας τεταγμένης σε άξονα ημιτόνου.

Ο καθορισμένος κανόνας για τον προσδιορισμό του ημιτόνου και του συνημιτονοειδούς γενικεύεται τόσο σε αμβλείς γωνίες όσο και σε γωνίες που βρίσκονται στην περιοχή από έως. Σε αυτή την περίπτωση, τα ημιτόνια και τα συνημίτονα μπορούν να λάβουν τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Διάφορος σημάδια των τιμών αυτών των τριγωνομετρικών συναρτήσεωνανάλογα με το σε ποιο τέταρτο εμπίπτει η εν λόγω γωνία, συνηθίζεται να απεικονίζεται ως εξής:

Όπως μπορείτε να δείτε, τα σημάδια των τριγωνομετρικών συναρτήσεων καθορίζονται από τις θετικές και αρνητικές κατευθύνσεις των αντίστοιχων αξόνων τους.

Επιπλέον, αξίζει να δοθεί προσοχή στο γεγονός ότι εφόσον η μεγαλύτερη συντεταγμένη ενός σημείου στον κύκλο μονάδας τόσο κατά μήκος του άξονα τετμημένης όσο και του άξονα τεταγμένης είναι ίση με ένα και η μικρότερη είναι μείον ένα, τότε ημιτονοειδείς και συνημιτονοειδείς τιμέςπεριορίζεται σε αυτούς τους αριθμούς:

Αυτές οι εγγραφές συνήθως γράφονται επίσης με αυτή τη μορφή:

Προκειμένου να εισαχθούν οι συναρτήσεις της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, είναι απαραίτητο να σχεδιάσουμε πρόσθετα στοιχεία: η εφαπτομένη στον κύκλο στο σημείο Α - η τιμή της εφαπτομένης της γωνίας καθορίζεται από αυτήν και η εφαπτομένη στο σημείο Β - η τιμή της συνεφαπτομένης της γωνίας καθορίζεται από αυτό.

Ωστόσο, δεν θα εμβαθύνουμε στον ορισμό των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, επειδή μπορούν εύκολα να υπολογιστούν γνωρίζοντας τις τιμές του ημιτόνου και του συνημιτόνου μιας δεδομένης γωνίας, κάτι που ήδη γνωρίζουμε πώς να το κάνουμε. Εάν ενδιαφέρεστε να μάθετε πώς να υπολογίζετε την εφαπτομένη και την συνεφαπτομένη σε έναν τριγωνομετρικό κύκλο, ανατρέξτε στο αναλυτικό πρόγραμμα μαθημάτων άλγεβρας της 10ης τάξης.

Υποδεικνύουμε μόνο την εικόνα στον κύκλο σημάδια εφαπτομένων και συνεφαπτομένωνανάλογα με τη γωνία:

Σημειώστε ότι, παρόμοια με τα εύρη τιμών ημιτόνου και συνημιτονοειδούς, μπορείτε να καθορίσετε εύρη τιμών εφαπτομένης και συνεφαπτομένης. Με βάση τον ορισμό τους στον τριγωνομετρικό κύκλο, οι έννοιες αυτών των λειτουργιών δεν είναι περιορισμένες:

Τι άλλο μπορεί να γραφτεί ως εξής:

Εκτός από τις γωνίες στο εύρος από έως, ο τριγωνομετρικός κύκλος σας επιτρέπει να εργάζεστε με γωνίες που είναι μεγαλύτερες και ακόμη και με αρνητικές γωνίες. Τέτοιες τιμές γωνίας, αν και φαίνονται ανούσιες για τη γεωμετρία, χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν ορισμένες φυσικές διεργασίες. Για παράδειγμα, πώς απαντάτε στην ερώτηση: «Τι γωνία θα γυρίσει ο δείκτης του ρολογιού σε μια μέρα;»Σε αυτό το διάστημα θα ολοκληρώσει δύο πλήρεις στροφές, και σε μια περιστροφή θα περάσει, δηλ. μέσα σε μια μέρα θα στραφεί σε . Όπως μπορείτε να δείτε, τέτοιες αξίες έχουν πολύ πρακτικό νόημα. Τα σημάδια γωνίας χρησιμοποιούνται για να υποδείξουν την κατεύθυνση περιστροφής - μία από τις κατευθύνσεις συμφωνείται να μετράται με θετικές γωνίες και η άλλη με αρνητικές. Πώς μπορεί αυτό να ληφθεί υπόψη στον τριγωνομετρικό κύκλο;

