Topun tərifi. Kürə, top, seqment və sektor. Sferanın düsturları və xassələri. Sferə toxunan, toxunan müstəvi və onların xassələri
Top (kürə)
Sferik səth. Top (kürə). Top bölmələri: dairələr.
Arximed teoremi. Topun hissələri: sferik seqment,
sferik təbəqə, sferik kəmər, sferik sektor.
Sferik səth - Bu nöqtələrin yeri(olanlar. çoxlubütün nöqtələrin sayı)kosmosda, bir nöqtədən bərabər məsafədə O sferik səthin mərkəzi adlanan (Şəkil 90). Radius AOi Diametr AB dairədə olduğu kimi müəyyən edilir.
Top (kürə) - Bu sferik səthlə sərhədlənmiş cisim. Bacarmaq yarımdairəni döndərərək topu əldə edin ( və ya dairə ) diametri ətrafında. Topun bütün təyyarə hissələri var dairələr (Şəkil 90 ). Ən böyük dairə topun mərkəzindən keçən hissədə yerləşir və deyilir böyük dairə. Onun radiusu topun radiusuna bərabərdir. İstənilən iki böyük dairə topun diametri boyunca kəsişir ( AB, şəkil 91 ).Bu diametr həm də kəsişən böyük dairələrin diametridir. Eyni diametrli uclarda yerləşən sferik səthin iki nöqtəsi vasitəsilə(A və B, Şəkil 91 ), saysız-hesabsız böyük dairələr çəkə bilərsiniz. Məsələn, Yerin qütblərindən sonsuz sayda meridianlar çəkilə bilər.
Sferanın həcmi onun ətrafında çəkilmiş silindrin həcmindən bir yarım dəfə azdır. (Şəkil 92 ), A topun səthi eyni silindrin ümumi səthindən bir yarım dəfə azdır ( Arximed teoremi):
Burada S top Və V top - müvafiq olaraq topun səthi və həcmi;
S silin Və V silin - məhdudlaşdırılmış silindrin ümumi səthi və həcmi.
Topun hissələri. Topun bir hissəsi (kürə) ), ondan bir təyyarə ilə kəsildi ( ABC, Şəkil 93), çağırdı top(sferik ) seqment. ABC dairəsi çağırdı əsas top seqmenti. Xətt seqmenti MN mərkəzdən perpendikulyar çəkilmişdir N dairəsi ABC sferik səthlə kəsişənə qədər deyilir hündürlük top seqmenti. Nöqtə M çağırdı üst top seqmenti.
İki paralel müstəvi arasında qapalı kürənin bir hissəsi Sferik səthlə kəsişən ABC və DEF (şək. 93), çağırdı sferik təbəqə; sferik təbəqənin əyri səthi adlanır top kəməri(zona). Dairələr ABC və DEF – əsaslar top kəməri. Məsafə N.K. sferik kəmərin əsasları arasında - onun hündürlük. Topun sferik seqmentin əyri səthi ilə məhdudlaşan hissəsi ( AMCB, şək.93) və konusvari səth OABC , əsası seqmentin əsası olan ( ABC ), təpəsi isə topun mərkəzidir O , çağırdı sferik sektor.
İnsanlardan kürə ilə top arasındakı fərqi soruşduqda, çoxları əslində eyni şey olduqlarını düşünərək sadəcə çiyinlərini çəkirlər (dairə və dairə ilə bənzətmə). Həqiqətən, hamımız həndəsəni məktəb proqramından yaxşı bilirikmi və bu suala dərhal cavab verə bilərikmi? Bir kürənin topdan bəzi fərqləri var ki, bunu təkcə məktəblilər nümayiş etdirdikləri biliklərə görə yaxşı qiymət almaq üçün deyil, həm də bir çox başqa insanlar, məsələn, işi rəsmlərlə birbaşa əlaqəli olanlar da bilməlidirlər.
Tərif
Top– kosmosdakı bütün nöqtələrin çoxluğu. Bütün bu nöqtələr həndəsi cismin mərkəzindən verilmiş bir nöqtədən çox olmayan məsafədə yerləşir. Bu məsafənin özü radius adlanır. Top, həndəsi bir cisim olaraq, aşağıdakı kimi formalaşır: yarımdairə onun diametrinə yaxın fırlanır. Sferaya gəldikdə, bu topun səthidir (məsələn, qapalı top onu ehtiva edir, açıq top yoxdur). Topun sahəsinin və ya həcminin hesablanması həndəsi fiqurun özünün görünən sadəliyinə baxmayaraq, çox mürəkkəb olan bütün həndəsi düsturları əhatə edir.
