Определение за топка. Сфера, топка, сегмент и сектор. Формули и свойства на сферата. Тангента, допирателна равнина към сфера и техните свойства

Топка (сфера)

Сферична повърхност. Топка (сфера). Топкови секции: кръгове.

Теорема на Архимед. Части на топката: сферичен сегмент,

сферичен слой, сферичен пояс, сферичен сектор.

Сферична повърхност - Това геометрично място на точките(тези. многоброй на всички точки)в пространството, на еднакво разстояние от една точка О , който се нарича център на сферичната повърхност (фиг.90). Радиус AOi диаметър AB се определят по същия начин, както в кръг.

Топка (сфера) - Това тяло, ограничено от сферична повърхност.Мога вземете топката чрез завъртане на полукръга (или кръг ) около диаметъра. Всички равнинни сечения на топката са кръгове (Фиг.90 ). Най-големият кръг лежи в участък, минаващ през центъра на топката и се нарича голям кръг. Неговият радиус е равен на радиуса на топката. Всякакви две големи окръжности се пресичат по диаметъра на топката ( AB, фиг.91 ).Този диаметър също е диаметърът на пресичащи се големи окръжности. През две точки от сферична повърхност, разположени в краищата на един и същ диаметър(A и B, фиг.91 ), можете да нарисувате безброй големи кръгове. Например, безкраен брой меридиани могат да бъдат начертани през полюсите на Земята.

Обемът на сферата е един път и половина по-малък от обема на цилиндъра, описан около нея. (фиг.92 ), А повърхността на топката е един и половина пъти по-малка от общата повърхност на същия цилиндър ( Теорема на Архимед):

Тук С топка И V топка - съответно повърхността и обема на топката;

С цил И V цил - общата повърхност и обем на описания цилиндър.

Части от топката. Част от топка (сфера) ), отрязан от него с някаква равнина ( ABC, фиг.93), Наречен топка(сферична ) сегмент. Окръжност ABC Наречен базатопка сегмент. Линеен сегмент MN перпендикуляр, изтеглен от центъра N окръжност ABC докато се пресече със сферична повърхност, се нарича височинатопка сегмент. ТочкаМ Наречен Горна часттопка сегмент.

Част от сфера, затворена между две успоредни равнини ABC и DEF, пресичащи сферична повърхност (фиг. 93), Наречен сферичен слой; извитата повърхност на сферичен слой се нарича топка колан(зона). Кръгове ABC и DEF – основаниятопка колан. РазстояниеН.К. между основите на сферичния пояс – негов височина. Частта от топката, ограничена от извитата повърхност на сферичен сегмент ( AMCB, Фиг.93) и конична повърхност OABC , чиято основа е основата на сегмента ( ABC ), а върхът е центърът на топкатаО , Наречен сферичен сектор.

Когато хората бъдат попитани за разликата между сфера и топка, мнозина просто вдигат рамене, мислейки, че всъщност те са едно и също нещо (аналогия с кръг и кръг). Наистина, всички знаем ли добре геометрията от училищната програма и можем веднага да отговорим на този въпрос? Сферата има някои разлики от топката, които не само учениците трябва да знаят, за да получат добра оценка за демонстрираните си знания, но и много други хора, например, чиято работа е пряко свързана с рисунки.

Определение

Топка– множеството от всички точки в пространството. Всички тези точки се намират от центъра на геометричното тяло на разстояние не повече от дадено. Самото това разстояние се нарича радиус. Топката, като геометрично тяло, се образува по следния начин: полукръг се върти близо до нейния диаметър. Що се отнася до сферата, това е повърхността на топката (например затворена топка я включва, отворена не). Изчисляването на площта или обема на топката включва цели геометрични формули, които са много сложни, въпреки очевидната простота на самата геометрична фигура.

Сфера, както беше отбелязано по-горе, е повърхността на топката, нейната обвивка. Всички точки в пространството са на еднакво разстояние от центъра на сферата. Що се отнася до радиуса на геометрично тяло, той се нарича всеки сегмент, една точка от който е директно центърът на сферата, а другата може да бъде разположена във всяка точка на повърхността. Можем да кажем, че сферата е обвивката на топка без съдържание (по-конкретни примери ще бъдат дадени по-долу). Точно като топката, сферата е ротационно тяло. Между другото, мнозина също се чудят каква е разликата между кръг и кръг от сфера и топка. Тук всичко е просто: в първия случай това са фигури в равнина, във втория - в космоса.

Сравнение

Вече беше казано, че сферата е повърхността на топката, което вече позволява да се говори за един значим знак за разлика. Разликата между двете геометрични тела се наблюдава и в някои други аспекти:

• Всички точки на топката са на еднакво разстояние от центъра, докато тялото е ограничено от повърхността (сфера, която е празна отвътре). С други думи, сферата е куха. Обикновено за по-лесно разбиране се дава прост пример с балон и билярдна топка. И двата обекта се наричат ​​топки, но в първия случай имаме работа със сфера, а във втория с пълноценна топка със собствено съдържание вътре.
• Сферата има собствена площ, но няма обем. Сферата е обратното: нейният обем може да се изчисли, докато тя няма площ. Някои може да кажат, че това е основният знак за разлика, но той се появява само ако е необходимо да се направят някои изчисления (сложни геометрични формули). Следователно основната разлика е, че сферата е куха, а топката е тяло със съдържание вътре.
• Друга разлика е в радиуса. Например, радиусът на една сфера не е само разстоянието между точките до центъра. Радиус може да бъде всеки сегмент, свързващ точка от сфера с нейния център. Всички тези сегменти са равни един на друг. Що се отнася до топката, точките вътре в нея са на по-малко от радиус от центъра (именно поради сферата, която я ограничава).