Σε έναν κύκλο με τέτοιες γωνίες λειτουργούν ως εξής:

1) Οι γωνίες που είναι μεγαλύτερες από , σχεδιάζονται αριστερόστροφα, περνώντας από την αρχή όσες φορές χρειάζεται. Για παράδειγμα, για να κατασκευάσετε μια γωνία πρέπει να περάσετε δύο πλήρεις στροφές και μια άλλη. Όλες οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις υπολογίζονται για την τελική θέση. Είναι εύκολο να δούμε ότι οι τιμές όλων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για και για θα είναι οι ίδιες.

2) Οι αρνητικές γωνίες τοποθετούνται ακριβώς σύμφωνα με την ίδια αρχή με τις θετικές, μόνο δεξιόστροφα.

Απλώς με τη μέθοδο κατασκευής μεγάλων γωνιών, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι οι τιμές των ημιτόνων και των συνημιτόνων των γωνιών που διαφέρουν κατά είναι οι ίδιες. Αν αναλύσουμε τις τιμές των εφαπτομένων και των συνεφαπτομένων, θα είναι ίδιες για γωνίες που διαφέρουν κατά .

Τέτοιοι ελάχιστοι μη μηδενικοί αριθμοί, όταν προστίθενται σε ένα όρισμα, δεν αλλάζουν την τιμή της συνάρτησης, καλούνται περίοδοςαυτή τη λειτουργία.

Ετσι, περίοδοςημίτονο και συνημίτονο είναι ίσα, και εφαπτομένη και συνεφαπτομένη. Αυτό σημαίνει ότι όσο κι αν προσθέσετε ή αφαιρέσετε αυτές τις περιόδους από τις υπό εξέταση γωνίες, οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων δεν θα αλλάξουν.

Για παράδειγμα, , και τα λοιπά.

Θα επιστρέψουμε αργότερα σε μια πιο λεπτομερή εξήγηση και εφαρμογή αυτής της ιδιότητας των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Υπάρχουν ορισμένες σχέσεις μεταξύ τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ίδιου ορίσματος που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά και καλούνται βασικές τριγωνομετρικές ταυτότητες.

Μοιάζουν με αυτό:

1) , η λεγόμενη «τριγωνομετρική μονάδα»

Σημειώστε ότι, για παράδειγμα, ο συμβολισμός σημαίνει ότι ολόκληρη η τριγωνομετρική συνάρτηση είναι τετράγωνο. Εκείνοι. μπορεί να αναπαρασταθεί με αυτή τη μορφή: . Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε ότι αυτό δεν είναι ίσο με μια σημείωση όπως , σε αυτήν την περίπτωση μόνο το όρισμα είναι τετράγωνο και όχι ολόκληρη η συνάρτηση, και επιπλέον, εκφράσεις αυτού του τύπου είναι εξαιρετικά σπάνιες.

Υπάρχουν δύο πολύ χρήσιμα συμπεράσματα από την πρώτη ταυτότητα που μπορούν να είναι χρήσιμα στην επίλυση πολλών τύπων προβλημάτων. Μετά από απλούς μετασχηματισμούς, μπορείτε να εκφράσετε το ημίτονο μέσω του συνημίτονος της ίδιας γωνίας και αντίστροφα:

Δύο πιθανά σημάδια έκφρασης εμφανίζονται επειδή λαμβάνοντας την αριθμητική τετραγωνική ρίζα δίνει μόνο μη αρνητικές τιμές και το ημίτονο και το συνημίτονο, όπως έχουμε ήδη δει, μπορούν να έχουν αρνητικές τιμές. Επιπλέον, είναι πιο βολικό να προσδιοριστούν τα σημάδια αυτών των συναρτήσεων χρησιμοποιώντας έναν τριγωνομετρικό κύκλο, ανάλογα με τις γωνίες που υπάρχουν σε αυτές.