Kürə, yuxarıda qeyd edildiyi kimi, topun səthi, qabığıdır. Kosmosdakı bütün nöqtələr sferanın mərkəzindən bərabər məsafədədir. Həndəsi cismin radiusuna gəlincə, o, hər hansı bir seqment adlanır, onun bir nöqtəsi birbaşa kürənin mərkəzidir, digəri isə səthin istənilən nöqtəsində yerləşə bilər. Kürənin heç bir məzmunu olmayan bir topun qabığı olduğunu söyləyə bilərik (daha konkret nümunələr aşağıda veriləcəkdir). Top kimi, kürə də bir inqilab cismidir. Yeri gəlmişkən, bir çoxları bir dairə ilə bir kürə və topdan bir dairənin fərqinin nə olduğunu maraqlandırır. Burada hər şey sadədir: birinci halda bunlar təyyarədəki rəqəmlərdir, ikincisi - kosmosda.
Müqayisə
Artıq deyildi ki, kürə topun səthidir və bu, artıq bir əhəmiyyətli fərq əlaməti haqqında danışmağa imkan verir. İki həndəsi cisim arasındakı fərq bəzi digər aspektlərdə də müşahidə olunur:
- Topun bütün nöqtələri mərkəzdən eyni məsafədə yerləşir, bədən isə səthlə məhdudlaşır (içərisində boş olan kürə). Başqa sözlə, kürə içi boşdur. Adətən, başa düşmək asanlığı üçün şar və bilyard topu ilə sadə bir nümunə verilir. Bu obyektlərin hər ikisi top adlanır, lakin birinci halda biz bir kürə ilə, ikincisində isə içərisində məzmunu olan tam hüquqlu bir topla məşğul oluruq.
- Kürənin öz sahəsi var, lakin onun həcmi yoxdur. Kürə bunun əksidir: sahəsi olmadığı halda həcmini hesablamaq olar. Bəziləri deyə bilər ki, bu, fərqin əsas əlamətidir, lakin bu, yalnız bəzi hesablamalar (mürəkkəb həndəsi düsturlar) aparmaq lazım olduqda görünür. Buna görə də, əsas fərq, kürənin içi boş olması və topun içərisində məzmunu olan bir bədəndir.
- Başqa bir fərq radiusdadır. Məsələn, kürənin radiusu təkcə nöqtələrin mərkəzə olan məsafəsi deyil. Radius kürə üzərindəki nöqtəni onun mərkəzinə birləşdirən hər hansı bir seqment ola bilər. Bütün bu seqmentlər bir-birinə bərabərdir. Topa gəlincə, onun içərisində yerləşən nöqtələr mərkəzdən bir radiusdan az uzaqlaşdırılır (dəqiq onu bağlayan kürə səbəbindən).
Nəticələr saytı
- Kürə içi boşdur, top isə içərisi dolu bədəndir. Məsələn, şar kürədir, bilyard topu tam hüquqlu topdur.
- Kürənin sahəsi var və həcmi yoxdur, lakin kürə bunun əksini edir.
- Üçüncü fərq iki həndəsi cismin radiusunun ölçülməsidir.
Top və kürə hər şeydən əvvəl həndəsi fiqurlardır və əgər top həndəsi cisimdirsə, kürə topun səthidir. Bu rəqəmlər eramızdan əvvəl min illər əvvəl maraq doğururdu.
Sonradan Yerin top, səmanın isə göy sferası olduğu aşkar edildikdə, həndəsədə yeni bir maraqlı istiqamət - kürə üzərində həndəsə və ya sferik həndəsə inkişaf etdirildi. Topun ölçüsü və həcmi haqqında danışmaq üçün əvvəlcə onu müəyyənləşdirməlisiniz.
Top
Həndəsədə mərkəzi O nöqtəsində olan R radiuslu bir top kosmosda ümumi xüsusiyyətə malik olan bütün nöqtələrin yaratdığı cisimdir. Bu nöqtələr topun radiusundan çox olmayan məsafədə yerləşir, yəni onun mərkəzindən bütün istiqamətlərdə topun radiusundan daha az bütün boşluğu doldurur. Yalnız topun mərkəzindən bərabər məsafədə olan nöqtələri nəzərə alsaq, onun səthini və ya topun qabığını nəzərdən keçirəcəyik.
Topu necə ala bilərəm? Kağızdan bir dairə kəsib öz diametri ətrafında döndərə bilərik. Yəni dairənin diametri fırlanma oxu olacaq. Yaranan rəqəm bir top olacaq. Buna görə də topa inqilab bədəni də deyirlər. Çünki onu düz bir fiqurun - dairənin fırlanması ilə yaratmaq olar.
Gəlin bir təyyarə götürək və onunla topumuzu kəsək. Necə ki, portağalı bıçaqla kəsdik. Topdan kəsdiyimiz parça sferik seqment adlanır.
Qədim Yunanıstanda onlar təkcə həndəsi fiqurlar kimi top və kürə ilə işləməyi, məsələn, tikintidə istifadə etməyi deyil, həm də topun səthinin sahəsini və topun həcmini hesablamağı bilirdilər.
Kürə topun səthinin başqa adıdır. Kürə cisim deyil - bu, inqilab bədəninin səthidir. Lakin həm Yer, həm də bir çox cisimlər sferik formada olduğundan, məsələn, su damcısı olduğundan, kürə daxilində həndəsi əlaqələrin öyrənilməsi geniş vüsət almışdır.