Уеб сайт за заключения

1. Сферата е куха, докато топката е тяло, запълнено отвътре. Например балонът с горещ въздух е сфера, билярдната топка е пълноценна топка.
2. Сферата има площ и няма обем, но сферата прави обратното.
3. Третата разлика е измерването на радиуса на две геометрични тела.

Топката и сферата са преди всичко геометрични фигури и ако топката е геометрично тяло, тогава сферата е повърхността на топката. Тези цифри са представлявали интерес преди много хиляди години пр.н.е.

Впоследствие, когато се открива, че Земята е топка, а небето е небесна сфера, се развива ново увлекателно направление в геометрията - геометрия върху сфера или сферична геометрия. За да говорим за размера и обема на една топка, първо трябва да я дефинирате.

Топка

Топка с радиус R с център в точка O в геометрията е тяло, което е създадено от всички точки в пространството, които имат общо свойство. Тези точки са разположени на разстояние, което не надвишава радиуса на топката, т.е. запълват цялото пространство, по-малко от радиуса на топката във всички посоки от нейния център. Ако разгледаме само онези точки, които са на еднакво разстояние от центъра на топката, ще разгледаме нейната повърхност или обвивката на топката.

Как мога да взема топката? Можем да изрежем кръг от хартия и да започнем да го въртим около собствения му диаметър. Тоест диаметърът на кръга ще бъде оста на въртене. Оформената фигура ще бъде топка. Следователно топката се нарича още тяло на въртене. Тъй като може да се образува чрез завъртане на плоска фигура - кръг.

Нека вземем някакъв самолет и да разрежем нашата топка с него. Точно както режем портокал с нож. Парчето, което отрязваме от топката, се нарича сферичен сегмент.

В Древна Гърция те знаеха как не само да работят с топка и сфера като геометрични фигури, например, да ги използват в строителството, но също така знаеха как да изчислят повърхността на топката и обема на топката.

Сфера е другото име за повърхността на топката. Сферата не е тяло - тя е повърхността на въртеливото тяло. Но тъй като както Земята, така и много тела имат сферична форма, например капка вода, изучаването на геометричните отношения вътре в сферата стана широко разпространено.

Например, ако свържем две точки на сфера една с друга с права линия, тогава тази права линия се нарича хорда и ако тази хорда минава през центъра на сферата, който съвпада с центъра на топката, тогава хордата се нарича диаметър на сферата.

Ако начертаем права линия, която докосва сферата само в една точка, тогава тази линия ще се нарича допирателна. В допълнение, тази допирателна към сферата в тази точка ще бъде перпендикулярна на радиуса на сферата, начертан до точката на контакт.

Ако разширим хордата до права линия в едната или другата посока от сферата, тогава тази хорда ще се нарича секанс. Или можем да го кажем по друг начин - секущата на сферата съдържа нейната хорда.

Обем на топката

Формулата за изчисляване на обема на една топка е:

където R е радиусът на топката.

Ако трябва да намерите обема на сферичен сегмент, използвайте формулата:

V seg =πh 2 (R-h/3), h е височината на сферичния сегмент.

Повърхностна площ на топка или сфера

За да изчислите площта на сфера или повърхността на топка (те са едно и също нещо):

където R е радиусът на сферата.

Архимед много обичаше топката и сферата, той дори поиска да остави рисунка на гробницата му, в която топка беше вписана в цилиндър. Архимед вярва, че обемът на топката и нейната повърхност са равни на две трети от обема и повърхността на цилиндъра, в който е вписана топката.

В глава 2 ще продължим „структурната геометрия“ и ще говорим за структурата и свойствата на най-важните пространствени фигури - топка и сфера, цилиндри и конуси, призми и пирамиди - повечето обекти, създадени от човешки ръце - сгради, автомобили, мебели, съдове , и т.н., и т.н., се състои от части, оформени като тези фигури.

§ 4. СФЕРА И ТОПКА

След прави линии и равнини, сферата и топката са най-простите, но много важни пространствени фигури, богати на различни свойства. Цели книги са написани за геометричните свойства на топката и нейната повърхност - сфера. Някои от тези свойства са били известни на древногръцките геометри, а някои са открити наскоро, през последните години. Тези свойства (заедно със законите на естествената наука) обясняват защо например небесните тела и яйцата на рибите имат сферична форма, защо батискафите и футболните топки се правят във формата на топка, защо сачмените лагери са толкова разпространени в техниката, и т.н. Можем да докажем само най-простите свойства на топката. Доказателствата за други, макар и много важни свойства, често изискват използването на напълно неелементарни методи, въпреки че формулирането на такива свойства може да бъде много просто: например, сред всички тела с дадена повърхност, топката има най-голям обем.

4.1. Определения за сфера и топка.

Сфера и топка са дефинирани в пространството точно по същия начин като кръг и кръг в равнина. Сферата е фигура, състояща се от всички точки в пространството, отдалечени от дадена.

различни точки на едно и също (положително) разстояние.

Тази точка се нарича център на сферата, а разстоянието е нейният радиус (фиг. 4.1).

И така, сфера с център O и радиус R е фигура, образувана от всички точки X на пространството, за които

Топката е фигура, образувана от всички точки в пространството, разположени на разстояние не по-голямо от дадено (положително) разстояние от дадена точка. Тази точка се нарича център на топката, а това разстояние е нейният радиус.

И така, топка с център O и радиус R е фигура, образувана от всички точки X на пространството, за които

Тези точки X на топка с център O и радиус R, за които те образуват сфера. Казват, че тази сфера обхваща дадена топка или че е нейната повърхност.

Приблизително същите точки X на топката, за които казват, че лежат вътре в топката.

Радиусът на сфера (и топка) се нарича не само разстоянието, но и всеки сегмент, свързващ центъра с точка на сферата.