Τώρα ας θυμηθούμε ότι οι γωνίες μπορούν να μετρηθούν με δύο τρόπους: σε μοίρες και σε ακτίνια. Ας υποδείξουμε τους ορισμούς μιας μοίρας και ενός ακτινίου.

Ένα βαθμό- αυτή είναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο ακτίνες που τεντώνουν ένα τόξο ίσο με έναν κύκλο.

Ένα ακτίνι- αυτή είναι η γωνία που σχηματίζεται από δύο ακτίνες που τεντώνονται από ένα τόξο ίσο σε μήκος με τις ακτίνες.

Εκείνοι. είναι απλώς δύο διαφορετικοί τρόποι μέτρησης γωνιών που είναι απολύτως ίσες. Κατά την περιγραφή φυσικών διεργασιών που χαρακτηρίζονται από τριγωνομετρικές συναρτήσεις, συνηθίζεται να χρησιμοποιείται το μέτρο ακτίνων των γωνιών, επομένως θα πρέπει επίσης να το συνηθίσουμε.

Είναι σύνηθες να μετράμε τις γωνίες σε ακτίνια σε κλάσματα του pi, για παράδειγμα, ή. Σε αυτή την περίπτωση, η τιμή του αριθμού «pi», που είναι ίση με 3,14, μπορεί να αντικατασταθεί, αλλά αυτό γίνεται σπάνια.

Για να μετατρέψετε το μέτρο του βαθμού των γωνιών σε ακτίνιαεκμεταλλευτείτε το γεγονός ότι η γωνία είναι , από την οποία είναι εύκολο να αποκτήσετε έναν γενικό τύπο μετάφρασης:

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε σε ακτίνια: .

Υπάρχει και το αντίθετο τύποςμετατροπή από ακτίνια σε μοίρες:

Για παράδειγμα, ας μετατρέψουμε σε μοίρες: .

Θα χρησιμοποιήσουμε το μέτρο ακτίνων της γωνίας αρκετά συχνά σε αυτό το θέμα.

Τώρα είναι η ώρα να θυμηθούμε ποιες συγκεκριμένες τιμές μπορούν να δοθούν από τριγωνομετρικές συναρτήσεις διαφόρων γωνιών. Για ορισμένες γωνίες που είναι πολλαπλάσιες του , υπάρχει πίνακας τιμών τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για ευκολία, οι γωνίες δίνονται σε μοίρες και ακτινικά μέτρα.

Αυτές οι γωνίες συναντώνται συχνά σε πολλά προβλήματα και καλό είναι να μπορείτε να πλοηγηθείτε με σιγουριά σε αυτόν τον πίνακα. Οι τιμές της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης ορισμένων γωνιών δεν έχουν νόημα, κάτι που υποδεικνύεται στον πίνακα ως παύλες. Σκεφτείτε μόνοι σας γιατί συμβαίνει αυτό ή διαβάστε σχετικά με περισσότερες λεπτομέρειες στο ένθετο για το μάθημα.

Το τελευταίο πράγμα που πρέπει να εξοικειωθούμε στο πρώτο μας μάθημα τριγωνομετρίας είναι μετασχηματισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων χρησιμοποιώντας τους λεγόμενους τύπους αναγωγής.

Αποδεικνύεται ότι υπάρχει ένας συγκεκριμένος τύπος έκφρασης για τριγωνομετρικές συναρτήσεις που είναι αρκετά κοινός και απλοποιημένος εύκολα. Για παράδειγμα, αυτές είναι εκφράσεις: κ.λπ.

Εκείνοι. Θα μιλήσουμε για συναρτήσεις που παίρνουν ως όρισμα μια αυθαίρετη γωνία, αλλαγμένη σε ολόκληρο ή μισό μέρος. Τέτοιες συναρτήσεις απλοποιούνται σε ένα όρισμα που ισούται με μια αυθαίρετη γωνία πρόσθεσης ή αφαίρεσης μερών. Για παράδειγμα, , ΕΝΑ . Όπως μπορείτε να δείτε, το αποτέλεσμα μπορεί να είναι η αντίθετη συνάρτηση και η συνάρτηση μπορεί να αλλάξει πρόσημο.