Məsələn, bir kürənin iki nöqtəsini bir-biri ilə düz xəttlə birləşdirsək, bu düz xətt akkord adlanır və bu akkord kürənin mərkəzi ilə üst-üstə düşən kürənin mərkəzindən keçirsə, onda akkorda sferanın diametri deyilir.
Kürəyə yalnız bir nöqtədə toxunan düz xətt çəksək, bu xətt tangens adlanacaq. Bundan əlavə, bu nöqtədə kürəyə bu tangens təmas nöqtəsinə çəkilmiş sferanın radiusuna perpendikulyar olacaqdır.
Əgər akkordu kürədən bir və ya digər istiqamətdə düz xəttə uzatsaq, onda bu akkord sekant adlanacaqdır. Və ya başqa cür deyə bilərik - kürəyə gedən sekant öz akkordunu ehtiva edir.
Topun həcmi
Topun həcmini hesablamaq üçün formula belədir:
burada R topun radiusudur.
Sferik seqmentin həcmini tapmaq lazımdırsa, düsturdan istifadə edin:
V seg =πh 2 (R-h/3), h sferik seqmentin hündürlüyüdür.
Topun və ya kürənin səth sahəsi
Bir kürənin və ya topun səthinin sahəsini hesablamaq üçün (onlar eyni şeydir):
burada R kürənin radiusudur.
Arximed topu və kürəni çox sevirdi, hətta məzarının üstündə silindrdə top yazılmış bir rəsm buraxmağı xahiş etdi. Arximed hesab edirdi ki, topun həcmi və onun səthi topun yazıldığı silindrin həcminin və səthinin üçdə ikisinə bərabərdir”.
2-ci fəsildə "tikinti həndəsəsini" davam etdirəcəyik və ən vacib məkan fiqurlarının - topların və kürələrin, silindrlərin və konusların, prizmaların və piramidaların insan əli ilə yaradılan əksər obyektlərin - binaların, avtomobillərin, mebellərin, qabların quruluşu və xüsusiyyətləri haqqında danışacağıq və s.. və s., bu fiqurlar kimi formalı hissələrdən ibarətdir.
§ 4. SERƏ VƏ KÜP
Düz xətlərdən və müstəvilərdən sonra kürə və top müxtəlif xassələrlə zəngin olan ən sadə, lakin çox vacib fəza fiqurlarıdır. Topun və onun səthinin - kürənin həndəsi xüsusiyyətləri haqqında bütöv kitablar yazılmışdır. Bu xassələrin bəziləri qədim yunan həndəsələrinə məlum idi, bəziləri isə daha yaxınlarda, son illərdə kəşf edilmişdir. Bu xüsusiyyətlər (təbiət elminin qanunları ilə birlikdə), məsələn, səma cisimlərinin və balıq yumurtalarının sferik formada olmasını, niyə vanna otağının və futbol toplarının top şəklində hazırlandığını, nə üçün bilyalı podşipniklərin texnologiyada bu qədər geniş yayıldığını, və s. Topun yalnız ən sadə xüsusiyyətlərini sübut edə bilərik. Digər, çox vacib xüsusiyyətlərə baxmayaraq, sübutlar çox vaxt tamamilə qeyri-elementar üsulların istifadəsini tələb edir, baxmayaraq ki, bu cür xüsusiyyətlərin tərtibi çox sadə ola bilər: məsələn, müəyyən bir səth sahəsinə malik olan bütün cisimlər arasında top ən böyük həcmə malikdir.
4.1. Kürə və topun tərifləri.
Kürə və top kosmosda müstəvidəki dairə və dairə ilə eyni şəkildə müəyyən edilir. Kürə, müəyyən bir nöqtədən uzaq olan fəzadakı bütün nöqtələrdən ibarət bir fiqurdur.
eyni (müsbət) məsafəyə fərqli nöqtələr.
Bu nöqtə kürənin mərkəzi adlanır, məsafə isə onun radiusudur (şək. 4.1).
Deməli, mərkəzi O və radiusu R olan kürə, onun üçün fəzanın bütün X nöqtələrinin əmələ gətirdiyi fiqurdur
Top, müəyyən bir nöqtədən verilmiş (müsbət) məsafədən çox olmayan məsafədə yerləşən kosmosdakı bütün nöqtələrin yaratdığı bir fiqurdur. Bu nöqtə topun mərkəzi adlanır və bu məsafə onun radiusudur.
Beləliklə, mərkəzi O və radiusu R olan bir top, məkanın bütün X nöqtələrinin yaratdığı fiqurdur
Mərkəzi O və radiusu R olan topun X nöqtələri kürə təşkil edir. Bu kürənin verilmiş bir topu əhatə etdiyini və ya onun səthi olduğunu söyləyirlər.
Topun içində yatdıqlarını söylədikləri topun təxminən eyni X nöqtələri.
Bir kürənin (və topun) radiusu təkcə məsafə deyil, həm də mərkəzi kürə üzərində bir nöqtə ilə birləşdirən hər hansı bir seqment adlanır.