Επομένως, οι κανόνες για τη μετατροπή τέτοιων συναρτήσεων μπορούν να χωριστούν σε δύο στάδια. Πρώτα, πρέπει να καθορίσετε ποια συνάρτηση θα λάβετε μετά τον μετασχηματισμό:

1) Εάν ένα αυθαίρετο όρισμα αλλάξει σε ακέραιο, τότε η συνάρτηση δεν αλλάζει. Αυτό ισχύει για συναρτήσεις τύπου , όπου οποιοσδήποτε ακέραιος αριθμός;

Σε αυτό το μάθημα θα μιλήσουμε για το πώς προκύπτει η ανάγκη εισαγωγής τριγωνομετρικών συναρτήσεων και γιατί μελετώνται, τι πρέπει να καταλάβετε σε αυτό το θέμα και πού απλά πρέπει να γίνετε καλύτεροι σε αυτό (τι είναι τεχνική). Σημειώστε ότι η τεχνική και η κατανόηση είναι δύο διαφορετικά πράγματα. Συμφωνώ, υπάρχει μια διαφορά: να μάθεις να οδηγείς ποδήλατο, δηλαδή να καταλάβεις πώς να το κάνεις ή να γίνεις επαγγελματίας ποδηλάτης. Θα μιλήσουμε συγκεκριμένα για την κατανόηση, για το γιατί χρειάζονται τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Υπάρχουν τέσσερις τριγωνομετρικές συναρτήσεις, αλλά όλες μπορούν να εκφραστούν ως μία χρησιμοποιώντας ταυτότητες (ισότητες που τις συσχετίζουν).

Τυπικοί ορισμοί τριγωνομετρικών συναρτήσεων για οξείες γωνίες σε ορθογώνια τρίγωνα (Εικ. 1).

ΚόλποςΗ οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς την υποτείνουσα.

ΣυνημίτονοΗ οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος του διπλανού σκέλους προς την υποτείνουσα.

Εφαπτομένη γραμμήΗ οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της απέναντι πλευράς προς τη διπλανή πλευρά.

ΣυνεφαπτομένηΗ οξεία γωνία ενός ορθογωνίου τριγώνου είναι ο λόγος της διπλανής πλευράς προς την αντίθετη πλευρά.

Ρύζι. 1. Προσδιορισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων οξείας γωνίας ορθογωνίου τριγώνου

Αυτοί οι ορισμοί είναι τυπικοί. Είναι πιο σωστό να πούμε ότι υπάρχει μόνο μία συνάρτηση, για παράδειγμα, ημιτονοειδής. Αν δεν ήταν τόσο απαραίτητες (δεν χρησιμοποιούνται τόσο συχνά) στην τεχνολογία, δεν θα εισήχθησαν τόσες πολλές διαφορετικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Για παράδειγμα, το συνημίτονο μιας γωνίας είναι ίσο με το ημίτονο της ίδιας γωνίας με την προσθήκη του (). Επιπλέον, το συνημίτονο μιας γωνίας μπορεί πάντα να εκφραστεί μέσω του ημιτόνου της ίδιας γωνίας μέχρι πρόσημο, χρησιμοποιώντας τη βασική τριγωνομετρική ταυτότητα (). Η εφαπτομένη μιας γωνίας είναι η αναλογία ημιτονοειδούς προς συνημίτονο ή ανεστραμμένη συνεφαπτομένη (Εικ. 2). Μερικοί δεν χρησιμοποιούν καθόλου συνεφαπτομένη, αντικαθιστώντας το με . Επομένως, είναι σημαντικό να κατανοήσετε και να είστε σε θέση να εργαστείτε με μία τριγωνομετρική συνάρτηση.

Ρύζι. 2. Σχέση μεταξύ διαφόρων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Αλλά γιατί χρειάζονταν καθόλου τέτοιες λειτουργίες; Ποια πρακτικά προβλήματα χρησιμοποιούνται για την επίλυση; Ας δούμε μερικά παραδείγματα.

Δύο άνθρωποι ( ΕΝΑΚαι ΣΕ) σπρώξτε το αυτοκίνητο έξω από τη λακκούβα (Εικ. 3). Ο άνθρωπος ΣΕμπορεί να σπρώξει το αυτοκίνητο στο πλάι, ενώ είναι απίθανο να βοηθήσει ΕΝΑ. Από την άλλη, η κατεύθυνση των προσπαθειών του μπορεί σταδιακά να αλλάξει (Εικ. 4).

Ρύζι. 3. ΣΕσπρώχνει το αυτοκίνητο στο πλάι

Ρύζι. 4. ΣΕαρχίζει να αλλάζει την κατεύθυνση των προσπαθειών του

Είναι σαφές ότι οι προσπάθειές τους θα είναι πιο αποτελεσματικές όταν σπρώξουν το αυτοκίνητο προς μία κατεύθυνση (Εικ. 5).

Ρύζι. 5. Η πιο αποτελεσματική κοινή κατεύθυνση προσπάθειας

Πόσο ΣΕβοηθά στην ώθηση της μηχανής στο βαθμό που η κατεύθυνση της δύναμής της είναι κοντά στην κατεύθυνση της δύναμης με την οποία δρα ΕΝΑ, είναι συνάρτηση της γωνίας και εκφράζεται μέσω του συνημιτόνου της (Εικ. 6).

Ρύζι. 6. Το συνημίτονο ως χαρακτηριστικό της αποδοτικότητας της προσπάθειας ΣΕ

Αν πολλαπλασιάσουμε το μέγεθος της δύναμης με την οποία ΣΕ, από το συνημίτονο της γωνίας, λαμβάνουμε την προβολή της δύναμης της στην κατεύθυνση της δύναμης με την οποία ενεργεί ΕΝΑ. Όσο πιο κοντά είναι η γωνία μεταξύ των κατευθύνσεων των δυνάμεων, τόσο πιο αποτελεσματικό θα είναι το αποτέλεσμα των κοινών ενεργειών. ΕΝΑΚαι ΣΕ(Εικ. 7). Εάν σπρώξουν το αυτοκίνητο με την ίδια δύναμη προς αντίθετες κατευθύνσεις, το αυτοκίνητο θα παραμείνει στη θέση του (Εικ. 8).

Ρύζι. 7. Αποτελεσματικότητα των κοινών προσπαθειών ΕΝΑΚαι ΣΕ

Ρύζι. 8. Αντίθετη φορά δυνάμεων ΕΝΑΚαι ΣΕ

Είναι σημαντικό να κατανοήσουμε γιατί μπορούμε να αντικαταστήσουμε μια γωνία (τη συμβολή της στο τελικό αποτέλεσμα) με ένα συνημίτονο (ή άλλη τριγωνομετρική συνάρτηση μιας γωνίας). Στην πραγματικότητα, αυτό προκύπτει από αυτή την ιδιότητα ομοειδών τριγώνων. Αφού στην πραγματικότητα λέμε το εξής: η γωνία μπορεί να αντικατασταθεί από τον λόγο δύο αριθμών (πλευρά-υποτείνουσα ή πλάγια πλευρά). Αυτό θα ήταν αδύνατο αν, για παράδειγμα, για την ίδια γωνία διαφορετικών ορθογωνίων τριγώνων, αυτοί οι λόγοι ήταν διαφορετικοί (Εικ. 9).

Ρύζι. 9. Ίσοι λόγοι πλευρών σε όμοια τρίγωνα

Για παράδειγμα, αν ο λόγος και ο λόγος ήταν διαφορετικοί, τότε δεν θα μπορούσαμε να εισαγάγουμε τη συνάρτηση εφαπτομένης, αφού για την ίδια γωνία σε διαφορετικά ορθογώνια τρίγωνα η εφαπτομένη θα ήταν διαφορετική. Αλλά λόγω του γεγονότος ότι οι λόγοι των μηκών των ποδιών παρόμοιων ορθογώνιων τριγώνων είναι οι ίδιες, η τιμή της συνάρτησης δεν θα εξαρτάται από το τρίγωνο, πράγμα που σημαίνει ότι η οξεία γωνία και οι τιμές των τριγωνομετρικών της συναρτήσεων είναι ένα προς ένα.

Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε το ύψος ενός συγκεκριμένου δέντρου (Εικ. 10). Πώς να μετρήσετε το ύψος ενός κοντινού κτιρίου;

Ρύζι. 10. Απεικόνιση της συνθήκης του παραδείγματος 2

Βρίσκουμε ένα σημείο τέτοιο ώστε μια γραμμή που τραβιέται από αυτό το σημείο και την κορυφή του σπιτιού θα περάσει από την κορυφή του δέντρου (Εικ. 11).

Ρύζι. 11. Απεικόνιση της λύσης στο πρόβλημα του παραδείγματος 2

Μπορούμε να μετρήσουμε την απόσταση από αυτό το σημείο μέχρι το δέντρο, την απόσταση από αυτό μέχρι το σπίτι και γνωρίζουμε το ύψος του δέντρου. Από την αναλογία μπορείτε να βρείτε το ύψος του σπιτιού: .

Ποσοστόείναι η ισότητα του λόγου δύο αριθμών. Στην περίπτωση αυτή, η ισότητα του λόγου των μηκών των σκελών παρόμοιων ορθογωνίων τριγώνων. Επιπλέον, αυτοί οι λόγοι είναι ίσοι με ένα ορισμένο μέτρο της γωνίας, το οποίο εκφράζεται μέσω μιας τριγωνομετρικής συνάρτησης (εξ ορισμού, αυτή είναι μια εφαπτομένη). Διαπιστώνουμε ότι για κάθε οξεία γωνία η τιμή της τριγωνομετρικής της συνάρτησης είναι μοναδική. Δηλαδή, ημίτονο, συνημίτονο, εφαπτομένη, συνεφαπτομένη είναι πραγματικά συναρτήσεις, αφού κάθε οξεία γωνία αντιστοιχεί ακριβώς σε μία τιμή καθεμιάς από αυτές. Κατά συνέπεια, μπορούν να διερευνηθούν περαιτέρω και να χρησιμοποιηθούν οι ιδιότητές τους. Οι τιμές των τριγωνομετρικών συναρτήσεων για όλες τις γωνίες έχουν ήδη υπολογιστεί και μπορούν να χρησιμοποιηθούν (μπορούν να βρεθούν από τους πίνακες Bradis ή χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε μηχανικό αριθμομηχανή). Αλλά δεν μπορούμε πάντα να λύσουμε το αντίστροφο πρόβλημα (για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας την τιμή του ημιτόνου για να επαναφέρουμε το μέτρο της γωνίας που αντιστοιχεί σε αυτό).

Έστω το ημίτονο κάποιας γωνίας ίσο ή περίπου (Εικ. 12). Ποια γωνία θα αντιστοιχεί σε αυτή την ημιτονοειδή τιμή; Φυσικά, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ξανά τον πίνακα Bradis και να βρούμε κάποια τιμή, αλλά αποδεικνύεται ότι δεν θα είναι ο μόνος (Εικ. 13).

Ρύζι. 12. Εύρεση γωνίας με την τιμή του ημιτόνου της

Ρύζι. 13. Πολυσημία αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων

Κατά συνέπεια, κατά την ανακατασκευή της τιμής της τριγωνομετρικής συνάρτησης μιας γωνίας, προκύπτει η πολυτιμή φύση των αντίστροφων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Μπορεί να φαίνεται δύσκολο, αλλά στην πραγματικότητα αντιμετωπίζουμε παρόμοιες καταστάσεις καθημερινά.

Αν κουρτίνας τα παράθυρα και δεν ξέρεις αν έξω είναι φως ή σκοτάδι, ή αν βρεθείς σε μια σπηλιά, τότε όταν ξυπνήσεις, είναι δύσκολο να πεις αν είναι μία η ώρα το μεσημέρι, το βράδυ ή την επόμενη μέρα (Εικ. 14). Στην πραγματικότητα, αν μας ρωτήσετε «Τι ώρα είναι;», πρέπει να απαντήσουμε με ειλικρίνεια: «Ώρα συν πολλαπλασιαζόμενη επί πού»

Ρύζι. 14. Απεικόνιση πολυσημίας χρησιμοποιώντας το παράδειγμα ενός ρολογιού

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι πρόκειται για περίοδο (το διάστημα μετά το οποίο το ρολόι θα δείχνει την ίδια ώρα με τώρα). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις έχουν επίσης περιόδους: ημίτονο, συνημίτονο κ.λπ. Δηλαδή, οι τιμές τους επαναλαμβάνονται μετά από κάποια αλλαγή στο όρισμα.

Αν δεν υπήρχε αλλαγή ημέρας και νύχτας ή αλλαγή εποχών στον πλανήτη, τότε δεν θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε περιοδικό χρόνο. Εξάλλου, αριθμούμε μόνο τα έτη με αύξουσα σειρά, αλλά οι μέρες έχουν ώρες και κάθε νέα μέρα η καταμέτρηση ξεκινά εκ νέου. Η κατάσταση είναι ίδια με τους μήνες: αν είναι Ιανουάριος τώρα, τότε σε λίγους μήνες θα έρθει ξανά ο Ιανουάριος κ.λπ. Τα εξωτερικά σημεία αναφοράς μας βοηθούν να χρησιμοποιούμε περιοδική μέτρηση του χρόνου (ώρες, μήνες), για παράδειγμα, την περιστροφή της Γης γύρω από τον άξονά της και την αλλαγή της θέσης του Ήλιου και της Σελήνης στον ουρανό. Αν ο Ήλιος κρεμόταν πάντα στην ίδια θέση, τότε για να υπολογίσουμε τον χρόνο θα μετρούσαμε τον αριθμό των δευτερολέπτων (λεπτών) από τη στιγμή που άρχισε αυτός ο ίδιος ο υπολογισμός. Η ημερομηνία και η ώρα μπορεί να είναι ως εξής: ένα δισεκατομμύριο δευτερόλεπτα.

Συμπέρασμα: δεν υπάρχουν δυσκολίες όσον αφορά την πολυσημία των αντίστροφων συναρτήσεων. Πράγματι, μπορεί να υπάρχουν επιλογές όταν για το ίδιο ημίτονο υπάρχουν διαφορετικές τιμές γωνίας (Εικ. 15).

Ρύζι. 15. Επαναφορά γωνίας από την τιμή του ημιτόνου της

Συνήθως, όταν λύνουμε πρακτικά προβλήματα, εργαζόμαστε πάντα στην τυπική σειρά από έως . Σε αυτό το εύρος, για κάθε τιμή της τριγωνομετρικής συνάρτησης υπάρχουν μόνο δύο αντίστοιχες τιμές του μέτρου γωνίας.

Σκεφτείτε μια κινούμενη ζώνη και ένα εκκρεμές σε μορφή κουβά με μια τρύπα από την οποία ξεχύνεται η άμμος. Το εκκρεμές ταλαντεύεται, η ταινία κινείται (Εικ. 16). Ως αποτέλεσμα, η άμμος θα αφήσει ένα ίχνος με τη μορφή γραφήματος της συνάρτησης ημιτονοειδούς (ή συνημιτονοειδούς), το οποίο ονομάζεται ημιτονοειδές κύμα.

Στην πραγματικότητα, τα γραφήματα του ημιτόνου και του συνημιτόνου διαφέρουν μεταξύ τους μόνο στο σημείο αναφοράς (αν σχεδιάσετε ένα από αυτά και στη συνέχεια σβήσετε τους άξονες συντεταγμένων, δεν θα μπορείτε να προσδιορίσετε ποιο γράφημα σχεδιάστηκε). Επομένως, δεν έχει νόημα να ονομάζουμε το συνημίτονο γράφημα γράφημα (γιατί να βρούμε ένα ξεχωριστό όνομα για το ίδιο γράφημα);

Ρύζι. 16. Απεικόνιση της δήλωσης προβλήματος στο παράδειγμα 4

Το γράφημα μιας συνάρτησης μπορεί επίσης να σας βοηθήσει να κατανοήσετε γιατί οι αντίστροφες συναρτήσεις θα έχουν πολλές τιμές. Εάν η τιμή του ημιτόνου είναι σταθερή, δηλ. σχεδιάστε μια ευθεία γραμμή παράλληλη προς τον άξονα της τετμημένης, τότε στην τομή παίρνουμε όλα τα σημεία στα οποία το ημίτονο της γωνίας είναι ίσο με το δεδομένο. Είναι σαφές ότι θα υπάρχει άπειρος αριθμός τέτοιων σημείων. Όπως στο παράδειγμα με το ρολόι, όπου η τιμή του χρόνου διέφερε κατά , μόνο εδώ η τιμή της γωνίας θα διαφέρει κατά το ποσό (Εικ. 17).

Ρύζι. 17. Απεικόνιση πολυσημίας για ημίτονο

Αν εξετάσουμε το παράδειγμα ενός ρολογιού, τότε το σημείο (τέλος της δεξιόστροφης φοράς) κινείται γύρω από τον κύκλο. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να οριστούν με τον ίδιο τρόπο - θεωρήστε όχι τις γωνίες σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, αλλά τη γωνία μεταξύ της ακτίνας του κύκλου και της θετικής κατεύθυνσης του άξονα. Ο αριθμός των κύκλων που θα διανύσει το σημείο (συμφωνήσαμε να μετρήσουμε την κίνηση δεξιόστροφα με το σύμβολο μείον και αριστερόστροφα με το σύμβολο συν), αυτός είναι μια τελεία (Εικ. 18).

Ρύζι. 18. Η τιμή του ημιτόνου σε έναν κύκλο

Έτσι, η αντίστροφη συνάρτηση ορίζεται μοναδικά σε ένα συγκεκριμένο διάστημα. Για αυτό το διάστημα μπορούμε να υπολογίσουμε τις τιμές του και να πάρουμε όλα τα υπόλοιπα από τις τιμές που βρέθηκαν προσθέτοντας και αφαιρώντας την περίοδο της συνάρτησης.

Ας δούμε ένα άλλο παράδειγμα περιόδου. Το αυτοκίνητο κινείται κατά μήκος του δρόμου. Ας φανταστούμε ότι ο τροχός της έχει μπει σε μπογιά ή σε μια λακκούβα. Περιστασιακά σημάδια από μπογιά ή λακκούβες στο δρόμο μπορεί να φανούν (Εικόνα 19).

Ρύζι. 19. Εικονογράφηση περιόδου

Υπάρχουν πολλοί τριγωνομετρικοί τύποι στο σχολικό μάθημα, αλλά σε γενικές γραμμές αρκεί να θυμάστε μόνο έναν (Εικ. 20).

Ρύζι. 20. Τριγωνομετρικοί τύποι

Ο τύπος της διπλής γωνίας μπορεί επίσης να εξαχθεί εύκολα από το ημίτονο του αθροίσματος αντικαθιστώντας (ομοίως με το συνημίτονο). Μπορείτε επίσης να αντλήσετε τύπους προϊόντων.

Στην πραγματικότητα, πρέπει να θυμάστε πολύ λίγα, καθώς με την επίλυση προβλημάτων αυτοί οι τύποι θα θυμούνται από μόνοι τους. Φυσικά, κάποιος θα είναι πολύ τεμπέλης για να αποφασίσει πολλά, αλλά τότε δεν θα χρειαστεί αυτή την τεχνική, άρα και τους ίδιους τους τύπους.

Και αφού οι τύποι δεν χρειάζονται, τότε δεν χρειάζεται να τις απομνημονεύσετε. Απλά πρέπει να κατανοήσετε την ιδέα ότι οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις που χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό, για παράδειγμα, γεφυρών. Σχεδόν κανένας μηχανισμός δεν μπορεί να κάνει χωρίς τη χρήση και τον υπολογισμό τους.

1. Συχνά τίθεται το ερώτημα εάν τα καλώδια μπορούν να είναι απολύτως παράλληλα με το έδαφος. Απάντηση: όχι, δεν μπορούν, αφού μια δύναμη δρα προς τα κάτω και οι άλλες παράλληλα - δεν θα ισορροπήσουν ποτέ (Εικ. 21).

2. Ένας κύκνος, μια καραβίδα και ένας λούτσος τραβούν ένα κάρο στο ίδιο αεροπλάνο. Ο κύκνος πετά προς τη μία κατεύθυνση, η καραβίδα τραβάει προς την άλλη και ο λούτσος στην τρίτη (Εικ. 22). Οι δυνάμεις τους μπορούν να εξισορροπηθούν. Αυτή η εξισορρόπηση μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

3. Καλωδιωτή γέφυρα (Εικ. 23). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις βοηθούν στον υπολογισμό του αριθμού των καλωδίων, του τρόπου με τον οποίο πρέπει να κατευθύνονται και να τεντώνονται.